NGUYÊN hàm TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG NÂNG CAO ĐÔNG NQA

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Ngun Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng NGUYÊN HÀM NÂNG CAO A – LÝ THUYẾT CHUNG Định nghĩa Cho hàm số y  f  x  xác định tập K (khoảng, nửa khoảng, đoạn R) Nếu Ta có hàm số F  x  xác định K cho F '  x   f  x  F  x  gọi nguyên hàm hàm số f  x  K Định lí Nếu F  x  nguyên hàm hàm số f  x  K với số C, hàm số G  x   F  x   C nguyên hàm hàm số f  x  K Định lí Nếu F  x  nguyên hàm hàm số f  x  K nguyên hàm f  x  K có dạng G  x   F  x   C với C số Định lí Mọi hàm số f  x  liên tục K có nguyên hàm K Tính chất:  f '  x  dx  f  x   C với C số  kf  x  dx  k  f  x  dx với k số khác   f  x   g  x  f  x  dx   f  x  dx   g  x  dx Bảng nguyên hàm Chú ý: công thức tính vi phân f  x  d  f  x    f '  x  dx Nguyên hàm Nguyên hàm hàm hợp  0dx  C  0du  C  dx  x  C x  dx   1 x  C   1  1  x dx  ln x  C  e dx  e  C x x ax C ln a  cos xdx  sin x  C  du  u  C u  du   1 u  C   1  1  u du  ln u  C  e du  e  C u u au C ln a  cos udu  sin u  C x  a dx  u  a dx   sin xdx   cos x  C  sin udu   cosu  C  cos x  sin x dx  tan x  C  cos dx   cot x  C  sin u u du  tan u  C du   cot u  C File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Ngun Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Tìm giá trị thực a để F  x   B a  A a  Câu 2: 4x   x  1 3 C a  ax  2x 1 D a   nguyên hàm hàm số A a  B a  F  x   e x  m sin x  n cos x  Biết f  x   e x  2sin x  3cos x  A S   Câu 4: Tìm giá trị thực a để F  x   f  x  Câu 3: ax  1 nguyên hàm hàm số f  x   x 5  x  5 C a   D a  5 nguyên hàm hàm số Tính S  m  n B S   D S  C S  Tìm giá trị thực m để F  x   mx  x  3x  nguyên hàm hàm số f  x   x2  x  B m  A m  1 Câu 5: F  x    ax  bx  c  e x Biết hàm số Tính S  a  2b  3c A S  Câu 6: B S  D m   C m  nguyên hàm hàm số f  x    x  x  3 e x C S  10 D S  Cho F  x    ax  bx  c  x  nguyên hàm hàm số f  x   10 x  x  2x 1 1  khoảng  ;   Tính S  a  b  c 2  A S  Câu 7: B S  Cho F  x    ax  bx  c  C S  6 D S  2 20 x  30 x  x  nguyên hàm hàm số f  x   2x  3  khoảng  ;   Tính P  abc 2  A P  Câu 8: B P  C P  D P   2x Cho F ( x)  x nguyên hàm hàm số f ( x)e Tìm nguyên hàm hàm số f ( x)e2 x A  f ( x)e 2x dx   x  x  C B  f ( x)e 2x dx   x  x  C File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A C Câu 9:  f ( x)e 2x dx  x  x  C D Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng  f ( x)e 2x dx  2 x  x  C x 2x Cho F ( x)  ( x  1)e nguyên hàm hàm số f ( x)e Tìm nguyên hàm hàm số f ( x)e2 x A  f ( x)e 2x dx  (4  x) e x  C B  f ( x)e C  f ( x)e 2x dx  (2  x )e x  C D  f ( x)e Câu 10: Cho F ( x)   f ( x) ln x 2x dx  2x 2 x x e C dx  ( x  2)e x  C f ( x) nguyên hàm hàm số Tìm nguyên hàm hàm số 3x x A  f ( x) ln xdx  ln x  C x3 x5 B  f ( x) ln xdx  C  f ( x) ln xdx  ln x  C x3 x D  f ( x) ln xdx   Câu 11: Cho F ( x)  f ( x) ln x ln x  C x3 x ln x  C x3 x3 f ( x) nguyên hàm hàm số Tìm nguyên hàm hàm số 2x x   ln x  C 2x  x B  f ( x) ln xdx  ln x  C x2 x2  ln x   C x x2  D  f ( x) ln xdx  ln x  C x 2x A  f ( x) ln xdx    C  f ( x) ln xdx    Câu 12: Hàm số nguyên hàm hàm số f  x     1  x2 khoảng  ;   ?   