KHAI THÁC KHÁI NIỆM đỒ THỊ HÀM SỐ LỒI, LạM đỂ đÁNH GIÁ BẤT đẲNG THỨC I.. Khái niệm hàm lồi trong chương trình SGK cũ và mới bài ựọc thêm ựược ựịnh nghĩa dựa vào vị trắ nằm trên, nằm dư
Trang 1KHAI THÁC KHÁI NIỆM đỒ THỊ HÀM SỐ LỒI, LạM
đỂ đÁNH GIÁ BẤT đẲNG THỨC
I LÝ DO CHỌN đỀ TÀI
Ứng dụng hàm lồi ựể ựánh giá bất ựẳng thức (BđT) ựã ựược khai thác nhiều và ựại diện cho ứng dụng ựó là BđT Jensen Khái niệm hàm lồi trong chương trình SGK cũ và mới (bài ựọc thêm) ựược ựịnh nghĩa dựa vào vị trắ nằm trên, nằm dưới của tiếp tuyến với ựồ thị hàm số Trong ựịnh nghĩa ựó, ựã cho ta một tắnh chất hình học của tiếp tuyến đó là: ta có thể ựánh giá f x ( ) thông qua một biểu thức bậc nhất của x Vận dụng tắnh chất này, ta có thể tìm ựược lời giải ựơn giản cho một số bài toán chứng minh BđT Hơn nữa thông qua ựó ựể chúng ta thấy ựược việc dạy cho
HS Bản chất của các khái niệm Toán học rất quan trọng trong phát triển tư duy cho học sinh đó là lắ do mà tôi chọn ựề tài ỘKhai thác khái niệm ựồ thị hàm số lồi, lõm
2 Khó khăn:
Khi dạy khái niệm Toán học giáo viên chưa chú trọng nhiều vào việc dạy cho học sinh nắm ựược bản chất của khái niệm mà chủ yếu tập trung vào việc khảo sát các ựối tướng có thuộc về khái niệm ựó hay không? Do ựó học sinh
Trang 2cũng ít quan tâm ñến bản chất cảu khái niệm ñã học nên một phần nào ñó hạn chế việc phát triển tư duy cũng như sự hứng thú trong học tập
III NỘI DUNG ðỀ TÀI
1 Cơ sở lí thuyết
a ðịnh nghĩa: Cho hàm số y = f x ( ) liên tục [ ; ] a b và có ñồ thị là (C) Khi ñó ta có hai ñiểm A a f a ( ; ( )), ( ; ( )) B b f b nằm trên ñồ thị (C)
i) ðồ thị (C) gọi là lồi trên ( ; ) a b nếu tiếp tuyến tại mọi ñiểm nằm trên cung AB
luôn nằm phía trên ñồ thị (C)
ii) ðồ thị (C) gọi là lõm trên ( ; ) a b nếu tiếp tuyến tại mọi ñiểm nằm trên cung AB
luôn nằm phía dưới ñồ thị (C)
b Dấu hiệu ñồ thị lồi
ðịnh lí 1: Cho hàm số y = f x ( ) có ñạo hàm cấp hai liên tục trên ( )a b ;
b _
a
Trang 3Cho hàm số y = f x ( ) liên tục và có ñạo hàm ñến cấp hai trên [a;b]
i) Nếu f ''( ) x ≥ ∀ ∈ 0 x [ ; ] a b thì f x ( ) ≥ f x '( )(0 x − x0) + f x ( ) 0 ∀ ∈ x0 [ ; ] a b
ii) Nếu f ''( ) x ≤ ∀ ∈ 0 x [ ; ] a b thì f x ( ) ≤ f x '( )(0 x − x0) + f x ( ) 0 ∀ ∈ x0 [ ; ] a b
ðẳng thức trong hai Bất ñẳng thức trên xảy ra ⇔ = x x0
Ta có thể chứng minh ñịnh lí trên như sau
a b
−
ðẳng thức trong các BðT trên có khi và chỉ khi x = a hoặc x = b
2 Nội dung, biện pháp thực hiện giải pháp của ñề tài:
Ví dụ 1: Cho các số thực dương a b c , , thỏa a + + = b c 1 Chứng minh rằng
3 10
Trang 5• Nếu BðT có dạng f a ( ) ( ) (1 f a2 f an) ≥ k thì ta lấy loganepe hai vế
• Nếu BðT cần chứng minh ñồng bậc thì ta có thể chuẩn hóa Tùy thuộc vào từng bài toán mà ta lựa chọn cách chuẩn hóa phù hợp
Ví dụ 3 : Cho các số thực dương a b c , , thỏa : a + + = b c 3 Tìm GTLN của biểu
ðẳng thức xảy ra ⇔ = = = a b c 1 Vậy GTLN của P = + (1 2)3
Ví dụ 4 : Cho x y , > 0 thỏa x + + = y z 1 Tìm GTNN của biểu thức
y z x
P = x − + y − + z −
Trang 6Giải : Áp dụng BðT Cô si, ta có :
3
3
Trang 7thực dương a,b,c thỏa mãna2 + b2 + c2 = 1, khi ñó bñt cần chứng minh trở thành:
=
≤
∑
