Nguyên hàm – Tích phân Ứng dụng tích phân 1234538

Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12 TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093 CHƯƠNG III NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CHỦ ĐỀ NGUYÊN HÀM I Định nghĩa: Giả sử y  f x  liên tục khoảng a, b , hàm số y  F x  nguyên hàm hàm số y  f x  F '( x )  f ( x ) , x  a, b  Nếu y  F x  nguyên hàm hàm số y  f x   f ( x )dx  F( x )  C , C  ฀ II Vi phân: Giả sử y  f x  xác định khoảng a, b  có đạo hàm điểm x  a, b  Vi phân hàm số y  f x  là: dy  f ' x .dx Quan hệ đạo hàm  nguyên hàm vi phân:  f x dx  F x   c  F  x   f x   dF x   f x dx III Các tính chất nguyên hàm Nếu f x  hàm số có ngun hàm : Nếu F x  có đạo hàm thì: Phép cộng, phép trừ:   f x dx   f x  ; d  f x dx  f x dx  d F x  F x   C   f x   g x  dx   f x dx   g x dx Phép nhân với số thực khác 0:  kf x dx  k  f x dx , k  IV Phương pháp tính nguyên hàm: Phương pháp đổi biến số: Nếu  f (u)du  F (u)  C u  u( x ) có đạo hàm liên tục thì:  f u( x ).u '( x )dx  F u( x ) C Phương pháp phần Nếu hai hàm số u  u x  v  v x  có đạo hàm liên tục K thì:  u x .v' x dx  u x .v x    u' x .v x dx Hay:  u.dv  u.v   v.du V Nguyên hàm số hàm thường gặp Nguyên hàm hàm số sơ cấp  dx  x  C  x  1  C   1 x  dx   1  cos xdx  sin x  C  sin xdx   cos x  C Nguyên hàm hàm số hợp  du  u  C  u  1  C   1 u  du   1  cos udu  sin u  C  sin udu   cos u  C Trang ThuVienDeThi.com Nguyên hàm hàm số thường gặp d ax  b  ax  b  C a  1 ax  b  dx  ax  b   C   1 a  1 cosax  b dx  sin ax  b  C a    Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12 TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093  cos   cos dx  tan x  C x dx   cot x  C sin x  sinax  bdx   a cosax  b C du  tan u  C u du   cot u  C sin u   cos ax  bdx  a tanax  b C 1  sin ax  bdx   a cotax  b C 1  x  ln x  C x  0  e dx  e  C  u  ln u  C u  0  e du  e  C dx x  a x dx  dx  ax  b  a ln ax  b  C x  0 du x u ax  C 0  a  1 ln a  a u dx  u e au  C 0  a  1 ln a ax  b dx  ax b e C a  x  a dx  a x    C 0  a  1  ln a V Nguyên hàm mở rộng x 1 dx  ln C x 1 1  x  dx  arctan x  C   x dx  arcsin x  C x    1 xa dx  ln  C (a  0) 2a xa a x 1  x  a dx  a arctan a  C (a  0) x  a  x dx  arcsin a  C (a  0) x x 1 dx  ln x  x   C  dx  ln x  x  a  C x a x a x a  x dx  a  x  arcsin  C 2 a x a x  a dx  x  a  ln x  x  a  C 2 2 2   ' ax ax  b x dx   a x  b  a x  b dx  b ln a ln a  b  C  tan x.dx   ln cos x  C ;  cot x.dx   ln sin x  C VẤN ĐỀ Tính nguyên hàm cách sử dụng bảng nguyên hàm Để sử dụng phương pháp cần phải: + Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng bảng nguyên hàm + Nắm vững bảng nguyên hàm + Nắm vững phép tính vi phân (phần học lớp 11) Cho hàm số: y  f x  xác định a; b  có đạo hàm x  a; b  Vi phân hàm số là: dy  f ' x .dx Bài Tìm nguyên hàm F x  hàm số f x  sau: a) f x   x  x  x b) f x   x  x3  x  x  Trang ThuVienDeThi.com c) f x   5 x  3 Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12 TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093 d) f x   sin x.cos x  3x  tan x  x  f) f x   x  3x x 4 53 b) x  x  x  x  x  C 20 5 sin x d) F x   C 2x 3x f) F x    C ln ln e) f x   x4    x  ln x  C (5 x  3)6 c) F