Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng: Phần 1

Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng: Phần 1 gồm có những nội dung cơ bản sau: Nguyên hàm định nghĩa, tính chất và nguyên hàm cơ bản; nguyên hàm đổi biến; nguyên hàm từng phần; tích phân định nghĩa, tính chất và tích phân cơ bản; tích phân đổi biến. Mời các bạn cùng tham khảo.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Ứng Dụng MỤC LỤC 1.1 NGUYÊN HÀM ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ NG.H CƠ BẢN 1.2 NGUYÊN HÀM ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ NG.H CƠ BẢN NGUYÊN HÀM ĐỔI BIẾN NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN TÍCH PHÂN ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ TP CƠ BẢN TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN GTLN, GTNN – BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN 8.1 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ÁP DỤNG TÍNH CHẤT 8.2 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ÁP DỤNG ĐỔI BIẾN 8.3 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ÁP DỤNG TỪNG PHẦN 9.1 ỨNG DỤNG TÍNH DIỆN TÍCH GIỚI HẠN BỞI CÁC ĐƯỜNG 9.2 ỨNG DỤNG TÍNH DIỆN TÍCH CÓ ĐỒ THỊ ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG THỰC TẾ 10.1 ỨNG DỤNG TÍNH THỂ TÍCH GIỚI HẠN BỞI CÁC ĐƯỜNG 10.2 ỨNG DỤNG THỰC TẾ THỂ TÍCH BỞI CÁC ĐƯỜNG VÀ ỨNG DỤNG THỰC TẾ 11 ỨNG DỤNG THỰC TẾ VÀ LIÊN MÔN File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Ứng Dụng NGUYÊN HÀM CƠ BẢN A - KIẾN THỨC CƠ BẢN Nguyên hàm Định nghĩa: Cho hàm số f  x  xác định K ( K khoảng, đoạn hay nửa khoảng) Hàm số F  x  gọi nguyên hàm hàm số f  x  K F '  x   f  x  với x  K Định lí: 1) Nếu F  x  nguyên hàm hàm số f  x  K với số C , hàm số G  x   F  x   C nguyên hàm f  x  K 2) Nếu F  x  nguyên hàm hàm số f  x  K nguyên hàm f  x  K có dạng F  x   C , với C số Do F  x   C, C   họ tất nguyên hàm f  x  K Ký hiệu  f  x  dx  F  x   C Tính chất nguyên hàm Tính chất 1:   f  x  dx   f  x   f '  x  dx  f  x   C Tính chất 2:  kf  x  dx  k  f  x  dx với k số khác Tính chất 3:   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx Sự tồn nguyên hàm Định lí: Mọi hàm số f  x  liên tục K có nguyên hàm K Bảng nguyên hàm số hàm số sơ cấp Nguyên hàm hàm số sơ cấp Nguyên hàm hàm số hợp u  u  x   dx  x  C  du  u  C x  dx   1 x  C   1  1 u  du  1  x dx  ln x  C  u du  ln u  C  e dx  e  e du  e x x u C ax  a dx  ln a  C  a  0, a  1 x  1 u  C   1  1 u C au  a du  ln a  C  a  0, a  1 u File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Ứng Dụng  sin xdx   cos x  C  sin udu   cos u  C  cos xdx  sin x  C  cos udu  sin u  C  cos x  sin x dx  tan x  C  cos u dx   cot x  C  sin u du  tan u  C du   cot u  C B - BÀI TẬP Câu DẠNG 1:SỬ DỤNG LÍ THUYẾT Trong khẳng định đây, có khẳng định đúng? (1): Mọi hàm số liên tục  a; b có đạo hàm  a; b (2): Mọi hàm số liên tục  a; b có nguyên hàm  a; b (3): Mọi hàm số đạo hàm  a; b có nguyên hàm  a; b Câu (4): Mọi hàm số liên tục  a; b có giá trị lớn giá trị nhỏ  a; b B C D A Cho hai hàm số f  x  , g  x  liên tục  Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A   f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx B   f  x  g  x   dx   f  x  dx. g  x  dx C   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx D  kf  x  dx  k  f  x  dx  k  0;k    Câu Cho f  x  , g  x  hàm số xác