Bài Giảng Nguyên Hàm Tích Phân

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http://www.toanthpt.net 1 Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân NGUYÊN HÀM VẤN ĐỀ 1: TÌM HỌ NGUYÊN HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA: ĐN 1 : F(x) là một nguyên hàm của f(x) trong (a; b) ⇔ F’(x) = f(x); ∀x ∈ (a; b) ĐN 2 : F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [a; b] xa xb F'(x) f(x); x (a;b) F(x) F(a) F' (a) lim f(a) xa F(x) F(b) F' (b) lim f(b) xb + − + → − → ⎧ ⎪ =∀∈ ⎪ − ⎪ ⇔= = ⎨ − ⎪ − ⎪ == ⎪ − ⎩ Ký hiệu hình thức gọi là một họ nguyên hàm của hàm số f(x) hay tích phân bất đònh của hàm f(x). f(x)dx = F(x)+C ∫ VẤN ĐỀ 2: BỔ SUNG VI PHÂN - DẠNG VI PHÂN HÀM HP: y = f(x) ⇒ dy = d[f(x)] = f’(x)dx (1) Giả sử tồn tại y = f(t) mà trong đó t = g(x); để cho hàm hợp y = f[g(x)] có vi phân được viết: dy = d[f(t)] = f’(t)dt (2) NHÓM HÀM LŨY THỪA NHÓM HÀM LƯNG GIÁC NGƯC d(x n )=nx n-1 dx *Các trường hợp đặc biệt: d(ax+b) = adx 2 1d d=- xx ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ x () dx dx= 2x 2 dx d(arc sinx) = 1-x 2 dx d(arc cosx) =- 1-x 2 dx d(arc tgx) = 1+x 2 dx d(arc cotgx) = - 1+x NHÓM HÀM LƯNG GIÁC NHÓM HÀM MŨ & LOGARITHM d(sinx) = cosxdx d(cosx) = -sinxdx 2 2 dx d(tgx) = = (1+tg x)dx cos x 2 dx d(cotgx) = - sin x dx d(lnx) = x a dx d(log x) = xlna d(e x ) = e x dx d(a x ) = a x lnadx A. BẢNG CÁC TÍCH PHÂN CƠ BẢN: NHÓM I: DẠNG HÀM LŨY THỪA 1/ () n+1 n x xdx= +C n¹-1 n+1 ∫ Trường hợp đặc biệt của nhóm I 3/ dx = x+C ∫ 2/ () -1 dx xdx= =lnx+C x 0 x ≠ ∫∫ 4/ 2 dx 1 =- +C xx ∫ Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http://www.toanthpt.net 2 Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân 5/ mm+ nn n xdx= x +C m+n ∫ n 7/ n n+1 n n xdx = x +C n+1 ∫ 6/ () nn-1 dx -1 =+ xn-1x ∫ C 8/ n n-1 n dx n =x+ n-1 x ∫ C NHÓM II: DẠNG HÀM LƯNG GIÁC 9/ sinxdx = -cosx +C ∫ 11/ 2 dx =tgx+C cos x ∫ 13/ tgxdx = -ln cosx +C ∫ 10/ cosxdx = sinx+C ∫ 12/ 2 dx =-cotgx+C sin x ∫ 14/ cotgxdx = ln sinx +C ∫ NHÓM III: DẠNG HÀM MŨ – LOGARITHM 15/ xx edx=e +C ∫ 17/ () x x a a = +C 1 a > 0 lna ≠ ∫ 16/ -x -x edx=-e +C ∫ 18/ ( )( lnxdx=x lnx-1 +C x>0 ) ∫ NHÓM IV: DẠNG HÀM PHÂN THỨC (a > 0) 19/ 2 dx =arctgx+C x+1 ∫ 21/ 22 dx 1 x = arctg +C x+a a a ∫ 20/ 2 dx 1 x-1 =ln +C x-1 2 x+1 ∫ 22/ 22 dx 1 x-a =ln + x-a 2a x+a ∫ C NHÓM V: DẠNG HÀM CĂN THỨC (a > 0) 23/ 2 dx = arcsinx+C 1-x ∫ 24/ 22 dx x =arcsin +C a a-x ∫ 25/ 2 2 dx =lnx+ x ±1+C x±1 ∫ 26/ 22 22 dx =lnx+ x ±a +C x±a ∫ 27/ 2 22 22 xax a -x dx = a -x + arcsin +C 22a ∫ 28/ 2 22 22 22 xa x±adx= x±a± lnx+ x±a +C 22 ∫ B. BẢNG THAM KHẢO CÁC TÍCH PHÂN MỞ RỘNG: NHÓM I: DẠNG HÀM LŨY THỪA MỞ RỘNG (α ≠ 0) Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http://www.toanthpt.net 3 Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân 1/ n+1 n (ax+b) (ax+b) dx = +C (n -1) a(n+1) ≠ ∫ 2/ -1 dx 1 (ax + b) dx = = ln (ax+ b) +C (ax + b 0) (ax + b) a ≠ ∫∫ Các trường hợp đặc biệt của nhóm I 3/ 4/ d(ax + b) = ax+b+C ∫ 2 dx -1 =+ (ax+b) a(ax + b) ∫ C 5/ mm nn n (ax+ b) dx = (ax+b) +C a(m+n) ∫ +n 6/ nn dx -1 =+ (ax+b) a(n-1)(ax+b) ∫ -1 C 7/ n+1 n n n (ax + b)dx = (ax + b) +C a(n+1) ∫ 8/ n-1 n n dx n =(ax+b) a(n-1) (ax + b) ∫ +C NHÓM II: DẠNG HÀM LƯNG GIÁC MỞ RỘNG (α ≠ 0) 9/ 1 sin(ax+b)dx = - cos(ax +b)+C a ∫ 10/ 1 cos(ax +b)dx = sin(ax+b)+C a ∫ 11/ 2 dx 1 =tg(ax+b)+C cos (ax+b) a ∫ 12/ 2 dx 1 =- cotg(ax+b)+C sin (ax+b) a ∫ 13/ 1 tg(ax+b)dx = - ln cos(ax+b) +C a ∫ 14/ 1 cotg(ax+b)dx= lnsin(ax+b)+C a ∫ NHÓM III: DẠNG HÀM MŨ - LOGARITHM MỞ RỘNG (α ≠ 0) 15/ (ax+b) (ax+b) 1 edx=e + a ∫ C 16/ (ax+b) (ax+b) a adx= +C (1 a>0 alna ≠ ∫ ) 17/ 1 ln(ax+b)dx= (ax+b)[ln(ax+b)-1]+C (ax+b>0) a ∫ NHÓM IV: DẠNG HÀM PHÂN THỨC MỞ RỘNG (α ≠ 0; a > 0) 18/ 22 dx 1 ax+ b =arctg + (ax+b) + a aa a ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ ∫ C 19/ 22 dx 1 (ax+b)- a =ln + (ax+b) - a 2aa (ax +b)+a ∫ C NHÓM V: DẠNG HÀM CĂN THỨC MỞ RỘNG ((α ≠ 0; a > 0) 20/ 22 dx 1 (ax+b) =arcsin +C aa a-(ax+b) ∫ 21/ 22 22 dx 1 =ln(ax+b)+(ax+b)±a+C a (ax + b) ± a ∫ 22/ 2 22 22 (ax + b) a (ax+ b) a -(ax+b) dx = a -(ax+b) + arcsin +C 2a 2a a ∫ Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http://www.toanthpt.net 4 Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân 23/ 22 22 22 (ax + b) (ax+b) ±a dx= (ax+b) ±a ±ln(ax+b)+ (ax+b) ±a +C 2a ∫ VẤN ĐỀ 3: THUẬT PHÂN TÍCH HÀM TRONG DẤU TÍCH PHÂN VỀ DẠNG CHUẨN TRONG BẢNG TÍCH PHÂN CƠ BẢN: Biến đổi hàm tích phân về dạng: [Af(x)±Bf(x)+ ]dx = A f(x)dx ± B g(x)dx+ ∫∫∫ B B 1 : Cụ thể phải 1/ Nhân phân phối: (a + b)(c - d) = ac - ad + bc - bd 2/ Khai triển các hằng đẳng thức: 22 2 33 2 23 (A±B) = A ±2AB+B (A± B) = A ±3A B+ 3AB ± B ; 3/ Thêm bớt hạng tử: Xb X=(X+B)-B;X= (b 0); b ≠ 4/ Nhân lượng liên hợp: llh A ± B A m B; ←⎯→ 5/ Biến đổi lượng giác sơ cấp bằng các công thức: 22 22 22 22 33 sinx cosx 1=sinx+cosx; tgx= ; cotgx= ; cosx sinx 11 =1+tg x; =1+cotg x; tgxcotgx=1; cos x sin x 1-cos2x 1+cos2x sin x = ; cos x = ; 22 3sinx-sin3x 3cosx + cos3x sin x = ; cos x = ;v.v 44 B B 2 : Mục đích là hàm số trong dấu tích phân được biến đổi: • Tích thành tổng; đặc biệt một hàm phân thức phải có tử là tổng và mẫu là tích. • Căn thức thành lũy thừa; ở đây ta áp dụng các tính chất lũy thừa sau: ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ x m x n -m m m n