VJE Tạp chí Giáo dục (2022), 22(2), 17-22 ISSN: 2354-0753 TỔ CHỨC DẠY HỌC MƠ HÌNH HĨA CHỦ ĐỀ “NGUN HÀM - TÍCH PHÂN” (GIẢI TÍCH 12) Ở TRUNG HỌC PHỔ THƠNG Nguyễn Danh Nam1,+, Trương Hồng Vinh2, Nguyễn Văn Hồng3 Article history Received: 15/11/2021 Accepted: 17/12/2021 Published: 20/01/2022 ABSTRACT In order to implement the fundamental and comprehensive renovation of education and training, it is required that general education shift from contentoriented approach to competency-oriented one One of the central issues of mathematics education is the modeling in mathematics education and its application in practice The article presents the process of organizing modelling teaching and learning with the topic “Primitives – integrals” using a specific example in oder to help students understand the nature of the primitives and integrals concepts and apply them to the real world This is an appropriate approach for Mathematics teachers in order to effectively implement the 2018 general education program, with a focus on innovating teaching and learning methods Keywords Modelling, mathematical modeling, primitives, integrals, high school Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên; Trường Đại học Cần Thơ; 3Sở GD-ĐT thành phố Cần Thơ + Tác giả liên hệ ● Email: danhnam.nguyen@tnu.edu.vn Mở đầu Chương trình giáo dục phổ thông nhiều nước giới xây dựng tiếp cận theo hướng hình thành cho học sinh (HS) kĩ kỉ XXI, chương trình sách giáo khoa mơn Tốn hệ thống đánh giá lực HS thiết kế dựa vào tình thực tiễn Chương trình mơn Tốn phổ thơng Singapore tập trung vào việc phát triển lực giải vấn đề thực tiễn cho HS, đề cập đến 05 thành phần cốt lõi: kĩ năng, khái niệm, trình, thái độ siêu nhận thức Đối với chương trình giáo dục phổ thông Hà Lan, Viện Freudenthal phát triển chương trình mơn Tốn tiếp cận theo hướng gắn với thực tiễn Để thực đổi bản, toàn diện GD-ĐT, địi hỏi giáo dục phổ thơng cần chuyển từ giáo dục theo hướng tiếp cận nội dung sang tiếp cận lực người học Một vấn đề trọng tâm giáo dục toán học đặt mơ hình hóa giáo dục tốn học ứng dụng vào thực tiễn Chương trình giáo dục phổ thơng mơn Tốn 2018 có mục tiêu phát triển số lực toán học cho HS như: lực tư lập luận toán học, lực mơ hình hóa tốn học (MHHTH), lực giải vấn đề toán học, lực giao tiếp toán học lực sử dụng công cụ, phương tiện học tốn (Bộ GD-ĐT, 2018) Thơng qua việc sử dụng mơ hình tốn học để mơ tả tình đặt toán thực tiễn, giải vấn đề tốn học, giúp HS khơng hiểu kiến thức toán học, thấy mối quan hệ tốn học với thực tiễn mà cịn hình thành phát triển lực mơ hình hóa cho em Do vậy, vấn đề mơ hình hóa gắn toán học với thực tiễn trọng chương trình sách giáo khoa Tuy nhiên, chương trình sách giáo khoa tài liệu tham khảo mơn Tốn thường tập trung làm rõ vấn đề, tốn nội mơn Tốn học Một số tập mơ hình hóa cịn mang tính hình thức, chưa khuyến khích HS tìm tịi, khám phá vấn đề theo đầy đủ bước trình mơ hình hóa, HS cịn gặp khó khăn việc vận dụng kiến thức toán học để giải tốn gắn với thực tiễn Bài báo trình bày quy trình dạy học mơ hình hóa chủ đề “Ngun hàm - Tích phân” minh họa thơng qua ví dụ, từ giúp HS hiểu rõ chất khái niệm nguyên hàm, tích phân ứng dụng vào trình giải vấn đề thực tiễn Kết nghiên cứu 2.1 Mơ hình mơ hình hóa tốn học Mơ hình