A F  x   ln x   x  C B F  x   ln   x2  C C F  x    x  C D F  x   Câu 13: Cho F(x) nguyên hàm f  x       F   F   ? Tính   A 5 B 1 2x  x2 C   , biết F    , F    4 cos x  a cos x tan x C 3 D 5 cos x Câu 14: Biết   cos x  sin x  sin xdx    C Với a số nguyên Tìm a? a A a  B a  12 C a  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D a  14 Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 15: Biết sin x  cos x  sin x  cos x dx  a ln sin x  cos x  C Với a số nguyên Tìm a? A a  B a  Câu 16: Tìm nguyên hàm của:  A Câu 17:  cos x B F  x   x  ln 2sin x  cos x A sin x  cos x sin x  3cos x Câu 18: Biết   25x B  2x  2x   tan  1   biết nguyên hàm x   sin x C tan x   D cot x  nguyên hàm của: sin x  2cos x 2sin x  cos x B S    sin x  cos x  C sin x  cos x sin x  3cos x D 3sin x  cos x 2sin x  cos x C a  D a  25 C S  D S  a dx  x  cos x  C , với a, b cá số nguyên Tính S = a + b? b B S  C S  D S  x   cos x dx  a.tan b  C , với a, b cá số nguyên Tính S = a + b? A S  Câu 22: Biết x D a  a 1 x dx  ln x   C , với a, b cá số nguyên Tính S = a + b?  5x  b A S  Câu 21: Biết tan B a  100 A S  Câu 20: Biết C a  1 dx    C Với a số nguyên Tìm a?  20 x   a 5 x  2 A a  Câu 19: Biết Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng B S  a  C S  D S     sin x dx  b tan  x    C , với a, b cá số nguyên Tính S = a + b? A S  B S  C S  D S  ln  x  3 c  Câu 23: Biết F  x   a ln x   b   ln  x  3 nguyên hàm hàm số f  x   Tính x x2  S  a b c A S  1 B S  C S  D S   3    F  x f  x F  0  Câu 24: Cho f  x   8sin  x   Một nguyên hàm thỏa là:  12    A x  2sin  x    6    B x  2sin  x    6  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A   C x  2sin  x    6  Câu 25: Cho f  x  1 x Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng   D x  2sin  x    6  Một nguyên hàm F  x f  x thỏa F 1  là: A x  x    x  B  x    x2   x  C1 x  C   x  x  C x    x  x  C1 x   D  x2   C2 x  x   Câu 26: Biết F ( x) nguyên hàm  x2  8x  x 1  x  2 x2  x  2 x2  C2 x  1 dx với  x  F    26 Giá trị nhỏ 2 F ( x) là: A 24 Câu 27: Khi tính nguyên hàm B 20  C 25  x  1 x  1 dx người ta đặt t  g  x  (một hàm biểu diễn theo biến x) nguyên hàm trở thành  2dt Biết g    A 3 B 1 Câu 28: Cho F  x  nguyên hàm hàm số f  x   phương trình 3F  x   ln  x3  3  là: A S  2 B S  2; 2 D 26 C , giá trị g  0  g 1 là: 2 D 23 1 F     ln Tập nghiệm S e 3 x C S  1; 2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D S  2;1 Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Ngun Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng C – HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: Tìm giá trị thực a để F  x   B a  A a  ax  1 nguyên hàm hàm số f  x   x 5  x  5 C a  D a   Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có F   x   f  x   Câu 2: 5a   x  5   x  5 2  5a    a   Tìm giá trị thực a để F  x   f  x  4x   x  1 A a  ax  2x 1 nguyên hàm hàm số B a  C a   D a  5 Hướng dẫn giải: Chọn A Ta có F   x   F x  f  x  Câu 3: ax  x   ax  a  2x 1  x  1 a 2x 1  ax  