định liên tục  Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? B  f  x  dx  2 f  x  dx A  f  x  g  x  dx   f  x  dx. g  x  dx C Câu   f  x   g  x   dx  f  x  dx   g  x  dx   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx D Khẳng định sau khẳng định sai? A  kf  x  dx  k  f  x  dx với k   B   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx với f  x  ; g  x  liên tục   1 C  x dx  x với   1  1  D  f  x  dx  f  x   Câu  Cho hai hàm số f  x  , g  x  hàm số liên tục, có F  x  , G  x  nguyên hàm f  x  , g  x  Xét mệnh đề sau:  I  F  x   G  x  nguyên hàm f  x   g  x   II  k.F  x  nguyên hàm k f  x  với k    III  F  x  G  x  nguyên hàm f  x  g  x  Các mệnh đề File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu Tích Phân Ứng Dụng A  II   III  B Cả mệnh đề C  I   III  D  I   II  Mệnh đề sau sai? A   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx , với hàm số f  x  , g  x  liên tục  B  f   x  dx  f  x   C với hàm số f  x  có đạo hàm  C   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx , với hàm số f  x  , g  x  liên tục  D  kf  x  dx  k  f  x  dx với số k với hàm số f  x  liên tục  Câu Cho hàm số f  x  xác định K F  x  nguyên hàm f  x  K Khẳng định đúng? A f   x   F  x  , x  K B F   x   f  x  , x  K C F  x   f  x  , x  K Câu D F   x   f   x  , x  K Cho hàm số f  x  xác định K Khẳng định sau sai? A Nếu hàm số F  x  nguyên hàm f  x  K với số C , hàm số G  x   F  x   C nguyên hàm f  x  K B Nếu f  x  liên tục K có nguyên hàm K C Hàm số F  x  gọi nguyên hàm f  x  K F   x   f  x  với xK D Nếu hàm số F  x  nguyên hàm f  x  K hàm số F   x  nguyên hàm f  x  K Câu DẠNG 2: ÁP DỤNG TRỰC TIẾP BẢNG NGUYÊN HÀM Cho f  x   , chọn mệnh đề sai mệnh đề sau: x2 A Trên  2;   , nguyên hàm hàm số f  x  F  x   ln  x    C1 ; khoảng  ; 2  , nguyên hàm hàm số f  x  F  x   ln   x    C2 ( C1 , C2 số) B Trên khoảng  ; 2  , nguyên hàm hàm số f  x  G  x   ln   x    C Trên  2;   , nguyên hàm hàm số f  x  F  x   ln  x   D Nếu F  x  G  x  hai nguyên hàm của f  x  chúng sai khác số Câu 10 Khẳng định sai? A  cos x dx   sin x  C C  x dx  x  C Câu 11 Tìm mệnh đề sai mệnh đề sau x4  C A  x3dx  C  sin xdx  C  cos x Câu 12 Trong khẳng định sau, khẳng định sai? A  dx  x  2C ( C số) C  0dx  C ( C số) B  x dx  ln x  C D  e dx  e  C x B x  x dx  ln x  C D  2e dx   e  C  x x xn 1  C ( C số; n   ) B  x dx  n 1 D  e x dx  e x  C ( C số) n File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Ứng Dụng Câu 13 Tìm ngun hàm F  x     dx A F  x    x  C C F  x   B F  x   2 x  C 3 C D F  x   Câu 14 Họ nguyên hàm hàm số f  x   e x  cos x  2018  x2 C A F  x   e x  sin x  2018 x  C B F  x   e x  sin x  2018 x  C C F  x   e x  sin x  2018 x D F  x   e x  sin x  2018  C Câu 15 Nguyên hàm hàm số f  x   x  là: x  9x  C B x  x  C C x  C e Câu 16 Họ nguyên hàm hàm số f  x   e.x  A D x3  x  C xe 1  4x  C A 101376 B e x  C C e 1 Câu 17 Họ nguyên hàm hàm số f  x   x  x  e.xe 1  4x  C D e 1 e 1 A 20 x3  12 x  C C 20 x  12 x3  x  C Câu 18 Khẳng định sau sai? B x  x3  x  C x4  2x2  2x  C D x5  C C  dx  ln x  C D  e x dx  e x  C x Câu 19 Nguyên hàm hàm số y  x  x  x x 3x x3 x   ln x  C   C A B 3 x 3 x 3x x 3x   ln x  C   ln x  C D C 3 a b Câu 20 Cho hàm số f  x     , với a , b số hữu tỉ thỏa điều kiện x x A  dx  C B  x dx   f  x  dx   3ln Tính T  a  b A T  1 B T  C T  2 D T  Câu 21 Họ nguyên