mơ tả vật dùng thay mà qua ta thấy đặc điểm đặc trưng vật thể thực tiễn Theo nghiên cứu Freudenthal (1991), Blum Leiss (2006), Muller Burkhardt (2006), thơng qua mơ hình, thao tác khám phá thuộc tính đối tượng mà khơng cần đến vật thật Mơ hình hiểu đối tượng vật lí (ví dụ mơ hình hình khơng gian), mơ hình trí não, sử dụng nhiều ngữ cảnh học tập khác Theo Blum Niss (1991), mơ hình mẫu, đại diện, minh họa, thiết kế để mô tả cấu trúc hệ thống, cách vận hành vật, tượng thuộc hệ thống Từ cho thấy, mơ 17 VJE Tạp chí Giáo dục (2022), 22(2), 17-22 ISSN: 2354-0753 hình hệ thống thực, hình ảnh hay biểu diễn mô tả cấu trúc hệ thống góc nhìn trừu tượng hóa định Thơng qua mơ hình, ta tìm tịi khám phá thuộc tính sẵn có đối tượng mà khơng cần đến vật thật MHHTH q trình tốn học hóa, từ xuất mơ hình tốn học Người học vận dụng kiến thức vào giải tình thực tiễn, xây dựng thành mơ hình tốn học Có thể hiểu theo nghĩa rộng, MHHTH trình giải vấn đề thực tiễn cách sử dụng cơng cụ tốn học Q trình có xuất mơ hình tốn học, thơng qua MHHTH để tìm mơ hình tốt Nói cách khác, MHHTH q trình thành lập cải thiện mơ hình tốn học để biểu diễn giải vấn đề thực tiễn Nguyễn Danh Nam (2015) cho rằng: Để vận dụng kiến thức toán học vào giải tình thực tiễn, người ta phải tốn học hóa tình đó, tức xây dựng mơ hình tốn học thích hợp, cho phép tìm câu trả lời cho tình Quá trình gọi MHHTH Lê Thị Hải Châu (2014) quan niệm MHHTH q trình thiết lập mơ hình tốn học cho vấn đề ngồi tốn học, giải vấn đề mơ hình đó, thể đánh giá lời giải ngữ cảnh thực tiễn, cải tiến mơ hình cách giải khơng chấp nhận Trong báo này, theo chúng tôi, MHHTH tồn q trình chuyển đổi từ vấn đề thực tiễn sang vấn đề toán học; ngược lại, từ bước xây dựng lại tình thực tiễn, lựa chọn mơ hình tốn học phù hợp, giải thích đánh giá kết liên quan đến tình thực tiễn, trình lặp lại nhiều lần có kết phù hợp 2.2 Dạy học mơ hình hóa Đối với HS, MHHTH cần thiết lí sau: (1) MHHTH giúp HS hiểu mối liên hệ toán học với thực tiễn môn khoa học khác, giúp cho việc học toán trở nên ý nghĩa hứng thú hơn; (2) MHHTH trang bị cho HS khả sử dụng tốn học cơng cụ để giải vấn đề, xuất tình ngồi tốn học, từ giúp em thấy tính hữu ích tốn học thực tiễn; (3) MHHTH góp phần tạo nên tranh đầy đủ, toàn diện phong phú toán học (Streefland, 1991) Như vậy, MHHTH phương tiện phù hợp để phát triển lực toán học cho HS như: suy luận, khám phá, sáng tạo giải vấn đề Có thể hiểu, dạy học mơ hình hóa hay cịn gọi dạy học mơ hình hóa q trình giáo viên (GV) tổ chức hoạt động giúp HS xây dựng mơ hình tốn học để giải vấn đề thực tiễn Do vậy, quy trình dạy học mơ hình hóa tiến hành theo bước sau đây: Xuất phát từ vấn đề thực tiễn → Xây dựng mơ hình tốn học → Trả lời cho tốn thực tiễn → Thể chế hóa tri thức cần giảng dạy cách nêu định nghĩa hay định lí, cơng thức → Vận dụng vào giải tốn thực tiễn khác mà tri thức cho phép xây dựng mơ hình tốn học phù hợp (Van den Heuvel-Panhuizen, 2003) Do đó, tri thức dạy học cần hình thành từ trình HS khám phá vấn đề nảy sinh từ thực tiễn với vai trò kết quả, phương tiện giải vấn đề Vận dụng dạy học mơ hình hóa dạy học mơn Tốn góp phần đưa ý tưởng toán học gắn liền với thực tiễn vào lớp học nhà trường; từ hình thành bồi dưỡng cho HS lực MHHTH, giúp em biết vận dụng linh hoạt kiến