Các dạng bài tập vận dụng cao hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit

BÀI LŨY THỪA A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I Khái niệm lũy thừa Lũy thừa với số mũ nguyên Cho n số nguyên dương, a số thực tùy ý Lũy thừa bậc n a tích n thừa số a a n = a. a a ; a1 = a n thừa số a Trong biểu thức a , a gọi số, số nguyên n số mũ Với a ¹ , n = n số nguyên âm, lũy thừa bậc n số a số an xác định n bởi: a = 1; a-n = an Chú ý: Kí hiệu 0 , n ( n ngun âm) khơng có nghĩa Với a ¹ n nguyên, ta có a n = a- n Phương trình x n  b a) Trường hợp n lẻ: Với số thực b, phương trình có nghiệm b) Trường hợp n chẵn  Với b  , phương trình vơ nghiệm  Với b  , phương trình có nghiệm x   Với b  , phương trình có hai nghiệm đối Căn bậc n a)Khái niệm: Với n nguyên dương, bậc n số thực a số thực b cho bn = a Ta thừa nhận hai khẳng định sau: Khi n số lẻ, số thực a có bậc n Căn kí hiệu n a Khi n số chẵn, số thực dương a có hai bậc n hai số đối n a ( gọi bậc số học a ) -n a b) Tính chất bậc n: Với a, b  0, m, n  N*, p, q  Z ta có: a na = n (b > 0) ; b b n ab = n a n b ; n a p = ( n a ) (a > 0) ; p Nếu n n p q = n m n m n a = mn a a p = m a q ( a > 0) ; Đặc biệt n a = mn a m a,  n le  an    a ,  n chan  Lũy thừa với số mũ hữu tỉ Cho số thực a dương r số hữu tỉ Giả sử r = m n , m số ngun, cịn n m số nguyên dương Khi đó, lũy thừa a với số mũ r số ar xác định ar = a n = n a m Lũy thừa với số mũ hữu tỉ: ( SGK) II TÍNH CHẤT CỦA LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ THỰC Cho a, b số dương;  ,    a  a   ;  b a a   a   ;  a a    b b  a   a ;  Nếu a  a  a      Nếu a  a  a      B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Các phép toán biến đổi lũy thừa Phương pháp: Ta cần nắm công thức biến đổi lũy thừa sau:  Với  a  0;b   và  ,   ta có a  a  a    ; a a ; (a  )  a   ; (ab)  a  b   a    a a ;    b b Với a, b  0, m, n  N*, p, q  Z ta có: n ab  n a.n b ;  n a  b n a n b (b  0) ;  n ap  n a  p (a  0) ;        m n a  mn a Nếu p q  n m n ap  m a q (a  0) ;  Đặc biệt  n a  mn am Công thức đặc biệt f x  ax ax  a f  x   f 1  x   Thật vậy, ta có: f 1  x   a ax a  a ax  a a  a a x  f 1  x   a a  a x Nên: f  x   f 1  x   Bài tập Bài tập Viết biểu thức A  13 23 dạng lũy thừa 2m ta m  ? 0,75 16 B 13 C D  Hướng dẫn giải Chọn A 23  16 0,75  13 26  2 2 2 2  4 Bài tập Cho x  ; y  Viết biểu thức x x x dạng x m biểu thức y : y5 y n dạng y Ta có m  n  ? A  11 B 11 C D  Hướng dẫn giải Chọn B 4 103 x5 x5 x  x5 x6 x12  x 60  m  103 60 4    11  mn  y : y y  y :  y y 12   y 60  n   60   Bài tập Biết x   x  23 tính giá trị biểu thức P  x   x : B 27 A C 23 Hướng dẫn giải D 25 Chọn A x Do   0, x  x Nên x   x   x   x   2 x    x  x   x   23     1   2   1 a a a 2  ,(a  0, a  1), có  Bài tập Biểu thức