hàm hàm số f  x   3x  x  A F  x   x  x  B F  x   x  x  C C F  x   x  x  x  C D F  x   x  x  C Câu 22 Hàm số sau nguyên hàm hàm số f ( x)   3x  1 ? A F  x   x  1  8 18 x  1  C F  x   18 B F  x   x  1  2 18 x  1  D F  x   File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 23 Họ nguyên hàm hàm số f  x    x4  x  C A 3x Tích Phân Ứng Dụng 1  x  x 2 B  2x  C x Câu 24 Họ nguyên hàm hàm số f  x   x  x4  x2  C C  3x 1   x x2 A x  ln x   x x C x  ln x   x  C x Câu 25 Nguyên hàm f  x   x  x  x là:  x3 x   C D x  2x  C x D x  ln x   x  C x B x  ln x  4 x  x3  x C B 3 C x  x3  x C D Câu 26 Họ nguyên hàm hàm số f  x   x  x 2018 A 4 x  x  x C 3 3 x  x  x C 3 x 2019 x 2019 C C B x3  673 2019 1 x 2019  6054 x 2017  C C  C D x x 673 x Câu 27 Hàm số F ( x)  e  tan x  C nguyên hàm hàm số f(x) 1 A f ( x)  e x  B f ( x)  e x  sin x sin x x   e D f  x   e x  C f ( x )  e x 1   cos x  cos x  Câu 28 Nếu  f  x  dx   ln x  C với x   0;   hàm số f  x  x 1 A f  x     B f  x   x  x x 2x 1 C f  x    ln  x  D f  x     x x 2x x  x 1 Câu 29 Tìm họ nguyên hàm hàm số f  x   x 1 x2 1  ln x 1  C D x  ln x   C A x  C B   C C x 1  x  1 A x A F  x   x  tan x  C sin x B F  x   x  tan x  C C F  x   x  cot x  C D F  x   x  cot x  C Câu 30 Nguyên hàm F  x  hàm số f  x    Câu 31 Tìm nguyên hàm hàm số f  x   3cos x  A 3sin x  C x B 3sin x   C x  0;   x2 C 3cos x   C x File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D 3cos x  ln x  C Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Ứng Dụng Câu 32 Họ nguyên hàm hàm số f  x   x  sin x A x  cos x  C B x  sin x  C C x  cos x  C Câu 33 Tìm nguyên hàm hàm số f ( x)  3x2  8sin x A  f  x  dx  x  cos x  C C  f  x  dx  x  8cos x  C B  f  x  dx  x  8cos x  C D  f  x  dx  x  cos x  C  x Câu 34 Tìm nguyên hàm hàm số f  x   cos2   2 A  f  x  dx  x  sinx  C B C x  f  x  dx   sinx  C D x2  sin x  C B Câu 35 Tìm họ nguyên hàm hàm số f  x   x  cos x A C Câu 36  f  x  dx   f  x  dx  x sin x  cos x  C x D x3  sin x  C D  f  x  dx  x  sinx  C x  f  x  dx   sinx  C  f  x  dx   sin x  C  x2 f  x  dx   sin x  C a b x  x  C , a, b hai số hữu tỉ Giá trị a bằng: B C D 32  x3  dx có dạng A 1 1  a b Câu 37   x3  x  dx có dạng x  x  C , a, b hai số hữu tỉ Giá trị a 12 3  bằng: 36 A B 12 C 1 D Không tồn Câu 38    2a  1 x  bx  dx , a, b hai số hữu tỉ Biết     2a  1 x  bx  dx  A 1; 1 x sin x  cos x  x  x  C Giá trị a, b bằng: B 3; C  ; D   Câu 39 Tìm nguyên hàm hàm số f  x  thỏa mãn điều kiện: f  x   x  3cos x, F    2 A F ( x)  x2  3sin x   C F ( x)  x  3sin x  2 2 Câu 40 Một nguyên hàm F(x) hàm số f ( x )  x  A F( x)  cotx  x2  C F( x)  cotx  x 2 16 B F ( x)  x  3sin x  2 D F ( x)  x2  3sin x   2  thỏa mãn F( )  1 là: sin x 2 16 2 D F( x)  cotx  x  16 B F( x)  cotx  x  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 41 Nếu  f ( x)dx  e x  sin x  C f ( x) hàm nào? A e x  cos x B e x  sin x Câu 42 Tìm nguyên hàm F(x) f ( x)  x2 1   x x2 1 C F ( x)    x Câu 43 Họ nguyên hàm hàm số f ( x)  A x  3ln x  C  Câu 44 ( Tính  1  3ln x  C C e x  cos x x3  biết F(1) = x2 A F ( x)  C x Tích Phân Ứng Dụng D e x  sin x x2   x x2 D F (x)    x B F ( x)   : x x B x  3ln x  C D 16 x  3ln x  C x  )dx x 33 x  4ln x  C 5 C x5  4ln x  C D x5  4ln x  C Câu 45 Nguyên hàm F(x) hàm số f ( x)  x  3x  x  thỏa mãn F(1)  là: A  33 x  ln x  C B A F( x)  x  x3  x2  B F( x)  x  x3  x2  