x   C 30 3x e) x   ln cosx  x  x  C ln ĐS: a) F x  Bài Tìm nguyên hàm F x  hàm số f x  sau: (m tham số) a) f x   mx  x  x   4m   7m x3 x b) f x   me x  2a x  log x  2sin x  3cos x m 4m x  x3  x  12    mx  C 2.x 2.x 2a x b) F x   me x  x ln x  x   cos x + sin x  C ln a ln ĐS: a) F x   Bài Tìm nguyên hàm sau: dx  4x  ĐS: a)  C x2 a) x b) b)  9x dx  12 x  C 9x  c)  c) x   x 3 dx  x  12 x  C   0 6 Bài Tìm nguyên hàm F x  hàm số: f x   sin x  biết F  ĐS: F x   x  cos x   Bài Tìm nguyên hàm F x  hàm số f x  sau: a) f ( x )  x –3 x  x d) f ( x )  ( x  1)2 x b) f ( x )  e) f ( x )  2x4  x2 x3 x4 x c) f ( x )  f) f ( x )  Bài Tìm nguyên hàm F x  hàm số f x  sau: a) f ( x )  2sin d) f ( x )  x b) f ( x )  tan x sin x.cos x e) f ( x )  Bài Tìm nguyên hàm sau: a)  x d)  2 x  1 g)    dx dx dx 1 x b)  x e) x h)  3 cos x sin x.cos2 x   x  dx dx  x  27 x  dx 2x  Trang ThuVienDeThi.com x 1 x2 x  x c) f ( x )  cos2 x f) f ( x )  2sin x cos x dx  x  16 f)  dx x  3x  3x  c) x i)  3x   dx Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12 TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hồ-0978333093 Bài Tìm ngun hàm sau:  1  x 3  dx a)    x   d) g) b)   x  1x    x  dx x  x 4  dx x Bài Tìm nguyên hàm sau:  3 x   x  x dx e)  x  23 x  dx x h)  dx x 1  x 1 c)   x dx  e x x dx 2x 1  2x 1 f) e3x   e x  dx i) e x  ex  e x  e  x dx b) f ( x )   5cos x biết F ( )   5x biết F (e)  x x3    dx x  h)  e x   a) f ( x )  x  x  biết F (1)  e) f (x )= i)    e  x dx c) f ( x )  f)  x  c) x  2.2 x 1 dx e x   dx cos2 x   Bài 10 Tìm nguyên hàm F x  hàm số f x  với: g) x x x dx  3x x  e dx e)   b)  e x e x – 1dx a)  e3 x 1dx d)  x x2  biết F (1)  x d) f ( x )  biết F (2)  f) f ( x )  x x    0 3 g) f ( x )  sin x.cos x biết F  x biết F (1)  2 x3  3x3  3x  biết F (0)  ( x  1)2    x  3x  3x  x i) f ( x )  sin biết F    j) f ( x )  , biết F (1)  2 x  2x  Bài 11 Chứng minh F x  nguyên hàm hàm số f x  với: h) f ( x )  a) F ( x )  (4 x  5)e x f ( x )  (4 x  1)e x  x2   2 x  f ( x )  ( x  4)( x  3)  x2   b) F ( x )  ln  c) F ( x )  ln x2  x  x2  x  f ( x )  2( x  1) x4 1 d) F ( x )  tan x  x  f ( x )  tan x  tan3 x  Bài 12 Tìm m để F x  nguyên hàm hàm số f x  với: a) F ( x )  mx  (3m  2) x  x  f ( x )  x  10 x  b) F ( x )  ln x  mx  f ( x )  2x  x  3x  Bài 13 Tìm a, b, c để F x  nguyên hàm hàm số f x  với: a) F ( x )  (ax  bx  c) x  x f ( x )  ( x  2) x  x b) F ( x )  (a  1)sin x  b c sin x  sin x f ( x )  cos x c) F ( x )  (ax  bx  c) x  f ( x )  20 x  30 x  2x  Trang ThuVienDeThi.com Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12 TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093 d) F ( x )  (ax  bx  c)e2 x f ( x )  (2 x  x  7)e2 x VẤN ĐỀ Tính nguyên hàm phương pháp đổi biến số  Daïng 1: Nếu f(x) có dạng: f(x) = g u( x ).u '( x ) ta đặt t  u( x )  dt  u '( x )dx  f ( x )dx =  g(t)dt ,  g(t)dt dễ dàng tìm Chú ý: Sau tính  g(t )dt theo t, ta phải thay lại t = u(x) Khi đó:  Dạng 2: Thường gặp trường hợp sau:     a2  x dx dx a2  x Đặt x  a sin t,  a2  x dx dx 2 a x Đặt x  a tan t,   t  t  hoaëc: x  a cos t,  t    hoaëc: x  a cot t,  t   Bài Tìm nguyên hàm sau: (đổi biến dạng 1)  x 1  x  dx a) x  1.xdx  e) i) x2  