Thông tin tài liệu
BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu CHUYÊN ĐỀ: BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH PHẦN CÁC KIẾN THỨC CẦN LƯU Ý 1/Định nghĩa A B A − B A B A − B 2/Tính chất + A>B B A + A>B B >C A C + A>B A+C >B + C + A>B C > D A+C > B + D + A>B C > A.C > B.C + A>B C < A.C < B.C + < A < B < C B > A n > B n n + A > B A n > B n với n lẻ + A > B A n > B n với n chẵn + m > n > A > A m > A n + m > n > 1 A B 3/Một số bất đẳng thức + A với A ( dấu = xảy A = ) + An với A ( dấu = xảy A = ) + A với A (dấu = xảy A = ) + -A 0) + A − B A − B ( dấu = xảy A.B < 0) Để đăng ký vào group VIP nhận trọn tài liệu WORD toán THCS, thầy vui lịng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu PHẦN II CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Phương pháp : Dùng định nghĩa Kiến thức : Để chứng minh A > B Ta lập hiệu A –B > Lưu ý dùng bất đẳng thức M với M Ví dụ x, y, z chứng minh : a) x + y + z xy+ yz + zx b) x + y + z 2xy – 2xz + 2yz c) x + y + z +3 (x + y + z) Giải: a) Ta xét hiệu : x + y + z - xy – yz – zx = ( x + y + z - xy – yz – zx) = ( x − y ) + ( x −z ) + ( y − z ) với x;y;z R Vì (x-y)2 vớix ; y Dấu xảy x=y (x-z)2 vớix ; z Dấu xảy x=z (y-z)2 với z; y Dấu xảy z=y Vậy x + y + z xy+ yz + zx Dấu xảy x = y =z b)Ta xét hiệu: x + y + z - ( 2xy – 2xz +2yz ) = x + y + z - 2xy +2xz – 2yz = ( x – y + z) với x;y;z R Vậy x + y + z 2xy – 2xz + 2yz với x;y;z R Dấu xảy x+y=z Để đăng ký vào group VIP nhận trọn tài liệu WORD tốn THCS, thầy vui lòng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu c) Ta xét hiệu: x + y + z +3 – 2( x+ y +z ) = x - 2x + + y -2y +1 + z -2z +1 = (x-1) + (y-1) +(z-1) Dấu(=)xảy x=y=z=1 Ví dụ 2: chứng minh : a2 + b2 a + b a) ; a2 + b2 + c2 a + b + c 3 b) c) Hãy tổng quát toán Giải: a) Ta xét hiệu = ( a2 + b2 a + b − ) ( ) 1 a2 + b2 a + 2ab + b = 2a + 2b − a − b − 2ab = (a − b )2 − 4 4 a2 + b2 a + b Vậy Dấu xảy a=b b)Ta xét hiệu a2 + b2 + c2 a + b + c 2 − = (a − b ) + (b − c ) + (c − a ) Vậy 3 a2 + b2 + c2 a + b + c 3 Dấu xảy a = b =c c)Tổng quát a12 + a 22 + + a n2 a1 + a + + a n n n Tóm lại bước để chứng minh A B theo định nghĩa Bước 1: Ta xét hiệu H = A - B Để đăng ký vào group VIP nhận trọn tài liệu WORD tốn THCS, thầy vui lòng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu Bước 2:Biến đổi H=(C+D) H=(C+D) +….+(E+F) Bước 3:Kết luận A B Ví dụ 1: Chứng minh m,n,p,q ta có : m + n + p + q +1 m(n+p+q+1) Giải: m2 m2 m2 m2 − mn + n + − mp + p + − mq + q + − m + 1 2 2 m m m m − n + − p + − q + − 1 (luôn đúng) 2 2 2 2 m −n =0 m − p=0 2 Dấu xảy m −q =0 2 m − = m n = m m=2 p = n = p = q = m q = m = 22 Ví dụ 2: Chứng minh với a, b, c ta ln có : a + b + c abc(a + b + c) Giải: Ta có : a + b + c abc(a + b + c) , a, b, c a + b + c − a bc − b ac − c ab 2a + 2b + 2c − 2a bc − 2b ac − 2c ab ( a2 − b2 ( a2 − b2 ( a2 − b2 ) ) + (b ) + (b ( + 2a b + b − c 2 − c2 − c2 ) + (c ) + (c ) ( + 2b c + c − a ) + 2a c − 2a bc − 2b ac − 2c ab − a2 ) + (a b + b c − 2b ac) + (b c + c a − 2c ab) + (a b + c a − 2a ab) − a2 ) + (ab − bc) + (bc − ac) + (ab − ac) 2 2 0 Đúng với a, b, c Để đăng ký vào group VIP nhận trọn tài liệu