Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Ứng Dụng File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Ứng Dụng MỤC LỤC 1.1 NGUYÊN HÀM ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ NG.H CƠ BẢN 1.2 NGUYÊN HÀM ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ NG.H CƠ BẢN NGUYÊN HÀM ĐỔI BIẾN NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN TÍCH PHÂN ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ TP CƠ BẢN TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN GTLN, GTNN – BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN 8.1 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ÁP DỤNG TÍNH CHẤT 8.2 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ÁP DỤNG ĐỔI BIẾN 8.3 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ÁP DỤNG TỪNG PHẦN 9.1 ỨNG DỤNG TÍNH DIỆN TÍCH GIỚI HẠN BỞI CÁC ĐƯỜNG 9.2 ỨNG DỤNG TÍNH DIỆN TÍCH CÓ ĐỒ THỊ ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG THỰC TẾ 10.1 ỨNG DỤNG TÍNH THỂ TÍCH GIỚI HẠN BỞI CÁC ĐƯỜNG 10.2 ỨNG DỤNG THỰC TẾ THỂ TÍCH BỞI CÁC ĐƯỜNG VÀ ỨNG DỤNG THỰC TẾ 11 ỨNG DỤNG THỰC TẾ VÀ LIÊN MÔN File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Ứng Dụng NGUYÊN HÀM CƠ BẢN A - KIẾN THỨC CƠ BẢN Nguyên hàm Định nghĩa: Cho hàm số f  x  xác định K ( K khoảng, đoạn hay nửa khoảng) Hàm số F  x  gọi nguyên hàm hàm số f  x  K F '  x   f  x  với x  K Định lí: 1) Nếu F  x  nguyên hàm hàm số f  x  K với số C , hàm số G  x   F  x   C nguyên hàm f  x  K 2) Nếu F  x  nguyên hàm hàm số f  x  K nguyên hàm f  x  K có dạng F  x   C , với C số Do F  x   C, C   họ tất nguyên hàm f  x  K Ký hiệu  f  x  dx  F  x   C Tính chất nguyên hàm Tính chất 1:   f  x  dx   f  x   f '  x  dx  f  x   C Tính chất 2:  kf  x  dx  k  f  x  dx với k số khác Tính chất 3:   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx Sự tồn nguyên hàm Định lí: Mọi hàm số f  x  liên tục K có nguyên hàm K Bảng nguyên hàm số hàm số sơ cấp Nguyên hàm hàm số sơ cấp Nguyên hàm hàm số hợp u  u  x   dx  x  C  du  u  C x  dx   1 x  C   1  1 u  du  1  x dx  ln x  C  u du  ln u  C  e dx  e  e du  e x x C ax  a dx  ln a  C  a  0, a  1 x  1 u  C   1  1 u u C au  a du  ln a  C  a  0, a  1 u File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Ứng Dụng  sin xdx   cos x  C  sin udu   cos u  C  cos xdx  sin x  C  cos udu  sin u  C  cos x  sin x  cos dx  tan x  C u  sin dx   cot x  C u du  tan u  C du   cot u  C B - BÀI TẬP Câu DẠNG 1:SỬ DỤNG LÍ THUYẾT Trong khẳng định đây, có khẳng định đúng? (1): Mọi hàm số liên tục  a; b có đạo hàm  a; b (2): Mọi hàm số liên tục  a; b có nguyên hàm  a; b (3): Mọi hàm số đạo hàm  a; b có nguyên hàm  a; b Câu (4): Mọi hàm số liên tục  a; b có giá trị lớn giá trị nhỏ  a; b A B C D Cho hai hàm số f  x  , g  x  liên tục  Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai?   f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx B   f  x  g  x   dx   f  x  dx. g  x  dx C   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx D  kf  x  dx  k  f  x  dx  k  0;k    A Câu Câu Cho f  x  , g  x  hàm số xác định liên tục  Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A  f  x  g  x  dx   f  x  dx. g  x  dx B  f  x  dx  2 f  x  dx C D   f  x   g  x   dx  f  x  dx   g  x  dx   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx Khẳng định sau khẳng định sai? A  kf  x  dx  k  f  x  dx với k   B   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx với f  x  ; g  x  liên tục   1 C  x dx  x với   1  1  D  f  x  dx  f  x   Câu  Cho hai hàm số f  x  , g  x  hàm số liên tục, có F  x  , G  x  nguyên hàm f  x  , g  x  Xét mệnh đề sau:  I  F  x   G  x  nguyên hàm f  x   g  x   II  k.F  x  nguyên hàm k f  x  với k    III  F  x  G  x  nguyên hàm f  x  g  x  Các mệnh đề File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu Tích Phân Ứng Dụng A  II   III  B Cả mệnh đề C  I   III  