x  x   dx b) f) j) x2  3x  1 dx   dx c)  (2 x  1)7 xdx x (1  x )2 x3 dx x   2014  d) x x2  3x g)  ( x  5) x dx h)  k)  x 1  x  l)  x c)  2014 dx dx  x3 2x x2 1 Bài Tìm nguyên hàm sau: (đổi biến dạng 1) a)  sin x cos xdx  e) i)  etan x cos x dx e x dx ex  sin x b)  f)  j) x  x.e dx cos x dx x ln10 x 1 dx tan xdx cos x ln3 x g)  dx x k)  e d) e h)  l)  x.ln 2 x  dx x x dx sin x cos xdx dx e 1 x 2014 Bài Tìm nguyên hàm sau: (đổi biến dạng 2) a)  e) x i)  dx  x2 x  1.dx dx (1  x )3 b)   x dx c)  f)   x dx g)  j) x k)   x dx Trang ThuVienDeThi.com dx  x2 dx 3 x dx x2  x  d)  h)  l)  dx x dx  x2 dx  x2 dx (1  x )3 dx Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12 TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093 VẤN ĐỀ Tính nguyên hàm phương pháp tính nguyên hàm phần  udv  uv   vdu Với P(x) hàm đa thức x, ta thường đặt sau:  P( x ).e x dx  P( x ).cos xdx  P( x ).sin xdx  P( x ).ln xdx P( x ) cos xdx P( x ) sin xdx lnx P( x ) u dv e x dx Bài Tìm nguyên hàm sau: a) x sin xdx b)   x  x  x  3sin xdx 1   x  x sin x  cos x   C 4  2x   c) e 1  sin x  cos x   C   ĐS: a) Bài Tìm nguyên hàm sau: a) xe3x dx b)  ĐS: a) 3x 3x xe  e  C b) x e 2x c)  P( x ) e  2x sin xdx   b)  x  x  x  cos x  x  x  sin x  C dx c) 2x e 2 x  x  1 C  x  x ln xdx 1 3   c)  x  x  ln x  x  x C Bài Tìm nguyên hàm sau: a)   x.ln x  x  x 1 dx   ln cos x  dx cos x b) tan x.ln cos x   tan x  x  C x  ln x  x   x  C ĐS: a)  b) Bài Tìm nguyên hàm sau: (từng phần lần) a) x cos xdx b) 1  x sin xdx  e)  ln( x  f)  2  x  ln x  1dx  1)dx Bài Tìm nguyên hàm sau: (từng phần nhiều lần) a)  x  x  sin xdx  e)  x  x  e dx   b)  2 x f) x  1  x .ln dx x   x  e x dx  x  1cos xdx g)  x  1 ln xdx c) c)  ln g)  x  1 sin dx Bài Tìm nguyên hàm sau: (kết hợp đổi biến phần) Trang ThuVienDeThi.com xdx x d)  1  x .e h)  x.2 d)  x h)  2  x  ln xdx x 2x dx dx   e  x dx Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12 TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093 ex a)  dx x b)  2  x sin e) sin ln x dx f)  x.sin  x dx x dx e) e  x 1 dx  cos f)  tan x sin x.e dx cos x x b) d) g)  cos x.lncot x dx h)  sin xdx x x  2  cot x cos x.e dx g)  sin x  sin x cos x ln xdx x Bài Tìm nguyên hàm sau: (Từng phần đặc biệt a)  e sin xdx e)  e cos xdx x  c) sin ln tan dx dx e ax sin bxdx x b)  e sin dx x x x f)  e cos x  sin x dx x 2 1 x dx x  sin Bài Tìm nguyên hàm sau: (kết hợp đổi biến phần) a) 2x  dx x c) x c) e g) e x e ax  cos d)  x  1.cot h)  cos x.e x dx sin x cos x dx cos bxdx ) sin xdx d) e 2x x cos dx sin x cos x.dx h)  e  x sin xdx Bài Tìm nguyên hàm sau:  ln x  a)    dx  x  1  sin x e x dx e)   cos x b) f) x log xdx x 2e x  x   dx c)  g)  ln x  x  b dx b    x  dx d)  e 1  tan x  tan x dx h)  1 x VẤN ĐỀ Tính nguyên hàm số hàm số hữu tỉ f ( x )  x 2 ln 1 x dx 1 x P( x ) Q( x ) - Loại 1: Nếu bậc P(x)  bậc Q(x) ta thực phép chia đa thức - Loại 2: Nếu bậc P(x) < bậc Q(x) Q(x) có dạng tích nhiều nhân tử ta phân tích f(x) thành tổng nhiều phân thức (bằng phương pháp hệ số bất định) Các dạng dùng phương pháp hệ số bất định thường gặp: Dạng 1: Mẫu số có nghiệm đơn: P( x ) P( x ) A B    Q( x ) ( x  a)( x  b) x  a x  b P( x ) P( x ) A B C     