WORD tốn THCS, thầy vui lịng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu Phương pháp : Dùng phép biến đổi tương đương Kiến thức: Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức bất đẳng thức chứng minh Nếu A < B C < D , với C < D bất đẳng thức hiển nhiên, biết có bất đẳng thức A < B Chú ý đẳng thức sau: ( A + B)2 = A2 + AB + B ( A + B + C )2 = A2 + B + C + AB + AC + 2BC ( A + B)3 = A3 + 3A2 B + 3AB + B Ví dụ 1: Cho a, b, c, d,e số thực chứng minh a) a + b2 ab b) a + b + ab + a + b c) a + b + c + d + e a(b + c + d + e) Giải: a) a + b2 2 2 ab 4a + b 4ab 4a − 4a + b (2a − b) (BĐT đúng) Vậy a + b) b2 ab (dấu xảy 2a=b) a + b + ab + a + b 2(a + b + ) 2(ab + a + b) a − 2ab + b + a − 2a + + b − 2b + (a − b) + (a − 1) + (b − 1) Bất đẳng thức cuối Vậy a + b + ab + a + b Dấu xảy a=b=1 a + b + c + d + e a(b + c + d + e ) c) 4( a + b + c + d + e ) 4a(b + c + d + e) Để đăng ký vào group VIP nhận trọn tài liệu WORD toán THCS, thầy vui lịng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu ( ) ( ) ( ) ( ) a − 4ab + 4b + a − 4ac + 4c + a − 4ad + 4d + a − 4ac + 4c (a − 2b) + (a − 2c) + (a − 2d ) + (a − 2c) 2 2 Bất đẳng thức ta có điều phải chứng minh Ví dụ 2: Chứng minh rằng: (a10 + b10 )(a + b ) (a + b )(a + b ) Giải: (a 10 )( ) ( )( + b10 a + b a + b a + b ) a 12 + a 10 b + a b10 + b12 a 12 + a b + a b + b12 ( ) ( ) a b a − b + a b b − a a2b2(a2-b2)(a6-b6) a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4) Bất đẳng thứccuối ta có điều phải chứng minh Ví dụ 3: cho x.y =1 x y Giải: Chứng minh x2 + y2 2 :x y nên x- y x− y x2 + y2 2 x− y x2+y2 2 ( x-y) x2+y2- 2 x+ 2 y x2+y2+2- 2 x+ 2 y -2 x2+y2+( )2- 2 x+ 2 y -2xy x.y=1 nên 2.x.y=2 (x-y- )2 Điều luôn Vậy ta có điều phải chứng minh Ví dụ 4: Chứng minh rằng: a/ P(x,y)= x y + y − xy − y + x, y R b/ a + b + c a + b + c (gợi ý :bình phương vế) c/ Cho ba số thực khác không x, y, z thỏa mãn: x y.z = 1 1 + + x+ y+z x y z Chứng minh :có ba số x,y,z lớn Giải: Xét (x-1)(y-1)(z-1)=xyz+(xy+yz+zx)+x+y+z-1 Để đăng ký vào group VIP nhận trọn tài liệu WORD toán THCS, thầy vui lịng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu x y z 1 x y z =(xyz-1)+(x+y+z)-xyz( + + )=x+y+z - ( + + ) x y z (vì + + < x+y+z theo gt) số x-1 , y-1 , z-1 âm ba sỗ-1 , y-1, z-1 dương Nếu trường hợp sau xảy x, y, z >1 x.y.z>1 Mâu thuẫn gt x.y.z=1 bắt buộc phải xảy trường hợp tức có ba số x ,y ,z số lớn Ví dụ 5: Chứng minh : a b c + + 2 a+b b+c a+c Giải: Ta có : a + b a + b + c Tương tự ta có : 1 a a (1) a+b a+b+c a+b a+b+c b b ( 2) , b+c a+b+c c c (3) a+c a+b+c Cộng vế theo vế bất đẳng thức (1), (2), (3), ta : a b c + + 1 a+b b+c a+c Ta có : a a + b Tương tự : (*) a a+c a+b a+b+c b a+b b+c a+b+c (5) , ( 4) c c+b c+a a+b+c ( 6) Cộng vế theo vế bất đẳng thức (4), (5), (6), ta : a b c + + 2 a+b b+c a+c (**) Từ (*) (**) , ta : Phương pháp 3: a b c + + (đpcm) a+b b+c a+c Dùng bất đẳng thức phụ Kiến thức: a) x + y xy b) x + y xy dấu( = ) x = y = Để đăng ký vào group VIP nhận trọn tài liệu WORD tốn THCS, thầy vui lịng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu c) (x + y )2 xy a b b a d) + Ví dụ Cho a, b ,c số không âm chứng