mn x x x n m x 1A =A ; A =A ;(A ) =A ;AB =(AB); = AB A B B B 3 : Một việc quan trọng là sử dụng được công thức tích phân hàm hợp f[g(x)]d[g(x)]= F[g(x)]+C ∫ với F là một nguyên hàm của f thì bài toán giải quyết nhanh và gọn. Ghi chú: Khi tính toán ta dùng hàm y = f(x) = sgn(x) để thay dấu (±) cho gọn. Ta có đònh nghóa: mở rộng 1 khi x > 0 1 khi f(x) > 0 sgn(x) = sgn[f(x)]= -1 khi x < 0 -1 khi f(x) < 0 ⎡⎡ ⎯⎯⎯⎯→ ⎢⎢ ⎣⎣ VẤN ĐỀ 4: HẰNG SỐ C TRONG HÀM NGUYÊN HÀM VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH: Dạng 1: Tìm hằng số C trong hàm nguyên hàm Nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) trên [a;b] khi nó thỏa một giả thiết nào đó tại x 0 ∈[a;b]. () 0 0 tại x f(x)dx = F(x )+C ∫ (1) Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http://www.toanthpt.net 5 Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân Ghi chú: Thực tế ta viết một họ nguyên hàm của f(x) là F(x) = f(x)dx ∫ mà vẫn không mất tính tổng quát của nguyên hàm so với đònh nghóa họ nguyên hàm. Dạng 2: Phân tích biểu thức thành tích Dùng đònh nghóa nguyên hàm và ứng dụng cách xác đònh hằng số C qua 4 bước: • Xem biểu thức A(x, a, b, c, ) đã cho là một đa thức một biến (giả sử biến đó là x) và đặt f(x) = A(x, a, b, c, ). • Tính f’(x) và đưa nó về dạng thừa số. • Tính f(x) là một nguyên hàm của f’(x). • Tìm hằng số C bằng cách thay x = x 0 là giá trò cụ thể nào đó vào nguyên hàm ở trên, lúc đó xuất hiện các nhân tử và ta kết thúc bài toán bằng cách đặt nhân tử chung. Ghi chú: Hằng số C ở bước 4 không phụ thuộc vào x nên viết C = g(a; b; c ). Dạng 3: Tính tổng hữu hạn B B 1 : Xét một tổng f(x) có nguyên hàm là tổng liên tiếp các hạng tử của một cấp số nhân mà số hạng đầu là a 1 , có n hạng tử và công bội q thì: n 1 1-q F(x) = a 1-q . B B 2 : So sánh f(x) = F’(x) ta được tổng cần tìm. VẤN ĐỀ 5: THUẬT ĐỔI BIẾN SỐ: f(x)dx = f[ (t)] '(t)dtϕϕ ∫∫ ∫ . Với x = ϕ(t) f[ (x)] '(x)dx = f(t)dtϕϕ ∫ . Với t = ϕ(x) là biến mới. A. BIẾN ĐỔI NGHỊCH ĐẶT t = ϕ(x) DẠNG CÁCH BIẾN ĐỔI 1. f(ax + b)dx ∫ Đặt t = ax + b ⇒ dt = dx 2. n+1 n f(x )x dx ∫ Đặt t = x n+1 ⇒ dt = (n + 1)x n dx 3. dx f( x) x ∫ Đặt dx t= x dt= 2x ⇒ 4. f(cosx)sinxdx ∫ Đặt t = cosx ⇒ dt = -sinxdx 5. f(sinx)cosxdx ∫ Đặt t = sinx ⇒ dt = cosxdx 6. 2 dx f(tgx) cos x ∫ Đặt t = tgx ⇒ 2 dx dt = cos x 7. 2 dx f(cotgx) sin x ∫ Đặt t = cotgx ⇒ 2 -dx dt = sin x 8. xx f(e )e dx ∫ Đặt t = e x ⇒ dt = e x dx 9. dx f(lnx) x ∫ Đặt t = lnx ⇒ dx dt = x Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http://www.toanthpt.net 6 Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân 10. 