Bài tập lớn Chủ đề Nguyên hàm tích phân và ứng dụng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ KHOA TOÁN  TỪ CÂU HỎI TRUYỀN THỐNG ĐẾN CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN CHỦ ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Sinh viên: Hồng Lê Thu Hằng Lớp: Toán 4T Mã sinh viên: 13S1011044 Giáo viên hướng dẫn: Thầy Nguyễn Đăng Minh Phúc Huế, tháng năm 2017 Sinh viên: Hoàng Lê Thu Hằng Chủ đề: Lớp: Tốn 4T Ngun hàm – Tích phân ứng dụng 𝟑 Bài tốn 1: Tính tích phân sau: 𝑰 = ∫ 𝟏 𝑢 = ln 𝑥 Đặt {𝑑𝑣 = 𝑑𝑢 = 𝒙 𝐥𝐧 𝒙 𝒅𝒙 (𝒙𝟐 + 𝟏)𝟐 Bài giải: 𝑑𝑥 𝑥 𝑥 𝑑𝑥 ⇒ (𝑥 + 1)2 𝑣=− { 2(𝑥 + 1) Áp dụng công thức tích phân phần, ta có: 3 ln 𝑥 | ∫ 𝑑𝑥 + 𝐼=− 2(𝑥 + 1) 1 2𝑥 (𝑥 + 1) ln 3 =− + ∫ 𝑑𝑥 20 𝑥 (𝑥 + 1) ln 3 𝑥 ) 𝑑𝑥 =− + ∫ ( − 20 𝑥 𝑥 + ln 1 =− + (ln 𝑥 − ln(𝑥 + 1))| 20 2 1 ln + (ln − ln 10 + ln 2) =− 2 20 = ln − ln 20 Vậy 𝐼 = ln − ln 20 Phân tích: Để tính tích phân này, học sinh cần phải hiểu phương pháp tính tích phân phần, phương pháp đổi biến số để tìm nguyên hàm tương ứng, học sinh phải có đầy đủ kiến thức phép tính đạo hàm hàm bản, phép tính đạo hàm hàm hợp Ngay từ đầu, em phải xác định phương pháp tính tích phân sử dụng tốn Sau xác định phương pháp làm (phương pháp tích phân phần), -1- Sinh viên: Hồng Lê Thu Hằng Lớp: Toán 4T học sinh cần phải hiểu lượng đặt làm 𝑢 lượng đặt làm 𝑑𝑣 để tìm ngun hàm Sau đó, kỹ tính tốn thân, em thu kết Câu hỏi trắc nghiệm: 𝑏 Câu 1: Tính 𝐼 = ∫ 𝑃(𝑥) ln 𝑥 𝑑𝑥 (𝑎, 𝑏 ∈ ℝ), 𝑃(𝑥) đa thức, phương pháp 𝑎 tích phân phần 𝑏 𝑑𝑢 = 𝑃′ (𝑥)𝑑𝑥 𝑏 ′( ) 𝑃 (𝑥 ) 𝑃 𝑥 𝑢 = 𝑃 (𝑥 ) | −∫ ⟹𝐼= 𝑑𝑥 A Đặt { ⟹{ 𝑥 𝑎 𝑥 𝑑𝑣 = ln 𝑥 𝑑𝑥 𝑣= 𝑎 𝑥 𝑃(𝑏) 𝑑𝑢 = 𝑃′ (𝑥)𝑑𝑥 𝑃(𝑏) ′ ( ) 𝑃 (𝑥 ) 𝑃 𝑥 𝑢 = 𝑃 (𝑥 ) | ⟹𝐼= 𝑑𝑥 B Đặt { ⟹{ −∫ 𝑥 𝑃(𝑎) 𝑥 𝑑𝑣 = ln 𝑥 𝑑𝑥 𝑣= 𝑃(𝑎) 𝑥 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑏 𝑄(𝑥) 𝑢 = ln 𝑥 𝑥 ⟹{ C Đặt { ⟹ 𝐼 = ln 𝑥 𝑄(𝑥)|𝑏𝑎 − ∫ 𝑑𝑥 𝑑𝑣 = 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 𝑥 𝑎 𝑣 = ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑄(𝑥) 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑥 𝑏 𝑒 𝑄(𝑥) 𝑢 = ln 𝑥 𝑒𝑏 ⟹ 𝐼 = ln 𝑥 𝑄(𝑥)|𝑒 𝑎 − ∫ 𝑑𝑥 D Đặt { ⟹{ 𝑑𝑣 = 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 𝑥 𝑎 𝑒 𝑣 = ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑄(𝑥) Đáp án: C Học sinh thường gặp sai lầm làm tốn tích phân liên quan đến hàm 𝑦 = ln 𝑥, em bị nhẫm lẫn đạo hàm nguyên hàm dẫn đến việc đặt sai lượng 𝑢 𝑑𝑣 (phương án nhiễu A, B) Ngoài ra, số học sinh mắc sai lầm việc chọn cận, em nghĩ phương pháp tích phân phần ta phải đổi cận phương pháp đổi biến số dẫn đến việc đưa kết sai (phương án nhiễu B, D) Câu 2: Tìm nguyên hàm 𝐹 (𝑥) = ∫ + 𝑐, 𝑐 ∈ ℝ +1 C 𝐹 (𝑥) = + 𝑐, 𝑐 ∈ ℝ 2(𝑥 + 1) A 𝐹 (𝑥) = 𝑥2 (𝑥 𝑥 𝑑𝑥 + 1) + 𝑐, 𝑐 ∈ ℝ +1 D 𝐹 (𝑥) = − + 𝑐, 𝑐 ∈ ℝ 2(𝑥 + 1) B 𝐹 (𝑥) = − -2- 𝑥2 Sinh viên: Hồng Lê Thu Hằng Lớp: Tốn 4T Đáp án: D Để tìm nguyên hàm này, học sinh dử dụng phương pháp đổi biến số, đặt 𝑡 = 𝑥 + Và đây, học sinh thường mắc phải sai lầm kỹ đạo hàm, kỹ tìm nguyên hàm hàm dẫn đến sai sót (phương án nhiễu A, B, C) Câu 3: Khi tính tích phân 𝐼 = ∫ Bước 1: 1 𝑑𝑥 , học sinh làm sau: 𝑥 (𝑥 + 1) 1 𝑥 = − + 1) 𝑥 𝑥 + 𝑥 (𝑥 𝑥 𝑥 3 ( ( ))| Bước 2: 𝐼 = ∫ ( − ) 𝑑𝑥 = ln 𝑥 − ln 𝑥 + 1 = ln | 𝑥 +1 𝑥 +1 1 𝑥 Bước 3: 𝐼 = ln − ln = ln − ln 10 Bài giải hay sai? Nếu sai sai từ bước nào? A Sai từ Bước B Sai từ Bước C Sai từ Bước D Đúng Đáp án: B 𝑥 tìm nguyên hàm hàm số 𝑓 (𝑥) = dẫn đến 𝑥 +1 sai sót q trình làm (phương án nhiễu D) Học sinh thường thiếu giá trị Bài tốn 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số 𝒚 = |𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟑| đường thẳng 𝒅: 𝒚 = 𝒙 + 𝟑 Bài giải: Gọi 𝑆 phần diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số 𝑦 = |𝑥 − 4𝑥 + 3| đường thẳng 𝑑: 𝑦 = 𝑥 + Gọi 𝑆1 𝑆2 phần diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑥 − 4𝑥 + với đường thẳng 𝑑: 𝑦 = 𝑥 + trục hoành Suy ra: 𝑆 = 𝑆1 − 2𝑆2 Ta có: -3- Sinh viên: Hồng Lê Thu Hằng Lớp: Toán 4T 𝑥=0  𝑥 − 4𝑥 + = 𝑥 + ⟺ 𝑥 − 5𝑥 = ⟺ [ 𝑥=5 Suy ra: 𝑆1 = ∫ |(𝑥 − 4𝑥 + 3) − (𝑥 + 3)|𝑑𝑥 = ∫ |𝑥 − 5𝑥|𝑑𝑥 = ∫ (5𝑥 − 𝑥 )𝑑𝑥 5𝑥 𝑥 =( − )| = 125 𝑥=1  𝑥 − 4𝑥 + = ⇔ [ 𝑥=3 Suy ra: 𝑆2 = ∫ |𝑥 − 4𝑥 + 3|𝑑𝑥 = ∫ (−𝑥 + 4𝑥 − 3) 𝑑𝑥 𝑥3 = (− + 2𝑥 − 3𝑥)| 4 = − (− ) = 3 Vậy: 𝑆 = 𝑆1 − 2𝑆2 = Phân tích: 109 125 (đvdt) − = 6 Để tính diện tích phần hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số 𝑦 = |𝑥 − 4𝑥 + 3| đường thẳng 𝑑: 𝑦 = 𝑥 − 3, ta cần xác định phần