BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|1 THI ONLINE - TÍNH CHẤT LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ *Biên soạn: Thầy Đặng Thành Nam Video giảng lời giải chi tiết có Vted (https://www.vted.vn/) Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Họ, tên thí sinh: Trường: Câu [Q755113955] Chứng minh số thực a, b, c, m (m > 0) thoả mãn a b c + + m + m + = m phương trình ax + bx + c = ln có nghiệm thực Câu [Q708137780] Cho phương trình ax + (2b + c)x + 2d + e = có nghiệm khơng nhỏ Chứng minh phương trình ax + bx + cx + dx + e = có nghiệm Câu [Q858057536] Giả sử phương trình ax + (b + c)x + d + e = có nghiệm x > 1, chứng minh phương trình ax + bx + cx + dx + e = có nghiệm Câu [Q728838806] Chứng minh phương trình sau có nghiệm : = sin x; = x + x + Câu [Q815753151] Chứng minh phương trình x − 9x − = có hai nghiệm thực Câu [Q760135806] Chứng minh phương trình x + x − 8x + = có ba nghiệm thực 2 2 x x Câu [Q358438437] Cho số thực a, b, c thoả mãn a c b + + = Chứng minh phương trình có nghiệm thực Câu [Q790476566] Chứng minh phương trình x = (x + 1) có nghiệm thực dương Câu [Q420545107] Chứng minh đa thức bậc lẻ ln có nghiệm thực Câu 10 [Q733118027] Chứng minh hàm số liên tục tuần hồn bị chặn Câu 11 [Q223515152] Cho f : [0, 1] → R hàm số liên tục cho f (0) = f (1) Chứng minh với số nguyên dương n tồn c ∈ [0, 1]sao cho f (c) = f (c + ) ax + bx + c = x+1 x n Câu 12 [Q699500449] Cho f hàm liên tục [0, 2]và f (0) = f (2) Chứng minh tồn x x [0, 2] cho x − x = f (x ) = f (x ) Câu 13 [Q794221437] Cho hàm số f (x) liên tục tuần hoàn R Chứng minh phương trình f (x) = f (x + π) ln có nghiệm thực Câu 14 [Q451625243] Cho f hàm liên tục tuần hoàn R Chứng minh tồn x x [0, 2] 2 1 cho x − x1 = f (x 2) − f (x1 ) = (f (2) − f (1)) Câu 15 [Q906359392] Cho đa thức P (x) khác Chứng minh phương trình |P (x)| = e ln có nghiệm thực Câu 16 [Q564177841] Cho f : R → R hàm liên tục thỏa mãn f (x) = f (x + T ) , T > với x ∈ R Chứng minh với số thực c phương trình f (x) = x + c ln có nghiệm Câu 17 [Q054717415] Cho f : R → R hàm số liên tục tuần hoàn với chu kỳ Chứng minh phương trình f (x) = f (x + π)ln có nghiệm Câu 18 [Q514473663] Cho f : [0; 1] → [0; 1] hàm liên tục Chứng minh phương trình x x 2x − ∫ f (t)dt = có nghiệm [0; 1] Câu 19 [Q377869946] Cho f : [0, +∞) → [0, +∞) hàm liên tục thỏa mãn lim tồn x ∈ [0, +∞)sao cho f (x ) = x Câu 20 [Q125300100] [Nowak II] Cho số thực nghiệm đa thức P (x) = n x < Chứng minh a0 < b0 < a1 < b1 < < an < bn n ∏ (x + ak ) + ∏ (x + bk ) k=0 f (x) x→+∞ Chứng minh nghiệm thực k=0 BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|1 BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|2 Câu 21 [Q713300637] [VMC 2009] Giả sử f , g hàm số liên tục R thỏa mãn điều kiện f (g(x)) = g (f (x)) , ∀x ∈ R Chứng minh phương trình khơng có nghiệm thực Câu 22 [Q917651716] Cho x0 ∈ R cho f (x + T f (x) = g(x) hàm liên tục tuần hoàn với chu kỳ f : R → R ) = f (x0 ) khơng có nghiệm thực phương trình T > f (f (x)) = g (g(x)) Chứng minh tồn Câu 23 [Q150636527] [VMC 1998] Cho f (x) liên tục [0, 1] có f (0) > ∫ f (x)dx < 1998 Chứng minh phương trình f (x) = x ln có nghiệm thuộc (0, 1) Câu 24 [Q755805053] Cho f : R → R hàm liên tục nhận giá trị trái dấu Chứng minh tồn cấp số cộng a < b < c cho f (a) + f (b) + f (c) = Câu 25 [Q571600106] Cho f : R → R hàm liên tục nhận giá trị trái dấu (0, +∞) Chứng minh tồn cấp số nhân < a < b < c cho f (a) + f (b) + f (c) = Câu 26 [Q655057002] Cho f : R → R thỏa mãn điều kiện |f (a) − f (b)| < |a − b| , ∀a, b ∈ R, a ≠ b Chứng minh f (f (f (0))) = f (0) = Câu 27 [Q493944027] [VMC 1994] Cho hàm số f : [a, b] → [a, b] với a < b thỏa mãn điều kiện |f (x) − f (y)| < |x − y| , ∀x, y ∈ [a, b] , x ≠ y 1997 Chứng minh phương trình f (x) = x có nghiệm thuộc [a, b] b Câu 28 [Q700162032] Cho f : [a; b] → R hàm liên tục thỏa mãn ∫ f (x)dx ≠ Chứng minh với a c k ∈ (0; 1) tồn c ∈ (a; b)sao cho ∫ b f (x)dx = k ∫ f (x)dx a a Câu 29 [Q706346619] [VMC 2001] Chứng minh tồn số thực x ∈ (0, 1) cho t ∫ x 2000 x (1 + t) (1 + t ) (1 + t 2001 2001 dt = (1 + x) (1 + x ) (1 + x ) 2001 ) Câu 30 [Q338317355] Cho n ∈ N , giả sử f hàm liên tục [0; n] cho f (0) = f (n) Chứng minh tồn x x [0; n] cho x − x = f (x ) = f (x ) Câu 31 [Q653129164] Cho f , g : [0; 1] → R hàm liên tục thỏa mãnf (0) = g(1) = 0và f (1) = g(0) = Chứng minh với số thực dương k phương trình f (x) = kg(x)ln có nghiệm [0; 1] Câu 32 [Q565076181] Chứng minh phương trình (1 − x) cos x = sin x ln có nghiệm thuộc (0, 1) Câu 33 [Q140888708] Cho f : [0; 1] → [0; 1]là hàm liên tục Chứng minh tồn x ∈ [0, 1]sao cho f (x ) = x Câu 34 [Q155785943] Cho f , g : [a; b] → R hàm liên tục cho f (a) < g(a) f (b) > g(b) Chứng minh tồn x ∈ (a; b) cho f (x ) = g(x ) Câu 35 [Q563547150] Cho f : [a; b] → R hàm liên tục Chứng minh tồn c ∈ [a; b] cho ∗ 2 0 0 mf (a) + nf (b) f (c) = với số nguyên dương m, n m + n Câu 36 [Q373291912] Cho f : R → R hàm liên tục n ak , k = 1, 2, , n cho ∑ f (a k) = n limx→+∞ f (x) = +∞ Chứng minh với số thực dương Giả sử tồn n số thực dương tồn n số thực dương c bk > a k cho n ∑ f (bk ) = n + c k=1 Câu 37 [Q445327504] Chứng minh với số thực atan x + b tan x + c = ln có nghiệm thuộc khoảng (kπ; a, b, c π thoả mãn 3a + 2b + 6c = phương trình + kπ) , k ∈ Z BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|2 BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|3 Câu 38 [Q052566250] Chứng minh với số thực có nghiệm thuộc đoạn [kπ; atan x + b tan x + c = a, b, c π thoả mãn 2a + 3b + 6c = phương trình + kπ] , k ∈ Z π/2 Câu 39 [Q182228846] [VMC 2009] Giả sử f liên tục [0; π ] thoả mãn f (0) > 0, ∫ f (x)dx < Chứng minh phương trình f (x) = sin x có nghiệm khoảng (0; π ) Câu 40 [Q259099591] Tìm tất số nguyên dương n cho hàm liên tục f : [0; 1] → [0; 1] tồn x ∈ [0; 1]sao cho nf (x ) = (1 − x ) (f (x ) + f (1 − x )) Câu 41 [Q774825455] [VMC 2005] Cho số dương a hàm số f (x) có đạo hàm liên tục R cho f (x) ≥ a 0 0 ′ π với x ∈ R Biết < ∫ f (x) sin xdx < a Chứng minh π [0, ] , phương trình f (x) = có nghiệm Câu 42 [Q036390693] Cho f dương α c ∈ (a; b) cho : [a; b] → (a; b) hàm liên tục Chứng minh với số tự nhiên f (c) + f (c + α)+ +f (c + nα) = (n + 1) (c + Câu 43 [Q536354744] Cho f x ∈ (a; b) cho f (x : (a; b) → R nα ) n tồn số hàm liên tục chứng minh với x , x2 , , xn ∈ (a; b) tồn ) = n (f (x1 )+ +f (xn )) b Câu 44 [Q608393207] Nếu f hàm liên tục [a; b] chof (a) ((b − a) f (b) − ∫ f (x)dx) < , tồn a c ∫ f (x)dx c ∈ (a; b) a cho f (c) = b − a Câu Xét f (x) = ax m + f ( + bx + c m + ) = a( m + HƯỚNG DẪN liên tục R , ta cóf (0) = c ) + b( m + m + m + c + m ≤ ⇒ ∃x0 ∈ [0; Câu Kí hiệu f (x) = ax + bx + cx + dx + e Giả sử x nghiệm phương trình bậc hai cho, ta có x + (2b + c)x0 + 2d + e = ⇒ ax (m + 1) ] m(m + 2) m + ] |f (x0 ) = Ta có điều phải chứng minh ax m + m + m(m + 2) + −c ] = ) = − m + (m + 1) (m + 2)c b + m + (m + 2)c −c [ a [ m + 2 = ) + c = m + (m + 1) Suy f (0)f ( (m + 1) m + 0 ≥ + cx0 + e = −2(bx0 + d) Khi f (−√x0 )f (√x0 ) = [ax 2 − bx0 √x0 + cx0 − d√x0 + e] [ax + bx0 √x0 + cx0 + d√x0 + e] = [−bx0 √x0 − 2(bx0 + d) − d√x0 ] [bx0 √x0 − 2(bx0 + d) + d√x0 ] = 4(bx0 + d) − (bx0 √x0 − d√x0 ) 2 = (bx0 + d) (4 − x0 ) ≤ Theo định lí giá trị trung bình phương trình f (x) = có nghiệm thuộc đoạn [−√x0 ; √x0 ] Ta có điều phải chứng minh BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|3 BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|4 Câu Có ax + (b + c)x0 + d + e = ⇔ ax Khi hàm số f (x) = ax f (−√x0 )f (√x0 ) = [ax + bx + cx 2 + cx0 + e = −(bx0 + d) liên tục R + dx + e − bx0 √x0 + cx0 − d√x0 + e] [ax + bx0 √x0 + cx0 + d√x0 + e] = [−bx0 √x0 − (bx0 + d) − d√x0 ] [bx0 √x0 − (bx0 + d) + d√x0 ] = (bx0 + d) − (bx0 √x0 − d√x0 ) 2 = (bx0 + d) (1 − x0 ) ≤ Theo định lí giá trị trung bình phương trình f (x) = có nghiệm thuộc đoạn minh Câu a) Xét f (0) = > 0; f (− 3π hàm ) = − số 3π − = √ 3π f (x) = x − < ⇒ f (− Do