tuyển tập lý thuyết bài tập bất phương trình hệ phương trình

Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số §1.. • Đưa phương trình về phương trình theo ẩn t đã biết cách giải phương trình có thể vẫn chứa x.. Phuơng pháp khoảng đối với p

Trang 1

Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Phương Trình Đại Số

§1 Phương Trình - Bất Phương Trình Không Chứa Căn

A Phương Pháp Giải Cơ Bản

1 Đưa về phương trình tích

• Biến đổi đưa phương trình về dạng f (x).g(x) = 0

• Áp dụng công thức f (x).g(x) = 0 ⇔

f (x) = 0 g(x) = 0 .

2 Đặt ẩn phụ

• Chọn ẩn phụ t = u(x) phù hợp

• Đưa phương trình về phương trình theo ẩn t đã biết cách giải (phương trình có thể vẫn chứa x)

3 Phuơng pháp khoảng (đối với phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối)

• Lập bảng xét dấu các biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối

• Xét phương trình trên từng khoảng

Lưu ý Nếu phương trình chỉ chứa một dấu trị tuyệt đối |f (x)| thì xét hai trường hợp f (x) ≥ 0 và f (x) < 0

B Bài Tập

2.1 Giải các bất phương trình sau

a) x2− 6x + 6 > 0 b) −4x2+ x − 2 ≥ 0

c) x4− 4x3+ 3x2+ 8x − 10 ≤ 0 d) x4+ x2+ 4x − 3 ≥ 0

a) x − 2

x2− 9x + 8 ≥ 0. b)

x2− 3x − 2

x − 1 ≥ 2x + 2

c) x + 5

2x − 1+

2x − 1

x + 5 > 2. d)

1

x2− 5x + 4<

1

x2− 7x + 10. 2.3 Giải các phương trình sau

a) x3− 5x2+ 5x − 1 = 0 b) x3− 3√3x2+ 7x −√

3 = 0

c) x4− 4x3− x2+ 16x − 12 = 0 d) (x − 3)3+ (2x + 3)3= 18x3

e) x2+ 13+ (1 − 3x)3= x2− 3x + 23

f) (4 + x)2− (x − 1)3= (1 − x) x2− 2x + 17

2.4 Giải các phương trình sau

a) x2− 4x + 32

− x2− 6x + 52

= 0 b) x4= (2x − 5)2 c) x4+ 3x2+ 3 = 2x d) x4− 4x − 1 = 0

e) x4= 6x2− 12x + 8 f) x4= 2x3+ 3x2− 4x + 1

a) (x + 3)4+ (x + 5)4= 2 b) (x + 1)4+ (x + 3)4= 16

c) (x + 3)4+ (x − 1)4= 82 d) x4+ (x − 1)4=418

a) (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) = 3 b) x2+ 1 (x + 3) (x + 5) + 16 = 0

c) (x − 1) (x − 2) (x − 3) (x − 6) = 3x2 d) x2− 2x + 4

x2+ 3x + 4 = 14x2

Trang 2

a) x4− 4x3+ 6x2− 4x + 1 = 0 b) 2x4+ 3x3− 9x2− 3x + 2 = 0

c) 2x4+ 3x3− 27x2+ 6x + 8 = 0 d) x4− 5x3+ 8x2− 10x + 4 = 0

a) x2+ 5x2

− 2 x2+ 5x − 24 = 0 b) x2+ x + 1 x2+ x + 2 = 12

c) x2− 2x − 22

− 2x2+ 3x + 2 = 0 d) (4x + 3)2(x + 1) (2x + 1) = 810

a) 1

2x2− x + 1+

1 2x2− x + 3 =

6 2x2− x + 7. b)

4x 4x2− 8x + 7+

3x 4x2− 10x + 7 = 1.

c) x

2+ 1

x +

x

x2+ 1 = −

5

x − 1

x + 2

2

+x − 3

x + 2− 2 x − 3

x − 1

2

= 0

e) x2+

x

x + 1

2

1

x2+ x + 1

2

+

1

x2+ x + 2

2

= 13

36. 2.10 Giải các phương trình sau

a) |x − 1| =x2− 3x + 1

b)x2+ 4x − 5=x2+ 5 c)x2− 5x + 4

− x = 4 d)√

x2+ 4x + 4 = 5 − x2 e)x2− 5x + 4

= x2+ 6x + 5 f) x2− 5x + 5

= −2x2+ 10x − 11

a) x2− x2

+x2− x− 6 = 0 b) 3 2x − 1

x + 1

2

−

x + 1 2x − 1

− 2 = 0

c)x2+ 3x − 10+x2− 4= 0 d)x2+ 3x − 4+x2011+ 2011x − 2012= 0

a) |x − 2| < |2x + 1| b)