Q( x ) ( x  a)( x  b)( x  c) x  a x  b ( x  c) Dạng 2: Mẫu số có nghiệm đơn bậc vô nghiệm: P( x ) P( x ) A Bx  C    , với   b2  4ac  2 Q( x ) ( x  m)(ax  bx  c) x  m ax  bx  c Dạng 3: Mẫu số có nghiệm bội: P( x) P( x) A B    2 Q ( x ) x  a  x  a  x  a Trang ThuVienDeThi.com Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12 TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093 P( x) P( x) A B C     3 Q ( x ) x  a  x  a  x  a  x  a P( x ) P( x ) A B C D      2 Q( x ) ( x  a ) ( x  b ) x  a ( x  a) x  b ( x  b)2 P( x ) P( x ) A B C D E       Q( x ) ( x  a)2 ( x  b)3 x  a ( x  a)2 x  b ( x  b)2 ( x  b)3 - Loại 3: Một số nguyên hàm ta dùng phương pháp đổi biến phần Bài Tìm nguyên hàm sau: x a) dx  3x  x2 C x 1 ĐS:a) ln dx  3x  b)  4x b) x  1 C ln 4x 1 2x   x  x  dx dx  x 1 d) x c) 2 3 arctan    C  x -1  d)  x 1  arctan  C   c) 2( x  1)  x  x  dx c) x Bài Tìm nguyên hàm sau: 3x   x  x  dx a) b) ln x   ln x   C 4 c) ln x  x   C ĐS: d) dx  2x  x    x  x  dx C x2 d) ln x  x   C b) ln x  x   a) Bài Tìm nguyên hàm sau: a) x  x  12  x  1x   x dx ĐS: a) ln x2  x   x  1x  x   dx c) b) x 1  3ln x   C x x2  x 1  x  1x  1dx d) x2   x  1 x  3 dx b) 3ln x   ln x   5ln x   C d)  c) ln x   arctan x  C  x  1 x 1  ln C x  1 32 x  Bài Tìm nguyên hàm sau: a) 2x 1  3x  dx e) x  x  dx x2   dx x 1 x  3x  f)  dx x 1 b) 2x2  7x   x  dx c)  c)  ( x  1)(2 x  1)dx g) x m) x  d)  x3 dx x  3x  x3  x  h)  dx x  4x  x  x  3x  dx x2 g) d) Bài Tìm nguyên hàm sau: a)  x  dx e)  x x  1dx x 1 i)  dx x2  dx b)  ( x  1)(2 x  3) f)  j)  dx  x3 x x  3x  dx x Bài Tìm nguyên hàm sau: a) x dx  6x  b) x  1  x  x dx c) x 2 x dx  3x  3x  3 dx  5x  x5 dx  3x  Trang ThuVienDeThi.com x.dx 2x  7x  x h)  dx x3  x2  2x  dx x3  x  n)  d)  2  x x  1 dx Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12 TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093 e) i)  1  x  x   x  x   2 dx dx x 1 f)  x x  1 j) x dx 2 dx  4x  2x 1 g)  x  1 m) x dx h) x x2 dx  3x  n) x 3  3x  3x  dx x dx  9x  9x 1 Bài Tìm nguyên hàm sau: dx a)  x  13  x b)  x2  x 1  dx e)    x 1  f) x dx  1 x3 c)  dx x 1 x  x  x  dx d)  x2 dx x3  g) 3x  x  x3  x  dx h) x2 1   x3  3x  2013 dx c) x3  x  x  dx d) x x2  g)  dx h) x  x  1980 x Tìm nguyên hàm sau: Bài  3x   b)    dx  x2  x5 f)  dx  x3  x6 x3 e)  dx x 1 x 1 e)  dx x  2x x 1 dx  2x  x 1 dx  x2  x  VẤN ĐỀ Tính nguyên hàm số hàm số vô tỉ   + Dạng 1: f x  R  x , m ax  b   cx  d     + Dạng 2: f x   R   ( x  a)( x  b)      + Dạng 3: f x  R x , n ax  b , m ax  b tm  đặt:  đặt: t   ax  b cx  d xa  xb  đặt: t  n.m ax  b + Dạng 4:     a2  x dx dx a2  x Đặt x  a sin t,  a2  x dx dx 2 a x Đặt x  a tan t,   ax dx ax  ax dx ax   t t  hoaëc: x  a cos t,  t    hoaëc: x  a cot t,  t   Đặt x  a cos 2t  x  a b  x dx Đặt x  a  b  a sin t Bài Tìm nguyên hàm sau: a)  x3 dx 1 x ĐS: a) 2  x  b)  x 1  x  dx 53 2 c)  dx x2  a a   2 1  x   x  1  x   x  1  x   x  C Trang ThuVienDeThi.com d) dx  x  1x   Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12 TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093  2  2  x   x  x       C  320  d) 2 ln x   x   C c) ln x  x  a  C b) Bài Tìm nguyên hàm sau:  a) dx 1  x  x ĐS: a) b)  x2 dx  x2  