thức toán học để giải vấn đề nảy sinh từ thực tiễn Vì thế, dạy học mơ hình hóa giúp HS thấy rõ ý nghĩa việc học Toán em nắm ứng dụng toán học thực tiễn 2.3 Quy trình tổ chức dạy học mơ hình hóa Trên sở nghiên cứu thực tiễn dạy học Tốn trường THPT, chúng tơi đề xuất quy trình dạy học MHHTH dạy học chủ đề “Nguyên hàm - Tích phân” theo bước sau: - Bước (tìm kiếm chuyển đổi): Chuyển từ tốn thực tiễn sang tốn tốn học (mơ hình tốn học), có nghĩa từ tốn thực tiễn cho, HS thực chuyển đổi để đưa toán toán học thường gặp, chẳng hạn tốn tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong trục hồnh, tốn tính thể tích vật thể tròn xoay giới hạn đường cong xoay quanh trục Ox, tốn tính thể tích vật,… Từ đó, HS tiến hành tìm lời giải cho tốn chuyển sang bước - Bước (tìm lời giải tốn): Sử dụng cơng cụ tốn học để tìm lời giải cho tốn, có nghĩa sau chuyển từ toán thực tiễn sang toán tốn học, HS tiến hành tìm lời giải cho tốn thơng qua cơng cụ tốn học Đối với chủ đề “Ngun hàm - Tích phân”, cơng cụ tích phân sử dụng nhiều việc tìm lời giải cho tốn tốn học Bên cạnh đó, HS cịn sử dụng kết hợp với số cơng cụ khác cơng cụ tọa độ hóa để tìm lời giải cho tốn - Bước (diễn giải): Sử dụng kết từ việc giải toán bước để diễn giải thành lời giải thực tiễn, có nghĩa sau tìm lời giải phù hợp cho toán toán học, HS tiến hành diễn giải lời giải toán học lại thành lời giải thực tiễn Ở bước này, ngơn ngữ tốn học lời giải tốn học chuyển hóa thành ngôn ngữ thực tiễn cho phù hợp với yêu cầu tốn thực tiễn 18 VJE Tạp chí Giáo dục (2022), 22(2), 17-22 ISSN: 2354-0753 - Bước (kiểm chứng lại): So sánh, đối chiếu lời giải với tốn thực tiễn ban đầu xem có thật hợp lí hay khơng - có nghĩa sau có lời giải, HS tiến hành kiểm tra lại tính xác lời giải so với yếu tố thực tiễn toán ban đầu Nhiệm vụ coi bước quan trọng toàn quy trình mơ hình hóa tốn thực tiễn Ở số trường hợp định, kết lời giải tốn học hồn tồn xác với yếu tố toán học, nhiên chuyển đổi sang kết thực tiễn lại chưa phù hợp Chẳng hạn, tính thể tích vật thể, sau tìm lời giải xác tốn tốn học, nhiên chuyển sang kết cho toán thực tiễn lại khơng phù hợp, thể tích tính lớn nhỏ nhiều so với thực tiễn Vì vậy, sau chuyển lời giải toán toán học thành lời giải toán thực tiễn, HS cần kiểm chứng lại kết toán 2.4 Dạy học mơ hình hóa chủ đề “Ngun hàm - Tích phân” (Giải tích 12) 2.4.1 Một số tình thường sử dụng mơ hình hóa tốn học dạy học chủ đề “Nguyên hàm - tích phân” (Giải tích 12) Trong dạy học chủ đề “Nguyên hàm - Tích phân” (Giải tích 12), số tình sau thường sử dụng MHHTH: - Tình 1: Dạng tốn tính diện tích hình phẳng Đối với dạng tốn tính diện tích hình phẳng, thường áp dụng vào tốn tính diện tích số hình khơng thuộc nhóm hình tính diện tích theo cơng thức có; chẳng hạn như: hình thang cong, diện tích parabol, diện tích đường cong,… Khi giải tốn tính diện tích hình phẳng, ta cần xác định diện tích giới hạn dạng dạng thường gặp: dạng diện tích hình phẳng giới hạn đường cong trục hồnh; dạng diện tích hình phẳng giới hạn hai đường cong Từ đó, xác định xác cơng thức tính diện tích hình phẳng cho Để thực bước thứ MHHTH chuyển từ toán thực tiễn toán toán học, GV cần hướng dẫn HS phân tích đề bài, từ xác định hướng chuyển đổi trình bày lời giải - Tình 2: Dạng tốn tính thể tích khối trịn xoay