2x − 3

x − 3

≤ 1

c)x2− 5x + 4

≤ x2+ 6x + 5 d)x2− 2x

+ x2− 4 > 0

a) |9 − x| = |6 − 5x| + |4x + 3| b)x2− 5x + 4

+x2− 5x

= 4

c) |7 − 2x| = |5 − 3x| + |x + 2| d) |x − 1| − 2 |x − 2| + 3 |x − 3| = 4

e)√

x2− 2x + 1 +√x2+ 4x + 4 = 5 f) px + 2√

x − 1 +px − 2√

x − 1 = 2

§2 Phương Trình & Bất Phương Trình Chứa Căn

1 Sử dụng phép biến đổi tương đương

•pf(x) = pg(x) ⇔

f (x) ≥ 0

f (x) = g(x) . • pf(x) = g(x) ⇔

g(x) ≥ 0

f (x) = g2(x) .

• pf(x) =3 pg(x) ⇔ f(x) = g(x).3 • pf(x) = g(x) ⇔ f(x) = g3 3(x)

•pf(x) < g(x) ⇔







f (x) ≥ 0 g(x) > 0

f (x) < g2(x)

• pf(x) > g(x) ⇔







g(x) < 0

f (x) ≥ 0

g(x) ≥ 0

f (x) > g2(x)

2 Đặt ẩn phụ

• Dạng 1: Đặt t = u(x), đưa phương trình về ẩn t (phương trình có thể vẫn chứa ẩn x)

• Dạng 2 Đặt u = u(x); v = v(x), đưa phương trình về hệ theo ẩn u và v

3 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số

• Dự đoán nghiệm (nếu có)

• Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để chỉ ra phương trình chỉ có nghiệm đã dự đoán (hoặc chỉ ra PTVN)

4 Đánh giá hai vế

• Đánh giá f (x) ≥ A; g(x) ≤ A Khi đó f (x) = g(x) ⇔

f (x) = A g(x) = A .

Trang 3

B Bài Tập

a) x −√

x − 1 − 7 = 0 b)√

2x + 9 =√

4 − x +√

3x + 1

c) √

3x − 3 −√

5 − x =√

2x − 4 d)p2x +√

6x2+ 1 = x + 1

e) √3

2x − 1 +√3

x − 1 =√3

3x + 1 f) √3

x + 1 +√3

x + 2 +√3

x + 3 = 0

a) √

x2− 4x − 12 > 2x + 3 b)√

x2− 4x − 12 ≤ x − 4

c) √3

6x − 9x2< 3x d)√

x3+ 1 ≥ x + 1

a) (CĐ-09)√

x + 1 + 2√

x − 2 ≤√

5x + 1 b) (A-05)√

5x − 1 −√

x − 1 >√

2x − 4

c) p2x +√

6x2+ 1 > x + 1 d) (A-04) p2 (x2− 16)

√

x − 3 +

√

x − 3 > √7 − x

x − 3. 2.17 Giải các phương trình sau

a) (D-05) 2px + 2 + 2√

x + 1 −√

x + 1 = 4 b)px − 1 + 2√

x − 2 −px − 1 − 2√

x − 2 = 1

c) x +

r

x +12+

q

x + 14 = 9 d)

q

x + 2√

x − 1 +

q

x − 2√

x − 1 = x + 3

3 . 2.18 Giải các bất phương trình sau

a)

q

x

4+√

x − 4 ≥ 8 − x b) (D-02) x2− 3x√

2x2− 3x − 2 ≥ 0

c) (x − 2)√

x2+ 4 < x2− 4 d) (x + 2)√

9 − x2≤ x2− 2x − 8

e) √

x2− 3x + 2 +√x2− 4x + 3 ≥ 2√x2− 5x + 4 f) √

x2+ x − 2 +√

x2+ 2x − 3 ≤√

x2+ 4x − 5

a) (D-06) √

2x − 1 + x2− 3x + 1 = 0 b)p7 − x2+ x√

x + 5 =√

3 − 2x − x2 c) √

2x2+ 8x + 6 +√

x2− 1 = 2x + 2 d) 3 2 +√

x − 2 = 2x +√x + 6

e) x2+ 3x + 1 = (x + 3)√

x2+ 1 f)

r

x2− 7

x2 +

r

x − 7

x2 = x

a) 1 −

√

1 − 4x2

x < 3. b)