2 2 1 f(arc tgx) dx 1+x 1 f(arc cotgx) dx 1+x ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ∫ Đặt 2 t=arc tgx dx dt = ± t=arc cotgx 1+x ⎡ ⇒ ⎢ ⎣ 11. 2 2 1 f(arc sinx) dx 1-x 1 f(arc cosx) dx 1-x ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ∫ Đặt 2 t=arc sinx dx dt = ± t=arc cosx 1+x ⎡ ⇒ ⎢ ⎣ 12. 2 11 fx± 1 dx xx ⎛⎞⎛ ⎞ ⎜⎟⎜ ⎟ ⎝⎠⎝ ⎠ ∫ ∓ Đặt 2 11 t=x± dt= 1 dx xx ⎛⎞ ⇒ ⎜⎟ ⎝⎠ ∓ B. ĐỔI BIẾN SỐ THUẬN ĐẶT x = ϕ(t) DẠNG CÁCH BIẾN ĐỔI 1. () 22 fx,x+a dx ∫ 2 a x=atgt dx= dt cos t ⇒ 2. () 22 fx,a-x dx ∫ x=asint dx=acostdt⇒ 3. () 22 fx,x-a dx ∫ 2 aasi x= dx= dt cost cos t ⇒ nt VẤN ĐỀ 6: THUẬT TÍNH TÍCH PHÂN RIÊNG PHẦN: udv = uv- vdu ∫∫ ⎥ ⎥ (*) hay uv'dx = uv- u'vdx ∫∫ Các dạng tích phân từng phần: Dạng 1: n (ax+b) sin(ax + b) cos(ax+ b) P(x) dx e ⎡⎤ ⎢⎥ ⎢ ⎢ ⎢⎥ ⎣⎦ ∫ . Trong đó P n (x) là đa thức bậc n. Ta đặt u = P n (x) và (ax+b) sin(ax + b) cos(ax+b) dv = dx e ⎡⎤ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ Chỉ số (n): cho ta số lần tính tích phân từng phân phải thực hiện cho dạng này. Dạng 2: n ln(ax+ b) arcsin(ax+b);arccos(ax+ b) I= P(x) dx arctg(ax+b);arccotg(ax+b) ⎡⎤ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ ∫ Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http://www.toanthpt.net 7 Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân Ta đặt và dv = P ln(ax+b) arcsin(ax+b);arccos(ax+b) u= arctg(ax+b);arccotg(ax+b) ⎡⎤ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ n (x)dx TÍCH PHÂN CHUYÊN ĐỀ 1: ĐIỀU KIỆN KHẢ TÍCH: I. DIỆN TÍCH HÌNH THANG HỖN TUYẾN: 1. Đònh nghóa: y x a b A A' B B' y=f(x) O Cho hàm số y = f(x) liên tục, không âm xác đònh trên đoạn [a;b]. Khi đó hình phẳng giới hạn bở trục hoành, đường cong y = f(x) và các đường thẳng có phươngtrình x = a vµ x = b được gọi là hình thang cong (Hình thang hỗn tuyến AA’B’B). 2. Diện tích hình thang cong: Đònh lý: Nếu hàm số y = f(x) xác đònh, liên tục, không âm trên đoạn [a;b], thì diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thò y = f(x), trục hoành và các đường thẳng x = a vµ x = b có giá trò là: . Với F(x) là một nguyên hàm của hàm số y = f(x) trên [a;b]. b a S=F(b)-F(a)=S II. ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH: III. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a;b] chia đoạn [a;b] thành n phần tùy ý bởi các điểm chia: a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b. Trên mỗi đoạn [x k-1 ;x k ] với 1 ≤ k ≤ n lấy một điểm ξ k bất kỳ. Ký hiệu: Δx k = x k - x k-1 . Nghóa là: Δx 1 = x 1 - x 0 , Δx 2 = x 2 - x 1 , Lập tổng Được gọi là tổng tích phân của hàm số y = f(x) trên [a;b]. n kk 11 22 n k1 f( ) x f( ) x f( ) x f( ) x = ξΔ =ξΔ + ξΔ + + ξΔ ∑ n Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http://www.toanthpt.net 