Trang 8Ta cần chứng minh :
2 1
1
n i
n i
i
a a
=
≤ +
(1 )
f x
x
= +
1 2
n a
Nhận xét : Qua các ví dụ trên, ta có ñược kết quả tổng quát sau
ðịnh lí 4 : Cho hàm số y = f x ( ) có ñạo hàm cấp hai trên a b ; và nsố a a1 2, , , an
nằm trong ñoạn a b ; thỏa mãn :
1
,
n i i
Trang 9Không mất tính tổng quát, ta giả sử 2
Lời giải
Không mất tính tổng quát, ta giả sử max { , , } 3, 1
a = a b c ⇒ a ≥ c ≤ Xét hàm số 3 2 ( )
( ) 1 3 , 0;1
2 2 3
2 '( )
2
2 5 3
Trang 10_ y
x0
a _
Trang 11vẫn có thể ñánh giá ñược f x ( ) qua tiếp tuyến của nó tại ñiểm có hoành ñộ x = 2 (vì ñẳng thức xảy ra khi a = = = b c 2)
Ta có tiếp tuyến của ñồ thị hàm số tại y = f x ( ) ñiểm có hoành ñộ x = 2 là:y = 8 x − 16
3 5 [ ; ]
Trang 13Lời giải Vì Bñt cần chứng minh là thuần nhất nên ta chỉ cần chứng minh Bñt ñúng
với mọi số thực dương a b c , , thỏa mãna + + = b c 1 Khi ñó Bñt ñã cho trở thành:
Trang 15tan ; tan 2 ; tan 3
Nhận xét : Từ cách giải trên, ta có ñược cách giải cho bài toán tổng quát sau :
Cho ∆ ABC nhọn Tìm GTLN của E = sinm A sinn B sinpC , với m n p , , là những số thực dương (Xem ở phần bài tập)
Ví dụ 17 : Cho tam giác ABC nhọn Tìm GTNN của biểu thức :
tan 2 tan 3 tan
Trang 16Áp dụng BðT tiếp tuyến với ∆ MNP nhọn, ta có :
cos ( ) cos ( ) cos ( )
2
Ta chọn các góc M N P , , sao cho : cos M = > k 0; cos N = 2 ; cos k P = 3 k
Vì M N P , , là ba góc của tam giác nên ta có ñẳng thức :
Với M N P , , là ba góc của tam giác nhọn ñược xác ñịnh bởi :
cos M = > k 0; cos N = 2 ; cos k P = 3 k, trong ñó k là nghiệm dương duy nhất của
PT (1)
Nhận xét : Tương tự cách làm trên, ta cũng tìm ñược giá trị nhỏ nhất của biểu thức
tan tan tan
F = m A + n B + p C , trong ñó m n p , , là các số thực dương và A B C , , là ba góc của tam giác nhọn (Xem ở phần bài tập)
Trang 17Ví dụ 18: Cho x y z , , > 0 thỏa x + + = y z 1 Tìm GTNN của :
với k là nghiệm nằm trong (0;1) của (2)
Ví dụ 19 (BðT Jensen) Cho hàm số y = f x ( ) liên tục và có ñạo hàm cấp hai trên
Trang 19Chú ý: ðiều thú vị là BðT Cô si lại là một hệ quả của bài toán trên Thật vậy:
Cho 1 2 1
n i i n
x
x n
Trang 206 Cho n số thực dương thoả mãn:
1
n i i
8 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng
9 Cho tam giác ABC nhọn và m n k , , > 0 Tìm:
1) Giá trị lớn nhất của F = sinm A sinn B sinkC
2) Giá trị nhỏ nhất của F = m tan A + n tan B + k tan C
10 Cho nsố thực không âm a a1, 2, , an có tổng bằng 1 Chứng minh: n 1 2 1
n
a a a
n
≤ (BðT Cauchy)
Trang 21• Học sinh giải quyết ñược một lớp bài toán khó về BðT
V BÀI HỌC KINH NGHIỆM
• Khi dạy học các khái niệm Toán học cần chú ý ñến bản chất của khái niệm ñó và khai thác bản chất của khái niệm
• Trong quá trình dạy học, chúng ta có thể gợi mở một số hướng phát triển từ một khái niệm Toán học cho học sinh tìm tòi và nghiên cứu
VI KẾT LUẬN
Việc khái thác khái niệm ñồ thị lồi lõm của ñồ thị hàm số cho chúng ta:
• Một phương pháp chứng minh BðT và giải một số dạng toán cực trị khá hiệu quả
và ñơn giản
• Dựa vào hai BðT tiếp tuyến và cát tuyến kết hợp với phương pháp cân bằng hệ
số, chúng ta có thể sáng tạo ra nhiều bài toán BðT hay và khó
NGƯỜI THỰC HIỆN
Nguyễn Tất Thu