D  I   II  Mệnh đề sau sai? A   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx , với hàm số f  x  , g  x  liên tục   f   x  dx  f  x   C với hàm số f  x  có đạo hàm  C   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx , với hàm số f  x  , g  x  liên tục  D  kf  x  dx  k  f  x  dx với số k với hàm số f  x  liên tục  B Câu Câu Cho hàm số f  x  xác định K F  x  nguyên hàm f  x  K Khẳng định đúng? A f   x   F  x  , x  K B F   x   f  x  , x  K C F  x   f  x  , x  K D F   x   f   x  , x  K Cho hàm số f  x  xác định K Khẳng định sau sai? A Nếu hàm số F  x  nguyên hàm f  x  K với số C , hàm số G  x   F  x   C nguyên hàm f  x  K B Nếu f  x  liên tục K có nguyên hàm K C Hàm số F  x  gọi nguyên hàm f  x  K F   x   f  x  với xK D Nếu hàm số F  x  nguyên hàm f  x  K hàm số F   x  nguyên hàm f  x  K Câu DẠNG 2: ÁP DỤNG TRỰC TIẾP BẢNG NGUYÊN HÀM Cho f  x   , chọn mệnh đề sai mệnh đề sau: x2 A Trên  2;   , nguyên hàm hàm số f  x  F  x   ln  x    C1 ; khoảng  ; 2  , nguyên hàm hàm số f  x  F  x   ln   x    C2 ( C1 , C2 số) B Trên khoảng  ; 2  , nguyên hàm hàm số f  x  G  x   ln   x    C Trên  2;   , nguyên hàm hàm số f  x  F  x   ln  x   D Nếu F  x  G  x  hai nguyên hàm của f  x  chúng sai khác số Câu 10 Khẳng định sai? A  cos x dx   sin x  C C  x dx  x  C Câu 11 Tìm mệnh đề sai mệnh đề sau x4  C A  x3dx  C  sin xdx  C  cos x Câu 12 Trong khẳng định sau, khẳng định sai? A  dx  x  2C ( C số) C  0dx  C ( C số)  x dx  ln x  C D  e dx  e  C B x x  x dx  ln x  C D  2e dx   e  C  B x x xn 1  C ( C số; n   ) B  x dx  n 1 D  e x dx  e x  C ( C số) n File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 13 Tìm nguyên hàm F  x     dx A F  x    x  C C F  x   3 C Tích Phân Ứng Dụng B F  x   2 x  C D F  x   Câu 14 Họ nguyên hàm hàm số f  x   e x  cos x  2018  x2 C A F  x   e x  sin x  2018 x  C B F  x   e x  sin x  2018 x  C C F  x   e x  sin x  2018 x D F  x   e x  sin x  2018  C Câu 15 Nguyên hàm hàm số f  x   x  là: x  9x  C B x  x  C C x  C e Câu 16 Họ nguyên hàm hàm số f  x   e.x  A D x3  x  C xe 1  4x  C B e x  C C A 101376 e 1 Câu 17 Họ nguyên hàm hàm số f  x   x  x  e.xe 1  4x  C D e 1 e 1 A 20 x3  12 x  C C 20 x  12 x3  x  C Câu 18 Khẳng định sau sai? B x  x3  x  C x4  2x2  2x  C D x5  C C  dx  ln x  C D  e x dx  e x  C x Câu 19 Nguyên hàm hàm số y  x  x  x x 3x x3 x   ln x  C   C B A 3 x 3 x 3x x 3x   ln x  C   ln x  C C D 3 a b Câu 20 Cho hàm số f  x     , với a , b số hữu tỉ thỏa điều kiện x x A  dx  C B  x dx   f  x  dx   3ln Tính T  a  b A T  1 B T  C T  2 D T  Câu 21 Họ nguyên hàm hàm số f  x   3x  x  A F  x   x  x  B F  x   x  x  C C F  x   x  x  x  C D F  x   x  x  C Câu 22 Hàm số sau nguyên hàm hàm số f ( x)   3x  1 ? A F  x   x  1  8 18 x  1  C F  x   18 B F  x   x  1  2 18 x  1  D F  x   File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 23 Họ nguyên hàm hàm số f  x    x4  x  C A 3x Tích Phân Ứng Dụng 1  x  x 2 B  2x  C x Câu 24 Họ nguyên hàm hàm số f  x   x  x4  x2  C C  3x 1   x x2 A x  ln x   x x C x  ln x   x  C x Câu 25 Nguyên hàm f  x   x  x  x là:  x3 x   C D x  2x  C x D x  ln x   x  C x B x  ln x  4 x  x3  x C B 3 x C D C x  x3  Câu 26 Họ nguyên hàm hàm số f  x   x  x 2018 A 4 x  x  x C 3 3 x  x  x C 3 x 2019 x 2019 C C B x3  673 2019 1 x 2019  6054 x 2017  C C  C D x x 673 x Câu 27 Hàm số F ( x)  e  tan x  C nguyên hàm hàm số f(x) 1 B f ( x)  e x  A f ( x)  e x  sin x sin x x   e C f ( x )  e x 1  D f  x   e x   cos x  cos x  Câu 28 Nếu  f  x  dx   ln x  C với x   0;   hàm số f  x  x 1 B f  x   x  A f  x     x x 2x 1 C f  x    ln  x  D f  x     x x 2x x  x 1 Câu 29 Tìm họ nguyên hàm hàm số f  x   x 1 x2 1  ln x 1  C D x  ln x   C C B   C C A x  x 1  x  1 A x A F  x   x  tan x  C sin x B F  x   x  tan x  C C F  x   x  cot x  C D F  x   x  cot x  C Câu 30 Nguyên hàm F  x  hàm số f  x    Câu 31 Tìm nguyên hàm hàm số f  