a   x  1  4x   x  1 a   ax  a   x     a  a   F  x   e x  m sin x  n cos x  Biết x f  x   e  2sin x  3cos x  Tính S  m  n A S   B S   nguyên hàm C S  D S  hàm số Hướng dẫn giải: Chọn B Ta có F   x   e x  m sin x  n cos x   e x  m cos x  n sin x   e x   m  n  sin x   m  n  cos x  F   x   f  x   e x   m  n  sin x   m  n  cos x   e x  2sin x  3cos x    m  n  sin x   m  n  cos x  2sin x  3cos x File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Ngun Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng  m  m  n     S  3  m  n  3 n    Câu 4: Tìm giá trị thực m để F  x   mx  x  3x  nguyên hàm hàm số f  x   x2  x  B m  A m  1 C m  D m   Hướng dẫn giải: Chọn D F   x   f  x   3mx  x    x2  x   m   Câu 5: F  x    ax  bx  c  e x f  x    x  x  3 e x nguyên hàm hàm số Biết hàm số Tính S  a  2b  3c A S  B S  C S  10 D S  Hướng dẫn giải: Chọn B F   x   f  x   e x  ax  bx  c    2ax  b  e x  e x  x  x  3  ax   b  2a  x  b  c  x  x  a  a      2a  b   b   S  10 b  c  c    Câu 6: Cho F  x    ax  bx  c  x  nguyên hàm hàm số f  x   10 x  x  2x 1 1  khoảng  ;   Tính S  a  b  c 2  A S  B S  C S  6 D S  2 Hướng dẫn giải: Chọn D F   x   f  x    2ax  b  x    ax  bx  c  2ax  b  x  1  ax  bx  c 10 x  x     2x 1 10 x  x   2x 1 2x 1 2x 1  5ax   3b  2a  x  c  b  10 x  x  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 5a  10 a     3a  2b  7  b  1  S  2 c  b    c  3   Câu 7: Cho F  x    ax  bx  c  20 x  30 x  x  nguyên hàm hàm số f  x   2x  3  khoảng  ;   Tính P  abc 2  A P  B P  C P  D P   Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có F   x    2ax  b  x    ax  bx  c  5ax   3b  6a  x  c  3b  2x  2x  F   x   f  x   5ax   3b  6a  x  c  3b  20 x  30 x  5a  20 a     3b  6a  30  b  2  S  8 c  3b  c    Câu 8: 2x Cho F ( x)  x nguyên hàm hàm số f ( x)e Tìm nguyên hàm hàm số f ( x)e2 x A  f ( x)e 2x dx   x  x  C B  f ( x)e C  f ( x)e 2x dx  x  x  C D  f ( x)e 2x dx   x  x  C 2x dx  2 x  x  C Hướng dẫn giải: Từ giả thiết  F '  x   f  x  e2 x   x  '  f  x  e x  x  f  x  e x (1) Đặt A   f '  x  e x dx Đặt u  e 2x  du  2e x dx ,dv=f’(x)dx chọn v=f(x)  A  e x f  x   2 f  x  e x dx  x  F  x   C  2 x  x  C Chọn D Câu 9: x 2x Cho F ( x)  ( x  1)e nguyên hàm hàm số f ( x)e Tìm nguyên hàm hàm số f ( x)e2 x A  f ( x)e 2x dx  (4  x) e x  C B  f ( x)e C  f ( x)e 2x dx  (2  x )e x  C D  f ( x)e 2x dx  2x 2 x x e C dx  ( x  2)e x  C Hướng dẫn giải: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Từ giả thiết  F '  x   f  x  e x   x  1 e x   f  x  e x /  x.e x  f  x  e x  f  x   Đặt A   f '  x  e x dx   / 1 x x.e x x  x  x  f '  x    x    x 2x e e e e  1 x 2x e dx   1  x  e x dx ex u   x  du  dx Đặt   A  1  x  e x   e x dx  1  x  e x  e x  C  e x   x   C x x dv  e dx choïn v  e Chọn C Câu 10: Cho F ( x)   f ( x) ln x f ( x) nguyên hàm hàm số Tìm nguyên hàm hàm số 3x x A  f ( x) ln xdx  ln x  C x3 x5 B  f ( x) ln xdx  ln x  C x3 x C  f ( x) ln xdx  ln x  C x3 x D  f ( x) ln xdx   ln x  C x3 x3 Hướng dẫn giải: Từ giả thiết  F '  x    f '  x   3 f  x x f  x f  x 1          f  x  x x x x  3x  / x4 Đặt A   f '  x  ln x.dx   3ln