BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|1 THI ONLINE - HÀM SỐ LIÊN TỤC *Biên soạn: Thầy Đặng Thành Nam Video giảng lời giải chi tiết có Vted (https://www.vted.vn/) Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Họ, tên thí sinh: Trường: Câu [Q151383163] Hàm số sau có liên tục điểm x = hay không? Tại sao? 4x ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ f (x) = ⎨ − x ,x ≠ sin 6x − sin 3x ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ − ,x = ⎧ − cos 2x Câu [Q899393884] Tìm m để hàm số f (x) = ⎨ x ⎩ ,x ≠ liên tục điểm x = m, x = ⎧ e x − x − ,x ≠ Câu [Q588756766] Tìm m để hàm số f (x) = ⎨ x ⎩ liên tục điểm x = m, x = ⎧ Câu [Q553009000] Xét tính liên tục hàm số f (x) = ⎨ x sin ;x ≠ điểm x = x ⎩ 0; x = Câu [Q700606502] Chứng minh hàm số f (x) liên tục điểm x ; hàm số g(x) gián đoạn điểm x hàm số f (x) + g(x) gián đoạn điểm x 0 sin x ⎧ ⎪ ;x ≠ Câu [Q856067069] Xét tính liên tục hàm số f (x) = ⎨ ⎩ ⎪ |x| 1; x = ⎧ (1 − cos ax)(e ⎪ Câu [Q677340863] Tìm a ∈ R để hàm số f (x) = ⎨ ⎩ ⎪ điểm x = x 3x + x − e 5x ) ;x ≠ liên tục điểm x = 2019a − 1; x = Câu [Q100109159] Xét tính liên tục hàm số f (x) = { arctan(x − 2) sin x−2 ;x ≠ điểm x = 0; x = ⎧ ln(1 + x) − ln(1 − x) Câu [Q870605801] Xét tính liên tục hàm số f (x) = ⎨ ; x ∈ (−1; 1)∖{0} x ⎩ khoảng a; x = (−1; 1) ⎧ Câu 10 [Q501611164] Hàm số f (x) = ⎨ sin ;x ≠ có liên tục điểm x = hay không? Tại sao? x ⎩ 0; x = ax + b; x > ⎧ ⎪ Câu 11 [Q395706969] Tìm a, b ∈ R để hàm số f (x) = ⎨ 2; x = ⎩ ⎪ ax ⎧ Câu 12 [Q393004070] Cho hàm số f (x) = ⎨ ⎩ 2 liên tục R − bx + 3; x < 1 x cos ;x ≠ x Chứng minh rằng: 0; x = a) Hàm số liên tục điểm x = b) Hàm số có đạo hàm điểm x = c) Đạo hàm hàm số không liên tục điểm x = Câu 13 [Q775415610] Xét tính liên tục hàm số f (x) = { x ;x ≤ điểm x = ax + 2; x > BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|1 BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|2 x ⎧ ⎪ ;x ≠ Câu 14 [Q053433103] Xét tính liên tục hàm số f (x) = ⎨ ⎩ ⎪ − 4x + |x − 1| điểm x = a; x = ⎧ − cos 4x Câu 15 [Q013922609] Xét tính liên tục hàm số f (x) = ⎨ ;x ≠ điểm x = x sin x ⎩ 8; x = Câu 16 [Q555401565] Hãy ví dụ mà hàm số f (x) + g(x) liên tục điểm x Câu 17 [Q626161027] Hãy ví dụ mà hàm số f (x) + g(x) gián đoạn điểm x f (x); g(x) gián đoạn điểm x0 mà hàm số f (x); g(x) gián đoạn điểm x0 mà hàm số 0 ⎧ Câu 18 [Q907206171] Xét tính liên tục hàm số f (x) = ⎨ x − ;x ≠ R x − ⎩ a; x = ⎧ Câu 19 [Q291339036] Xét tính