x   3cos x  A 3sin x  C x B 3sin x   C x  0;   x2 C 3cos x   C x File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D 3cos x  ln x  C Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Ứng Dụng Câu 32 Họ nguyên hàm hàm số f  x   x  sin x A x  cos x  C B x  sin x  C C x  cos x  C Câu 33 Tìm nguyên hàm hàm số f ( x)  3x2  8sin x  f  x  dx  x  cos x  C C  f  x  dx  x  8cos x  C A  f  x  dx  x  8cos x  C D  f  x  dx  x  cos x  C B  x Câu 34 Tìm nguyên hàm hàm số f  x   cos2   2 A  f  x  dx  x  sinx  C B C x  f  x  dx   sinx  C D x2  sin x  C B Câu 35 Tìm họ nguyên hàm hàm số f  x   x  cos x A C Câu 36  f  x  dx   f  x  dx  x sin x  cos x  C x D x3  sin x  C D  f  x  dx  x  sinx  C x  f  x  dx   sinx  C  f  x  dx   sin x  C  x2 f  x  dx   sin x  C a b x  x  C , a, b hai số hữu tỉ Giá trị a bằng: B C D 32  x3  dx có dạng A 1 1  a b Câu 37   x3  x  dx có dạng x  x  C , a, b hai số hữu tỉ Giá trị a 12 3  bằng: 36 A B 12 C 1 D Không tồn Câu 38    2a  1 x  bx  dx , a, b hai số hữu tỉ Biết     2a  1 x  bx  dx  A 1; 1 x sin x  cos x  x  x  C Giá trị a, b bằng: B 3; C  ; D   Câu 39 Tìm nguyên hàm hàm số f  x  thỏa mãn điều kiện: f  x   x  3cos x, F    2 A F ( x)  x2  3sin x   C F ( x)  x  3sin x  2 2 Câu 40 Một nguyên hàm F(x) hàm số f ( x )  x  A F( x)  cotx  x2  C F( x)  cotx  x 2 16 B F ( x)  x  3sin x  2 D F ( x)  x2  3sin x   2  thỏa mãn F( )  1 là: sin x 2 16 2 D F( x)  cotx  x  16 B F( x)  cotx  x  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 41 Nếu  f ( x)dx  e x  sin x  C f ( x) hàm nào? A e x  cos x B e x  sin x Câu 42 Tìm nguyên hàm F(x) f ( x)  x2 1   x x2 1 C F ( x)    x Câu 43 Họ nguyên hàm hàm số f ( x)  A x  3ln x  C  Câu 44  ( Tính x  )dx x 1  3ln x  C D e x  sin x x2   x x2 D F (x)    x B F ( x)   : x x B x  3ln x  C D 16 x  3ln x  C 33 x  ln x  C 5 D x5  ln x  C C x5  ln x  C Câu 45 Nguyên hàm F(x) hàm số f ( x)  x  3x  x  thỏa mãn F(1)  là: A  33 x  ln x  C C e x  cos x x3  biết F(1) = x2 A F ( x)  C x Tích Phân Ứng Dụng B A F( x)  x  x3  x2  B F( x)  x  x3  x2  10 C F( x)  x  x3  x2  x D F( x)  x4  x3  x2  x  10 Câu 46 Họ nguyên hàm hàm số y  (2 x  1)5 là: 1 (2 x  1)6  C B (2 x  1)6  C A 12 C (2 x  1)6  C D 10(2 x  1)4  C Câu 47 Nguyên hàm F  x  hàm số f  x   x  x  thỏa mãn điều kiện F    x4 A x  x B x   x C x  x  x Câu 48 Tìm hàm số F(x) biết F ’  x   x – x  F  1  3 D Đáp án khác A F  x   x – x  x  B F  x   x – x +2x  C F  x   x – x  x  D F  x   x  x  x  Câu 49 Hàm số f  x  xác định, liên tục  có đạo hàm f   x   x  Biết f    Tính f    f   ? B 12 C D 11 A 10 Câu 50 Cho hàm số f  x  thỏa mãn đồng thời điều kiện f   x   x  sin x f    Tìm f  x x2  cos x  x2 C f  x    cos x A f  x   x2  cos x  x2 D f  x    cos x  2 B f  x   File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Ứng Dụng Câu 51 Cho hàm số f  x  thỏa mãn f   x    5cos x f    Mệnh đề đúng? A f  x   x  5sin x  B f  x   x  5sin x  C f  x   x  5sin x  D f  x   x  5sin x  Câu 52 Biết F  x  nguyên hàm của hàm số f  x   sin x đồ thị hàm số y  F  x    qua điểm M  0;1 Tính F   2         A F    B F    1 C F    D F    2 2 2 2 Câu 53 Cho F  x  nguyên hàm hàm số f  x   x  x  thỏa mãn F    , giá trị F 1 A B 13 C Câu 54 Tìm nguyên hàm F  x  hàm số f  x   ax  F 1  , f 1  D 11 b  x   , biết F  1  , x2 3x   A F  x   2x 3x   B F  x   2x 3x 3x     D F  x   C F  x   4x 2x Câu 55 Biết hàm số y  f  x  có f   x   3x  x  m  , f    đồ thị hàm số y  f  x  cắt trục tung điểm có tung độ 5 Hàm số f  x  A x3  x  3x  B x  x  x  C x3  x  x  Câu 56 Gọi F  x  nguyên hàm hàm số f  x    x  3 D x  x  x  thỏa mãn F    Giá trị biểu thức log 3F 1  F    A 10 B 4 C D Câu 57 Gọi F  x  nguyên hàm hàm số f  x   x   m  1 x  m  , với m tham số thực Một nguyên hàm f  x  biết F 1  F    là: A F  x   x  x  x  B F  x   x  x  C F  x   x  x  D Đáp án A B File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Ứng