x ln x dx  3 dx x x  u  ln x  3du  x dx 1   ln x Đặt   A  3   ln x   dx     C x 3x  3x  x dv  dx choïn v    x 3x Chọn C Câu 11: Cho F ( x)  f ( x) ln x f ( x) nguyên hàm hàm số Tìm nguyên hàm hàm số 2x x   ln x  C x 2x  B  f ( x) ln xdx  ln x  C x2 x2  ln x   C x x2  D  f ( x) ln xdx  ln x  C x 2x A  f ( x) ln xdx    C  f ( x) ln xdx    Hướng dẫn giải: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A 132 (dm3) B 41 (dm3) C Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 100  (dm3) D 43 (dm3) Hướng dẫn giải: Đặt hệ trục với tâm O, tâm mặt cầu; đường thẳng đứng Ox, đường ngang Oy; đường tròn lớn có phương trình x  y  25 3dm 5dm Thể tích hình giới hạn Ox, đường cong 3dm y  25  x , x  3, x  3 quay quanh Ox V    (25  x ) dx = 132 (bấm máy) 3 Chọn A Câu 42: Từ khúc gõ hình trụ có đường kính 30cm, người ta cắt khúc gỗ mặt phẳng qua đường kính đáy nghiêng với đáy góc 450 để lấy hình nêm (xem hình minh họa đây) Hình Hình Kí hiệuV thể tích hình nêm (Hình 2) Tính V   A V  2250 cm B V  225 cm     C V  1250 cm  D V  1350 cm  Hướng dẫn giải Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ.Khi hình nêm có đáy File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 178 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng nửa hình trịn có phương trình: y  225  x , x   15;15  Một mặt phẳng cắt vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x , x   15;15    cắt hình nêm theo thiết diện có diện tích S x (xem hình) Dễ thấy NP  y MN  NP t an 450  y  15  x     1 S x  MN NP  225  x suy thể tích hình nêm là: V  2 15     15  S x dx 15  225  x dx  2250 cm  15 Chọn A Câu 43: Người ta dựng lều vải  H  có dạng hình “chóp lục giác cong đều” hình vẽ bên Đáy  H  hình lục giác cạnh m Chiều cao SO  m ( SO vng góc với mặt phẳng đáy) Các cạnh bên  H  sợi dây c1 , c2 , c3 , c4 , c5 , c6 nằm đường parabol có trục đối xứng song song với SO Giả sử giao tuyến (nếu có)  H  với mặt phẳng  P  vuông góc với SO lục giác  P  qua trung điểm SO lục giác có cạnh m Tính thể tích phần không gian nằm bên lều  H  S c6 1m c1 c2 c3 c5 c4 O 3m A 135 ( m3 ) B 96 ( m3 ) C 135 ( m3 ) D 135 ( m3 ) Hướng dẫn giải File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 179 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Đặt hệ trục tọa độ hình vẽ, ta có parabol cần tìm qua điểm có tọa độ A  0;6  , B 1;3 , C  3;0  nên có phương trình y  x  x  2 Theo hình vẽ ta có cạnh “thiết diện lục giác”  2t  (chú ý ta phải lấy giá trị có dấu “  ” trước dấu cho B chạy từ C đến A ) BM Nếu ta đặt t  OM BM  Khi đó, diện tích “thiết diện lục giác” BM 3  1 S  t      2t   với 2 4 t   0;6 Vậy thể tích “túp lều” theo đề là: 37 1 135 V   S  t  dt     2t   dt   2 4 0 6 Chọn D Câu 44: Một vật có kích thước hình dáng hình vẽ Đáy hình tròn bán kinh cắt vật mặt phẳng vng góc với trục Ox ta thiết diện tam giác Thể tích vật thể là: A V  256 B V  64 C V  256 D V  32 Hướng dẫn giải File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 180 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ngun Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Chọn