Khai thác tính chất liên tục của hàm số trong giải phương trình hàm t09

KHAI THÁC TÍNH CHẤT LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM A.. Lý do chọn đề tài Phương trình hàm là một chuyên đề quan trọng trong giải tích,đặc biệt trong chương trình chuyên

KHAI THÁC TÍNH CHẤT LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ

TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM

A MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Phương trình hàm là một chuyên đề quan trọng trong giải tích,đặc biệt trong chương trình chuyên toán bậc THPT Các đề thi học sinh giỏi cấp Quốc gia, thi Olympic khu vực,Olympic quốc tế thường xuất hiện bài toán về phương trình hàm Trong các kì thi bài

về Phương trình hàm thường được coi là “ dễ thở ” hơn các bài khác Nhưng để giải quyếtđược thì đòi hỏi học sinh phải có một nền tảng tốt về kiến thức cơ bản và các phương phápgiải quyết bài toán Trong khi đó những cuốn sách , tài liệu tham khảo có chất lượng cho học sinh và giáo viên về lĩnh vực này không nhiều

Phương trình hàm liên tục là một trong những nội dung cơ bản và quan trọng của chuyên đề Phương trình hàm Nó có nhiều tính chất và khi mới học về phương trình hàm thì học sinh thường hay lúng túng trong việc khai thác các tính chất liên tục đó như thế nào.Trong tài liệu sách giáo khoa chuyên Toán thì phương trình hàm trong lớp các hàm liên tục trình bày còn sơ sài chưa có tính hệ thống

Do đó, để giúp học sinh tiếp cận và khai thác được các bài toán về phương trình hàm liên tục một cách dễ dàng hơn đồng thời giúp học sinh có thêm niềm đam mê trong quá trình học tập và nghiên cứu môn Toán nói chung và chuyên đề phương trình hàm nói riêng

được hiệu quả hơn tôi chọn đề tài : “ Khai thác tính chất liên tục của hàm số trong giải Phương trình hàm”

2 Mục đích của đề tài

Mục tiêu của đề tài là cung cấp thêm cho các em học sinh và giáo viên một tài liệu thamkhảo, ngoài những kiến thức lý thuyết cơ bản đề tài cung cấp một hệ thống bài tập minhhọa và vận dụng liên quan đến tính liên tục của hàm số Đồng thời để phát huy tính sángtạo trong quá trình học tập và nghiên cứu tác giả còn nêu thêm một số phương pháp để phát

triển , mở rộng và xây dựng những bài toán mới.Qua đó kích thích việc nghiên cứu tìm tòimột vấn đề giúp các em học sinh có thêm niềm say mê với Toán học.

B NỘI DUNG

I Một số kiến thức cơ bản về hàm liên tục

1 Các định nghĩa

- ĐN 1:Cho hàm số f xác định trên tập D⊂R và x0∈D Hàm số f được gọi là

liên tục tại x=x0 nếu x → xlim0f ( x )=f ( x0 )

- ĐN 2: Cho hàm số f xác định trên tập D⊂R trong đó D là một khoảng hay hợp của nhiều khoảng Ta nói rằng hàm số f liên tục trên D nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc D -ĐN 3: Hàm số f được gọi là liên tục trên đoạn [a;b] nếu nó liên tục trên khoảng

- Cho hàm số f xác định trên D⊂R và x0∈D Khi đó hàm số f liên tục tại x0 khi

và chỉ khi với mọi dãy (x n)⊂D sao cho lim x n=x0 ta có lim f ( x n)=f ( x0)

- Mọi hàm số sơ cấp đều liên tục trên tập xác định của nó

- Nếu hàm số y=g( x ) liên tục tại x=x0 còn hàm số y=f ( x) liên tục tại x=g( x0 )

thì hàm

số y=f ( g( x)) liên tục tại x=x0

- Nếu hàm số y=f ( x) xác định, liên tục và đơn điệu thực sự từ A lên f ( A )=B thìtồn tại hàm số ngược y=f−1(x) từ B lên A Hàm số ngược đó cũng liên tục trên B và

cùng tính đơn điệu thực sự như hàm số y=f ( x)