10 C F( x)  x  x3  x2  x D F( x)  x4  x3  x2  x  10 Câu 46 Họ nguyên hàm hàm số y  (2 x  1)5 là: 1 A (2 x  1)6  C B (2 x  1)6  C 12 C (2 x  1)6  C D 10(2 x  1)4  C Câu 47 Nguyên hàm F  x  hàm số f  x   x  x  thỏa mãn điều kiện F    x4 A x  x B x   x C x  x  x Câu 48 Tìm hàm số F(x) biết F ’  x   x – x  F  1  3 D Đáp án khác A F  x   x – x  x  B F  x   x – x +2x  C F  x   x – x  x  D F  x   x  x  x  Câu 49 Hàm số f  x  xác định, liên tục  có đạo hàm f   x   x  Biết f    Tính f    f   ? A 10 B 12 C D 11 Câu 50 Cho hàm số f  x  thỏa mãn đồng thời điều kiện f   x   x  sin x f    Tìm f  x x2  cos x  x2 C f  x    cos x A f  x   x2  cos x  x2 D f  x    cos x  2 B f  x   File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Ứng Dụng Câu 51 Cho hàm số f  x  thỏa mãn f   x    5cos x f    Mệnh đề đúng? A f  x   x  5sin x  B f  x   x  5sin x  C f  x   x  5sin x  D f  x   x  5sin x  Câu 52 Biết F  x  nguyên hàm của hàm số f  x   sin x đồ thị hàm số y  F  x    qua điểm M  0;1 Tính F   2         B F    1 C F    A F    D F    2 2 2 2 Câu 53 Cho F  x  nguyên hàm hàm số f  x   x  x  thỏa mãn F    , giá trị F 1 A B 13 C Câu 54 Tìm nguyên hàm F  x  hàm số f  x   ax  F 1  , f 1  D 11 b  x   , biết F  1  , x2 3x   A F  x   2x 3x   B F  x   2x 3x 3x     C F  x   D F  x   4x 2x Câu 55 Biết hàm số y  f  x  có f   x   3x  x  m  , f    đồ thị hàm số y  f  x  cắt trục tung điểm có tung độ 5 Hàm số f  x  A x3  x  3x  B x  x  x  C x3  x  x  Câu 56 Gọi F  x  nguyên hàm hàm số f  x    x  3 D x  x  x  thỏa mãn F    Giá trị biểu thức log 3F 1  F    A 10 B 4 C D Câu 57 Gọi F  x  nguyên hàm hàm số f  x   x   m  1 x  m  , với m tham số thực Một nguyên hàm f  x  biết F 1  F    là: A F  x   x  x  x  B F  x   x  x  C F  x   x  x  D Đáp án A B File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Ứng Dụng Suy ra: a  , b  1 , c  Vậy: P  a  2b  c  2 x  5x  6 e x  ae  c Câu 93 Biết  với a , b , c số nguyên e số dx  ae  b  ln x x2e logarit tự nhiên Tính S  2a  b  c A S  10 B S  C S  D S  Hướng dẫn giải Chọn D  x  x   e x dx   x   x  3 e2 x dx Ta có : I   0  x   e x  x   e x Đặt t   x   e x  dt   x  3 e x dx Đổi cận : x   t  , x   t  3e 3e 3e 3e tdt  3e   I   1   dt   t  ln t    3e   ln t 1  t 1  Vậy a  , b  , c   S   x3  x  ex 3.2 x 1 e   Câu 94  dx   ln  p   với m , n , p số nguyên dương Tính x   e.2 m e ln n e     tổng S  m  n  p A S  B S  C S  D S  Hướng dẫn giải Chọn C 1   x  x  ex x 2x  2x Ta có  dx    x  dx    dx   J x x  x   e.2   e.2   e.2  0 1 2x dx Đặt   e.2 x  t  e.2 x ln 2dx  dt  x dx  dt x   e.2 e.ln Tính J   Đổi cận: Khi x  t    e ; x  t    2e   2e   2e 2x 1 1 e   J  dx  dt  ln t   e  ln 1   x    e.2 e ln   e t e ln e ln  e    Khi  x  x  ex 3.2 x 1 e  0   e.2 x dx   e ln ln 1  e      m  , n  , p  Vậy S   Câu 95 Cho tam thức bậc hai f  x   ax  bx  c,  a, b, c  , a   có hai nghiệm thực phân biệt x1 , x2 Tính tích phân I   x2 x1 A I  x1  x2  2ax  b  e ax bx  c dx B I  x1  x2 C I  Hướng dẫn giải D I  x1  x2 Chọn C Đặt t  ax  bx  c  dt   2ax  b  dx x2  x  x1  t  ax1  bx1  c  Khi  Do I    2ax  b  e ax bx  c dx   et dt  x1  x  x2  t  ax2  bx2  c  e ln x dx trở thành Câu 96 Với cách đổi biến u   3ln x tích phân  x  3ln x File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 241 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Ứng Dụng 2 A   u  1 du 31 2 B   u  1 du C 2  u  1 