hình phẳng mặt phẳng tọa độ Do đó, việc vẽ đồ thị hai hàm số đóng vai trị quan trọng việc định hướng giải toán Sau xác định phần hình phẳng cần tính diện tích, học sinh cần phải có khả quan sát, tư duy, suy luận để tìm cách tính cho hợp lý, dễ dàng thuận tiện -4- Sinh viên: Hoàng Lê Thu Hằng Lớp: Tốn 4T Ngồi ra, học sinh cần phải hiểu cách tính tích phân có chứa giá trị tuyệt đối, biết xét dấu biểu thức dấu giá trị tuyệt đối để loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối phục vụ cho việc tính tốn xác Câu hỏi trắc nghiệm: Câu 1: Đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑓 (𝑥) cho hình vẽ: Trong đồ thị sau, đâu đồ thị hàm số 𝑦 = |𝑓 (𝑥)|? A B C D -5- Sinh viên: Hồng Lê Thu Hằng Lớp: Tốn 4T Đáp án: B Nhiều học sinh nhầm lẫn cách vẽ đồ thị hàm số 𝑦 = |𝑓 (𝑥)| 𝑦 = 𝑓 (|𝑥|) chưa hiểu rõ chất loại hàm số (phương án nhiễu A) Cũng chưa hiểu rõ chất hàm số 𝑦 = |𝑓 (𝑥)| mà học sinh có cách vẽ hình khơng (phương án nhiều C, D) Câu 2: Cho hai hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) y= 𝑔(𝑥) liên tục đoạn [𝑎; 𝑏] Gọi 𝐷 phần hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số đường thẳng 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏 (𝑎 < 𝑏) Gọi 𝑆𝐷 diện tích hình phẳng 𝐷 Lúc đó, 𝑆𝐷 biểu diễn theo công thức nào? 𝑏 A 𝑆𝐷 = ∫ |𝑓 (𝑥) + 𝑔(𝑥)|𝑑𝑥 𝑎 𝑏 C 𝑆𝐷 = ∫ [𝑓 (𝑥) + 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 𝑎 Đáp án: B 𝑏 B 𝑆𝐷 = ∫ |𝑓 (𝑥) − 𝑔(𝑥)|𝑑𝑥 𝑎 𝑏 D 𝑆𝐷 = ∫ [𝑓 (𝑥) − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 𝑎 Một vài học sinh chưa hiểu rõ chất vấn đề nên việc học, nhớ cơng thức tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số máy móc, dẫn đến việc bị nhầm lẫn hai phép tính cộng trừ (thay tính 𝑓 (𝑥) − 𝑔(𝑥), học sinh lại tính 𝑓 (𝑥) + 𝑔(𝑥)) (phương án nhiễu A, C) Ngoài ra, sai lầm nhiều học sinh mắc phải quên đặt biểu thức 𝑓 (𝑥) − 𝑔(𝑥) vào dấu giá trị tuyệt đối Từ đó, học sinh đưa kết sai (phương án nhiễu C, D) Câu 3: Cho hàm số 𝑦 = 𝑓 (𝑥) liên tục đoạn [𝑎; 𝑏] Gọi 𝐷 phần hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑓 (𝑥), trục hoành hai đường thẳng 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏 (như hình vẽ đây) Gọi 𝑆𝐷 diện tích hình phẳng 𝐷 Khi đó, 𝑆𝐷 tính cơng thức nào? -6- Sinh viên: Hồng Lê Thu Hằng 𝑐 Lớp: Toán 4T 𝑏 𝑐 A 𝑆𝐷 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 − ∫ 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 𝑎 𝑐 𝑎 0 B 𝑆𝐷 = − ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑓 (𝑑 )𝑑𝑥 𝑎 𝑏 C 𝑆𝐷 = ∫ 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 − ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 Đáp án: A 𝑏 𝑐 𝑏 D 𝑆𝐷 = − ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 𝑎 Học sinh thường gặp khó khăn việc xác định dấu biểu thức 𝑓(𝑥) 𝑥 thuộc vào khoảng giá trị dẫn đến việc nhẫm lẫn dấu loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối biểu thức (phương án nhiều B) Học sinh chưa phân biệt |𝐴|, với 𝐴 biểu thức đại số ẩn 𝑥, |𝑥| nên xét dấu biểu thức 𝐴 học sinh lại xét đến trường hợp 𝑥 ≥ 0, 𝑥 < thay phải tìm giá trị 𝑥 để 𝐴 ≥ 0, 𝐴 < Điều dẫn đến việc học sinh chọn sai cận để tính tích phân (phương án nhiễu C, D) Bài tốn 3: Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình H giới hạn đồ thị 𝝅 hàm số 𝒚 = √𝟏 + 𝐜𝐨𝐬𝟒 𝒙 + 𝐬𝐢𝐧𝟒 𝒙 , trục hoành hai đường thẳng 𝒙 = , 𝟐 𝒙 = 𝝅 quanh trục hoành Bài giải: Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình H quanh trục hoành là: 𝜋 𝑉 = 𝜋 ∫ (1 + cos 𝑥 + sin4 𝑥)𝑑𝑥 𝜋 𝜋 = 𝜋 ∫ (2 − sin2 𝑥 cos2 𝑥 )𝑑𝑥 𝜋 𝜋 = 𝜋 ∫ (2 − 𝜋 𝜋 − cos 2𝑥 + cos 2𝑥 ) 𝑑𝑥 2 = 𝜋 ∫ [2 − (1 − cos2 2𝑥 )] 𝑑𝑥 𝜋 2 𝜋 + cos 4𝑥 )] 𝑑𝑥 = 𝜋 ∫ [2 − (1 − 𝜋 2 -7- Sinh viên: Hồng Lê Thu Hằng Lớp: Tốn 4T 𝜋 = 𝜋 ∫ ( + cos 4𝑥) 𝑑𝑥 𝜋 4 𝜋 cos 4𝑥)|𝜋 ] = 𝜋 [( 𝑥 + 16 7𝜋 Vậy: 𝑉 = (đvtt) 7𝜋 7𝜋 7𝜋 = 𝜋 [( + ) − ( + )] = 16 16 8 Phân tích: Để giải tập này, học sinh phải hiểu nhớ cơng thức tính thể tích khối tròn xoay tạo quanh phần hình phẳng quanh trục 𝑂𝑥 Nhận thấy hàm số dấu tích phân hàm lượng giác, nên học sinh cần phải có kỹ biến đổi nhớ cơng thức lượng giác, tính chất để đơn giản hóa phép tính tích phân Ngồi ra, học sinh cần phải có đầy đủ kiến thức nguyên hàm làm lượng giác để tránh nhầm lẫn dẫn đến sai sót Câu hỏi trắc nghiệm: Câu 1: Cho hàm số 𝑦 = 𝑓 (𝑥) liên tục đoạn [𝑎; 𝑏] Gọi H phần tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥), trục