x   x dx d) x2 1 dx  1  x  x  2x   C b)  ln 2 1 1 x  2x  x C d)  x2 1   C 1 x x   ln x  x   C 2 c) c) Bài Tìm nguyên hàm sau: a)  xdx b) x2  x  x dx x2  x 1 1   x  x    ln  x   x  x    C 2   ĐS: a) c) b) c)  dx x  4x   x2 C x  4x  Bài Tìm nguyên hàm sau: a)  dx 1 x  1 x b)  dx x 1 x 1   c) x x  9dx d) 16 x x  4dx ĐS: a)  x  3  x  6  x  ln  x   C b)       x x  1 6561  162 ln x  x   C c)    16   x x 9      x x 4  64  36 ln x  x   C d)      x x 4         Bài Tìm nguyên hàm sau: a)  e) i) x3  x dx 64 x b)  x  x dx   x  1dx f)  x 1   x  dx j)  dx x  5x  c)  x x  2dx d)  g)  1 x  x dx x h)  n)   x  x  3.dx m)  x x2  1 x dx x2 1 x3 dx dx x   23 x  1 x   1 x Bài Tìm nguyên hàm sau: a)  x  x dx b)  3x  1 x  2dx  c) x  x dx Trang 10 ThuVienDeThi.com d)  x3 1 x2 dx dx Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12 TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093 e) dx 1 x  x f)  x  x dx g)   x dx h) x d)  h)   x dx 1 x x d)  2x  dx  2x h)  d)  h)   x dx Bài Tìm nguyên hàm sau: a)  1 e)  x 1 x x 3 x dx dx b)  3x  1 x  2dx f) 3 dx c)  (2 x  1)2  x  x 1 x x 2 dx dx g)  c)  1 g)  x( x  1)dx x2  6x  x4 x dx Bài Tìm nguyên hàm sau: a) e)  2 x  1  x  x dx  x  x  24 x dx b) f)   3 x  x  dx x  1 x dx 1 x 2x 1 x dx x x x3  dx Bài Tìm nguyên hàm sau: a) e) x dx x 1  x2 1  1 b) x 1 dx f)  4x  x dx  dx 1 x  1 x c) g)  dx x  4 1 x 1 dx  x dx dx x 1 x 1 VẤN ĐỀ Tính nguyên hàm số hàm số lượng giác  sin ax.sin bxdx   Dạng 1: Các dạng:   sin ax.sin bxdx    sin ax.sin bxdx  cos a.cos b  cos a  b   cos a  b    Phương pháp giải: Dùng công thức biến đổi thành tổng: sin a.sin b  cos a  b   cos a  b    sin a.cos b  sin a  b   sin a  b   n  sin axdx  Dạng 2:  n  N  n cos axdx   + Với n lẻ :  sin n axdx   sin n1 ax sin axdx   sin n1 ax sin axdx   cos   sin ax n  n 1  sin axdx    cos ax  sin n n 1 sin axdx Đặt : u  cos x axdx Phân tích sau đặt : u  sin x + Với n chẵn: Sử dụng công thức hạ bậc : cos ax  Dạng 3:   cos 2ax  cos 2ax ; sin ax  2 ax cos m axdx (n, m  N) + Với n lẻ hay m lẻ : n lẻ Đặt u = cosax ; + Với n m chẵn: Sử dụng công thức hạ bậc: m lẻ Đặt u = sinax Trang 11 ThuVienDeThi.com Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12 TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093 cos ax   cos 2ax ; sin ax  1  cos 2ax ; sin x cos x  sin x 2     cos ax dx ax ax Dạng 4:  Sử dụng công thức:  cos ax  cos  cos ax  sin 2  dx    cos ax    sin a  cos a  sin  a         Cần nhớ: sin a  cos a  cos  a   4      sin a  cos a   cos  a   4      sin ax dx Dạng 5:   dx   cos ax Phương pháp:    sin n ax dx Dạng 6:   dx   cos n ax sin ax sin ax dx   dx Đặt u  cos x ax  cos ax cos ax cos ax  cos ax dx   cos2 ax dx    sin ax dx Đặt u  sin x  sin axdx   sin n  N  Phương pháp:  dx   sin n ax  cosn ax dx    tan n axdx  Dạng 7:  n   cot axdx Phương pháp:  sin ax n2  n2 cos ax  dx    tan ax sin ax  dx    cot ax cos ax n2  n2  dx ; Đặt u  tan ax sin ax dx ; Đặt u  cot ax cos ax n  N  + Biến đổi cho tan ax làm thừa số chung + Thay : tan ax   tan n ax dx   cos ax Dạng 8:  n  N  n cot ax  dx   sin ax dx Dạng 9:  a.sin x  b.cos x  c 1 cos ax Phương pháp: đặt u  tan ax u  cot ax Trang 12 