du 91 Hướng dẫn giải Chọn B u   3ln x  u   3ln x  ln x  2 u 1 du D  91 u u2 1 dx 2u   du x u2 1 ln x 2u d x  u  du Khi   du  91 u x  3ln x e  x  1 ln x  dx  a.e  b ln  e   a Câu 97 Biết    a , b số nguyên Khi tỉ số  x ln x b  e  1 A B C D Hướng dẫn giải Chọn B e  x  1 ln x  dx  e  x ln x   ln x dx  e dx  e d 1  x ln x  Ta có:  1  x ln x 1 1  x ln x  x ln x e 1  x 1e  ln 1  x ln x  1e  e   ln 1  e   e  ln e a Suy a  b  Vậy  b e e Câu 98 Tính tích phân I   2 A I  t   3ln x dx cách đặt t   3ln x , mệnh đề sai? x 2 B I   tdt 31 C I  Hướng dẫn giải Chọn B e  2 t dt 1 D I  14  3ln x 2t dx dx , đặt t   3ln x  t   ln x  2tdt  dx  dt  x x x I  Đổi cận: x   t  ; x  e  t  2t 2 14 dt  t  9 I   3x  1 ln b   a b c số nguyên dương c  Tổng dx  ln  a   với , ,  x ln x c   a  b  c A B C D Hướng dẫn giải Chọn C 3 2 x    x dx Đặt t  x  ln x , dt     dx Ta có  dx     x  x  x ln x x  ln x Đổi cận x   t  , x   t   ln Câu 99 Biết  3x File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 242 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Ứng Dụng  ln ln  dt 6 ln  x dx  1 x  ln x 3 t  ln t  ln   ln 2  ln  ln     a  , b  , c  Vậy tổng a  b  c  e ln x Câu 100 Biết I   dx  a ln  b,  a, b  Q  Mệnh đề sau đúng? x  ln x   3 A a  b  B a  b  C a  b  Hướng dẫn giải Chọn D D a  b  x Đặt t  ln x  , suy dt  dx Đổi cận: x   t  xet3 3 t 2 dt   t  ln t    2ln   2ln t Vậy a  2; b  , nên a  b  Khi đó, I   x 3 e B I   x   dx  x D I  3  dx có giá trị là: ln x ln x   ln x ln x   I  1 5 C I  3 Hướng dẫn giải e Tích phân I   Ta có:  dx có giá trị là: ln x ln x   Câu 101 Tích phân I   A I   e 2ln x ln x  ln x dx   dx 1 x x e e ln x ln x  dx x 2ln x Đặt t  ln x   dt  dx x e Xét I1   2 x   t  2 2 3 Đổi cận   I1   tdt   t   3 1 x  e  t  e ln x Xét I  dx x 1 Đặt t  ln x  dt  dx x x   t  Đổi cận   I   dt  x  e  t   I  I1  I  Chọn B 1 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 243 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Ứng Dụng e Câu 102 Tích phân I   x  ln x  ln x  dx có giá trị là: A I  2e B I  e C I  e Hướng dẫn giải D I  2e e Tích phân I   x  ln x  ln x  dx có giá trị là: e e 1 Ta biến đổi: I   x  ln x  ln x  dx   x ln x  ln x  1 dx Đặt t  x ln x  dt   ln x  1 dx e x   t  Đổi cận   I   dt  e x  e  t  e Chọn C   ln x  x  ln x  x    Câu 103 Biết I   dx   ae  27e  27e3  3 , a số hữu tỉ x Giá trị a là: A B – C – D Hướng dẫn giải   ln x  x  ln x  x  e   dx  Biết I    ae  27e  27e3  3 Giá trị a là: x Ta có:   ln x  3x  ln x  x  e e ln x  x  3ln x  x    I  dx   dx 31 x x Đặt t  ln x  3x  dt  ln x  x x   t  Đổi cận   x  e  t   3e 1 3e I   tdt  3 t 1 3e  3      1  3e   92   9e  27e  27e  3   a  3  Chọn A e Câu 104 Tích phân I   A I  2 ln x ln x  dx có gái trị là: x B I  22 2 2 C I  3 Hướng dẫn giải D I  22 ln x ln x  Tích phân I   dx có gái trị là: x 2ln x Ta nhận thấy:  ln x  1 '  Ta dùng đổi biến số x e File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 244 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Đặt t  ln x   dt  Tích Phân Ứng Dụng 2ln x dx x x   t  Đổi cận  x  e  t  2  32  2 I   tdx   t    1 Chọn A e2 Câu 105 Tính I   1  ln x  dx kết x e A 13 B Chọn B Đặt t  ln x  dt  e2 I 1  ln x  Hướng dẫn giải C 2 dx   1  t  dt   e Câu 106 Cho tích phân I   A I   t dt 31 e Chọn C Đặt t   ln x  2 Do I   t dt 31 D dx Với x  e  t  ; x  e  t  x x e 1 1  t     3  3ln x