Tương tự với diện tích hình phẳng giới hạn đường, dạng tốn tính thể tích khối trịn xoay thường áp dụng cho việc tính thể tích vật thể có hình dạng khác với khối chóp, khối lăng trụ, khối nón,… có cơng thức tính Khi giải tốn tính thể tích vật thể trịn xoay, HS cần xác định thể tích vật thể xoay quanh dạng nào: dạng thể tích vật thể giới hạn đường xoay quanh trục Ox; dạng thể tích vật thể giới hạn đường xoay quanh trục Oy; dạng thể tích vật thể giới hạn hai đường xoay quanh trục Ox Theo đó, HS xây dựng cơng thức tính thể tích phù hợp với u cầu 2.4.2 Ví dụ minh họa dạy học mơ hình hóa dạy học chủ đề “Ngun hàm - Tích phân” (Giải tích 12) Ví dụ (bài tốn thùng rượu): Một thùng rượu có bán kính mặt 36cm 46cm Chiều cao thùng rượu 112cm, bao gồm phần thân thùng rượu hai đế đỡ thùng rượu (mỗi đế cao 3cm) (xem hình 1) Biết rằng, thùng rượu làm gỗ sồi với độ dày gỗ 3cm Hỏi thùng rượu chứa tối đa lít rượu (kết lấy hai chữ số thập phân)? Biết cạnh bên thùng rượu hình parabol Để tính số lít rượu mà thùng gỗ chứa tối đa, ta cần tính thể tích lớn thùng rượu cho Thùng rượu khối trịn xoay có đường sinh đường cong có phương trình dạng parabol (𝑃): 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 (𝑎 ≠ 0) Vì vậy, HS khơng sử dụng cơng thức tính thể tích thơng thường để tính thể tích thùng rượu mà cần áp dụng tích phân để tính thể tích khối trịn xoay Kích thước thực tế thùng rượu khơng tính xác thể tích thực thùng gỗ Theo thực tế, thể tích thực chứa rượu thùng gỗ tính dựa kính thước thực phần chứa rượu (chiều cao, chiều rộng), không bao gồm phần gỗ làm thùng phần đế thùng rượu Do đó, tính tốn, HS cần trừ phần này, từ tính xác kích thước kích thước thực phần chứa rượu: bán kính mặt (thực) 30cm; bán kính (thực) 40cm; chiều cao (thực) chiều cao cho trừ độ cao đế 100cm Hình Thùng rượu mơ phần thể tích thùng rượu (nguồn: tác giả) 19 VJE Tạp chí Giáo dục (2022), 22(2), 17-22 ISSN: 2354-0753 Dựa kích thước vừa tìm được, HS giải tốn sau: Xây dựng hàm số (𝑃): 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 (𝑎 ≠ 0), với điều kiện qua điểm A(-50; 30), B(0; 40), C(50; 30) (xem hình 2) Dựa vào chiều cao 1m phần chứa rượu, HS tìm cận tích phân Khi đó, HS lập cơng thức tính thể tích chứa rượu thùng rượu cho Sau bước xây dựng mơ hình tốn học: - Bước (tìm kiếm chuyển đổi): Dựa vào phân tích, HS chuyển tốn tính số lít rượu chứa thùng rượu sang tốn tính thể tích vật thể trịn xoay - Bước (tìm lời giải tốn): Sử dụng cơng cụ tọa độ hóa tích phân để giải tốn tính thể tích vật thể trịn xoay (để thùng rượu nằm ngang thuận lợi cho việc tính tốn) Cụ thể: Hình Thùng rượu không gian ba chiều gắn với hệ trục tọa độ Oxy Tìm phương trình parabol (𝑃): 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 (𝑎 ≠ 0) qua đỉnh A, B, C a = − 250 502 a − 50b + c = 30 A ( −50;30 ) ( P ) ( P) : y = − x + 40 c = 40 b=0 B ( 0; 40 ) ( P ) 250 C ( 50;30 ) ( P ) 502 a + 50b + c = 30 c = 40 Áp dụng cơng thức tính thể tích V quay hình phẳng giới hạn parabol (P), HS tìm giá trị 50, x = -50, y = xung quanh trục hoành Ox: V = 50 −50 y dx = x= 50 x4 80 x x2 2 −50 − 250 + 40 dx = −50 2502 − 250 + 40 dx 406000 8x2 = 425162, 20cm3 − + 402 x 50 −50 x5 = 312500 50 75 - Bước (diễn giải): Thể tích vật thể trịn xoay vừa tính thể tích chứa tối đa thùng Vậy, thùng