ThuVienDeThi.com Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12 TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093 Cách 1: Phương pháp chung: 2dt  dx   x 1 t2 Đặt : t  tan   2 sin x  2t ; cos x   t ; tan x  2t 1 t2 1 t2 1- t  Cách 2: Phương pháp riêng: Nếu c  a  b 1 1   a sin x  b cos x  c c 1  cos x -   2c cos x   a b Trong : sin   ; cos   a  b2 a  b2 dx  x   Khi : I   tan  C  2c cos x   c   a.sin x  b.cos x Dạng 10:  dx c.sin x  d cos x a sin x  b cos x B(c cos x  d sin x) Phương pháp: Phân tích  A c sin x  d cos x c sin x  d cos x Ta có: Sau dùng đồng thức tìm A, B Dạng 11: a.sin x  b.cos x  m  c.sin x  d cos x  n dx Phương pháp: Phân tích a sin x  b cos x  m B(c cos x  d sin x) C  A  c sin x  d cos x  n c sin x  d cos x  n c sin x  d cos x  n Sau dùng đồng thức tìm A, B, C Dạng 12: dx  sin x  a sin x  b  Ta thực theo bước sau : + Bước 1: Sử dụng đồng thức :  sin a  b  sin x  a   x  b   sin a  b  a  b  + Bước 2: Ta : sin x  a   x  b  dx   sin x  a sin x  b  sin a  b   sin x  a sin x  b  dx  sin x  a cos x - b   sin x  b cos x - a  dx  sin a  b  sin x  a sin x  b    cos x  b  cos x  a   dx  dx   sin a  b   sin x  b  sin x  a    ln sin x  b   ln sin x  a   sin a  b    sin x  b  C ln sin a  b  sin x  a  * Chú ý: phương pháp áp dụng cho dạng tích phân sau : dx  cos x  a cos x  b  sử dụng đồng thức :  Trang 13 ThuVienDeThi.com sin a  b  sin a  b  Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12 TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093 dx  sin x  a cos x  b  Dạng 13: sử dụng đồng thức :  cos a  b  cos a  b  dx  sin x  sin  * Dùng cơng thức tổng thành tích biến đổi dạng 12 giải bình thường * Chú ý : Phương pháp áp dụng cho dạng tích phân sau : dx dx  cos x  cos  ; Dạng 14: dx  cos x  m  sin x  m ; m 1 a1 sin x  b1 sin x cos x  c1 cos x dx  a2 sin x  b2 cos x  + Biến đổi : a1 sin x  b1 sin x cos x  c1 cos x   A sin x  B cos x a2 sin x  b2 cos x   C sin x  cos x + Khi đó:   A sin x  B cos x a2 sin x  b2 cos x   C sin x  cos x   a2 sin x  b2 cos x dx    A sin x  B cos x   C  a2 sin x  b2 cos x   A cos x  B sin x  Trong : sin   b2 C dx a22  b22  sin x      A cos x  B sin x  ; cos   a2 C a22  b22 ln tan x  C a b a  b22 dx Dạng 15:  a sin x  b sin x cos x  c cos x dx dx + Biến đổi dạng :   2 a sin x  b sin x cos x  c cos x atan x  b tan x  c cot x 2 2 2 dt dx  1  tan x dx  1  t dx  dx  cos x 1 t2 dx dt + Khi   2 a sin x  b sin x cos x  c cos x at  bt  c + Đặt: t  tan x  dt  Bài Tính nguyên hàm sau: a) cos x cos x.dx ĐS: a)  sin x.cos x  cos3 x.sin x dx  b)  sin 1 sin x  sin x  C 16 b) 3 sin x  sin x  sin x  x  C 16 48 32 x sin x.dx c) c)  cos x  C 16 Bài Tính nguyên hàm sau: a)  sin x cos xdx cos x.sin x dx b)   sin x cos3 x cos x  cos x cos x  C 2 1  c)   cot x  cot x  cot x   C 3  ĐS: a) b) cos x dx c)  sin x 1  sin x  ln 1  sin x   C  2 Bài Tính nguyên hàm sau: Trang 14 ThuVienDeThi.com Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12 TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093 a)  cot x  tan x  tan x dx sin x ĐS: a)  C 2sin x   cos2  x   8  b)  dx sin x  cos x  c) sin xdx   4sin x  cos x b)     3  ln  sin  x    cot  x    4  2 b)     C   C sin x  c) ln sin x   Bài