minh (a+b)(b+c)(c+a) 8abc Giải: Dùng bất đẳng thức phụ: (x + y )2 xy Tacó (a + b)2 4ab ; (b + c)2 4bc ; (c + a)2 4ac (a + b ) (b + c ) (c + a ) 64a b c = (8abc) (a+b)(b+c)(c+a) 8abc 2 2 Dấu “=” xảy a = b = c Phương pháp 4: Bất đẳng thức Cô sy Kiến thức: a/ Với hai số không âm : a, b , ta có: a + b ab Dấu “=” xảy a=b b/ Bất đẳng thức mở rộng cho n số không âm : a1 + a + + a n n n a1 a a n a + a + + a n a1 a a n n n Dấu “=” xảy a1 = a = = a n Chú ý : ta dùng bất đẳng thức Côsi đề cho biến số khơng âm Ví dụ : Giải phương trình : 2x 4x 2x + + = x x x x +1 +1 + Giải : Nếu đặt t =2x pt trở thành pt bậc theo t nên ta đặt a = x , a, b b = x Khi phương trình có dạng : a b + + = b +1 a +1 a + b Vế trái phương trình: Để đăng ký vào group VIP nhận trọn tài liệu WORD tốn THCS, thầy vui lịng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu a b = + 1 + + 1 + + 1 − b +1 a +1 a + b a + b + 1 a + b + 1 a + b +1 = + + −3 b +1 a +1 a + b 1 = (a + b + c ) + + −3 b +1 a +1 a + b (b + 1) + (a + 1) + (a + b ) 1 + + −3 b +1 a +1 a + b 3 3 (a + 1)(b + 1)(a + b) −3 = (a + 1)(b + 1)(a + b ) 2 Vậy phương trình tương đương với : a +1 = b +1 = a + b a = b = 2x = 4x = x = Ví dụ : Cho x, y , z > x + y + z = Tìm GTLN P = x y z + + x +1 y +1 z +1 Giải : P = 3- ( 1 ) = – Q Theo BDT Côsi , a, b, c > + + x +1 y +1 z +1 a + b + c 3 abc 1 1 + + 33 a b c abc 1 1 (a + b + c ) + + a b c 1 + + a b c a+b+c Suy Q = 9 1 -Q − nên P = – Q 3- = + + 4 x +1 y +1 z +1 Vậy max P = x = y = z = Để đăng ký vào group VIP nhận trọn tài liệu WORD tốn THCS, thầy vui lịng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Tốn học Hữu Ví dụ 3: Cho a, b, c >0 Chứng minh rằng: 1 a+b+c + + 2abc a + bc b + ac c + ab Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có : a + +bc 2a bc 1 1 + a + +bc a bc ab ac Tương tự : 1 1 + b + + ac b ac bc ab 1 1 + c + + ab c ab ac bc 2 a+b+c + + 2abc a + bc b + + ac c + + ab Dấu “=” xảy a = b = c Ví dụ : CMR tam giác ABC : a b c + + (*) b+c−a c+a−b a+b−c Giải : Theo bất đẳng thức Côsi : a b c abc + + 33 (1) b+c−a c+a −b a +b−c (b + c − a)(c + a − b)(a + b − c) Cũng theo bất đẳng thức Côsi : (b + c − a )(c + a − b) (b + c − a + c + a − b) = c (2) Viết tiếp hai BDT tương tự (2) nhân với (b + c − a)(c + a − b)(a + b − c) abc abc → (3) (b + c − a)(c + a − b)(a + b − c) Từ (1),(3) suy (*) Dấu “=” xảy a = b = c hay ABC Ví dụ 5: Để đăng ký vào group VIP nhận trọn tài liệu WORD tốn THCS, thầy vui lịng truy cập link sau: http://bit.ly/VIP-word-THCS 10 ...BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH Sưu tầm chia sẻ Organic Math - Toán học Hữu PHẦN II CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Phương pháp : Dùng định nghĩa Kiến thức : Để chứng minh. .. Hữu Phương pháp : Dùng phép biến đổi tương đương Kiến thức: Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức bất đẳng thức chứng minh Nếu A < B C < D , với C < D bất đẳng. .. sin x Bất đẳng thức với n= k+1 Vậy: sin nx n sin x , n , x R Phương pháp 16: Chứng minh phản chứng Kiến thức: 1) Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức , ta giả sử bất đẳng thức sai
Ngày đăng: 31/12/2020, 21:25
Xem thêm: