Cho hàm số y= x3 + 4x2 + 4x +1.a)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.b)Cho M(x0;y0) trên đồ thị. Một đường thẳng d thay đổi đi qua M cắt đồ thị tại M1¬ và M2 khác M. Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn M1M2.c)Tìm a sao cho tồn tại 2 tiếp tuyến cùng hệ số góc a của đồ thị hàm số, gọi các tiếp điểm là M3 và M4. Viết phương trìng đường thẳng chứa M3 và M4.
Tuyển tập các đề thi HSG Toán lớp 12 (có đáp án chi tiết) (phần 2) ĐỀ SỐ 11: SỞ GD & ĐT THANH HÓA TRƯỜNG THPT TĨNH GIA 3 =========***========= ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 MÔN: TOÁN Thời gian: 180 phút Câu1 : (6 điểm) Cho hàm số y= x 3 + 4x 2 + 4x +1. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. b) Cho M(x 0 ;y 0 ) trên đồ thị. Một đường thẳng d thay đổi đi qua M cắt đồ thị tại M 1 và M 2 khác M. Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn M 1 M 2 . c) Tìm a sao cho tồn tại 2 tiếp tuyến cùng hệ số góc a của đồ thị hàm số, gọi các tiếp điểm là M 3 và M 4 . Viết phương trìng đường thẳng chứa M 3 và M 4 . Câu 2 : ( 5 điểm) Giải các phương trình sau: a) tgxsin 2 x - 2sin 2 x = 3 (Cos2x + sinxcosx) (1) 2 4 X = (2x 2 – x +1)2 x (2) Câu 3 : ( 4 điểm) Tính tích phân sau: I = dx xx x ∫ + 2 0 33 cossin sin π Câu 4 : ( 5 điểm) Cho tứ diện ABCD có tâm mặt cầu ngoại tiếp O. Tìm các điểm M trong không gian sao cho 4 trọng tâm của tứ diện MBCD; MCDA; MDAB; MABC cách đều điểm O. 1 Tuyển tập các đề thi HSG Toán lớp 12 (có đáp án chi tiết) (phần 2) 2 Tuyển tập các đề thi HSG Toán lớp 12 (có đáp án chi tiết) (phần 2) ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 12 MÔN: TOÁN Câu 1 : ( 6 điểm) a) ( 2 điểm) • TXĐ: D =R (0,25đ) • Chiều biến thiên: y’ = 3x 2 + 8x + 4 y’ = 0 <=> x = -2; x= - 3 2 Hàm số đồng biến (- ∞ ; -2) ); 3 2 ( +∞−∪ , nghịch biến ) 3 2 ;2( −− (0.25). • Cực đại, cực tiểu: Cực đại tại :) x CĐ = -2; y CĐ = 1. Cực tiểu tại: x CT = - 3 2 ; y CT = - 27 5 Giới hạn +∞= +∞→x ylim ; −∞= −∞→ y x lim (0.25đ) • Tính lồi lõm và điểm uốn: y’’ = 6x + 8 = 0 <=> x= - 3 4 Hàm sô lồi từ (- 3 4 ;−∞ ), lõm (- 3 4 ; + ∞ ) Điểm uốn: I(- 27 11 ; 3 4 ) (0.25đ) 3 Tuyển tập các đề thi HSG Toán lớp 12 (có đáp án chi tiết) (phần 2) • Bảng biến thiên: (0,5đ) x - ∞ -2 - 3 4 - 3 2 + ∞ y’ + 0 - - 0 + y 1 + ∞ 27 11 - ∞ 27 5− • Đồ thị (0,5 đ) 4 4 2 -2 -4 -6 -5 5 A Tuyển tập các đề thi HSG Toán lớp 12 (có đáp án chi tiết) (phần 2) b) ( 2điểm) Gọi d qua M có hệ sô gọc k : d: y=k(x-x 0 ) + y 0 (0,25đ) Hoành độ giao điểm của đồ thị với đường thẳng d là nghiệm của phương trình: x 3 + 4x 2 + 4x +1 = k(x-x 0 ) + x 0 3 + 4x 0 2 + 4x 0 +1 <=> x=x 0 (0, 5 đ) x 2 + ( 4 + x 0 )x + x 0 2 + 4x 0 + 4 – k = 0(1) Gọi x 1 , x 2 là nghiệm của phương trình (1) => x 1 , x 2 lần lượt là hoành độ của M 1, M 2 => x I = - 2 4 0 +x (0,75 đ) y I = y 0 + k( 2 43 0 +x ) I ∈ x = 2 4 0 +x Giới hạn: (1) có 2 nghiệm phân biệt <=> 0 >∆ f(x 0 ) 0≠ k > 4 83 0 2 0 xx + (0,5) k 48 0 2 0 ++≠ xx c) ( 2đ) Để thỏa mãn YCBT: <=> y’ = 3x 2 + 8x + 4 = a có 2 nghiệm phân biệt (0,25đ) <=> a> - 3 4 (0,25đ) Nhận xét: x 3 + 4x 2 + 4x + 1 = (3x 2 + 8x +4)( 9 4 8 + x )- 9 78 +x (0,5đ) Gọi M 3 (x 3 ; y 3 ), M 4 (x 4 ; y 4 ) 5 Tuyển tập các đề thi HSG Toán lớp 12 (có đáp án chi tiết) (phần 2) y 3 = a( 9 78 ) 9 4 8 33 + −+ xx (0,5đ) y 4 = a( 9 4 8 4 + x )- 9 78 4 +x Vậy phương trình đường thẳng đi qua M 3 ; M 4 là: y= a( 9 4 8 + x ) + 9 78 +x (0,5đ) Câu 2 : (4 đ) Đ/K : x ≠ )( 2 zkk ∈+ π π (0,25đ) Chia 2 vế của phương trình cho cos 2 x (1) <=> tg 3 x -2tg 2 x = 3(1-tg 2 x+tgx) (1đ) <=> tgx=-1 <=> x=- π π k+ 4 (k z∈ ) (0,5đ) tgx= 3± x= π π k+± 3 (k z∈ ) (0,5đ) Vậy nghiệm của phương trình : x=- π π k+ 4 (k z∈ ) x= π π k+± 3 (k z∈ ) (0,25đ) a) (2) <=> 122 22 2 +−= − xx xx (0.5đ) Đặt 2x 2 – x = t (t 8 1 −≥ ) (0.25đ) Phương trình trở thành: 12 += t t <=> 012 =−− t t 6 Tuyển tập các đề thi HSG Toán lớp 12 (có đáp án chi tiết) (phần 2) Khảo sát f(t) = 12 −− t t (0.25đ) f’(t) = 2 t ln2 – 1 =0 <=> 2 t = 2ln 1 = α t α f’(t) - 0 + f(t) Quan sát bản bíên thiên nhận thấy phương trình có tối đa 2 nghiệm t. (1đ ) Mặt khác f(0) = f(1) = 0 Phương trình có 2 nghiệm t = 0; t= 1 (0.25đ) x= 0 ; x= 2 1 ± ; x=1 (0.25đ ) Câu 3: (4 đ) Xét J= dx xx x ∫ + 2 0 33 cossin cos π (0.25đ) Ta CM được I = J (đặt x= t− 2 π ) (0.75đ) I+J = ∫ 2 0 π xxxx dx 22 coscossinsin +− = ∫∫ +− − −− 2 4 2 4 0 2 1cotcot cot 1 π π π gxxg gxd tgxxtg dtgx (0.75đ) Đặt tgx(cotgx) = t I + J = ∫ +− 1 0 2 1 2 tt dt =2 ∫ +− − 1 0 2 4 3 ) 2 1 ( ) 2 1 ( t td (0.75đ) 7 Tuyển tập các đề thi HSG Toán lớp 12 (có đáp án chi tiết) (phần 2) Đặt t - 2 1 = tgy 2 3 => I + J = 33 4 π (0.75đ) => I= 33 2 π (0.75) Câu 4: ( 6 điểm) Đặt OGOMx 4+= (0.5đ) Gọi A’, B’, C’, D’ lần lượt là trọng tâm của các tứ diện MBCD; MCDA; MDAB; MABC Ta có OAxOAOGOMODOCOBOMOA −=−+=+++= 4'4 (1đ) 4 'OB = OBx − ODxOD −='4 (1đ) Ta có: OA’ =OB’= OC’ = OD’ 2222 '16'16'16'16 ODOCOBOA ===⇒ ODxOCxOBxOAxODxOCxOBxOAx ===⇔−=−=−=−⇔ 2222 )()()()( => 0=x (1.5đ) => OOMOM =+ 4 => GOGM 5= (0.5đ) Vậy có 1 điểm M thoả mãn điều kiện đề ra. (0.5đ) ĐỀ SỐ 12: ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 ( Thời gian 180 phút) Giáo viên:Lê Việt Cường Bài 1 :(4 điểm) Cho hàm số y = x 3 -(3+2m)x 2 +5mx +2m 8 OCxOC −= '4 Tuyển