Dụng S   12  4t  dt  12t  2t   18 mét 0 Khoảng cách hai xe dừng hẳn là: S  S1  S2   18  24 mét Câu 31: Một ô tô chạy với tốc độ 36  km/h  người lái xe đạp phanh, từ thời điểm đó, tơ chuyển động chậm dần với vận tốc v  t   5t  10  m/s  , t khoảng thời gian tính giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến lúc dừng hẳn, tơ cịn di chuyển mét? A 10  m  B 20  m  C  m  D 0,  m  Hướng dẫn giải Chọn A 36 km/h  10 m/s Khi xe dừng vận tốc  5t  10   t   s  Quãng đường xe đường từ lúc đạp phanh đến lúc dừng 2  5t  s   v  t  dt    5t  10  dt     10t   10  m   0 0 Câu 32: Một ô tô chạy với vận tốc 20 m/s người lái xe đạp phanh Sau đạp phanh, ô tô chuyển động chậm dần với vận tốc v  t   4t  20  m/s  , t khoảng thời gian tính giây kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn, tơ cịn di chuyển mét? A 150 mét B mét C 50 mét D 100 mét Hướng dẫn giải Chọn C Đặt t0  thời điểm người lái xe ô tô bắt đầu đạp phanh, tơ dừng hẳn vận tốc triệt tiêu nên 4t  20   t  Từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn, tơ cịn di chuyển qng đường:   4t  20  dt  50 mét Câu 33: Một vật chuyển động với vận tốc 10 m/s tăng tốc với gia tốc tính theo thời gian a  t   t  3t Tính quãng đường vật khoảng thời gian giây kể từ vật bắt đầu tăng tốc A 136m B 126m C 276m D 216m Hướng dẫn giải Chọn D t  t 3t  3 Ta có v    10 m/s v  t    a  t  dt    t  3t  dt      t  t  0 0 t t File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 639 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Ứng Dụng 6   1 1 Quãng đường vật S   v  t  dt    t  t  dt   t  t   216 m 0   12 0 Câu 34: Một ôto chuyển động với vận tốc 20  m/s  hãm phanh chuyển động chậm dần với vận tốc v  t   2t  20  m/s  , t khoảng thời gian tính giây kể từ lúc bắt đầu hãm phanh Tính quãng đường mà ôto 15 giây cuối đến dừng hẳn B 75  m  C 200  m  D 125  m  A 100  m  Hướng dẫn giải Chọn C Thời gian từ lúc hãm phanh đến dừng hẳn là: 2t  20   t  10  s  Quãng đường ôto 15 giây cuối là: 10 s  20.5    2t  20  dt  100   t  20t  10  100   100  200   200  m  Câu 35: Một máy bay chuyển động đường băng với vận tốc v  t   t  10t  m/s  với t thời gian tính theo đơn vị giây kể từ máy bay bắt đầu chuyển động Biết máy bay đạt vận tốc 200  m/s  rời đường băng Qng đường máy bay di chuyển đường băng A 500  m  B 2000  m  C 4000 m D 2500 m Hướng dẫn giải Chọn D - Thời điểm máy bay đạt vận tốc 200  m/s  nghiệm phương trình: t  10  t  10  s  t  10t  200  t  10t  200    t  20 - Quãng đường máy bay di chuyển đường băng là: 10 10  t3  2500 s    t  10t  dt    5t   m 3 0 Câu 36: Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần với vận tốc v1  t   7t  m/ s  Đi 5s , người lái xe phát chướng ngại vật phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần với gia tốc a  70  m/ s  Tính quãng đường S ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh dừng hẳn A S  96, 25  m  B S  87,5  m  C S  94  m  D S  95,  m  Hướng dẫn giải Chọn A File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 640 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Ứng Dụng Chọn gốc thời gian lúc ô tô bắt đầu Sau 5s ô tô đạt vận tốc v    35  m/s  Sau phanh vận tốc ô tô v  t   35  70  t  5 Ô tô dừng thời điểm t  5,5s 5,5 Quãng đường ô tô S   7tdt   35  70  t  5 dt  96, 25  m  Câu 37: Một xe đua thể thức I bắt đầu chuyển động tăng tốc với gia tốc khơng đổi, vận tốc 80 m/s xe chuyển động với vận tốc không đổi thời gian 56s , sau giảm với gia tốc khơng đổi đến dừng lại Biết thời gian chuyển động xe 74s Tính quảng đường xe A 5200 m B 5500 m C 5050 m D 5350 m Hướng dẫn giải Chọn A Lần tăng tốc xe chuyển động với vận tốc v  t   a.t ,  a   80 s  a Lần giảm tốc, xe chuyển động với vận tốc v3  80  bt ,  b   Đến xe đạt vận tốc 80m/s xe chuyển động hết t1  80 s  b 80 80 80 80 Theo yêu cầu tốn ta có  56   74    18 a b a b Khi xe dừng lại xe chuyển động thêm t3  t1 Ta có S1   atdt  S2  80.56  m  80 a 802 dt at   m 0 a t3 80 b 0 S3  b   80  bt  dt    80  bt  dt  80  m b  80 80  Vậy quảng đường xe chạy S3  80.    