8 Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân Ta gọi tích phân xác đònh của hàm số y = f(x) trên [a;b] là giới hạn (nếu có) của tổng tích phân khi maxΔx k → 0. Giới hạn này không phụ thuộc vào cách phân hoạch đoạn [a;b] và việc chọn ξ k . Ký hiệu: k b n kk 0 k1 a f(x)dx lim f( ) x Δ→ = =ξ ∑ ∫ Δ Lúc đó ta bảo hàm f khả tích theo Riemann hay khả tích. Chú ý: • a được gọi là cận dưới và b được gọi là cận trên. • Ý nghóa hình học của tích phân xác đònh: Nếu f(x) > 0 trên [a;b] thì chính là diện tích của hình thang cong giới hạn bởi các đường:y = f(x), trục hoành, x = a, và b a f(x)dx ∫ x = b. • Từ trên ta có công thức Niutơn - Lépnit (Newton - Leibnitz): b b a a f(x)dx = F(b)- F(a) = F(x) ∫ . Trong đó: F’(x) = f(x). VẤN ĐỀ 1: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG ĐỊNH NGHĨA (PHÂN HOẠCH) VÀ SỰ KHẢ TÍCH: Dạng 1: Tính tích phân ∫ bằng phép phân hoạch và bài toán ngược b a dx)x(f 1) Điều kiện cần: Nếu hàm số y = f(x) khả tích trên đoạn [a;b] thì nó bò chặn trên đoạn [a;b] đó. 2) Điều kiện đủ: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] thì nó khả tích trên đoạn [a;b] đó. • Khi tính tích phân bằng đònh nghóa cần thực hiện: B B 1 : Chia đoạn [a;b] thành n đoạn bằng nhau bởi các điểm chia k b-a x=a+k n . Với k = 0, 1, 2, , n. B B 2 : Chọn ξ k bằng x k (hoặc x k-1 ) trong đoạn [x k-1 ,x k ]. B B k 3 : Lập tổng tích phân n nkk-1 k=1 S = (x -x ).f(x ) ∑ B B 4 : Ta có b n n a xf(x)dx limS →∞ = ∫ Cần nhớ một số kết quả: 1) n(n+1) 1+ 2 +3 + + n = 2 2) 222 2 n(n+1)(2n+1) 1 + 2 +3 + +n = 6 3) 2 333 3 n(n+1) 1 + 2 +3 + + n = 2 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http://www.toanthpt.net 9 Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân 4) x ∈ [a;b], hàm số y = f(x) liên tục trên [a;b] và F’(x) = f(x). ∫ = b a dt).t(f)x(F Dạng 2: Nhận biết hàm khả tích Riemann ĐL 1 : (Điều kiện cần: suy ra từ đònh nghóa ) ∫ b a dx)x(f Mọi hàm f không bò chặn trên đoạn [a;b] thì f không khả tích trên đoạn [a;b] đó. ĐL 2 : (Đk đủ) Mọi hàm f liên tục trên đoạn [a;b] thì f khả tích trên đoạn [a;b] đó. ĐL 3 :Mọi hàm f bò chặn trên đoạn [a;b] và gián đoạn tại hữu hạn các điểm x 0 ∈ [a;b] mà (*) thì f vẫn khả tích trên đoạn [a;b] đó. 0 0 xx xx lim f(x) R − + ⎧ ⎪ → ⎨ → ⎪ ⎩ ∈ Cần nhớ: f liên tục trên đoạn [a;b] thì f bò chặn trên đoạn [a;b]. ĐL 4 :Mọi hàm f bò chặn và đơn điệu trên đoạn [a;b] thì f khả tích trên đoạn [a;b] đó. Dạng 3: Sử dụng đúng đắn công thức Newton – Leibnitz. Công thức Newton - Leibnitz: khi nó thỏa đồng thời hai điều kiện: b a f(x)dx = F(b)- F(a) ∫ • Hàm dưới dấu tích phân f(x) liên tục trên [a;b]. • Hàm nguyên hàm của F(x) cũng liên tục trên [a;b]. Ghi chú: Trong một số trường hợp hàm dưới dấu tích phân có dạng y = f(x) khả tích trên đoạn [a;b] ta chưa áp dụng ngay công thức Newton - Leibnitz trên [a;b] mà cần xử lý cận trung gian c ∈ (a;b) để xét dấu f(x) và dễ dàng tìm F(x) chẳng hạn: bcb aac f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx ∫∫∫ (*) .