- Nếu hàm f liên tục trên đoạn [a;b] thì nó có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên

[a;b]

- Nếu hàm f liên tục trên đoạn [a;b] thì nó bị chặn trên [a;b]

- Định lý Bolzano- Cauchy: Cho hàm f liên tục trên đoạn [a;b] và f (a)≠f ( b) Khi

đó với mọi số thực k nằm giữa f(a) và f(b), luôn tồn tại số c∈(a;b) sao cho f (c)=k

- Nếu hàm số f là đơn ánh và liên tục trên một khoảng nào đó thì nó đơn điệu thực sự

trên

khoảng đó

-Nếu f (x )=g( x) , ∀ x∈Q⇒ f (x )=g( x) , ∀ x∈R với f , g là các hàm liên tục trên R ( Tính trù mật của tập Q trong R)

II Áp dụng các tính chất của hàm số liên tục vào giải và khai thác bài toán

1 Tính chất 1:Cho hàm số f xác định trên D⊂R và x0∈D Khi đó hàm số f liên tục tại x0 khi và chỉ khi với mọi dãy (x n)⊂D sao cho lim x n=x0 ta có

lim f ( x n)=f ( x0)

Ta thường áp dụng tính chất trên cho phương trình hàm có dạng f (x )=f (u( x)) , trong đó

u( x) là hàm số cho (trước còn f (x ) là hàm số cần tìm xác định và liên tục trên tập D

Cách giải dạng này thường như sau:

Lấy a là một giá trị bất kì thuộc D

Sau đó xây dựng 1 dãy số (x n) xác định như sau:

+ Nếu ta đặt g( x)=f ( x)−x , thay vào ta được f (x3)−x3=f ( x)−x

Vậy ta có bài toán sau:

Bài 1.1 Tìm tất cả các hàm f liên tục trên R+

và thỏa mãn

f (x

3

)−f ( x)=x( x2−1) ,∀ x>0Đáp số: f (x )=x+c , ∀ x∈R+ ( c là hằng số )

Vậy ta có bài toán sau:

Bài 1.2 Tìm tất cả các hàm f liên tục trên R+

Ví dụ 2: Xét hàm số g liên tục trên R và thỏa mãn g( x)+g( x2)=0, ∀ x∈R

Khi đó ta dễ dàng thấy g là hàm chẵn trên R do đó ta chỉ cần xét với x≥0 và có

g( x)=g(x4)

Từ đó đặt g( x)=f ( x)−x thay vào ta có f (x )−x=f ( x2)−x2

Vậy ta có bài toán sau:

Bài 1.3 Tìm tất cả các hàm f liên tục trên R và thỏa mãn

Bài 2: Cho α , β∈R , α ,β≠±1 Tìm tất cả các hàm f liên tục trên R và thỏa mãn

f (x α) f(x β)=1 , ∀x>0

+/ Cho α=3, β=1 ta có bài toán sau

Bài 2.1.Tìm tất cả các hàm f liên tục trên R+ ¿ ¿

+ /Cho α=2; β=1 ta có f (x ) khi đó là hàm chẵn do đó ta được bài toán sau

Bài 2.2.Tìm tất cả các hàm f liên tục trên R và thỏa mãn

x −x thay vào ta có bài toán sau

Bài 2.3.Tìm tất cả các hàm f liên tục trên R+ ¿ ¿

và thỏa mãn (f ( x3)−x6).(f ( x2)−x4)=x5 , ∀x>0 ( 1)

Hướng dẫn:

Từ (1) ta có (f ( x3)

x3 −x3)(f ( x2)

Đặt g( x )=

f ( x )

x −x ⇒ g liên tục trên R+

và thỏa mãn g( x3).g( x2)=1,∀ x∈R+Khi đó suy ra

g( x

2 3 )

=g(x

4

9)= .=g(x(49)n)⇒

g(x)=limg ( x (49)n) = g(1)=f (1)−1=±1, ∀ x>0

Vậy với mọi x>0 ta có f (x )=x ( x+1 ) hoặc f (x )=x( x−1)

Bài 3.Tìm tất cả các hàm f liên tục tại x=0 và thỏa mãn

* Mở rộng Bài 3 ta có các bài toán sau:

Bài 3.1.Cho α∈R , α≠±1 Tìm tất cả các hàm f liên tục trên tại x=0 và thỏa mãn

f (x )=f (αx ), ∀ x∈R

Hướng dẫn:

+ TH1: | α|<1

Khi đó với mỗi x∈R ta có f (x )=f (αx )= =f (α n x),∀ n=1,2,3

Cho n→+∞ ⇒f ( x )=lim f (α n x)=f ( limα n x)=f (0 )

* Xây dựng bài toán mới:

Ví dụ 1: Xét g( x) là hàm số liên tục trên R và thỏa mãn g( x)=3 g(2x+1) , ∀ x∈R .

Đặt g( x)=f ( x)−x+

3

2, ∀ x∈R ta được bài toán sau

Bài 3.4.Tìm tất cả các hàm f liên tục trên R và thỏa mãn 3.f (2x+1) =f ( x)+5 x, ∀ x∈R

Vậy ta thu được bài toán sau

Bài 3.5.Tìm tất cả các hàm f liên tục trên R và thỏa mãn

f (16 x)+f (9 x)=2f (12 x), ∀ x∈R

Đáp số: f là hàm hằng trên R

Tổng quát hơn ta có bái toán sau

Bài 3.6.Tìm tất cả các hàm f liên tục trên R và thỏa mãn

Vậy ta thu được bài toán sau:

Bài 3.7.Tìm tất cả các hàm f liên tục trên R và thỏa mãn

Tuơng tự như trên ta có f (x )=0, ∀ x ∈R

* Từ Bài 3.7 nếu ta đặt f (x )=h( x )−(25x +1) thay vào (1) ta được

Vậy ta thu được bài toán sau:

Bài 3.8.Tìm tất cả các hàm f liên tục trên R và thỏa mãn

* Tổng quát bài 3.8 ta thu đựơc bài toán sau

Bài 3.9.Tìm tất cả các hàm f liên tục trên R và thỏa mãn

Hướng dẫn giải:

+ Tìm cách khử h( x) ở vế phải đưa (1) về dạng

f (ax)−(α +β ) f (bx)+α β f (cx )=0 , ∀ x∈R (2)

+ Biến đổi (2)⇔ f (ax)−α f (bx)− β ( f (bx)−αf (cx ))=0 , ∀ x∈R (3 )

Trong(3) thay x bởi

Dễ dàng thấy f là hàm chẵn trên R nên ta chỉ cần tìm f trên [0;+∞)

Lấy a≥0 bất kỳ.Ta xét hai trường hợp

Vì f là hàm liên tục nên từ (2) ta có f (a)=lim f ( x n)=f (lim x n)= f (

Dễ thấy x n≥0, ∀ n=1,2 và

x n+1−x n=

−(x n− 1

2)2

* Ở TH2 để tìm ra công thức truy hồi của dãy (x n) ta làm như sau

Vì cần chọn dãy (x n) sao cho u−1(x n) ={y :u ( y)=x n}∀n=1,2

Nên ta tìm y sao cho y

4 là hàm số bậc hai nên ta có thể tổng quát Bài 4 thành bài

toán như sau:Tìm tất cả các hàm số f : R→ R liên tục trên R và thoả mãn

f (x )=f (ax 2+bx +c) ,∀ x∈R (1) với a,b,c∈R , a≠0 cho trước

Hướng dẫn:

+ Trước tiên ta đưa phương trình (1) về dạng sau f (x )=f (ax 2+b ), ∀ x∈R

Trong đó phương trình x=ax 2+b có nghiệm thực không âm

+ Sau đó ta giải giống như Ví dụ 1

Bài 4.1 ( TST -2007): Tìm tất cả các hàm số f : R→ R liên tục trên R và thoả mãn

Theo kết quả Bài 4 ta có g( x)=C , ∀ x∈R Do đó f (x )=C , ∀ x∈R ( C là hằng số )

* Trong ví dụ 1 nếu ta thay hằng số

Lấy a>0 bất kỳ.Ta xét các trường hợp sau:

+ TH1: 0<a<a1 Ta xét dãy dãy số (x n) xác định như sau:

Vì f liên tục trên R ⇒f (a )=lim f ( x n)=f (lim x n)= f (a2)

Vậy : + Với 0< a<a2 ta có f (a)= f (a1 )

+ Với a≥a2 ta có f (a)= f (a2 )

Do đó để chứng minh f là hàm hằng trên R ta cần chứng minh f (a1 )= f ( a2)

Xét dãy số (y n) xác định bởi y n=−

1

n+a2, ∀ n=1,2,

⇒y n<a2, ∀ n=1,2 ⇒ f ( y n)=f (a1)

Vì f liên tục trên R và lim y n=a2⇒f ( a1)=lim f(y n)=f ( lim y n)=f ( a2)

Lại có f (0)=f ( k )=f (a1) ⇒ f (a)=f ( a1), ∀ a≥0

Vậy ta có ĐPCM

* Xây dựng bài toán mới:

+ Xét hàm số g liên tục trên R và thỏa mãn g( x )=g (x

Vậy ta có bài toán sau:

Bài 4.3.Tìm tất cả các hàm số f : R→ R liên tục trên R và thoả mãn

Theo kết quả của Bài 4.2 thì g là hàm hằng trên R

Nếu ta đặt g( x)=f ( x)−4 x thay vào ta có f (x )−4 x=f ( x

Vậy ta có bài toán sau:

Bài 4.4.Tìm tất cả các hàm số f : R→ R liên tục trên R và thoả mãn

Đặt g( x)=h( x+1)

⇒h (x+1)=h(x2+106 )

Thay x bởi x−1 ta có h( x)=h(x2−2 x+116 )

Vậy ta có bài toán sau:

Bài 4.5.Tìm tất cả các hàm số f : R→ R liên tục trên R và thoả mãn

Bài 4.6.Tìm tất cả các hàm số f : R→ R liên tục trên R và thoả mãn

f (x )=f(x2−2 x+116 )+x2−8 x +11 , ∀ x∈RĐáp số: f (x )=−6 x+C , ∀ x∈R ( C là hằng số)

Bài 5 Tìm tất cả các hàm liên tục f R:   R thỏa mãn:

 

1 2

Ta sẽ chứng minh f(x) là hàm hằng Lấy a>0 tuỳ ý

Xét dãy  x n như sau: x1 =a; 1

1

2

n n n

 x n1 x n,ghĩa là dãy  x n tăng

Trong cả hai trường hợp, dãy x n đều hội tụ về blimx n

Chuyển qua giới hạn trong (*) ta có:

Phân tích: Bài này xuất hiện dấu hiệu hàm số liên tục trên đoạn [0;1] nên có thể nghĩ đến

việc sử dụng tính chất 2 và để ý các hệ số 1 ;3; 4 trong phương trình ta sẽ đi đánh giá để

Vậy f (x )=C , ∀x∈[0;1] ( C là hằng số thực thuộc đoạn [0;1]

* Xây dựng bài toán mới: Nếu đặt f (x )=g( x )+2 x thay vào (1) ta được

Vậy ta thu được bài toán

Bài 1.1.Tìm tất cả các hàm f :[0 ;1]→R , liên tục trên [0;1] và thoả mãn

Phân tích: Dựa vào các hệ số 3,2,1 trong phương trình thì ta có thể nghĩ đến việc dùng kĩ

thuật max, min nhưng ở đây không có xuất hiện dấu hiệu hàm số liên tục trên một đoạn như bài 1 Ta thấy nếu x∈[−1;1] thì

x

x2 + 1;

1−x

2 ∈[−1;1] nên ta xét trên đoạn [−1;1] sau

đó dựa vào đó xét trên R

Khi đó −1≤xn≤1 , ∀n=1,2, và f (x n)=M , ∀n=1,2,

Ta cũng chứng minh được lim x n=0

Hoàn toàn tương tự, ta cũng có m=f (0) Suy ra M m (cùng bằng (0)f )