80.56  40.18  80.56  5200  m   a b  Câu 38: Một ô tơ chạy với vận tốc v0  m/s  gặp chướng ngại vật nên người lái xe đạp phanh Từ thời điểm ơtơ chuyển động chậm dần với gia tốc a  8t  m/s  t thời gian tính giây Biết từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn, tơ cịn di chuyển 12m Tính v0 ? A 1296 B 36 Chọn A a  8t  m / s   v   8tdt  4t  C C 1269 Hướng dẫn giải D 16 Tại thời điểm t  vận tốc vật v0  m/s  nên ta có v0  C , v  4t  v0 Tại thời điểm t0 vận tốc vật nên ta có  4t0  v0  4t0  v0 Ta có t0 36 4t0 4t0 3  t  t v t v t t   d  12     12     12   0 0 0 3 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 641 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Ứng Dụng  36   v0     1296   Câu 39: Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước Gọi h(t) thể tích nước bơm sau t giây Cho h’  t   3at  bt ban đầu bể khơng có nước Sau giây thể tích nước bể 150m3 Sau 10 giây thể tích nước bể 1100m3 Hỏi thể tích nước bể sau bơm 20 giây A 8400m3 B 2200m3 C 6000m3 D 4200m3 Hướng dẫn giải bt Ta có h  t    (3at  bt )dt  at  2   a b.52  150  a  Khi đo ta có hệ:   103.a  b.102  1100 b   Khi h  t   t  t Vậy thể tích nước bể sau bơm 20 giây h  20   8400m Chọn A Câu 40: Gọi h  t   cm mức nước bồn chứa sau bơm t giây Biết 13 t  lúc đầu bồn khơng có nước Tìm mức nước bồn sau bơm nước giây (chính xác đến 0, 01 cm ) A 2, 67 cm B 2, 66 cm C 2, 65 cm D 2, 68 cm Chọn B h  t    Hàm h  t    13 t  8dt   t   t   C 20  Lúc t  , bồn không chứa nước Suy h     12 12 C   C   5 12  t  8 t   20  Mức nước bồn sau giây h    2,66 cm Câu 41: Khi quan sát đám vi khuẩn phịng thí nghiệm người ta thấy ngày thứ x có số 2000 lượng N  x  Biết N   x   lúc đầu số lượng vi khuẩn 5000 con.Vậy ngày 1 x thứ 12 số lượng vi khuẩn là? Vậy, hàm h  t   A 10130 B 5130 C 5154 D 10129 Hướng dẫn giải File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 642 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Ứng Dụng Chọn A Thực chất tốn tìm ngun hàm Cho N   x  tìm N  x  Ta có 2000   x dx 2000.ln  x  5000 ( Do ban đầu khối lượng vi khuẩn 5000).Với x  12 số lượng vi khuẩn  10130 4000 lúc đầu  0,5t đám vi trùng có 250000 Hỏi sau 10 ngày số lượng vi trùng gần với số sau nhất? A 251000 B 264334 C 261000 D 274334 Chọn B Câu 42: Một đám vi trùng ngày thứ t có số lượng N  t  Biết N   t    N t    4000 dt  8000.ln  0,5t  C  0,5t  Lúc đầu có 250000 con, suy N    250000  C  250000  Vậy N  t   8000.ln  0,5t  250000  N 10  264334,0758 7000 lúc đầu đám t2 vi trùng có 300000 Sau 10 ngày, đám vi trùng có khoảng con? Câu 43: Một đám vi trùng ngày thứ t có số lượng N (t ) , biết N (t )  A 302542 B 322542 C 312542 D 332542 Hướng dẫn giải Chọn C Ta có N (t )   N (t )dt   7000 dt  7000 ln | t  | C t2 Do N (0)  300000  C  300000  7000 ln Khi N (10)  7000 ln12  300000  7000 ln  312542 Chọn C Câu 44: Tốc độ phát triển số lượng vi khuẩn hồ bơi mơ hình hàm số 1000 B  t   , t  , B  t  số lượng vi khuẩn ml nước ngày thứ 1  0,3t  t Số lượng vi khuẩn ban đầu 500 ml nước Biết mức độ an toàn cho người sử dụng hồ bơi số vi khuẩn phải 3000 ml nước Hỏi vào ngày thứ nước hồ khơng cịn an tồn nữa? A B 10 C 11 D 12 Hướng dẫn giải Chọn B File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 643 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ta có 1000  B '  t  dt   1  0,3t  Mà B    500   Do đó: B  t    dt   Tích Phân Ứng Dụng 1000 C 0, 1  0, 3t  10000 11500  C  500  C  1  0, 3.0  10000 11500  1  0,3t  Nước hồ an toàn khi B  t   3000   10000 11500   3000  t  10 1  0,3t  Vậy kể từ ngày thứ 10, nước hồ không cịn an tồn Câu 45: Hạt electron có điện tích âm 1, 6.10 19 C Nếu tách hai hạt eletron từ 1pm đếm pm cơng W sinh B W  1, 728.10-16 J A