tâm đường trịn làm gốc Diện tích thiết diện S  2 2 2 AB  3(4  x ) V   S ( x)dx   (4  x )dx  32 Chọn D Câu 45: Một người có mảnh đất hình trịn có bán kính 5m, người tính trồng mảnh đất đó, biết mét vng trồng thu hoạch giá 100 nghìn Tuy nhiên cần có khoảng trống để dựng chồi đồ dùng nên người căng sợi dây 6m cho đầu mút dây nằm đường tròn xung quanh mảnh đất Hỏi người thu hoạch tiền (tính theo đơn vị nghìn bỏ phần số thập phân) .A 3722 B 7445 C 7446 D 3723 Hướng dẫn giải Đặt hệ trục tọa độ 4349582 hình vẽ Phương trình đường trịn miếng đất x  y  25 Diện tích cần tính lần diện tích phần tơ đậm phía Phần tơ đậm giới hạn đường cong có phương trình y  25  x , trục Ox; x  5; x  (trong giá trị có dựa vào bán kính độ dài dây cung 6) Vậy diện tích cần tính S   25  x dx  74, 45228 5 Chọn B File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 181 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Ngun Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Câu 46: Trong Cơng viên Tốn học có mảnh đất mang hình dáng khác Mỗi mảnh trồng lồi hoa tạo thành đường cong đẹp tốn học Ở có mảnh đất mang tên Bernoulli, tạo thành từ đường Lemmiscate có phương trình hệ tọa độ Oxy 16 y  x  25  x  hình vẽ bên y x Tính diện tích S mảnh đất Bernoulli biết đơn vị hệ tọa độ Oxy tương ứng với chiều dài mét A S  125 m2   B S  125 m2   C S  250 m  D S  125 m2   Hướng dẫn giải Chọn D Vì tính đối xứng trụ nên diện tích mảnh đất tương ứng với lần diện tích mảnh đất thuộc góc phần tư thứ hệ trục tọa độ Oxy Từ giả thuyết tốn, ta có y   x  x Góc phần tư thứ y  Nên S ( I )  x 25  x ; x  0;5 125 125 (m ) x 25  x dx  S  40 12 hình trụ có bán kính a , hai trục hình trụ vng góc với Xem hình vẽ bên Tính thể tích  H  Câu 47: Gọi  H  phần giao hai khối A V H   2a B V H   3a C V H   a3 D V H    a3 Hướng dẫn giải File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 182 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Chọn A Ta gọi trục tọa độ Oxyz hình vẽ Khi phần giao  H  vật thể có đáy phần tư hình trịn tâm O bán kính a , thiết diện mặt phẳng vng góc với trục Ox hình vng có diện tích S  x   a  x2 a a 0 Thể tích khối  H   S  x  dx    a  x dx  2a Câu 48: Một khối cầu có bán kính  dm  , người ta cắt bỏ hai phần khối cầu hai mặt phẳng song song vng góc đường kính cách tâm khoảng  dm  để làm lu đựng nước (như hình vẽ) Tính thể tích mà lu chứa A 100   dm  C 41  dm  B 43   dm3  D 132  dm  Hướng dẫn giải Chọn D Cách 1: Trên hệ trục tọa độ Oxy , xét đường tròn (C ) : ( x  5)  y  25 Ta thấy cho nửa trục Ox  C  quay quanh trục Ox ta mặt cầu bán kính Nếu cho hình phẳng  H  giới hạn nửa trục Ox  C  , trục Ox , hai đường thẳng x  0, x  quay xung quanh trục Ox ta khối tròn xoay phần cắt khối cầu đề File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 183 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ngun Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Ta có ( x  5)  y  25  y   25  ( x  5)  Nửa trục Ox  C  có phương trình y  25  ( x  5)  10 x  x  Thể tích vật thể trịn xoay cho  H  quay quanh Ox là:  x3  52 V1    10 x  x  dx    