Chứng minh rằng tồn tại và trong Câu 13 [Q794221437] Cho hàm số liên tục và tuần hoàn trên Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm thực.. minh rằng với mọi số thực thì phương trình
Trang 1Câu 1 [Q755113955] Chứng minh mọi số thực thoả mãn thì
Câu 2 [Q708137780] Cho phương trình có nghiệm không nhỏ hơn 4 Chứng minh
Câu 3 [Q858057536] Giả sử phương trình có nghiệm chứng minh rằng
Câu 4 [Q728838806] Chứng minh rằng các phương trình sau đây có nghiệm :
Câu 5 [Q815753151] Chứng minh rằng phương trình có ít nhất hai nghiệm thực
Câu 6 [Q760135806] Chứng minh rằng phương trình có ít nhất ba nghiệm thực
Câu 7 [Q358438437] Cho các số thực thoả mãn Chứng minh rằng phương trình
có nghiệm thực
Câu 8 [Q790476566] Chứng minh rằng phương trình có nghiệm thực dương duy nhất
Câu 9 [Q420545107] Chứng minh rằng mọi đa thức bậc lẻ luôn có nghiệm thực
Câu 10 [Q733118027] Chứng minh rằng một hàm số liên tục và tuần hoàn thì bị chặn
Câu 11 [Q223515152] Cho là hàm số liên tục sao cho Chứng minh rằng với mọi số
Câu 12 [Q699500449] Cho là hàm liên tục trên và Chứng minh rằng tồn tại và trong
Câu 13 [Q794221437] Cho hàm số liên tục và tuần hoàn trên Chứng minh rằng phương trình
luôn có nghiệm thực
Câu 14 [Q451625243] Cho là hàm liên tục và tuần hoàn trên Chứng minh rằng tồn tại và trong sao
Câu 15 [Q906359392] Cho đa thức khác 0 Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm thực
minh rằng với mọi số thực thì phương trình luôn có nghiệm
Câu 17 [Q054717415] Cho là hàm số liên tục và tuần hoàn với chu kỳ bằng Chứng minh rằng phương
Câu 18 [Q514473663] Cho là một hàm liên tục Chứng minh rằng phương trình
có nghiệm duy nhất trên
Câu 20 [Q125300100] [Nowak II] Cho các số thực Chứng minh rằng mọi
THI ONLINE - TÍNH CHẤT LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ
*Biên soạn: Thầy Đặng Thành Nam Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại Vted (https://www.vted.vn/)
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Họ, tên thí sinh: Trường:
m + 2
b
m + 1
c m
ax2+ bx + c = 0
ax2+ (2b + c)x + 2d + e = 0
ax4+ bx3+ cx2+ dx + e = 0
ax2+ (b + c)x + d + e = 0 x0 > 1,
ax4+ bx3+ cx2+ dx + e = 0
3x= sin x; 2x= x2+ x + 3
x6− 9x − 8 = 0
x5+ x2− 8x + 1 = 0
a, b, c a7 + b5 + 3c = 0
ax4+ bx2+ c = 0
xx+1= (x + 1)x
n c ∈ [0, 1] f(c) = f (c + )n1
[0, 2] x2− x1 = 1 f(x2) = f(x1)
f(x) = f(x + π)
x2− x1 = 1 f(x2) − f(x1) = (f(2) − f(1))1
2
f(x) = f (x + π)
f : [0; 1] → [0; 1]
2x −∫x
x0 ∈ [0, +∞) f(x0) = x0
a0 < b0< a1 < b1 < < an < bn
P(x) = ∏n
k=0(x + ak) + 2 ∏n
k=0(x + bk)
Trang 2Câu 21 [Q713300637] [VMC 2009] Giả sử là các hàm số liên tục trên và thỏa mãn điều kiện
Chứng minh rằng nếu phương trình không có nghiệm thực thì phương trình cũng không có nghiệm thực