liên tục hàm số f (x) = ⎨ ⎩ πx cos ; |x| ≤ |x − 1| ; |x| > ⎧ arctan x Câu 20 [Q896706989] Xét tính liên tục hàm số f (x) = ⎨ ;x ≠ x ⎩ điểm x = 0; x = ⎧ ⎪ x − ;x ≠ Câu 21 [Q405504148] Xét tính liên tục hàm số f (x) = ⎨ điểm x = sin(x − 2) ⎩ ⎪ 1; x = 2 ln(2 − cos 3x) ⎧ ⎪ Câu 22 [Q090602209] Xét tính liên tục hàm số f (x) = ⎨ ;x ≠ tan x ⎩ ⎪ điểm x = 0; x = ln(ax ⎧ ⎪ + x + 1) − x ;x ≠ Câu 23 [Q060208002] Tìm số thực a để hàm số f (x) = ⎨ x ⎩ ⎪ 2x − + ax + bx x Câu 26 [Q036450460] Tìm a, b ∈ R để hàm số liên tục điểm x = 0; x = ln(1 + 3x) + ax + bx ;x ≠ Câu 25 [Q205760667] Tìm a, b ∈ R để hàm số f (x) = ⎨ ⎩ ⎪ ;x ≠ Câu 24 [Q904433338] Tìm a, b ∈ R để hàm số f (x) = ⎨ ⎧ ⎪ liên tục điểm x = 1; x = e ⎧ ⎪ ⎩ ⎪ x liên tục điểm x = 0; x = arcsin x + ax + bx ⎧ ⎪ f (x) = ⎨ ⎩ ⎪ x ; x ∈ [−1; 1]∖{0} liên tục 0; x = [−1; 1] Câu 27 [Q041513700] Tìm a, b ∈ R để hàm số e ⎧ ⎪ f (x) = ⎨ ⎩ ⎪ x + sin x − + ax + bx ;x ≠ x liên tục điểm 0; x = x = ⎧ Câu 28 [Q260431663] Cho hàm số f (x) = ⎨ a x sin ;x ≠ x ⎩ , (a ∈ R) Tìm a để hàm số liên tục điểm x = 0; x = Câu 29 [Q538790581] Cho hàm số ⎧ f (x) = ⎨ ⎩ (e 3x − 1) sin ;x ≠ 3x Chứng minh hàm số liên tục 0; x = khơng có đạo hàm điểm x = BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|2 BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|3 ⎧ Câu 30 [Q467578771] Cho hàm số f (x) = ⎨ ⎩ ln(1 + x ) cos ;x ≠ x Tính f ′ (x) xét tính liên tục hàm số 0; x = ′ f (x) điểm x = HƯỚNG DẪN Câu Có 4x limx→0 f (x) = limx→0 − x 8x − = limx→0 sin 6x − sin 3x −1 = = − cos 6x − cos 3x − = f (0) Do hàm số liên tục điểm x = Câu Có lim 2sin x − cos 2x f (x) = limx→0 x→0 x = limx→0 x Vậy hàm số liên tục điểm x = ⇔ f (0) = lim Câu Có ycbt ⇔ f (0) = lim Câu ≤ ∣ ∣x sin x x Có ∣ = x ∣ ∣sin ∣ x ∣ ≤ x ∣ = x x e −x−1 x f (0) = ) f (x) ⇔ m = x→0 f (x) ⇔ m = limx→0 x→0 sin x = limx→0 2( = limx→0 e −1 2x = limx→0 f (x) = limx→0 x sin → (x → 0) ⇒ limx→0 x sin 1 x = = x Vậy hàm số liên tục điểm x = Câu Giả sử ngược lại f (x) + g(x) liên tục điểm x Khi đó:lim Mặt khác (f (x) + g(x)) = f (x0 ) + g(x0 ) x→x0 lim g(x) = lim ((f (x) + g(x)) − f (x)) = lim (f (x) + g(x)) − lim f (x) x→x0 x→x0 x→x0 x→x0 = lim (f (x) + g(x)) = f (x0 ) + g(x0 ) − f (x0 ) = g(x0 ) x→x0 Suy hàm số g(x) liên tục điểm x , điều mâu thuẫn với giả thiết Vậy ta có điều phải chứng minh Câu f (0) = 1; lim x→0 f (x) = lim + sin x x→0 + x Có = 1; lim x→0 − f (x) = lim sin x x→0 − −x = −1 ⇒ lim x→0 + f (x) ≠ lim x→0 − f (x) ⇒ f (x) gián đoạn điểm x = Câu Có f (0) = 2019a − (1−cos ax)(e lim f (x) = lim x→0 = a lim ( x→0 x +x x→0 sin( ax 3x −e 5x 2sin ( ) = lim )(e x +x x→0 3x −e 5x ) ) ax ) e 3x −e 5x = x +x a 2 lim x→0 e 3x −e 5x = x +x Hàm số liên tục điểm x = ⇔ f (0) = lim Câu Có ax a 2 lim 3e x→0 3x −5e 5x x→0 f (x) ⇔ −a = 2019a − ⇔ a = f (2) = 0; limx→2 f (x) = limx→2 arctan(x − 2) sin điểm x = Vì ≤ ∣∣arctan(x − 2) sin x−2 = −a 3x +1 x−2 2019±√2019 +4 = ⇒ f (2) = limx→2 f (x) ⇒ f (x) ∣ ≤ |arctan(x − 2)| → (x → 2) ⇒ lim arctan(x − 2) sin ∣ x→2 Câu Có x ∈ (−1; 1)∖{0} ⇒ f (x) = ln(1+x)−ln(1−x) x x−2 liên tục = liên tục (−1; 1)∖{0} Xét điểm x = có: ln(1+x)−ln(1−x) f (0) = a; limx→0 f (x) = limx→0 x ln(1+x) = limx→0 x ln(1−x) + limx→0 −x = + = +) Nếu f (0) = lim x→0 f (x) ⇔ a = ⇒ f (x) liên tục điểm x = ⇒ f (x) liên tục khoảng (−1; 1) +) Nếu f (0) ≠ lim x→0 f (x) ⇔ a ≠ ⇒ f (x) gián đoạn điểm x = ⇒ f (x) liên tục miền (−1; 1)∖{0} BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|3 BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|4 Câu 11 Hàm số cho liên tục khoảng (1; +∞); (−∞; 1) Có f (1) = 2; lim f (x) = lim (ax + b) = a + b; lim f (x) = lim x→1 + x→1 Vậy + x→1 hàm R ⇔ f (1) = lim x→1 số f (x) = lim + − x→1 (ax − + x→1 x + − bx + 3) = a − b + liên tục f (x) ⇔ a + b = a − b + = ⇔ (a; b) = ( − Câu 13 Có f (1) = 1; lim f (x) = lim Hàm số liên tục điểm x = ⇔ f (1) = lim x→1 x→1 x→1 = 1; lim x→1 f (x) = lim + − f (x) = lim x→1 x→1 ; ) (ax + 2) = a + − f (x) ⇔ a + = ⇔ a = −1 − Nếu a ≠ −1 hàm số gián đoạn điểm x = ⎧ lim f (x) = ⎪ ⎪ + Câu 14 Có ⎨ x −4x+3 lim x→1 x→1 = (x−1) + lim (x − 3) = −2 x→1 + ⇒ ⎪ ⎩ lim f (x) = ⎪ x→1 x −4x+3 lim − x→1 = −(x−1) − x→1 lim f (x) ≠ x→1 lim −(x − 3) = + lim f (x) x→1 − nên hàm số gián đoạn − điểm x = Câu 15 Có lim x→0 1−cos 4x f (x) = limx→0 2sin 2x = limx→0 x sin x x sin x = limx→0 ( sin 2x 2x ) x sin x = = f (0) Vì hàm số liên tục điểm x = x Câu 18 Có x ≠ ⇒ f (x) = Xét lim −4 x−2 liên tục R∖{2} x x→2 −4 f (x) = limx→2 = limx→2 x−2 x ln = ln +) Nếu a = ln ⇒ f (x) liên tục điểm x = +) Nếu a ≠ ln ⇒ f (x) gián đoạn điểm x = 2 ln(2−cos 3x) lim f (x) = lim Câu 22 Có x→0 tan x x→0 ln(1+sin 3x) sin 3x ( 3x sin 3x x→0 tan x 2 ln(1+sin 3x) = lim x→0 = lim ln(1+sin 3x) = lim x→0 sin 3x tan x sin 3x ) ( x sin x ) cos x = 9.1.1.1.1 = ≠ f (0) = Vì hàm số gián đoạn điểm x = Câu 23 Ta cần tìm điều kiện để lim ln(ax +x+1)−x f (x) = f (0) = ⇔ limx→0 x→0 2ax+1 Có lim Vậy ln(ax +x+1)−x x→0 2a−1 x ax = limx→0 = ⇔ a = Khi đó: = lim x e x→0 e 2x x→0 −1−2x+bx x e 2x −1+ax+bx x→0 x x; = limx→0 −1+ax+bx x 2x (2a−1)x−ax = limx→0 = 2 2x(ax +x+1) = limx→0 2a−1−ax 2(ax +x+1) = 2a−1 Theo giả thiết có: = lim x→0 −1 +x+1 2x Câu 24 Ta cần tìm điều kiện để: lim Suy = lim x e 2x = limx→0 ( = limx→0 ( = −1+ax+bx x 2 2 e e 2x 2x −1 x + a + bx) = a + limx→0 −1−2x x + b) = b + limx→0 e 2x e 2x −1−2x x −1 2x = a + ⇒ a = −2 = b + ⇒ b = −2 Vậy a = −2; b = −2 BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|4 BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|5 Câu 25 Ta cần tìm điều kiện để: lim Có lim x = 0; limx→0 x→0 Khi đó: lim x x x Vậy a = −3; b = Câu 29 Có 2 = ln(1+3x) = limx→0 ( 2 Suy ra: = 2 ln(1+3x)−3x+bx x→0 x ln(1+3x)+ax+bx ln(1+3x)+ax+bx = limx→0 x ln(1+3x)+ax+bx x→0 + a + bx) = a + limx→0 x ln(1+3x)−3x = ⇔ b + limx→0 x = ⇔ b − ln(1+3x) x = a + ⇔ a = −3 = ⇔ b = 3x ≤ ∣ − 1) sin ∣(e 3x 3x ∣ ≤ ∣e3x − 1∣ → ⇒ lim − 1) sin ∣ ∣ ∣ x→0 f (x) = limx→0 (e 3x = = f (0) Vì hàm số liên tục điểm x = (e f (x)−f (0) limx→0 3x x−0 −1).sin = limx→0 n = 3(n2π+ π 3x = limx→0 x Giới hạn khơng tồn xét y (e 3x xn = 3n2π → (n → ∞) ⇒ limn→∞ sin 3y ) −1) sin 3x 3x = limx→0 sin → (n → ∞) ⇒ limn→∞ sin = limn→∞ sin(n2π + n π 3x 3xn = limn→∞ sin(n2π) = ) = Vậy hàm số khơng có đạo hàm điểm x = Câu 30 Với x ≠ ⇒ f Và lim ′ (x) = +) Chọn dãy y n n ′ = Do lim ′ x→0 f (x) x ′ (x) sin x ln(1 + x ) −0 ln(1+x ) = limx→0 x x cos x ′ = 1.0 = ⇒ f (0) = điểm x = 2x 1+x cos x + x sin x ln(1 + x )) → (n → +∞) ⇒ limn→+∞ f (xn ) = 1 x ′ 2nπ π + x−0 f (x) = limx→0 ( x→0 = x Để xét tính liên tục hàm số f +) Chọn dãy x cos = limx→0 x−0 Xét giới hạn: lim ln(1+x ) cos f (x)−f (0) x→0 2x 1+x +2nπ ′ → (n → +∞) ⇒ limn→+∞ f (y ) = n khơng tồn tại, hàm số f ′ (x) không liên tục điểm x = BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|5 ... liên tục hàm số f (x) = ⎨ x − ;x ≠ R x − ⎩ a; x = ⎧ Câu 19 [Q291339036] Xét tính liên tục hàm số f (x) = ⎨ ⎩ πx cos ; |x| ≤ |x − 1| ; |x| > ⎧ arctan x Câu 20 [Q896706989] Xét tính liên tục hàm. .. mà hàm số f (x) + g(x) liên tục điểm x Câu 17 [Q626161027] Hãy ví dụ mà hàm số f (x) + g(x) gián đoạn điểm x f (x); g(x) gián đoạn điểm x0 mà hàm số f (x); g(x) gián đoạn điểm x0 mà hàm số. .. R để hàm số liên tục điểm x = 0; x = ln(1 + 3x) + ax + bx ;x ≠ Câu 25 [Q205760667] Tìm a, b ∈ R để hàm số f (x) = ⎨ ⎩ ⎪ ;x ≠ Câu 24 [Q904433338] Tìm a, b ∈ R để hàm số f (x) = ⎨ ⎧ ⎪ liên tục điểm