W  3,194.10 28 J C W  1, 728.10 28 J D W  3,194.10 16 J Hướng dẫn giải Chọn B b kq1q2 dx x a  Áp dụng công thức A   Trong đó: k  9.109 ; a  pm  10 12 m; b  pm  4.10 12 m ; q1  q2  1, 6.10 19 C 4.1012 9.109 1, 6.1019  4.1012  1  Suy ra: A    1, 728.1016 J dx  2, 304.10    x  x  1012 1012 Câu 46: Trong mạch máy tính, cường độ dịng điện (đơn vị mA ) hàm số theo thời gian t, với I (t )  0,3  0, 2t Hỏi tổng điện tích qua điểm mạch 0,05 giây bao nhiêu? B 0, 29 mC C 0, 01525 mC D 0, 01475 mC A 0, 29975 mC Hướng dẫn giải 28 Chọn D 0,05 0,05 0,05  t2  q   I  t  dt    0,3  0, 2t  dt   0, 3t    0, 01475 mC 10   0 Câu 47: Dịng điện xoay chiều hình sin chạy qua đoạn mạch LC có có biểu thức cường độ   i  t   I cos  t   Biết i  q với q điện tích tức thời tụ điện Tính từ lúc t  , điện 2   lượng chuyển qua tiết diện thẳng dây dẫn đoạn mạch thời gian  2I  2I  I0 B C A D    Hướng dẫn giải File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 644 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Ứng Dụng Chọn C Điện lượng chuyển qua tiết diện dây dẫn đoạn mạch thời gian từ đến        I     2I   q   i  t  dt   I cos  t   dt  sin  t      2 0   0 Câu 48: Khi lò xo bị kéo căng thêm x  m  so với độ dài tự nhiên 0,15  m lị xo lị xo trì lại (chống lại) với lực f  x   800 x Hãy tìm cơng W sinh kéo lò xo từ độ dài từ 0,15  m đến 0,18  m  A W  36.102 J B W  72.102 J C W  36 J D W  72 J Hướng dẫn giải Chọn A Công sinh kéo căng lò xo từ 0,15m đến 0,18m là: W 0,03  800 x.dx 400 x 0,03  36.10 2 J Chú ý: Nếu lực giá trị biến thiên (như nén lò xo) xác định hàm F  x  cơng b sinh theo trục Ox từ a tới b A   F  x  dx a 2  Câu 49: Một dòng điện xoay chiều i = I0 sin  t    chạy qua mạch điện có điện trở  T  R.Hãy tính nhiệt lượng Q tỏa đoạn mạch thời gian chu kì T A RI 02 T B RI 02 T C RI 02 T D RI 02 T Hướng dẫn giải Chọn A T  2  Ta có: Q =  Ri dt   RI sin  t    dt  RI 02 0  T  0 T T 2  2     cos   T dt T RI 02  RI 02 T  2   t t    T sin   4  T  Câu 50: Đặt vào đoạn mạch hiệu điện xoay chiều u = U0 sin 2 t Khi mạch có T 2  dòng diện xoay chiều i = I0 sin  t    với  độ lệch pha dòng diện hiệu  T  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 645 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Ứng Dụng điện thế.Hãy Tính cơng dịng diện xoay chiều thực đoạn mạnh thời gian chu kì A U0I0 cos B U0 I0 T sin  C U0 I0 Tcos (   ) D U0 I0 Tcos Hướng dẫn giải Ta có: T 2  2  A =  uidt   U I sin  t    sin tdt  U I  cos  cos  4 t     dt 0  T  T   T  0 T T T U I 1 U I  U I T  4   4  t     dt  0  tcos  t      0 Tcos sin   0   cos  cos  2  4  T   T  T Hướng dẫn giải Chọn D Câu 51: Để kéo căng lị xo có độ dài tự nhiên từ 10cm đến 15cm cần lực 40N Tính cơng ( A ) sinh kéo lị xo có độ dài từ 15cm đến 18cm A A  1,56 ( J ) B A  ( J ) C A  2,5 ( J ) D A  ( J ) Hướng dẫn giải Chọn A x f  x   k x M O x x Theo Định luật Hooke, lực cần dùng để giữ lò xo giãn thêm x mét từ độ dài tự nhiên f  x   kx , với k  N /m độ cứng lò xo Khi lò xo kéo giãn từ độ dài 10cm đến 15cm , lượng kéo giãn cm  0.05 m Điều có nghĩa f  0.05  40 , đó: 40 0, 05k  40  k   800  N /m  0, 05 Vậy f  x   800 x cơng cần để kéo dãn lị xo từ 15cm đến 18cm là: A 0,08  0,05 0,08 2 800 dx  400 x 0,05  400  0, 08    0, 05    1,56  J    Câu 52: Một AB có chiều dài 2a ban đầu người ta giữ góc nghiêng    o , đầu tựa không ma sát với tường thẳng đứng Khi bng thanh, trượt xuống tác dụng trọng lực Hãy biểu diễn góc  theo thời gian t (Tính cơng thức tính phân) File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 646 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A  A t    o d (sin  o  sin  ) 2a  C t    o d 3g (sin  o  sin  ) a Tích Phân Ứng Dụng  B t    o d 3g (sin  o  sin  ) 2a  D t    o d 3g (sin  o  sin  ) 2a Hướng dẫn giải Do trượt không ma sát nên bảo toàn mga sin  o  mga sin   K q  K tt (1) Do khối tâm chuyển động đường