thu gọn biểu thức P   1  a 1  2 a  a  2a   dạng P  m  Khi biểu thức liên hệ an A m  3n  1 Chọn D m n là: B m  n  2 C m  n  Hướng dẫn giải   D 2m  n  1   2  a 1 a 2 a   a2 1  a  a 2 P       1    a     a a a      a 1  a2  a  2a    a 2    a 1 a 2 a      a 1  a a 1 a a 1 Do m  2; n   x Biểu thức Bài tập Cho số thực dương a thừa với số mũ hữu tỉ có dạng x b , với a b là: A a  b  509 x x x x x x x x viết dạng lũy a phân số tối giản Khi đó, biểu thức liên hệ b B a  2b  767 C 2a  b  709 Hướng dẫn giải D 3a  b  510 Chọn B x x x x x x x x  x x x x x x x  x2  x x x x x x x  xx  x x x x x  7  x x x x x  x8 x x x x x x4 15 15 31 31 63  x x x x x  x x x x  x 16  x x x x 16  x x xx32  x x x 32  x xx 63 64  x x 127 64  x x 127 128  x x 255 128 28 1 Nhận xét: x x x x x x x x x 28  x 255 128 255  x 256 Do a  255, b  256 255  x 256 2 Bài tập Cho a  ; b  Viết biểu thức a3 a dạng a m biểu thức b3 : b dạng b n Ta có m  n  ? A B 1 C D Hướng dẫn giải Chọn C a 3 1 23 a  a a  a  m  ; b : b  b : b  b6  n  6  m  n 1 Bài tập Viết biểu thức A 2 dạng x biểu thức dạng y Ta có 4 2017 567 B 11 C 53 24 x2  y  ? D 2017 576 Hướng dẫn giải Chọn D Ta có: 2  2 23 11 53  2.2   y  11  x  y2  2 x ; 24 3 Bài tập Cho a    x , b   x Biểu thức biểu diễn b theo a là: a2 a 1 A B a 1 a a2 a 1 C D a a 1 Hướng dẫn giải Chọn D Ta có: a    x  1,  x   nên x  Do đó: b   a   a 1 a 1 a Bài tập Cho số thực dương  P  a  3b a 1   2 a  3b A x  y  97   4 a  9b b Biểu thức thu gọn biểu thức  có dạng P  xa  yb Tính x  y ? B x  y   65 C x  y  56 Hướng dẫn giải D y  x   97 Chọn D Ta có:         3b     4a 1 1 1  P  a  3b  a  3b  a  b   a   4a  9b   4 a  9b    4a   9b  2 2 2  9b   16a  81b Do đó: x  16, y   81 Bài tập 10 Cho số thực dương phân biệt P a b Biểu thức thu gọn biểu thức a b 4a  16ab 4  có dạng P  m a  n b Khi biểu thức liên hệ 4 4 a b a b m n là: A 2m  n  3 B m  n  2 C m  n  Hướng dẫn giải D m  3n  1 Chọn A a b 4a  16ab  a    b  a a  a b P    4 a4b a4b a4b a4b   a  b  a  b  a4b  24 a  a  b  a  b  24 a  b  a 4 a b Do m   1; n  Bài tập 11: Cho f  x     S f   2019  A S  2018 2018x 2018x  2018   f     2019  B S  2019 Tính giá trị biểu thức sau ta  2018  f   2019  C S  1009 Hướng dẫn giải D S  2018 Chọn C Ta có: f 1  x   2018 2018  2018 x   Suy S  f    2019   f  x   f 1  x     f     2019    f    2019   2018  f   2019   2017  f     2019    f   2019   1009  f   2019   1010  f   1009  2019  Bài tập 12: Cho x   x  23 Tính giá trị biểu thức P  A 2 B C  2018  f   2019   3x  3 x ta  3x  3 x D  Hướng dẫn giải Chọn D  Ta có: x   x  23  3x  3 x Từ đó, vào P    3  3x  3 x  3 x x  3x  3 x   25   x x 3   5  loaïi    55    1 Dạng 2: So sánh, đẳng thức bất đẳng thức đơn giản Phương pháp Ta cần lưu ý tính chất sau Cho  ,   Khi đó     a > 1 :  a  a     ;  0