tập các đề thi HSG Toán lớp 12 (có đáp án chi tiết) (phần 2) a). khảo sát hàm số khi m=-1 b) Tìm m để phương trình x 3 -(3+2m)x 2 +5mx +2m = 0 có 3 nghiệm phân biệt. Bài 2: (5 điểm) Cho phương trình ( ) xxmxxx −+−=++ 4512 a) Giải phương trình khi m = 12 b) Tìm m để phương trình có nghiệm Bài 3: (4 điểm) Tính x xx Lim x 11001.101 20062005 0 −++ >− Bài 4 : (3 điểm) Giải phương trình log 3 (x 2 +x+1) - log 3 x = 2x-x 2 Bài 5 : (4 điểm) Cho tứ diện ABCD, gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. G 1 , G 2 , G 3 , G 4 lần lượt là trọng tâm các mặt BCD, ACD, ABD, ABC. Đặt AG 1 = m 1 , BG 2 = m 2 , CG 3 = m 3 , DG 4 = m 4 . CMR: ABCD là tứ diện đều khi và chỉ khi m 1 +m 2 +m 3 +m 4 = 3 16R 9 Tuyển tập các đề thi HSG Toán lớp 12 (có đáp án chi tiết) (phần 2) HƯỚNG DẪN SƠ LƯỢC TOÁN HSG12 1b) Phương trình x 3 -(3+2m)x 2 +5mx +2m = 0 ⇔ (x-2m)(x 2 -3x-m)=0 ⇔ =−− = )2(03 2 2 mx mx x Phương trình có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trinh(2) có 2 nghiệm phân biệt ≠ 2m ( ) −> ≠≠ ⇔ >+=∆ ≠−− ⇔ 4 9 4 7 ,0 049 02.3 2 2 m mm m mm m Bài 2:( 5 đ) a)(2 đ) Từ điều kiện 0 ⇒≤≤ 4x VP ≥ 12)4445(12 =−+− VT ≤ 44 + 12124 =+ ⇒ phương trình có nghiệm x=4 b). (3 đ ) Phương trình đã cho ⇔ f(x) = ( )( ) mxxxxx =−−−++ 4512 (2) Xét hàm số f(x) trên [0;4] f(x)=f 1 (x)f 2 (x) với f 1 (x) = 12++ xxx có f’ 1 (x) = 122 1 2 + ++ xx x x >0 ⇒ f 1 (x) ↑ trên [0;4] và f 1 (x) ≥ 0 ∀ x ∈ [0;4] f 2 (x) = xx −−− 45 có f’ 2 (x) = xx xx xx −− −+−− = − + − − 452 544 42 1 52 1 >0 ⇒ f 2 (x) ↑ trên [0;4] và f 2 (x) ≥ 0 ∀ x ∈ [0;4] ⇒ f(x) ↑ trên [0;4] ⇒ Min [o;4] f(x) = f(0) = ( ) 4512 − và Max [o;4] f(x) =12 Từ đó (2) có nghiệm ⇔ Min [o;4] f(x) ≤ m ≤ Max [o;4] f(x) ⇔ ( ) 4512 − ≤ m ≤ 12 là điều kiện để (1) có nghiệm Bài 3:( 5 đ) 10 [...]... + MB1 + MC1 + MD1 t giỏ tr ln nht, nh nht b) Chng minh rng tn ti im M (C) 4 im A 1, B1, C1, D1 khụng ng phng: 20 Tuyn tp cỏc thi HSG Toỏn lp 12 (cú ỏp ỏn chi tit) (phn 2) 21 Tuyn tp cỏc thi HSG Toỏn lp 12 (cú ỏp ỏn chi tit) (phn 2) P N THI HC SINH GII LP 12 Mụn: Toỏn Thi gian: Giỏo viờn thc hin: Lờ Vn Minh Lờ Vn Khi Cõu 2 Cõu a: (2 im) Chng minh rng e x + cos x x + 2(1) vi (4 im) 0,25 x 0 (1)... 5 f ( 2) = 2m 3 < 0 + Vy 0.5 2 x3 1 x 4 mx 3 1 2 4m + 10 mx 2 + 2 x + 2m + )dx = [ + x 2 + ( 2m + ) x | 0 = 3 3 12 3 3 3 0 4m + 10 1 5 = 4 m = (0; ) +Do S = 4 3 2 6 s = ( S : m= 0.5 1 2 0.5 Bi 2: cos x 0 tgx 1 1./ K : 0.5 14 Tuyn tp cỏc thi HSG Toỏn lp 12 (cú ỏp ỏn chi tit) (phn 2) + Phng trỡnh ó cho 3 tgx + 1.