rượu chứa tối đa 425,16 (lít rượu) - Bước (kiểm chứng lại): So sánh, đối chiếu lời giải với toán thực tiễn ban đầu Bài tốn sơ đồ hóa theo bước giải sau (xem sơ đồ 1): Sơ đồ Quy trình mơ hình hóa tốn “Thùng rượu” 20 VJE Tạp chí Giáo dục (2022), 22(2), 17-22 ISSN: 2354-0753 Ví dụ (bài tốn trứng): Một trứng ngỗng tạo mơ hình quay đồ thị hàm số y= 7569 − 400 x , −4,35 x 4,35 quanh trục Ox Sử dụng mơ hình để tính thể tích trứng (x, y đo 30 theo cm) Vận dụng quy trình đề xuất trên, GV hướng dẫn HS giải tốn sau: - Bước 1: Dựa vào liệu đề cho, HS thấy tốn tính thể tích vật thể mà khơng sử dụng cơng thức thơng thường để tính Do đó, HS chuyển đổi tốn tốn tính thể tích vật thể trịn xoay giới hạn đồ thị hàm số: y = 7569 − 400 x , với −4,35 x 4,35 quanh trục Ox 30 - Bước 2: Sau chuyển tốn tốn học thể tích vật thể tròn xoay giới hạn đồ thị hàm số y= 7569 − 400 x 30 , −4,35 x 4,35 quanh trục Ox tính cơng thức: V = 4,35 y2 d x −4,35 - Bước 3: Sau tính thể tích, HS tiến hành chuyển đổi kết thực tiễn thể tích trứng để hồn thiện u cầu đề - Bước 4: Kiểm tra lại kết quả, điều chỉnh cho phù hợp với yêu cầu tốn Lời giải cụ thể ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi (H) hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y= 7569 − 400 x , −4,35 x 4,35 trục Ox Thể tích trứng cần tính thể tích khối trịn xoay sinh 30 hình phẳng (H) quay quanh trục Ox: V = 4,35 x3 4,35 153cm3 7569 − 400 x d x = 7569 − 400 x d x = 7569 x − 400 − 4,35 900 900 30 −4,35 −4,35 4,35 ( ) Tình ví dụ xuất phát từ vấn đề thực tiễn, GV hướng dẫn HS xây dựng mơ hình tốn học, giải toán rút câu trả lời cho tình thực tiễn Cuối cùng, GV thể chế hóa tri thức cần giảng dạy cách nêu ứng dụng khái niệm tích phân thơng qua sử dụng mơ hình tốn học phù hợp để giải tốn Như vậy, thơng qua phân tích ví dụ trên, rút số ưu điểm việc MHHTH dạy học chủ đề “Nguyên hàm - Tích phân” sau: - Giúp HS: + Hiểu rõ, nắm vững kiến thức làm sáng tỏ vấn đề tốn học có liên quan thực tiễn; + Phát huy kĩ toán học cần thiết, rèn luyện khả tư toán học; + Phát triển lực MHHTH; + Có hội tham gia vào giải tình cụ thể thực tiễn khơng tìm hiểu kiến thức tốn học; + Dễ ghi nhớ mơ hình hóa mà em tìm so với việc giải tốn theo cách thơng thường; + Hứng thú học tập mơn Tốn, hiểu ứng dụng toán học gắn liền với sống, nhận thấy tốn học ln có mối liên hệ mật thiết với tình thực tiễn - Giúp GV tổ chức lớp học hiệu hơn, góp phần đổi phương pháp dạy học theo hướng tích cực hóa hoạt động học tập HS, “lấy HS làm trung tâm”, từ nâng cao chất lượng dạy học Tóm lại, sử dụng MHHTH địi hỏi nhiều thời gian cơng sức GV cho công tác chuẩn bị phương pháp dạy học truyền thống Tuy nhiên, người dạy người học tích cực, chủ động áp dụng phương pháp mơ hình hóa vào dạy học góp phần nâng cao chất lượng giáo dục Dạy học mơ hình hóa kết hợp hiệu với dạy học dự án để HS tham gia vào dự án nhằm giải vấn đề thực tiễn sống Kết luận Chương trình giáo dục phổ thơng mơn Tốn 2018 với mục tiêu phát triển lực chung lực toán học cho HS, trọng đến lực giải vấn đề Nhiều kết nghiên cứu Việt Nam cho thấy HS hồn tồn tham gia vào q trình mơ hình hóa GV xây dựng tình phù hợp tích hợp mơ hình hóa vào dạy học Trong bối cảnh chương trình giáo dục phổ thông tiếp cận theo hướng phát triển lực HS việc vận dụng kết