Câu 22 [Q917651716] Cho là hàm liên tục và tuần hoàn với chu kỳ Chứng minh rằng tồn tại
Câu 23 [Q150636527] [VMC 1998] Cho liên tục trên có và Chứng minh rằng phương trình luôn có ít nhất một nghiệm thuộc
Câu 24 [Q755805053] Cho là hàm liên tục và nhận giá trị trái dấu Chứng minh rằng tồn tại cấp số cộng
Câu 25 [Q571600106] Cho là hàm liên tục và nhận giá trị trái dấu trên Chứng minh rằng tồn
Câu 27 [Q493944027] [VMC 1994] Cho hàm số với và thỏa mãn điều kiện
Chứng minh rằng phương trình có nghiệm duy nhất thuộc
Câu 28 [Q700162032] Cho là một hàm liên tục thỏa mãn Chứng minh rằng với mọi
Câu 29 [Q706346619] [VMC 2001] Chứng minh rằng tồn tại số thực sao cho
Câu 30 [Q338317355] Cho , giả sử là hàm liên tục trên sao cho Chứng minh rằng tồn
Chứng minh rằng với mọi số thực dương thì phương trình luôn có nghiệm trên
Câu 32 [Q565076181] Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm thuộc
Câu 33 [Q140888708] Cho là hàm liên tục Chứng minh rằng tồn tại sao cho
Câu 34 [Q155785943] Cho là các hàm liên tục sao cho và Chứng minh rằng tồn tại sao cho
Câu 35 [Q563547150] Cho là hàm liên tục Chứng minh rằng tồn tại sao cho
với mọi số nguyên dương
Câu 36 [Q373291912] Cho là hàm liên tục và Giả sử tồn tại số thực dương
sao cho Chứng minh rằng với mọi số thực dương luôn tồn tại số thực dương
Câu 37 [Q445327504] Chứng minh rằng với mọi số thực thoả mãn thì phương trình
luôn có nghiệm thuộc khoảng
f (g(x)) = g (f(x)) , ∀x ∈ R
x0 ∈ R f (x0+ ) = f(xT 0)
2
0 f(x)dx < 19981
f : R → R
a < b < c f(a) + f(b) + f(c) = 0
0 < a < b < c f(a) + f(b) + f(c) = 0
f : R → R |f(a) − f(b)| < |a − b| , ∀a, b ∈ R, a ≠ b
f (f (f(0))) = 0 f(0) = 0
f : [a, b] → [a, b] a < b
|f(x) − f(y)| < |x − y| , ∀x, y ∈ [a, b] , x ≠ y
a f(x)dx ≠ 0
a f(x)dx = k∫b
a f(x)dx
x ∈ (0, 1)
1
∫
(1 + t) (1 + t2) (1 + t2001)
x2001
(1 + x) (1 + x2) (1 + x2001)
x1 x2 [0; n] x2− x1 = 1 f(x2) = f(x1)
f(x0) = x0
x0 ∈ (a; b) f(x0) = g(x0)
f(c) = mf(a) + nf(b)
ak, k = 1, 2, , n ∑n
bk > ak
n
∑
k=1f(bk) = n + c
a, b, c 3a + 2b + 6c = 0
4
Trang 3Câu 38 [Q052566250] Chứng minh rằng với mọi số thực thoả mãn thì phương trình
luôn có nghiệm thuộc đoạn
Câu 39 [Q182228846] [VMC 2009] Giả sử liên tục trên và thoả mãn Chứng minh rằng phương trình có ít nhất một nghiệm trong khoảng
Câu 40 [Q259099591] Tìm tất cả các số nguyên dương sao cho mọi hàm liên tục thì tồn tại
sao cho
Câu 41 [Q774825455] [VMC 2005] Cho số dương và hàm số có đạo hàm liên tục trên sao cho
nghiệm duy nhất
Câu 42 [Q036390693] Cho là hàm liên tục Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên tồn tại số
Câu 43 [Q536354744] Cho là hàm liên tục chứng minh rằng với mọi luôn tồn