dx , đặt x t  13ln x Khẳng định sau đúng? 2 2 B I   tdt C I   t dt 31 31 Hướng dẫn giải D I   tdt 31 e td t  dx Đổi cận x  e  t  2; x   t  x  ln x a b c dx  , a , b , c số nguyên dương c  Tính giá x trị S  a  b  c A S  13 B S  28 C S  25 D S  16 Hướng dẫn giải Chọn C dx Đặt t   ln x  2tdt  x Đổi: Với x   t  ; x  e  t  Câu 107 Biết e  e I   ln x 2 16  dx   t 2dt  t  x 3 3  a  16 , b  , c   S  a  b  c  25 e ln x dx có kết dạng I  ln a  b với a  , b   Khẳng định sau Câu 108 Cho I   x  ln x   đúng? File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 245 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A 2ab  1 B 2ab  C b  ln Hướng dẫn giải Chọn A Tích Phân Ứng Dụng  2a D b  ln  2a dx  dt x Đổi cận: x  t  ; x  e t  Đặt ln x   t  ln x  t    a  t 2 2  1   Khi I   dt     dt   ln t    ln    t t t  t 2  2 b    Vậy 2ab  1 x 1 dx  ln  ln a  b  với a , b số nguyên dương Tính P  a  b  ab Câu 109 Biết  x  x ln x A 10 B C 12 D Hướng dẫn giải Chọn B 2 x 1 x 1 dx   Ta có  dx x  x ln x x  x  ln x  1 3 x 1  1 dx Đặt t  x  ln x  dt     dx  x  x Khi x   t  ; x   t   ln  ln 2 ln a  dt  ln t Khi I    ln  ln   Suy  b  t  Vậy P  e  x  1 ln x  ae  be dx   c  d ln Chọn phát biểu nhất: Câu 110 Cho tích phân I   e x ln x A a  b  c  d B a  b  c  C A B D A B sai d Hướng dẫn giải Chọn B Ta có 2 e  x  1 ln x  e2 x ln x   ln x I  dx   dx e e x ln x x ln x e2  e2  e2 1  1   x  dx  x  dx  dx      e e e x ln x x x ln x  x   e2  x2  1 e4  e2  Xét M    x   dx    ln x   1 e x 2   e e2 1 Xét N   dx , đặt t  ln x , suy dt  dx e x ln x x Đối cận x  e  t  x  e2  t  ta dt N    ln t   ln  ln1  ln t e2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 246 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A e4  e2   ln Do a  b  c  d  Ta chọn phương án 2018 ln 1  x  Câu 111 Tính tích phân I   dx x 1   log e Tích Phân Ứng Dụng Vậy I  B A I  ln 1  2018   ln B I  ln 1  22018   ln 2 C I  ln 1  22018   ln D I  ln 1  22018   ln 2 Hướng dẫn giải Chọn B Ta có I  2018 ln 1  x   1   log x Do I  ln 1  x  2018 e dx  2018  x ln ln 1   dx   2x x Câu 112 Cho hàm số y  f  x  liên tục  thỏa mãn A B  f  x  dx  Đặt t  ln x  dt  e   1 C  f  x  dx  e Chọn B  ln 1   d ln 1   x f  ln x  dx  e Mệnh đề sau đúng? x e  f  x  dx  Hướng dẫn giải e  f  x  dx  e 1 f  ln x  dx   f  t  dt  e   f  x  dx  e x 0 Câu 113 Biết  f  ln x  dx  Tính tích phân I   f  x  dx x e A I  B I  16 C I  Hướng dẫn giải Chọn D Đặt t  ln x  dt  dx x x e e4 t  D e dx Cận: x   t  0; x  e  t  x e4 e4 x  ln 1  2018   ln 2 e 2018 D I  f  ln x  dx   f  t  dt   f  x  dx x 1 Suy I   f  x  dx  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 247 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Ứng Dụng PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG Cho hàm số f liên tục có đạo hàm đoạn [a; b] Giả sử hàm số x   (t) có đạo hàm liên tục đoạn [ ;  ](*) cho  ( )  a, (  )  b a   (t )  b với t [ ;  ] Khi đó: b   f ( x) dx   f ( (t )) '(t )dt  a Một số phương pháp đổi biến: Nếu biểu thức dấu tích phân có dạng    a  x : đặt x | a | sin t ; t    ;   2 |a|    ; t    ;  \ {0} x  a : đặt x  sin t  2    x  a : x | a | tan t; t    ;   2 ax ax ax : đặt x  a.cos 2t ax Lưu ý: Chỉ nên sử dụng phép đặt dấu hiệu 1, 2, với x mũ chẵn Ví dụ, để tính tích phân I  biến dạng  x dx x2  phải đổi biến dạng cịn với tích phân I   x3 dx x2  nên đổi Câu 114 Khi