⇒f ( x)=C , ∀ x∈[0;1] Thử lại thoả mãnđề bài

3 Tính chất 3: Nếu hàm số f là đơn ánh và liên tục trên một khoảng nào đó thì nó đơn

điệu thực sự trên khoảng đó

Khi trong bài toán có dấu hiệu f đơn ánh kết hợp với giả thiết f liên tục ta có thể

khai thác bài toán theo tính chất 3 này tức là khi đó f đơn điệu và ta sử dụng tính đơn điệu

để giải quyêt bài toán

Xét một vài ví dụ sau

Ví dụ 1: Tìm tất cả các hàm số :f R R liên tục trên R và thoả mãn:

Vì f là liên tục và đơnánh trên R nên f là hàm đơn điệu thực sự trên R

Thay x  vào (1) có ( (0))0 f f f(0), suy ra (0) 0f 

+Ta xét hai trường hợp:

Từ (2) và (3) suy ra

2 2

2( ) 2 ( ( ) 3 )

3

k k

3

k k

TH2: f đồng biến trên R , trường hợp nàyta sẽ xét hàm nghịch đảo f 1

Chú ý rằng vớix  ta có ( )0 f x  f(0) 0 Lần lượt cho x   , x    và lấy giới

hạn 2 vế của (1) ta được, chúý rằngx 0 f x( ) f(0) 0 (vàx 0  f x( ) f(0)) ta được

Số hạng tổng quát của dãyđược xácđịnh bởi công thức

2( ) 3 ( ( ) 2 )

3

k k

3

k k

Thử lại, ta thấy ( ) 3f x  x và ( )f x 2x thoả mãnđề bài

Bài 2 Tồn tại hay không hàm liên tục f : R+→R+

thoả mãn các điều kiện i) f (2019)<f (2020)

Dễ thấy f là một đơn ánh vì nếu với x1;x2∈R+

Vì f là liên tục và đơn ánh trên R+

nên f là hàmđơn điệu thực sự trên R+

Vậy không tồn tại hàm f thoả mãn điều kiện bài toán.

Bài 3.Tìm tất cả hàm f : R→ R , liên tục trên R và thỏa mãn các điều kiện

i) f (−x)=−f (x ), ∀ x∈R

ii) f (f ( x))=x , ∀ x∈R

Hướng dẫn:

Từ điều kiện ii) dễ chứng minh được f là một đơn ánh

Mà f liên tục trên R nên f đơn điệu thực sự trên R

+ TH1: f đồng biến trên R

Ta chứng minh f (x )=x ,∀ x∈R

Thật vậy, nếu tồn tại x0∈R sao cho f (x0)≠x0

 Nếu f (x0 )>x0⇒ f (f ( x0))>f ( x0)⇒ x0>f ( x0) mâu thuẫn

Bài 4 Tìm tất cả hàm f : R→ R , liên tục trên R và thỏa mãn điều kiện

f (xf ( y))= yf ( x), ∀ x , y∈R (1)

Hướng dẫn:

Trong (1) cho x= y=0⇒ f (0 )=0

Từ (1) ta suy ra f ( yf ( x))=xf ( y), ∀ x , y∈R (2)

Lại có từ (1) ⇒f ( yf ( x))=f (f ( xf ( y )))=xf ( y) f (1), ∀ x , y∈R (3)

Do đó từ (2) và (3) suy ra xf ( y)=xf ( y)f (1)⇒ xf ( y)( f (1)−1)=0 , ∀ x, y∈R (4)

+)Nếu x>0 Dễ thấy f là đơn ánh.

Mà f liên tục nên f đơn điệu trên (0;+∞)

Giả sử tồn tại x9 ∈(0 ;+∞) sao cho f (x0 )>0

Do f liên tục nên tồn tại ε>0 sao cho f (x )>0 ∀ x∈(x0 −ε; x0+ε)

Khi đó trên (x0 −ε ; x0+ε) ta có f (f ( x)) là hàm đồng biến mà −x4 lại nghịch biến

⇒ vô lý ⇒f ( x)>0 ∀ x>0

Vậy ta có đpcm

4 Tính chất 4 ( Phương trình hàm Cauchy).

Cho hàm số f : R→ R xác định trên R và thoả mãn f (x+ y )=f ( x)+f ( y ) , ∀ x, y∈R (1)