Câu 44 [Q608393207] Nếu là hàm liên tục trên sao cho , thì tồn tại
sao cho
HƯỚNG DẪN
Câu 2 Kí hiệu
Giả sử là nghiệm của phương trình bậc hai đã cho, ta có và
Khi đó
Theo định lí giá trị trung bình phương trình có nghiệm thuộc đoạn Ta có điều phải chứng minh
a, b, c 2a + 3b + 6c = 0
0 f(x)dx < 1
2
x0 ∈ [0; 1] nf(x0) = (1 − x0) (f(x0) + f(1 − x0))
0 f(x) sin xdx < a
π 2
[0, ]π
α c ∈ (a; b)
f(c) + f(c + α)+ +f(c + nα) = (n + 1) (c + nα2 )
x0 ∈ (a; b) f(x0) = 1(f(x1)+ +f(xn))
n
a f(x)dx) < 0
c
∫
a f(x)dx
b − a
m + 1
m + 2
m + 1
m + 2
m + 1
m + 2
(m + 1)2
m + 2
a
m + 2 m + 1b
(m + 2)c (m + 1)2 (m + 1)2
m + 2 −cm
(m + 2)c (m + 1)2
−c m(m + 2) f(0)f (m + 1m + 2) = − c2 ≤ 0 ⇒ ∃x0 ∈ [0; ] |f(x0) = 0
m(m + 2)
m + 1
m + 2 f(x) = ax4+ bx3+ cx2+ dx + e
ax2
0+ (2b + c)x0+ 2d + e = 0 ⇒ ax2
0+ cx0+ e = −2(bx0+ d)
f(−√x0)f(√x0) = [ax2
0− bx0√x0+ cx0− d√x0+ e] [ax2
0+ bx0√x0+ cx0+ d√x0+ e]
= [−bx0√x0− 2(bx0+ d) − d√x0] [bx0√x0− 2(bx0+ d) + d√x0]
= 4(bx0+ d)2− (bx0√x0− d√x0)2 = (bx0+ d)2(4 − x0) ≤ 0
Trang 4Câu 3 Có
Theo định lí giá trị trung bình phương trình có nghiệm thuộc đoạn Ta có điều phải chứng minh
Do đó phương trình có nghiệm thuộc khoảng Ta có điều phải chứng minh
phương trình có nghiệm thuộc khoảng Ta có điều phải chứng minh
phương trình có các nghiệm thuộc khoảng Ta có điều phải chứng minh
phương trình có các nghiệm thuộc khoảng Ta có điều phải chứng minh
Câu 8 Với mọi Lấy logarit tự nhiên hai vế của phương trình ta được :
Vậy là hàm đơn điệu tăng trên khoảng Mặt khác ta có
Theo định lý giá trị trung bình tồn tại sao cho và nghiệm này là duy nhất do là hàm đơn điệu tăng trên
ax2
0+ (b + c)x0+ d + e = 0 ⇔ ax2
0+ cx0+ e = −(bx0+ d)
f(x) = ax4+ bx3+ cx2+ dx + e R f(−√x0)f(√x0) = [ax2
0− bx0√x0+ cx0− d√x0+ e] [ax2
0+ bx0√x0+ cx0+ d√x0+ e]
= [−bx0√x0− (bx0+ d) − d√x0] [bx0√x0− (bx0+ d) + d√x0]
= (bx0+ d)2− (bx0√x0− d√x0)2 = (bx0+ d)2(1 − x0) ≤ 0
f(0) = 1 > 0; f (− ) = 33π2 −3π2 − 1 = 1 − 1 < 0 ⇒ f (− ) f(0) < 0
√3 3π
3π 2
f(x) = 2x− x2− x − 3 R f(0) = −2 < 0; f(6) = 19 > 0 ⇒ f(0) f(6) < 0
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
lim
x→−∞f(x) = +∞
f(0) = −8 < 0 lim
x→+∞f(x) = +∞
⇒⎧⎨⎩x→−∞lim f(x) f(0) < 0 lim
x→+∞f(x) f(0) < 0
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
f(−2) = −11 f(0) = 1 f(1) = −5 f(2) = 21
⇒⎧⎨
⎪
f(−2) f(0) < 0 f(0) f(1) < 0 f(1) f(2) < 0
f(0) = c; f (√ ) = a( )57 57 2+ b ( ) + c =57 257 ( + ) + c = − + c = − c.a
f′(x) = ln x + x+1x − ln(x + 1) − x = ln( ) +
x+1 x+1x x(x+1)2x+1
g(x) = ln( x ) + , x ∈ (0; +∞)
x+1 x(x+1)2x+1
limx→+∞ g(x) = limx→+∞ (ln( x ) + ) = 0
x+1 x(x+1)2x+1 g(x) > 0, ∀x ∈ (0, +∞)
f(1) = − ln 2 < 0, limx→+∞ f(x) = limx→+∞ ln[(x+1x )x x] = +∞
(0, +∞)