1 −√

21 − 4x + x2

x + 1 ≥ 0

c) √ 2x

2x + 1 − 1 > 2x + 2. d)

x2

1 +√

1 + x2 > x − 4

a) (x + 5) (2 − x) = 3√

x2+ 3x b)p(x + 1) (2 − x) = 1 + 2x − 2x2 c) √

x + 1 +√

4 − x +p(x + 1) (4 − x) = 5 d)√

3x − 2 +√

x − 1 = 4x − 9 + 2√

3x2− 5x + 2

a) x +√

4 − x2= 2 + 3x√

4 − x2 b) (x − 3) (x + 1) + 4 (x − 3)qx+1x−3 = −3

c) 4

x2 + x

2

4 − x2 +5

2

√

4 − x2

x +

x

√

4 − x2

! + 2 = 0 d) (B-2011) 3√2 + x − 6√

2 − x + 4√

4 − x2= 10 − 3x

a) x2+ 3x + 2 ≥ 2√

x2+ 3x + 5 b) x2+√

2x2+ 4x + 3 ≥ 6 − 2x

c) x (x + 1) −√

x2+ x + 4 + 2 ≥ 0 d) x2− 2x + 8 − 6p(4 − x) (2 + x) ≤ 0

e) x

x + 1− 2

r

x + 1

x > 3. f)

√

x + 2 +√

x − 1 + 2√

x2+ x − 2 ≤ 11 − 2x

a) x2− 1 = 2x√x2− 2x b) x2− 1 = 2x√x2+ 2x

c) (4x − 1)√

x3+ 1 = 2x3+ 2x + 1 d) x2+ 4x = (x + 2)√

x2− 2x + 24

a) √3

2 − x = 1 −√

x − 1 b) (A-09) 2√3

3x − 2 + 3√

6 − 5x − 8 = 0

c) 2 x2+ 2 = 5√x3+ 1 d) 2 x2− 3x + 2 = 3√x3+ 8

Trang 4

a) x2+√

x + 5 = 5 b) x3+ 2 = 3√3

3x − 2

c) x3+ 1 = 2√3

2x − 1 d) x√3

35 − x3 x +√3

35 − x3 = 30

2.27 Giải các phương trình, bất phương trình sau

a) (B-2012) x + 1 +√

x2− 4x + 1 ≥ 3√x b) (A-2010) x −

√ x

1 −p2 (x2− x + 1) ≥ 1.

c) √3

x2− 2 =√2 − x3 d) x +p3 (1 − x2) = 2 1 − 2x2

a)√

4x − 1 +√

4x2− 1 = 1 b)√

x − 1 = −x3− 4x + 5

c)√

2x − 1 +√

x2+ 3 = 4 − x d) x5+ x3−√1 − 3x + 4 = 0

e) x3+ 4x − (2x + 7)√

2x + 3 = 0 f) (CĐ-2012) 4x3+ x − (x + 1)√

2x + 1 = 0

a)√

x2− 2x + 5 +√x − 1 = 2 b)√

x − 2 +√

4 − x = x2− 6x + 11

c) 2 √

x − 2 − 12+√

x + 6 +√

x − 2 − 2 = 0 d)√

5x3+ 3x2+ 3x − 2 = 1

2x2+ 3x −1

2

§3 Hệ Phương Trình Đại Số

1 Đưa về hệ mẫu mực (Hệ đối xứng loại I, hệ đối xứng loại II, hệ đẳng cấp)

2 Phương pháp thế

• Loại 1: Rút một biểu thức từ một phương trình rồi thế vào phương trình kia

• Loại 2: Giải cụ thể một phương trình rồi thế vào phương trình kia

• Loại 3 Thế hằng số

3 Đặt ẩn phụ

4 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số

• Nếu y = f (x) luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên D thì f (u) = f (v) ⇔ u = v

• Nếu y = f (x) luôn đồng biến trên D còn y = g(x) luôn nghịch biến hoặc không đổi trên D thì phương trình

f (x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trên D

B Bài Tập

2.30 Giải các hệ phương trình sau

a)

x2+ y2+ xy = 7

x + y + xy = 5 . b)

x + y + xy = 1

x3+ y3+ 3(x − y)2− 4 = 0 . c) (DB-05)

x2+ y2+ x + y = 4

x (x + y + 1) + y (y + 1) = 2 . d)

x2− xy + y2= 3 (x − y)

x2+ xy + y2= 7(x − y)2 . 2.31 Giải các hệ phương trình sau

a)

x2− 2y2= 2x + y

y2− 2x2= 2y + x . b)





x − 3y = 4y

x

y − 3x = 4x

y

c)