x    0  2 500 Thể tích khối cầu là: V2   53  3 Thể tích cần tìm: V  V2  2V1  500 52   132  dm3  3 Câu 49: Một chng có dạng hình vẽ Giả sử cắt chuông mặt phẳng qua trục chng, thiết diện có đường viền phần parabol ( hình vẽ ) Biết chng cao 4m, bán kính miệng chng 2 Tính thể tích chng? A 6 B 12 C 2 D 16 Hướng dẫn giải Xét hệ trục hình vẽ, dễ thấy parabol qua ba    điểm  0;0  , 4; 2 , 4; 2 nên có phương trình y2 Thể tích chng thể tích khối trịn xoay tạo hình phẳng y  x, x  0, x  quay quanh trục Ox Do x Ta có V    xdx   x   16 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 184 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Câu 50: Một mảnh vườn hình trịn tâm O bán kính 6m Người ta cần trồng dải đất rộng 6m nhận O làm tâm đối xứng, biết kinh phí trồng 70000 đồng / m Hỏi cần tiền để trồng dải đất (số tiền làm tròn đến hàng đơn vị) A 8412322 đồng B 8142232 đồng C 4821232 đồng D 4821322 đồng Hướng dẫn giải Xét hệ trục tọa độ oxy đặt vào tâm khu vườn, phương trình đường trịn tâm O x  y  36 Khi phần nửa cung trịn phía trục Ox có phương trình y  36  x  f ( x ) Khi diện tích S mảnh đất lần diện tích hình phẳng giới hạn trục hoành, đồ thị y  f ( x ) hai đường thẳng x  3; x  3  S   36  x dx 3 Đặt x  6sin t  dx  6cos tdt Đổi cận: x  3  t           ; x  3t  6   S   36cos2tdt  36  (c os2t+1) dt  18(sin t  t)  18  12   Do số tiền cần dùng 70000.S  4821322 đồng Câu 51: Cho vật thể gỗ có dạng khối trụ với bán kính đáy R Cắt khối trụ mặt phẳng có giao tuyến với đáy đường kính đáy tạo với đáy góc 450 Thể tích khối gỗ bé là: A V  2R3 B V   R3 C V  R3 D V   R3 Hướng dẫn giải File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 185 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng O y x R2  x2 R2  x2 Chọn hệ trục Oxy hình vẽ Cắt khối gỗ bé mặt phẳng vng góc với Ox điểm R2  x2 có hồnh độ x ta thiết diện tam giác vng có diện tích A( x )  Vậy thể tích khối gỗ bé bằng: V  2R3 2 R  x   R R Chọn A Câu 52: Vòm cửa lớn trung tâm văn hố có dạng hình Parabol Người ta dự định lắp cửa kính cường lực cho vịm cửa Hãy tính diện tích mặt kính cần lắp vào biết vịm cửa cao 8m rộng 8m (như hình vẽ) A 28 (m ) B 26 (m ) C 128 (m ) D 131 (m ) Hướng dẫn giải: Đáp án đúng: C Các phương án nhiễu: A HS tính tích phân sai S   dx  28 (m )  dx  26 (m ) )  2x 4 B HS tính tích phân sai S   2x 4 131 (m ) D HS nhầm a =  , b= 8, c = => S    x  x dx  2 4 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 186 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Ngun Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Câu 53: Một khn viên dạng nửa hình trịn có đường kính (m) Trên người thiết kế hai phần để trồng hoa có dạng cánh hoa hình parabol có đỉnh trùng với tâm nửa hình trịn hai đầu mút cánh hoa nằm nửa đường trịn (phần tơ màu), cách khoảng (m), phần lại khuôn viên (phần không tô màu) dành để trồng cỏ Nhật Bản Biết kích thước cho hình vẽ kinh phí để trồng cỏ Nhật Bản 100.000 đồng/m2 Hỏi cần tiền để trồng cỏ Nhật Bản phần đất đó? (Số tiền làm trịn đến hàng nghìn) 4m 4m A 3.895.000 (đồng) (đồng) 4m B 1.948.000 (đồng) C 2.388.000 (đồng) D 1.194.000 Hướng dẫn giải: Chọn B Đặt hệ trục tọa độ hình vẽ Khi phương trình nửa đường trịn y  R2  x2  2   x  20  x Phương trình parabol  P  có đỉnh gốc O có dạng y  ax Mặt khác  P  qua điểm M  2;4  đó:  a  2   a  Phần diện tích hình phẳng giới hạn  P  nửa đường trịn.