Tính nguyên hàm sau: a) dx  dx c) sin x.cos x sin x.cos x ĐS: a) tan x  tan x  3ln tan x  C 2 tan2 x b)      tan x.tan   x  tan   x  dx tan2 x  ln tan x  C c)  ln cos x  C Bài Tính nguyên hàm sau: a) sin x.sin x  tan x  cot xdx ĐS: a)  b) dx  3sin x  2sin x cos x  cos2 x 1 1 cos x  cos x  cos x  cos x  C 12 4024 b) c)  2011 sin2011 x  sin2009 x sin5 x cot xdx tan x  ln C tan x  8046 2011 2011 c) cot 2011 x  cot 2011 x  C 4024 8046 Bài Tính nguyên hàm sau: 2dx a)  2sin x  cos x  ĐS: a) ln tan x x tan  2 5sin x dx b)  2sin x  cos x  C c)  cos x  sin x  b) x  ln 2sin x  cos x   ln  tan  x x tan  2 C x   ln tan     C  12  Bài Tính nguyên hàm sau: a) c) 4sin x  dx sin x  cos x dx sin x  cos x x     C  12  ĐS: a) ln tan  b)  4sin x  3cos x dx sin x  cos x b) x  ln sin x  cos x  C c) c)  2 8cos x dx sin x  cos x x   C ln tan     sin x  cos x  12  Bài Tính nguyên hàm sau: a)  dx   cos x.cos  x   4  b)  2sin x  dx Trang 15 ThuVienDeThi.com c)    tan x.tan  x   dx Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12 TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093 ĐS: a) ln  6x    sin    12   C b) ln cos  x       12  sin x C   cos  x   4  Bài Tính nguyên hàm sau: a) cos x sin xdx  d)  cos x cos xdx  sin x sin 3xdx e)  sin x cos xdx  cos e)  sin b) x sin 3 xdx x.sin xdx x cos 3 xdx  cos xdx f)  cos xdx j)  cos xdx x dx xdx 2 c) Bài 11 Tính nguyên hàm sau: a) sin xdx b)  e)  sin i)  cos  cos x.sin xdx f)  sin x cos xdx b) Bài 10 Tính nguyên hàm sau: a) cos x sin xdx  d)  cos cos x  xC   cos  x   4  c) ln  cos f)  cos 2 x.sin xdx 2 x sin xdx c)  cos 3xdx g)  sin 3xdx m)  cos 2xdx c)  sin d) h) sin xdx  n)  sin 2xdx 3xdx Bài 12 Tính nguyên hàm sau: a)  cos x sin xdx b)  cos x.sin xdx c) e) 2013  sin x.cos xdx f) sin x  cos x dx g) cos 2 x sin xdx sin x  cos x dx dx h)  sin x cos x 20  cos x sin xdx d)  Bài 13 Tính nguyên hàm sau: a)  sin x  cos x  e)   cos x dx dx b)   sin x dx f)   cos x dx 1 c)   sin x dx g)  c)  sin x  x x  sin  cos  2  dx x cos x cos x h)  dx sin x dx d)  sin d)  sin x  cos x dx h)  Bài 14 Tính nguyên hàm sau: a)  sin x dx e)  cos x dx 1 b)  cos 3x dx f)  sin x dx dx cos x dx g)  sin x  3.cos x 1 x x sin  cos 2 Bài 15 Tính nguyên hàm sau: a)  cos x dx b)  sin 2x dx c) e)  cot xdx f)  cot 3xdx g) i)  tan xdx j)  tan xdx m) c)  cos 3x dx d)  cos 2012 x dx h) cot x  sin x dx tan x  cos x dx n)  tan tan 2011 x  cos 3x dx d) cot10 x  sin x dx  cot xdx xdx Bài 16 Tính nguyên hàm sau: a) tan x  cos x dx b) cot x  sin 2 x dx Trang 16 ThuVienDeThi.com dx Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12 TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093 x dx e)  x cos tan f) cot x  sin x dx g) tan 2013 x  cos2 x dx c)  cos3x dx sin x g) cot11 x  sin 2 x dx h) Bài 17 Tính nguyên hàm sau: a)  sin x  e) sin x.e cos xdx sin x dx b)  x dx x sin cot  sin x f)  dx  sin x x dx x  cos sin x  sin d)   cot xdx h)  cos x c)  x sin x dx d)  g)   cot x dx sin x h)  m) e n)  cos x.e  sin xdx Bài 18 Tính nguyên hàm sau: a)  cos x sin x dx dx cos x sin x  sin x i)  dx  cos x e)  tan x  x sin x dx cos x f)  dx sin x b) j)  sin x.e cos x dx 2x sin(e x )dx sin x dx cos x cos5 x dx sin