2x + y = 3

x2

2y + x = 3

y2

d) (B-03)





 3y = y

2+ 2

x2

3x = x

2+ 2

y2

a)

x2− xy = 2

2x2+ 4xy − 2y2= 14 . b)

x2− 2xy + 3y2= 9

x2− 4xy + 5y2= 5 . c)

x3+ y3= 1

x2y + 2xy2+ y3= 2 . d) (DB-06)

(x − y) x2+ y2 = 13 (x + y) x2− y2 = 25 . 2.33 Giải các hệ phương trình sau

a)

x + y = −1

x3− 3x = y3− 3y . b) (DB-06)

x2+ 1 + y (y + x) = 4y

x2+ 1 (y + x − 2) = y . c) (B-08)

x4+ 2x3y + x2y2= 2x + 9

x2+ 2xy = 6x + 6 . d) (D-09)

x (x + y + 1) − 3 = 0 (x + y)2− 5

x 2 + 1 = 0 .

Trang 5

a) (B-02)

√3

x − y =√

x − y

x + y =√

x + y + 2 . b) (A-03)

x − 1

x = y −1

y

2y = x3+ 1 . c)

x2+ y2+x+y2xy = 1

√

x + y = x2− y . d)

6x2− 3xy + x + y = 1

x2+ y2= 1 . 2.35 Giải các hệ phương trình sau

a) (DB-07)

x4− x3y − x2y2= 1

x3y − x2− xy = −1 . b) (D-08)

xy + x + y = x2− 2y2

x√ 2y − y√

x − 1 = 2x − 2y . c) (D-2012)

xy + x − 2 = 0 2x3− x2y + x2+ y2− 2xy − y = 0 d)

x3+ 2y2= x2y + 2xy

2px2− 2y − 1 +p3

y3− 14 = x − 2 . 2.36 Giải các hệ phương trình sau

a)

x2+ y2+ xy = 1

x3+ y3= x + 3y . b)

x3+ 2xy2+ 12y = 0 8y2+ x2= 12 . c) (DB-06)

x3− 8x = y3+ 2y

x2− 3 = 3 y2+ 1 d) (A-2011)

5x2y − 4xy2+ 3y3− 2 (x + y) = 0

xy x2+ y2 + 2 = (x + y)2 . 2.37 Giải các hệ phương trình sau

a) (B-09)

xy + x + 1 = 7y

x2y2+ xy + 1 = 13y2 b)

2x2+ x − 1

y = 2

y − y2x − 2y2= −2 . c)

8x3y3+ 27 = 18y3

4x2y + 6x = y2 . d)

x3− y3= 9

x2+ 2y2= x − 4y . 2.38 Giải các hệ phương trình sau

a)

x (3x + 2y) (x + 1) = 12

x2+ 2y + 4x − 8 = 0 . b)

x + y −√

xy = 3

√

x + 1 +√

y + 1 = 4 . c) (CĐ-2010)

2√ 2x + y = 3 − 2x − y

x2− 2xy − y2= 2 . d) (DB-05)

√ 2x + y + 1 −√

x + y = 1 3x + 2y = 4 . e)

x2+ y2= 5

√

y − 1 (x + y − 1) = (y − 2)√

x + y . f) (A-08)

x2+ y + x3y + xy2+ xy = −5

4

x4+ y2+ xy (1 + 2x) = −5

4

a)

√

x + 10 +√

y − 1 = 11

√

x − 1 +√

y + 10 = 11 . b)

√

x − 1 −√

y = 8 − x3

(x − 1)4= y . c) (A-2012)

x3− 3x2− 9x + 22 = y3+ 3y2− 9y

x2+ y2− x + y = 1

2

d) (A-2010)

4x2+ 1 x + (y − 3)√5 − 2y = 0 4x2+ y2+ 2√

3 − 4x = 7 .