tròn tâm O bán kính a nên: K tt  Động quay quanh khối tâm: K q  Thay vào (1) ta được: '  t   o ma 2  ma 2 '2 2 1 I  m(2a)2  '2  ma 2 '2 2 12 a '2  g (sin  o  sin  ) 3g (sin  o  sin  ) 2a d 3g (sin  o  sin  ) 2a Chọn D Câu 53: Trong kinh tế học, thặng dư tiêu dùng hàng hóa tính cơng thức a I    p( x )  P  dx Với p( x) hàm biểu thị biểu thị công ty đưa để bán x đơn vị hàng hóa Câu 54: a số lượng sản phẩm bán ra, P  p( a ) mức giá bán ứng với số lượng sản phẩm làa Cho p  1200  0, x  0, 0001x , (đơn vị tính USD) Tìm thặng dư tiêu dùng số lượng sản phẩm bán 500 B 570833,3 USD C 33333,3 USD D Đáp án khác A 1108333,3 USD Hướng dẫn giải Chọn C Áp dụng công thức với a  500; P  p  a   p  500   1075 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 647 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Ứng Dụng 500 500  x2 x3  Suy I   1200  0, x  0, 0001x  1075  dx  125 x     33333,3 USD 10 30000   Câu 55: Một vật chuyển động với vận tốc v (km/ h) phụ thuộc thời gian t (h) có đồ thị phần đường parabol có đỉnh I (1;1) trục đối xứng song song với trục tung hình bên Tính qng đường s mà vật di chuyển kể từ lúc xuất phát A s  (km) B s  (km) C s  40 (km) D s  46 (km) Hướng dẫn giải Chọn C Hàm biểu diễn vận tốc có dạng v  t   at  bt  c Dựa vào đồ thị ta có: c  a   b    b  2  v  t   t  2t   1 a  c  a  b  c   Với t   v    10 (thỏa mãn) Từ s    t  2t   dt  40  km  Câu 56: Một vật chuyển động với vận tốc v  km / h  phụ thuộc vào thời gian t  h  có đồ thị vận tốc hình bên Trong khoảng thời gian kể từ bắt đầu chuyển động, đồ thị phần đường parabol có đỉnh I  2;5 trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian lại đồ thị đoạn thẳng song song với trục hồnh Tính qng đường mà vật di chuyển File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 648 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A 15  km  B 32  km  Tích Phân Ứng Dụng C 12  km  D 35  km  Hướng dẫn giải Chọn B Parabol có đỉnh I  2;5 qua điểm  0;1 có phương trình y   x  x  Quãng đường vật đầu là:  x3  x 1 S1     x  x  1 dx     x  x     x0 Quãng đường vật sau S2  2.4  8 32 Vậy ba vật quãng đường S  S1  S2     km  3 Câu 57: Một vật chuyển động với vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị phần đường parabol có đỉnh I (2;9) trục đối xứng song song với trục tung hình bên Tính qng đường s mà vật di chuyển A s  24, 25 (km) B s  26,75 (km) C s  24,75 (km) D s  25,25 (km) Hướng dẫn giải Giả sử phương trình chuyển động vật theo đường parabol v t   at  bt  c km / h      c  c   b   v t   3 t  3t  Ta có: 4a  2b  c      3 b  2  a    2a Vậy quãng đường mà vật di chuyển là: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 649 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Ứng Dụng  3  99 s    t  3t  6 dt   24,75   Chọn C Hướng dẫn giải Giả sử phương trình chuyển động vật theo đường parabol v t   at  bt  c km / h    c  c   a b  Ta có:    c   b  32  v t   32t  32t 4   a  32 b   2a Vậy quãng đường mà vật di chuyển 45 phút là: 3/4 s   32t  32t  dt   4,5 Chọn C Câu 58: Một vật chuyển động với vận tốc v (km/h) phụ thuộc thời gian t (h) có đồ thị vận tốc hình bên Trong khoảng thời gian kể từ bắt đầu chuyển động, đồ thị phần đường parabol có đỉnh I (2;9) với trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian lại đồ thị đoạn thẳng song song với trục hồnh Tính quãng đường s mà vật di chuyển đó? A 26,5 (km) B 28,5 (km) C 27 (km) D 24 (km) Hướng dẫn giải Giả sử phương trình chuyển động vật theo đường parabol v t   at  bt  c km / h     c  c   9 t  9t Ta có:  4a  2b  c   b   v t     9  b  2  a    2a 27 27 suy phương trình chuyển động vật tốc theo đường thẳng y  Ta có v 3  4 Vậy quãng đường mà vật di chuyển là:  9  27 s    t  9t  dt   dt  27   File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 650 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Ứng Dụng Chọn C Câu 59: Một vật chuyển động với vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị vận tốc hình bên Trong khoảng thời gian kể từ bắt đầu chuyển động, đồ thị phần đường parabol có đỉnh I (2;9) trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian lại đồ thị đoạn thẳng song song với trục hồnh Tính qng đường s mà vật di chuyển (kết làm tròn đến hàng phần trăm) B s  21, 58 (km) C s  15,50 (km) D s  13,83 (km) Hướng dẫn giải Giả sử phương trình chuyển động vật theo đường parabol v t   at  bt  c km / h  A s  23, 25 (km)     c  c  4a  2b  c   b   v t   5 t  5t  Ta có:     5  b  2  a    2a 31 31 suy phương trình chuyển động vật tốc theo đường thẳng y  Ta có v 1  4 Vậy quãng đường mà vật di chuyển là:  5  31 259 s    t  5t  4 dt   dt   21,58   12 Chọn B Câu 60: Một vật chuyển động vận tốc tăng liên tục biểu thị đồ thị đường cong parabol có hình bên v  m 50 O t s 10 Biết sau 10 s vật đạt đến vận tốc cao bắt đầu giảm tốc Hỏi từ lúc bắt đầu đến lúc đạt vận tốc cao vật quãng đường mét? A 300 m B 1400 m C 1100 m File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D 1000 m Trang 651 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Ứng Dụng Hướng dẫn giải Chọn D Giả sử vận tốc vật biểu diễn hàm số  P  : v  t   at  bt  c  a   Dựa vào đồ thị hàm số ta có  P  qua O  0;0  có đỉnh I 10;50   c  c  c    1    100a  10b  50  10a  b   a     P  : v  t    t  10t 2  b 20a  b     b  10  10  2a Lúc bắt đầu: t  s; lúc đạt vận tốc cao nhất: t  10 s Vậy quãng đường vận kể từ lúc bắt đầu đến lúc đạt vận tốc cao là: 10 10 1000   s   v  t  dt     t  10t  dt   0  2000 lúc đầu số 1 x lượng vi khuẩn 5000 Vậy ngày thứ 12 số lượng vi khuẩn (sau làm tròn) con? A 10130 B 5130 C 5154 D 10132 Hướng dẫn giải Câu 61: đám vi khuẩn ngày thứ x có số lượng N  x  Biết N   x   Chọn A Ta có: 2000  N   x  dx    x dx  2000 ln  x  C  N  x   2000 ln  x  C Khi x   N    2000 ln   C  5000  C  5000 Khi x  12  N 12   2000 ln  12  5000  1030 Câu 62: Gọi F  t  số lượng vi khuẩn phát triển sau t Biết F  t  thỏa mãn F   t   10000  2t với t  ban đầu có 1000 vi khuẩn Hỏi sau số lượng vi khuẩn A 17094 B 9047 C 8047 D 32118 Hướng dẫn giải Chọn B Ta có F  t    F   t  dt   10000 dt  5000 ln 1  2t   C  2t Ban đầu có 1000 vi khuẩn  F    C  1000  F  t   5000ln 1  2t   1000 Suy số vi khuẩn sau F    5000ln  1000  9047 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 652 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Ứng Dụng Câu 63: Dịng điện xoay chiều hình sin chạy qua mạch dao động LC lí tưởng có phương trình   i  I sin  wt   Ngoài i  q  t  với q điện tích tức thời tụ Tính từ lúc t  0, 2   điện lượng chuyển qua tiết diện thẳng dây dẫn mạch thời gian 2w I  I0  2I A B C D w w w Hướng dẫn giải Chọn D  Tính từ lúc t  0, điện lượng chuyển qua tiết diện thẳng dây dẫn mạch thời gian 2w S  2w   I   2w    I sin  wt   dt   cos  wt   0 2 w    I0            cos  w.0    cos  w   w   2w    I0     I cos     cos      w   w File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 653 ... TÍNH CHẤT VÀ TP CƠ BẢN TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN GTLN, GTNN – BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN 8.1 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ÁP DỤNG TÍNH CHẤT 8.2 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ÁP DỤNG ĐỔI BIẾN 8.3 TÍCH PHÂN HÀM... Quan A Tích Phân Ứng Dụng MỤC LỤC 1.1 NGUYÊN HÀM ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ NG.H CƠ BẢN 1.2 NGUYÊN HÀM ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ NG.H CƠ BẢN NGUYÊN HÀM ĐỔI BIẾN NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN TÍCH PHÂN ĐỊNH... ỨNG DỤNG TÍNH DIỆN TÍCH GIỚI HẠN BỞI CÁC ĐƯỜNG 9.2 ỨNG DỤNG TÍNH DIỆN TÍCH CĨ ĐỒ THỊ ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG THỰC TẾ 10.1 ỨNG DỤNG TÍNH THỂ TÍCH GIỚI HẠN BỞI CÁC ĐƯỜNG 10.2 ỨNG DỤNG THỰC TẾ THỂ TÍCH