hoành hai đường thẳng 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏 Khi xoay H quanh trục 𝑂𝑥 ta thu khối trịn xoay Hãy tính thể tích 𝑉 khối trịn xoay 𝑏 A 𝑉 = ∫ |𝑓 (𝑥)|𝑑𝑥 𝑏 𝑎 B 𝑉 = 𝜋 ∫ |𝑓 (𝑥)|𝑑𝑥 𝑎 𝑎 𝑏 C 𝑉 = ∫ 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 Đáp án: D 𝑎 𝑏 D 𝑉 = 𝜋 ∫ 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 Học sinh thường hay nhầm lẫn hai cơng thức tính diện tích hình phẳng tính thể tích khối trịn xoay tích phân nên chọn sai công thức để làm (phương án nhiễu A, B) Đối -8- Sinh viên: Hoàng Lê Thu Hằng Lớp: Tốn 4T với tốn thể tích, sai lầm học sinh hay gặp qn nhân kết tích phân với số 𝜋 (phương án nhiễu A, C) Câu 2: Trong biểu thức sau, biểu thức sai? A cos 2𝑥 = cos2 −1 B cos 2𝑥 = − sin2 𝑥 C cos 2𝑥 = sin2 𝑥 − cos2 𝑥 D cos 2𝑥 = cos2 𝑥 − sin2 𝑥 Đáp án: C Câu 3: Với 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ 𝑎 ≠ 0, cho biểu thức: (1) ∫ sin(𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑑𝑥 = − cos(𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝑐, 𝑐 ∈ ℝ sin(𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝑐, 𝑐 ∈ ℝ 𝑎 (2) ∫ cos(𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑑𝑥 = 𝑑𝑥 = ∫(tan2 𝑥 + 1)𝑑𝑥 = tan 𝑥 + 𝑐, 𝑐 ∈ ℝ cos 𝑥 (4) ∫ 𝑑𝑥 = ∫(cot 𝑥 + 1)𝑑𝑥 = cot 𝑥 + 𝑐, 𝑐 ∈ ℝ sin 𝑥 (3) ∫ Trong biểu thức trên, có biểu thức đúng? A B C D Đáp án: C (Hai biểu thức (2) (3)) Khi tính nguyên hàm ∫ 𝑓 (𝑎𝑥 + 𝑏)𝑑𝑥 , học sinh thường thiếu giá trị (phương án nhiễu (1)) 𝑎 Học sinh nhầm lẫn dấu nguyên hàm chứa sin 𝑥 cos 𝑥 (phương án nhiễu (4)) 𝜋 Câu 4: Khi tính tích phân 𝐼 = ∫𝜋 sin3 𝑥 cos2 𝑥 𝑑𝑥, học sinh làm sau: 𝜋 𝜋 Bước 1: 𝐼 = ∫𝜋 sin3 𝑥 cos2 𝑥 𝑑𝑥 = ∫𝜋 cos2 𝑥 (1 − cos2 𝑥 ) sin 𝑥 𝑑𝑥 −1 −1 Bước 2: Đặt 𝑡 = cos 𝑥 ⟹ 𝐼 = ∫ 𝑡 (1 − 𝑡 )𝑑𝑡 = ∫ (𝑡 − 𝑡 )𝑑𝑡 -9- Sinh viên: Hồng Lê Thu Hằng Lớp: Tốn 4T −1 𝑡3 𝑡5 Bước 3: 𝐼 = ( − )| = − 15 Bài làm học sinh hay sai? Nếu sai sai từ bước nào? A Đúng B Sai từ Bước C Sai từ Bước D Sai từ Bước Đáp án: C Học sinh thường mắc sai lầm đạo hàm sin 𝑥 cos 𝑥 dẫn đến việc làm bài, tính tốn sai đưa kết chưa xác (phương án nhiễu A) - 10 - ... Hằng Chủ đề: Lớp: Tốn 4T Nguyên hàm – Tích phân ứng dụng