nghiên cứu để tạo hội cho GV HS xây dựng mơ hình tốn học hỗ trợ cho q trình dạy học Tốn việc làm có ý nghĩa Từ đó, giúp HS thấy vẻ đẹp toán học từ ứng dụng thực tiễn, em có hội giải vấn đề thực tiễn Dạy học mơ hình hóa chủ đề “Nguyên hàm - Tích phân” cách tiếp cận phù hợp để hình thành phát triển cho HS lực MHHTH (thành phần lực toán học) Do vậy, GV dạy học chủ đề cần tìm tình huống/vấn đề ngồi tốn học (có thể vấn đề thực tiễn vấn đề ngành khoa học khác) để xây dựng tốn chứa đựng mơ 21 VJE Tạp chí Giáo dục (2022), 22(2), 17-22 ISSN: 2354-0753 hình tốn học thường gặp đưa vào giảng, giúp HS làm quen với mơ hình tốn học biết sử dụng vào giải vấn đề thực tiễn Tài liệu tham khảo Blum, W., Leiss, D (2006) How students and teachers deal with mathematical modelling problems? The example “Sugarloaf” In Haines, C Galbraith P., Blum, W and Khan, S (2006) Mathematical modelling (ICTMA 12): Education, engineering and economics (pp 222-231) Chichester: Horwood Publishing Blum, W., Niss, M (1991) Applied Mathematical Problem Solving, Modelling, Applications, and Links to Other Subjects - State Trends and Issues in Mathematics Instruction Educational Studies in Mathematics, 22, 37-68 Bộ GD-ĐT (2018) Chương trình giáo dục phổ thơng mơn Tốn (ban hành kèm theo Thông tư số 32/2018/TTBGDĐT ngày 26/12/2018 Bộ trưởng Bộ GD-ĐT) Freudenthal, H (1991) Revisiting mathematics education China Lectures Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Gravemeijer, K P E., Terwel, J (2000) Hans Freudenthal a mathematician on didactics and curriculum theory Journal of Curriculum Studies, 32(6), 777-796 Lê Thị Hải Châu (2014) Mơ hình hóa dạy học khái niệm đạo hàm Tạp chí Khoa học, Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, 65, 05-18 Muller, E., & Burkhardt, H (2006) Applications and modeling for mathematics - Overview In W Blum, P.L Galbraith, H-W Henn, & M Niss (Eds.) Modelling and applications in mathematics education: The 14th ICMI study (pp 267-274) New York: Springer Nguyễn Danh Nam (2015) Quy trình mơ hình hóa dạy học Tốn trường phổ thơng Tạp chí Khoa học, Đại học Quốc gia Hà Nội, 3, 01-10 Streefland, L (1991) Fraction in realistic mathematics education, a paradigm of development research Dordrect: Kluwer Academic Publisher Treffers, A., Beishuizen, M (1999) Realistic mathematics education in the Netherlands In Thompson I (Ed.) Issues in teaching numeracy in primary schools, Buckingham: Open University Press Van den Heuvel-Panhuizen, M (2003) The didactical use of models in realistic mathematics education: an example from a longitudinal trajectory on percentage Educational Studies in Mathematics, 54, 9-35 22 ... 2.4 Dạy học mơ hình hóa chủ đề “Ngun hàm - Tích phân” (Giải tích 12) 2.4.1 Một số tình thường sử dụng mơ hình hóa tốn học dạy học chủ đề “Nguyên hàm - tích phân” (Giải tích 12) Trong dạy học chủ. .. việc học Toán em nắm ứng dụng toán học thực tiễn 2.3 Quy trình tổ chức dạy học mơ hình hóa Trên sở nghiên cứu thực tiễn dạy học Toán trường THPT, chúng tơi đề xuất quy trình dạy học MHHTH dạy học. .. Theo đó, HS xây dựng cơng thức tính thể tích phù hợp với yêu cầu 2.4.2 Ví dụ minh họa dạy học mơ hình hóa dạy học chủ đề “Nguyên hàm - Tích phân” (Giải tích 12) Ví dụ (bài tốn thùng rượu): Một thùng