Phương trình (1) thường được gọi là phương trình Cauchy

Định lý 1: Tất cả các hàm f liên tục trên R và thỏa mãn (1) là f (x )=ax , ∀ x∈R với

a=f (1)

Định lý 2: Giả sử f : R→ R là nghiệm của (1) Khi đó ta có cáckhẳng định

sau là tương đương

(i) f liên tục trên R

(ii) f liên tục tại x0∈R

(iii) f đơn điệu trên R

(iv) nếu x≥0 ⇒ f ( x )≥0

(v) tồn tại hằng số M>0 sao cho f (x )≤M ∀ x∈[0;1]

(vi) f bị chặn trên trên một đoạn hữu hạn.

(vii) f bị chặn dưới trên một đoạn hữu hạn.

(viii) f bị chặn trên một đoạn hữu hạn.

[0;+∞) hay (−∞;0]

4.2 Nếu f chỉ cộng tính và không liên tục trên R thì f (x )=ax , ∀ x∈Q ,a∈R ,a=f (1)

4.3 Dạng mở rộng của phương trình hàm Cauchy

Cho n số thực a1,a2, ,a n≠0 Hàm f : R→R , liên tục trên R và thỏa mãn điều kiện

f (a1x1+a2x2+ .+a n x n)=a1f ( x1)+a2f(x2)+ +an f(x n), ∀ x1, x2, ., x n∈R , n∈N¿

(1)Khi đó ta có kết quả sau:

- Nếu a1 +a2+ +an≠1 ⇒ f ( x )=ax , ∀ x ∈R

- Nếu a1+a2+ .+a n=1 ⇒f ( x)=ax+b , ∀ x∈R , a, b∈R

(1)⇔ f ( a1x1+a2x2+ +an x n)−f (0 )=a1(f ( x1)−f ( 0))+ +a n(f(x n)−f (0)), ∀ x1, x2, ., x n∈R

Đặt g( x)=f ( x )=f (0 ) ⇒g(0 )=0 , g liên tục trên R và thỏa mãn

g(a1x1+a2x2+ +an x n)=a1g ( x1)+a2g(x2)+ +an g(x n), ∀ x1, x2, , x n∈R

Theo trường hợp trên thì g( x)=ax,∀ x∈R

Suy ra f (x )=ax+b , ∀ x∈R ,.a ,b∈R

Vậy : - Nếu a1 +a2+ +a n≠1 ⇒ f ( x )=ax , ∀ x ∈R

- Nếu a1+a2+ .+a n=1 ⇒f ( x)=ax+b , ∀ x∈R , a, b∈R

4.4 Một số kết quả hay sử dụng suy ra được từ phương trình hàm Cauchy:

 Kết quả 1:Các hàm f (x ) liên tục trên R thỏa mãn điều kiện

f (x+ y )=f ( x) f ( y) , ∀ x, y∈R là f (x )=0 , ∀ x∈R hoặc f (x )=e ax , ∀ x∈R , a∈R

f (x )=e ax ,∀ x∈R ,a∈R nếu a1+a2+ .+a n≠1

f (x )=e ax+b , ∀ x∈R ,a,b∈R nếu a1+a2+ .+a n=1

Ví dụ 1: Tìm tất cả các hàm f (x ) liên tục trên R thỏa mãn điều kiện

f ( x+ y

2 )=√f (x ) f ( y ) , ∀ x, y∈R

Áp dụng kết quả của bài toán tổng quát với

a1=a2= 1

ta có hai hàm số thỏa mãn là: f (x )≡0, ∀ x∈R ; f (x )=e ax+b , ∀ x∈R , a,b∈R

Ví dụ 2: Tìm tất cả các hàm f (x ) liên tục trên R thỏa mãn các điều kiện

 Kết quả 2: Các hàm f (x ) liên tục trên R+

thỏa mãn điều kiện

f (xy )=f ( x) f ( y) , ∀ x , y∈R+

là f (x )=0 , ∀ x∈R+ hoặc f (x )=x α , ∀ x∈R+, α∈RChứng minh:

* Tổng quát lên ta có kết quả sau: Các hàm f (x ) liên tục trên R+

thỏa mãn điều kiện i) f ( x1 1