(*) còn sử dụng khi x 0 = c là điểm gián đoạn của f(x) và F(x) trên đoạn [a;b] (tích phân suy rộng). Thuật đổi biến số: Khi đã quan sát và thấy hàm f(x) khả tích trên đoạn [a;b]: b a f(x)dx ∫ • PP 1 - ĐỔI BIẾN SỐ THUẬN: là sử dụng công thức () () f[ (x)] '(x)dx f(t)dt βϕ αϕ ϕϕ = ∫∫ β α ) ) • Với các ghi nhớ: ) Đặt t = ϕ(x); với t là biến đổi số mới. ) Trong đó: và t = ϕ(x) là hàm đơn điệu, liên tục; khả đạo hàm trên [α;β]. xt( xt( =α⇒ =ϕα ⎧ ⎨ =β⇒ =ϕβ ⎩ • PP 2 - ĐỔI BIẾN SỐ NGHỊCH: là sử dụng công thức (2) 1 1 (b) b a (a) f(x)dx f[ (t)] '(t)dt − − ϕ ϕ =ϕϕ ∫∫ Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http://www.toanthpt.net 10 Giải Tích Toán Học Chuyên Đề Nguyên Hàm – Tích Phân Với các ghi nhớ: ) Đặt x = ϕ(t) hay t = ϕ-1(x); với t là biến mới. ) Trong đó: và t làm hàm đơn điệu, liên tục; khả đạo hàm trên [a;b]. 1 1 xa t (a) xb t (b) − − ⎧ =⇒=ϕ ⎪ ⎨ =⇒=ϕ ⎪ ⎩ Ghi chú: Tính đơn điệu của hàm t = ϕ(x) < hay t = ϕ -1 (x) > là quan trọng như tính liên tục và khả đạo hàm của t trên [α;β] < hay [a;b] >. Chẳng hạn trong (1), ta giả sử t = ϕ(x) không đơn điệu trên [α;β] thì sẽ có trường hợp ϕ(α) = ϕ(β); ∀α ≠ β mà . Lúc đó (1) không còn đúng! (1) (1) VP 0 VT 0 = ⎧ ⎪ ⎨ ≠ ⎪ ⎩ VẤN ĐỀ 2 : TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC Dạng 1: Các dạng tích phân hàm phân thức cơ bản thứ nhất Tính tích phân b 1 2 a dx I( xx =α α+β+γ ∫ 0)≠ Ta làm 2 bước: B B 1 : Kiểm tra tính khả tích của 2 dx f(x) xx = α +β +γ trên [a;b]. B B 2 : Đưa về dạng chuẩn để sử dụng một trong ba công thức sau với và sau khi đặt 2 4Δ=β − αγ 1 α ra ngoài dấu tích phân: 1) b b 22 a a dX 1 X = arctg X+A A A ⎡ ⎢ ⎣⎦ ∫ ⎤ ⎥ Nếu Δ < 0 2) b b 22 a a dX 1 X-A =ln X-A 2A X+A ⎡ ⎢ ⎣⎦ ∫ ⎤ ⎥ Nếu Δ > 0 3) b b 2 a a dX 1 =- XX ⎡⎤ ⎢⎥ ⎣⎦ ∫ Nếu Δ = 0 b b a a dx 1 =lnax+b ax+b a ⎡⎤ ⎢⎥ ⎣⎦ ∫ Dạng 2: Các dạng tích phân hàm phân thức thứ hai Tính tích phân b 2 2 a mx n Idx(0 xx + =α α+β+γ ∫ ;m0)≠≠ Ta làm 2 bước: B B 1 : Kiểm tra tính khả tích của hàm dưới dấu tích phân và đưa tích phân về dạng: bb 2 22 aa m2x m2n dx Idx 2xx 2 xx α+β β −α ⎛⎞ =− ⎜⎟ α α +β +γ α α +β +γ ⎝⎠ ∫∫ . -x dx = a -x + arcsin +C 22a ∫ 28/ 2 22 22 22 xa x±adx= x±a± lnx+ x±a +C 22 ∫ B. BẢNG THAM KHẢO CÁC TÍCH PHÂN MỞ RỘNG: NHÓM I: DẠNG HÀM LŨY THỪA MỞ RỘNG (α ≠ 0) Nguyễn Phú Khánh