(tgx + 2) = 5(tgx + 3) (1) t 0 +t tgx + 1 = t 0 (2) t=2 2 (t 2). (3t +... XUT THI HC SINH GII LP 12 Mụn: Toỏn - Bng A Thi gian lm bi: 180 phỳt Bi 1: Cho phng trỡnh: m.Cosx + Cos3x - Cos2x =1 1) Gii phng trỡnh trờn vi m=1 5 2) Tỡm m phng trỡnh ó cho cú ỳng 8 nghim phõn bit x ; ữ 2 2 Bi 2: 1) Gii phng trỡnh (Sin)x + (tg)x = ()x (vi x l tham s, 0 < x < ) 2 2) Tỡm a phng trỡnh sau cú ỳng 3 nghim phõn bit 29 Tuyn tp cỏc thi HSG Toỏn lp 12 (cú ỏp ỏn chi tit) (phn 2). .. 16 0.5 0.5 0.5 Tuyn tp cỏc thi HSG Toỏn lp 12 (cú ỏp ỏn chi tit) (phn 2) 3 ) 2 + Vy (1) CosA = CosB = CosC A = B = C = 60 o + ( Phi chng minh : cos A + cos B + cos C 2 (E): 0.5 x2 + y 2 = 1 M ng thng y = 2 M(a ;2) 4 + Gi T1(x1,y1); T2(x2,y2) l cỏc tip im tip tuyn ti T 1, T2 l: x1 x + y y1 = 1 4 x x 2 : 2 + y y 2 = 1 4 0.5 0.5 1: a.x1 4 + 2 y1 = 1 Do 1; 2 i qua M(a, 2) a.x 2 + 2 y = 1 2 4... (GA + GB + GC + GD) 2 ( + + + ) 16 GA GB GC GD GA + GB + GC + GD 0.5 Du bng xy ra GA = GB = GC = GD T din ABCD gn u hoc t din ABCD u 0.5 0.5 18 Tuyn tp cỏc thi HSG Toỏn lp 12 (cú ỏp ỏn chi tit) (phn 2) S 14: THI HC SINH GII LP 12 Mụn: Toỏn Thi gian: 180 phỳt Giỏo viờn thc hin: Lờ Vn Minh Lờ Vn Khi Cõu 1: (4 im) Cho hm s: y = x 3 3x 2 + 1 (C) a) Kho sỏt v v th hm s (C) b) Bin lun theo k s nghim... + Bng bin thi n x y y - + -1- 3 0 C - -1+ 3 0 + - CT 13 + + 0,5 Tuyn tp cỏc thi HSG Toỏn lp 12 (cú ỏp ỏn chi tit) (phn 2) th: 0.5 x3 1 + mx 2 2 x 2m = 0 trờn [0; 2] 3 3 3 x 1 f ' ( x ) = x 2 + 2mx 2 t f ( x) = + mx 2 2 x 2m = 0; 3 3 ' Phng trỡnh: f ( x) = 0 luụn cú hai nghim trỏi du x 1 1 ; x Xột hm s 0,25 >0 [ f ' ( x ) = x 1 (m + n x ) 1 ] => f ' ( x) = 0... ABD I l tõm mt cu (C) 26 Tuyn tp cỏc thi HSG Toỏn lp 12 (cú ỏp ỏn chi tit) (phn 2) Ta cú MD1 // IH1, MB1 // IH2, MC1 // IH3 mf (B1D1C1) // mf (H1H2H3) 0,5 0,5 Mt khỏc (H 1H2H3) // (BCD) (B1D1C1) // (BCD) vỡ A1 H (BCD) nờn 4 im A1,B1,C1,D1 khụng ng phng Cõu 1 (4 im) 0,5 Cõu a: (2 im) Kho sỏt v v th hm s: y = x 3 3x 2 + 1 (C) + Tp xỏc nh: x R 0,25 + Chiu bin thi n: y ' = 3x 2 6 x 0,25 x1 = 0 x . cách đều điểm O. 1 Tuyển tập các đề thi HSG Toán lớp 12 (có đáp án chi tiết) (phần 2) 2 Tuyển tập các đề thi HSG Toán lớp 12 (có đáp án chi tiết) (phần 2) ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 12 MÔN:. ABCD gần đều hoặc tứ diện ABCD đều 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 18 Tuyển tập các đề thi HSG Toán lớp 12 (có đáp án chi tiết) (phần 2) ĐỀ SỐ 14: ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 Môn: Toán Thời. Tuyển tập các đề thi HSG Toán lớp 12 (có đáp án chi tiết) (phần 2) ĐỀ SỐ 11: SỞ GD & ĐT THANH HÓA TRƯỜNG THPT TĨNH GIA 3 =========***========= ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 MÔN: TOÁN Thời