( phần tơ màu) Ta có cơng thức S1   2  20  x  x dx  11,94m2 Vậy phần diện tích trồng cỏ Strongco  S  S1  19, 47592654 hinhtron Vậy số tiền cần có Strongxo  100000  1.948.000 (đồng).đồng Câu 54: Một công ty quảng cáo X muốn làm tranh trang trí hình MNEIF A tường hình chữ nhật ABCD có chiều cao BC  m , chiều dài CD  12 m (hình vẽ bên) Cho biết MNEF hình chữ nhật có MN  m ; cung EIF có hình dạng phần cung parabol có đỉnh I trung điểm 12 m I F M File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com D 4m Facebook: https://www.facebook.com/dongpay B E 6m N Trang 187 C ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng cạnh AB qua hai điểm C , D Kinh phí làm tranh 900.000 đồng/ m Hỏi công ty X cần tiền để làm tranh đó? A 20.400.000 đồng đồng B 20.600.000 đồng C 20.800.000 đồng D 21.200.000 Câu 55: Một sân chơi cho trẻ em hình chữ nhật có chiều dài 100 chiều rộng 60m người ta làm đường nằm sân (như hình vẽ) Biết viền ngồi viền đường hai đường elip, Elip đường viền ngồi có trục lớn trục bé song song với cạnh hình chữ nhật chiều rộng mặt đường 2m Kinh phí cho m làm đường 600.000 đồng Tính tổng số tiền làm đường (Số tiền làm trịn đến hàng nghìn) 100m 2m 60m A 293904000 B 283904000 C 293804000 D 283604000 Hướng dẫn giải: Chọn A Xét hệ trục tọa độ Oxy đặt gốc tọa độ O vào tâm hình Elip Phương trình Elip đường viền đường  E1  :  E1  x2 nằm phía trục hồnh có phương trình y  30   f1  x  50 Phương trình Elip đường viền đường  E2  :  E2  x2 y2   Phần đồ thị 502 30 x2 y2   Phần đồ thị 482 282 x2 nằm phía trục hồnh có phương trình y  28   f  x  48 Gọi S1 diện tích  E1  hai lần diện tích phần hình phẳng giới hạn trục hồnh đồ thị hàm số y  f1  x  Gọi S2 diện tích  E2  hai lần diện tích phần hình phẳng giới hạn trục hoành đồ thị hàm số y  f  x  Gọi S diện tích đường Khi File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 188 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A 50 Ngun Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 48 x2 x2 S  S1  S2   30  dx   28  dx 50 48 50 48 a Tính tích phân I   b  a x2 dx,  a, b     a2    Đặt x  a sin t ,    t    dx  a cos tdt 2  Đổi cận x   a  t     ;x  a  t  2    Khi I   b  sin t a cos t dt  2ab  cos t dt  ab  1  cos 2t  dt         sin 2t   ab  t    ab    Do S  S1  S2  50.30  48.28  156 Vậy tổng số tiền làm đường 600000.S  600000.156  294053000 (đồng) Câu 56: Có vật thể hình trịn xoay có dạng giống ly hình vẽ Người ta đo đường kính miệng ly 4cm chiều cao 6cm Biết thiết diện ly cắt mặt phẳng đối xứng parabol cm Tính thể tích V  cm  vật thể cho A B O A V  12 B V  12 C V  72  D V  72 cm Hướng dẫn giải: Chọn A Chọn gốc tọa độ O trùng với đỉnh I parabol  P  Vì I parabol  P  qua điểm A  2;6  , B  2;6 I  0;0  nên parabol  P  có phương trình y x File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 