§4 Phương Trình - Bất Phương Trình & Hệ Chứa Tham Số

A Kiến Thức Bổ Sung

Cho hàm số y = f (x) liên tục trên D và có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên D Ta có:

• m = f (x) có nghiệm trên D ⇔ min

x∈Df (x) ≤ m ≤ max

x∈Df (x)

• m ≤ f (x) có nghiệm trên D ⇔ m ≤ max

x∈Df (x)

• m ≥ f (x) có nghiệm trên D ⇔ m ≥ min

x∈Df (x)

• m ≤ f (x), ∀x ∈ D ⇔ m ≤ min

x∈Df (x)

• m ≥ f (x), ∀x ∈ D ⇔ m ≥ max

x∈Df (x)

B Phương Pháp Giải Cơ Bản

1 Phương pháp tam thức bậc hai

• Dựa vào định lý về dấu tam thức bậc hai để có điều kiện phù hợp cho từng bài toán

2 Phương pháp chiều biến thiên hàm số

• Từ bài toán biến đổi và rút m theo f (x)

• Lập BBT của f (x) Từ BBT và các kiến thức bổ sung để rút ra KL

3 Phương pháp điều kiện cần và đủ

• Từ tính chất bài toán rút ra điều kiện cần để xảy ra bài toán

• Giải điều kiện cần được m, thay lại vào bài toán để kiểm tra

Trang 6

C Bài Tập

2.40 Tìm m để phương trình m −√

5 x2− 3mx + m + 1 = 0

a) Có nghiệm b) Vô nghiệm c) Có hai nghiệm trái dấu

2.41 Tìm m để phương trình x2+ 2 (m + 1) x + 9m − 5 = 0 có hai nghiệm âm phân biệt

2.42 Tìm m để phương trình (m − 2) x2− 2mx + m + 3 = 0 có hai nghiệm dương phân biệt

2.43 Tìm m để phương trình (m − 2) x4− 2 (m + 1) x2+ 2m − 1 = 0

a) Có một nghiệm b) Có hai nghiệm phân biệt c) Có bốn nghiệm phân biệt

2.44 (D-04) Tìm m để hệ

√

x +√

y = 1

x√

x + y√

y = 1 − 3m có nghiệm.

2.45 Tìm m để bất phương trình√

4x − 2 +√

16 − 4x ≤ m có nghiệm

2.46 Tìm m để phương trình (x − 3) (x + 1) + 4 (x − 3)qx−3x+1 = m có nghiệm

2.47 (DB-07) Tìm m để bất phương trình m √

x2− 2x + 2 + 1 + x (2 − x) ≤ 0 có nghiệm thuộc đoạn 0; 1 +√3 2.48 (A-07) Tìm m để phương trình 3√

x − 1 + m√

x + 1 = 2√4

x2− 1 có nghiệm thực

2.49 (B-06) Tìm m để phương trình√

x2+ mx + 2 = 2x + 1 có hai nghiệm thực phân biệt

2.50 (B-04) Tìm m để phương trình m √

1 + x2−√1 − x2+ 2 = 2√1 − x4+√

1 + x2−√1 − x2có nghiệm 2.51 (A-08) Tìm m để phương trình √4

2x +√ 2x + 2√4

6 − x + 2√

6 − x = m có hai nghiệm phân biệt

2.52 (DB-07) Tìm m để phương trình √4

x4− 13x + m + x − 1 = 0 có đúng một nghiệm

2.53 (B-07) Chứng minh rằng với mọi m > 0, phương trình x2+ 2x − 8 =pm (x − 2) có hai nghiệm phân biệt 2.54 Chứng minh rằng với mọi m, phương trình x4+ x3− 2x2+ 3mx − m2= 0 luôn có nghiệm

2.55 (DB-04) Tìm m để hệ

x2− 5x + 4 ≤ 0 3x2− mx√x + 16 = 0 có nghiệm.

2.56 (D-2011) Tìm m để hệ

2x3− (y + 2) x2+ xy = m

x2+ x − y = 1 − 2m có nghiệm.

2.57 Tìm m để hệ√

1 − x2+ 2√3

1 − x2= m có nghiệm duy nhất

2.58 Tìm m để hệ

x = y2− y + m

y = x2− x + m có nghiệm duy nhất.

2

§3 Hệ Phương Trình Đại Số

1 Đưa hệ mẫu mực (Hệ đối xứng loại I, hệ đối xứng loại II, hệ đẳng cấp)

2 Phương pháp

•...

2 Phương pháp

• Loại 1: Rút biểu thức từ phương trình vào phương trình

• Loại 2: Giải cụ thể phương trình vào phương trình

• Loại Thế số

3 Đặt ẩn phụ

4... Đặt ẩn phụ

• Dạng 1: Đặt t = u(x), đưa phương trình ẩn t (phương trình chứa ẩn x)

• Dạng Đặt u = u(x); v = v(x), đưa phương trình hệ theo ẩn u v

3 Sử dụng tính đơn điệu hàm

Định dạng
Số trang	6
Dung lượng	219,72 KB