x sin x dx Bài 19 Tính nguyên hàm sau: a)  cos 2x dx sin x e)  dx  cos x  sin x i)  dx cos x b) cos x  sin x  cos x  2 dx  sin x  cos x f)  dx sin x  cos x k)  sin x cos x  sin x dx   c) sin 2 xdx d) cos xdx cos x g)  dx sin x   sin  x   4  l)  dx sin x cos x h) cos x   sin x.cos x dx cos x m)  dx sin x Bài 20 Tính nguyên hàm sau: dx  sin x cos3 x d)  dx   sin x cos  x   4  a) dx  sin x cos x e)  dx   sin x.sin  x   6  b) sin x   cos2 x dx f)  dx      cos  x   cos   x  6  3  c) Bài 21 Tính nguyên hàm sau: sin x  sin x dx  3cos x a)  d)  sin x  cos x  cos x  sin x dx sin x dx x  cos x b)  sin e) sin x  cos x  sin x  cos x  dx sin x c)  c)   sin x  cos x dx f)  dx cos x  4sin x sin x  cos x  f)  dx 4sin x  5cos x  Bài 22 Tính nguyên hàm sau: a) sin xdx  cos x sin x  cos x  sin x cos x d)  dx  sin x sin x  sin x  sin x tan x dx sin x  cos x e)  dx sin x  cos x b) Trang 17 ThuVienDeThi.com sin x cos x a cos x  b sin x dx Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12 TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093 VẤN ĐỀ Tính nguyên hàm số hàm số mũ logarit Bài Tính nguyên hàm sau: a) ln x  dx x   x   ln x dx c)  ln x  x dx d)  e x4 c) x e d)  x   b)  Bài Tính nguyên hàm sau: a)  x   e x dx b) dx x2 dx e2x e x 1 dx   x  e x dx Bài Tính nguyên hàm sau: ex a)  dx 1 ex e) i)   b) 2.ln x  3 dx  ln x dx x j) e)  ln xdx  ln x x5 dx c) b) f)  lnx   k) x h)  dx l) e   x dx ln 1  x dx d)  cos x.ln1  cos x dx ln x  x dx h) e x  e ex x  1 c) x g)  x e dx  ln x dx  ln x d) dx e 1 g)  dx x1  ln x  ln x  x  ln x dx Bài Tính nguyên hàm sau: a) dx e dx f)  x ln x x 2x ex 3 x ln x  ln x dx x  e x dx 2x x x dx VẤN ĐỀ Tính nguyên hàm phương pháp tính nguyên hàm phụ Để xác định nguyên hàm hàm số f(x), ta cần tìm hàm g(x) cho nguyên hàm hàm số f(x)  g(x) dễ xác định so với f(x) Từ suy nguyên hàm f(x) Bước 1: Tìm hàm g(x) Bước 2: Xác định nguyên hàm hàm số f(x)  g(x), tức là:  F ( x )  G( x )  A( x )  C1 (*)   F ( x )  G( x )  B( x )  C2 Bước 3: Từ hệ (*), ta suy F ( x )  A( x )  B( x ) C nguyên hàm f(x) Bài Tính ngun hàm sau: a) sin x  sin x  cos x dx d)  cos2 x.sin xdx b)  cos x x x sin  cos 2 x e e)  dx e x  e x dx c) f)   sin x sin x  cos4 x e x e x  e x dx dx Bài Tính nguyên hàm sau: a) cos x  sin x  cos x dx sin x  sin 3x  cos3x dx b) Trang 18 ThuVienDeThi.com c) Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12 TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093  cos4 x x x sin  cos4 2 dx d)  2sin x.sin xdx e)  e e 2x 2 x  e2 x dx Trang 19 ThuVienDeThi.com f)  x e x e e  x dx ... cos x  b sin x dx Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12 TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hoà-0978333093 VẤN ĐỀ Tính nguyên hàm số hàm số mũ logarit Bài Tính nguyên hàm sau: a) ln x... )3 dx Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12 TRƯƠNG NGỌC VỸ - Nha trang –Khánh Hồ-0978333093 VẤN ĐỀ Tính ngun hàm phương pháp tính nguyên hàm phần  udv  uv   vdu Với P(x) hàm đa... phương pháp áp dụng cho dạng tích phân sau : dx  cos x  a cos x  b  sử dụng đồng thức :  Trang 13 ThuVienDeThi.com sin a  b  sin a  b  Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12