189 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng 2 x  x  y Khi thể tích vật thể cho 2  V     y  dy  12  cm   03 Ta có y  Câu 57: Trong mặt phẳng tọa độ, cho hình chữ nhật  H  có cạnh nằm trục hồnh, có hai   đỉnh đường chéo A  1;0  B a; a , với a  Biết đồ thị hàm số y  x chia hình  H  thành hai phần có diện tích nhau, tìm a A a  B a  C a  D a  Hướng dẫn giải: Chọn D  Gọi ACBD hình chữ nhật với AC nằm trục Ox , A  1;0  B a; a  Nhận thấy đồ thị hàm số y  x cắt trục hồnh điểm có hồnh độ qua   B a; a Do chia hình chữ nhật ACBD làm phần có diện tích S1 , S2 Gọi S2 diện tích hình phẳng giới hạn đường y  x trục Ox , x  0, x  a S1 diện tích phần cịn lại Ta tính S1 , S2 a Tính diện tích S   x dx Đặt t  x  t  x  2tdt  dx ; Khi x   t  0; x  a  t  a a Do S2   a  2t  2a a 2t dt      0 Hình chữ nhật ACBD có AC  a  1; AD  a nên S1  S ACBD  S2  a  a  1  2a a  a a a 3 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 190 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Do đồ thị hàm số y  x chia hình  H  thành hai phần có diện tích nên S1  S  2a a  a a  a  a a  a  a  (Do a  ) 3 Câu 58: Sân trường có bồn hoa hình trịn tâm O Một nhóm học sinh lớp 12 giao thiết kế bồn hoa, nhóm định chia bồn hoa thành bốn phần, hai đường parabol có đỉnh O đối xứng qua O Hai đường parabol cắt đường tròn bốn điểm A , B , C , D tạo thành hình vng có cạnh 4m (như hình vẽ) Phần diện tích S l , S2 dùng để trồng hoa, phần diện tích S3 , S4 dùng để trồng cỏ (Diện tích làm trịn đến chữ số thập phân thứ hai) Biết kinh phí trồng hoa 150.000 đồng /1m2, kinh phí để trồng cỏ 100.000 đồng/1m Hỏi nhà trường cần tiền để trồng bồn hoa đó? (Số tiền làm trịn đến hàng chục nghìn) A 6.060.000 đồng B 5.790.000 đồng C 3.270.000 đồng D 3.000.000 đồng Hướng dẫn giải: Chọn C Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Parabol có hàm số dạng y  ax  bx  c có đỉnh gốc tọa độ qua điểm B  2;  nên có phương trình y  x Đường trịn bồn hoa có tâm gốc tọa độ bán kính OB  2 nên có phương trình x  y  Do ta xét nhánh đường tròn nên ta chọn hàm số nhánh y   x2   Vậy diện tích phần S1     x  x  dx  2  y Do đó, diện tích trồng hoa   S1  S2     x  x  dx  15, 233  2  O Vậy tổng số tiền để trồng bồn hoa là:   15, 233  150.000   2  x   15, 233  100.000  3.274.924 đồng Làm trịn đến hàng chục nghìn nên ta có kết 3.270.000 đồng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 191 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 192 ... Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nguyên Hàm- Tích Phân- Ứng Dụng NGUYÊN HÀM NÂNG CAO A – LÝ THUYẾT CHUNG Định nghĩa Cho hàm số y  f  x  xác định tập K (khoảng, nửa khoảng, đoạn R) Nếu Ta có hàm. .. x  gọi nguyên hàm hàm số f  x  K Định lí Nếu F  x  nguyên hàm hàm số f  x  K với số C, hàm số G  x   F  x   C nguyên hàm hàm số f  x  K Định lí Nếu F  x  nguyên hàm hàm số f... Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ngun Hàm- Tích Phân- Ứng Dụng TÍCH PHÂN NÂNG CAO A – LÝ THUYẾT CHUNG Định nghĩa Cho hàm số y  f  x  thỏa: + Liên tục đoạn  a; b + F  x  nguyên hàm f 