phương trình f (x) = có nghiệm thuộc khoảng (− 3π liên − sin x 3π [−√x0 ; √x0 ] tục Ta có điều phải chứng có R ) f (0) < ; 0) Ta có điều phải chứng minh b) Xét hàm số f (x) = − x − x − liên tục R có f (0) = −2 < 0; f (6) = 19 > ⇒ f (0) f (6) < Do phương trình f (x) = có nghiệm thuộc khoảng (0; 6) Ta có điều phải chứng minh x ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ Câu Xét hàm số f (x) = x − 9x − liên tục R có lim x→−∞ ⎨ f (x) = +∞ ⎧ f (0) = −8 < ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ lim x→+∞ lim f (x) f (0) < x→−∞ ⇒ ⎨ ⎩ lim f (x) f (0) < x→+∞ f (x) = +∞ phương trình f (x) = có nghiệm thuộc khoảng (−∞; 0); (0; +∞) Ta có điều phải chứng minh Câu Xét hàm số f (x) = x + x − 8x + liên tục R có ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ f (−2) = −11 f (−2) f (0) < ⎧ ⎪ f (0) = ⇒ ⎨ ⎨ f (1) = −5 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎩ ⎪ f (0) f (1) < đó f (1) f (2) < f (2) = 21 phương trình f (x) = có nghiệm thuộc khoảng (−2; 0); (0; 1); (1; 2) Ta có điều phải chứng minh Câu Xét hàm số f (x) = ax + bx + c liên tục R f (0) = c; f (√ ) = a( Do f (0) f (√ 7 ) ) = − 21 + b( c ≤ ) + c = 25 ( a + b 25 ) + c = − c + c = − 21 có c Vậy phương trình f (x) = có nghiệm thuộc đoạn [0; √ ] Câu Với x > Lấy logarit tự nhiên hai vế phương trình ta : (x + 1) ln x − x ln(x + 1) = Xét hàm số f (x) = (x + 1) ln x − x ln(x + 1) liên tục khoảng (0, +∞) Ta có f ′ (x) = ln x + x+1 Xét hàm số g(x) = ln( Ta có g (x) = ′ −1 x < Mặt khác ta có lim ′ − ln(x + 1) − x x x+1 ) + 2x+1 x(x+1) x x+1 x = ln( , x ∈ (0; +∞) x+1 ) + 2x+1 x(x+1) , nên hàm số g(x)đơn điệu giảm khoảng (0, +∞) x→+∞ f (x) > 0, ∀x ∈ (0, +∞) g(x) = limx→+∞ (ln( x x+1 ) + 2x+1 x(x+1) ) = Vậy g(x) > 0, ∀x ∈ (0, +∞) Từ suy Vậy f (x)là hàm đơn điệu tăng khoảng (0, +∞) Mặt khác ta có f (1) = − ln < 0, lim Theo định lý giá trị trung bình tồn điệu tăng (0, +∞) x→+∞ f (x) = limx→+∞ ln[( x0 ∈ (0; +∞) cho f (x 0) x x+1 = x ) x] = +∞ nghiệm f hàm đơn BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|4 ... b] → (a; b) hàm liên tục Chứng minh với số tự nhiên f (c) + f (c + α)+ +f (c + nα) = (n + 1) (c + Câu 43 [Q536354744] Cho f x ∈ (a; b) cho f (x : (a; b) → R nα ) n tồn số hàm liên tục chứng... [Q563547150] Cho f : [a; b] → R hàm liên tục Chứng minh tồn c ∈ [a; b] cho ∗ 2 0 0 mf (a) + nf (b) f (c) = với số nguyên dương m, n m + n Câu 36 [Q373291912] Cho f : R → R hàm liên tục n ak , k = 1, 2,... [Q755805053] Cho f : R → R hàm liên tục nhận giá trị trái dấu Chứng minh tồn cấp số cộng a < b < c cho f (a) + f (b) + f (c) = Câu 25 [Q571600106] Cho f : R → R hàm liên tục nhận giá trị trái dấu