tính I    x dx, phép đặt x  sin t , A   1  cos 2t dt  B  1  cos 2t dt 2 D  cos tdt C  cos tdt 0 Hướng dẫn giải Chọn A Đặt x  2sin t  dx  cos tdt Đổi cận x 0t 0  x  2t    0 Khi I    4sin t 2costdt   cos tdt Câu 115 Biết   x dx  1 A 2  a Khi a bằng: B Chọn C Đặt x  2sin t  dx  cos tdt Khi :  1   2t  sin 2t      C Hướng dẫn giải  x dx   D   4cos t cos t dt   4cos   tdt      cos 2t  dt  2  3 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 248 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 116 Cho tích phân I   A 1  x2 B Cho tích phân I   Ta có: 1  x2 Tích Phân Ứng Dụng dx  a ,a b số hữu tỉ Giá trị a là: Hướng dẫn giải C D dx  a Giá trị a là:    Đặt x  sin t , t    ;   dx  cos tdt  2 x   t   Đổi cận   x t      I   dt   a 6 Chọn D Câu 117 Giá trị  a a  x dx   a, b   phân số tối giản Tính giá trị b b biểu thức T  ab A T  35 B T  24 Chọn D C T  12 Hướng dẫn giải D T  36 Đặt x  3sin t  dx  3cos tdt Đổi cận: x   t  0; x   t   2    I     3sin t  3cos tdt =  9cos tdt   Câu 118 Đổi biến x  2sin t tích phân dx   x2 A    cos 2t dt   Vậy T  9.4  36 trở thành   dt t Hướng dẫn giải B  tdt  tdt  C Chọn D D  dt  x   t  Đặt x  2sin t , dx  2cos tdt Đổi cận   x  1 t   I  dx  x2   cos t  4sin t  dt   2cos t 4cos t  dt    2cos t dt   dt 2cos t File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 249 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A a b Câu 119 Biết  dx  x  6x  Tổng a  b A B  a , b số nguyên dương  a  b  C Hướng dẫn giải Chọn D Ta có a b  x2  6x  dx  Tích Phân Ứng Dụng a b    x  3 D dx    Đặt x   2sin t , t    ;  , dx  2cos tdt  2  a  b 3 Đổi cận x   t  , x  a  b  t  arcsin  m m m  cos t m  t d t  d t   m   4sin t  6  6   a b 3  a b 3   arcsin  a  b      6 2 Do a  , b  , a  b  Theo đề ta có m  Câu 120 Tích phân I    x  1  x dx có giá trị là: A I    Tích phân I   I     C I   8 Hướng dẫn giải  x  1  x dx D I    có giá trị là: Ta có: B I  3  x  1  x dx   3  x  xdx     x   dx 5    Đặt x   sin t , t    ;   dx  cos tdt  2    x   t  Đổi cận   x   t    I  Chọn C   6  cos 2t  sin t cos tdt   cos tdt   dt    Câu 121 Tích phân I    4x  x  x2  1 2   x  sin 2t     2  dx có giá trị là: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 250 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 7  8 7 C I   8 7  8 7 D I    Hướng dẫn giải A I  Tích phân I   Tích Phân Ứng Dụng B I   4x dx có giá trị là:  x  x2 Ta có:   3x  x  '   x  x     x  1  4x I   2x  x2 Xét I1   dx    x  x2    2x  2x  x2 dx     x  1 dx    2x  x2 dx   2  2x  2x  x2 dx dx    Đặt x   2sin t , t    ;   dx  cos tdt  2   x   t   Đổi cận   x   t  0  I1  14cos t    Xét I    4sin t dt  7 2  2x dx  2x  x2 Đặt t   x  x  dt    x  dx x   t  Đổi cận  x   t  4  1  I2   dt   t    t  3 7 I  I1  I   8 Chọn C Câu 122 Tích phân I  5 A I    1 4x   x  x2 dx có giá trị là: B I  Tích phân I   4x   x  x2  5 C I   Hướng dẫn giải 5 D I   5 dx có giá trị là: Cách 1: Ta có:   x  x  '   x x      x  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 251 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 7 4x  I   x  x2 Xét I1   dx    x  x2 5  4x  x dx   dx     x  2 2   2x  x  x2 Tích Phân Ứng Dụng dx dx    Đặt x   3sin t , t    ;   dx  3cos tdt  2    x   t  Đổi cận   x   t      I1  5.3cos t    Xét I   2  9sin t dt    2x  x  x2 5 dx Đặt t   x  x  dt   x 27  x   t   Đổi cận   I2  27 x   t   5 I Chọn A Cách 2: Dùng máy tính cầm tay Câu 123 Cho I    x  x dc  a  b với a, b  R Giá trị a  b gần với A 10 Hướng dẫn giải B C D Đáp án: C Cũng câu 25, câu 26 câu tích phân địi hỏi khả biến đổi thí sinh Đối với câu này, sử dụng phương pháp đưa lượng giác    Đặt x  sin t , t    ;  I viết lại  2   0 I    2sin t cos t cos tdt     0    sin t cos tdt   cos2 tdt   cos t  sin t   cos tdt   (cos t  sin t ) cos tdt   1 sin 2td (2t )   (cos 2t  1)d (2t )  40 40 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 252 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A cos 2t I  sin 2t  2t    Tích Phân Ứng Dụng  1  12  1   0,175 12 Nhận xét: Hai toán cách hướng đề để tránh tình trạng sử dụng máy tính Casio Thí sinh hiểu chất cách làm thực không gặp khó khăn nhiều giải tốn 1 Câu 124 Tích phân I   dx có giá trị là: x 1 Suy A I   B I  Tích phân I   Ta có: I   dx có giá trị là: x 1 C I  Hướng dẫn giải  D I   dx Ta dùng đổi biến số x 1    dt Đặt x  tan t , t    ;   dx  cos2 t  2 x   t   Đổi cận    x   t     I   dt  t 04   Chọn C Câu 125 Cho hàm số f  x  liên tục  thỏa mãn f  tan x   cos4 x , x   Tính I   f  x  dx A  2 B Chọn A Đặt t  tan x Ta có 1 0 I   f  x  dx   2 Hướng dẫn giải C D  1   tan x   t  cos x   f t   2 2 cos x 1  t  1  t  2 1  x  dx     Đặt x  tan u ,   x    dx  1  tan u  du ; đổi cận: x   u  ; x   u  2    tan u    1 1  2 I  du  d u  cos u d u  u  sin u    0  2 cos2 u 0 2 0 1  tan u     cos u  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 253 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Ứng Dụng Câu 126 Cho hàm số f liên tục đoạn  6;5 , có đồ thị gồm hai đoạn thẳng nửa đường trịn hình vẽ Tính giá trị I    f  x   2 dx 6 y 4 6 Chọn D 1   x  2 2 x   f  x   1   x   x  2  x  x   I x O 1 B I  2  34 C I  2  33 Hướng dẫn giải A I  2  35 Ta có 5 6 6 D I  2  32   f  x   2 dx   f  x  dx   dx 6 2 1 1  2    x   dx     x dx    x   dx  22 3  6  2 2   2 x 1  1   x  x   J   x    22  J  28 32 4  6 3 Tính J   1    x2 dx 2 Đặt x  sin t  d x  cos t d t Đổi cận: Khi x  t   J  1  2    ; x  t  2    x dx    cos tdt    1  cos 2t  dt   2 Vậy I  32      Câu 127 Khi đổi biến x  tan t , tích phân I    A I   3dt  B I    dx trở thành tích phân nào? x 3  dt C I   3tdt Hướng dẫn giải  D I   dt t Chọn B Đặt x  tan t  dx  1  tan t  dt Khi x  t  ; Khi x  t   File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 254 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A  Tích Phân Ứng Dụng  6 1  tan t  dx   Ta có I   dt d t  x  3 1  tan t  0 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 255 ... Quan A Tích Phân Ứng Dụng MỤC LỤC 1. 1 NGUYÊN HÀM ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ NG.H CƠ BẢN 1. 2 NGUYÊN HÀM ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ NG.H CƠ BẢN NGUYÊN HÀM ĐỔI BIẾN NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN TÍCH PHÂN ĐỊNH... TÍNH CHẤT VÀ TP CƠ BẢN TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN GTLN, GTNN – BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN 8 .1 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ÁP DỤNG TÍNH CHẤT 8.2 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ÁP DỤNG ĐỔI BIẾN 8.3 TÍCH PHÂN HÀM... x ? ?1 x ? ?1 3  2x  C C Chọn D x(2  x) ( x  1) x2  x ? ?1 x2  x  C x ? ?1 x ? ?1 Hướng dẫn giải 1 ? ?1 ? ?1 x  2x   1 1  x  x ? ?1  x2  2x  Ta có:     2  x  1? ??  x  1? ??  x ? ?1 