Ứng dụng một số tích chất đặc biệt của hàm số để giải phương trình, bất phương trình

NHĨM GIÁO VIÊN TỐN VIỆT NAM Trao đổi kinh nghiệm dạy học theo định hướng tiếp cận lực người học Ứng dụng số tích chất đặc biệt hàm số để giải phương trình, bất phương trình Ths NGUYỄN SỸ Giáo viên Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong, Nam Định Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình mảng kiến thức quan trọng chương trình tốn THPT, đóng vai trị quan trọng việc rèn luyện kỹ giải toán phát triển tư cho học sinh, tập phương trình, bất phương trình, hệ phương trình xuất nhiều kỳ thi TN THPT kỳ thi HSG cấp tỉnh Các kỹ thuật giải phương trình, bất phương trình phong phú đa dạng Tuy nhiên, kỹ thuật sử dụng tính chất đặc biệt hàm số có nhiều ưu việc giúp em tìm tịi, phát hiện, tạo hứng thú q trình học mơn Tốn, góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy tơi viết chuyên đề ‘‘Ứng dụng số tích chất đặc biệt hàm số để giải phương trình, bất phương trình ’’ Cơ sở lý thuyết 1.1 Kiến thức cần nắm 1.1.1 Định nghĩa hàm số chẵn, hàm số lẻ Cho hàm số f  x  xác định tập D x  D   x  D Hàm số f  x  gọi hàm số chẵn tập D   f   x   f  x  , x  D x  D   x  D Hàm số f  x  gọi hàm số lẻ tập D   f   x    f  x  , x  D 1.1.2 Một số kết thường dùng Định lí Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm khoảng K Nếu f '  x   x  K hàm số y  f  x  đồng biến K Nếu f '  x   x  K hàm số y  f  x  nghịch biến K Lưu ý: Nếu f '  x   x   a; b  hàm số y  f  x  liên tục đoạn  a; b hàm số y  f  x  đồng biến đoạn  a; b https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc NHĨM GIÁO VIÊN TỐN VIỆT NAM Tính chất Cho hàm số f liên tục đơn điệu khoảng K , u  K PT f  u   f  v   u  v với  v  K Tính chất Cho hàm số f liên tục đồng biến khoảng K , u  K BPT f  u   f  v   u  v với  v  K Tính chất Cho hàm số f liên tục nghịch biến khoảng K , u  K BPT f  u   f  v   u  v với  v  K Một số hàm số có vài tính chất đặc biệt: +) Với a  hàm số f  x   a x  a  x hàm số lẻ, đồng biến  +) Với a 1, hàm số f  x  ax ax  a đồng biến , thỏa mãn f  x   f 1  x   x   +) Với a, b  , hàm số f  x   log a x  b x  b x đồng biến khoảng  0;   thỏa mãn 1 f     f  x  x   x f  x   log a x  x  a +) Với a  hàm số đồng biến  thỏa mãn f  x   f   x   x     +) Với a , b  , hàm số f  x   a  e x  e  x   b ln x  x  hàm số lẻ, đồng biến  +) Hàm số f  x   x  x  đồng biến  thỏa mãn f  x  f   x   x  Việc chứng minh tính chất đơn giản (xin dành cho bạn đọc) Bài tập áp dụng: Câu Cho hàm số f  x   2021x  2021 x Giá trị nguyên lớn m để f  m   f  2m  2019   A 673 B 674 C 673 Lời giải D 674 Chọn B Ta có f '  x   2021x ln 2021  2021 x ln 2021  0, x   , suy hàm số f  x  đồng biến  Do f   x    f  x  , x    hàm số f  x  hàm số lẻ  BPT: f  m   f  2m  2019    f  2m  2019    f ( m)  f  2m  2019   f (  m)  2m  2019   m  3m  2019  m  673 Vậy giá trị nguyên lớn m 674 https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc NHĨM GIÁO VIÊN TỐN VIỆT NAM Câu Cho hàm số f  x   2020 x  2020 x Giá trị nguyên lớn tham số m để phương trình f  log x  m   f  log 32 x   có nghiệm x  1;16  A 65 B 67 C 68 Lời giải D 69 Chọn B Ta có f '  x   2020 x ln 2020  2020 x ln 2020  0, x   , suy hàm số f  x  đồng biến  Do f   x    f  x  , x    hàm số f  x  lẻ  Đặt t  log x, ĐK t   0;  PT trở thành f t  m  f t    f t    f t  m  f t   f  m  t   t3  m  t  t3  t  m Xét hàm số g  t   t  t với t   0;  , ta có f '  t   3t   0t   0;  Mà f  t  liên tục 0; 4 Suy g    g  t   g   t   0;  , hay  g  t   68, t   0;  Vậy PT cho có nghiệm x  1;16   m  68 Suy giá trị nguyên lớn tham số m 67 Câu x x Cho hàm số f  x   ln x  e  e Có nghiệm nguyên dương phương trình     sau f log  x  2 10  f log   x3   ? B A C Lời giải D Chọn A x 1x  e  e  0, x  , suy hàm số f  x  đồng biến khoảng  0;   x x 1   1 1 x x x Với x  , ta có f    ln    e  e   ln x  e  e x    f  x   x  x   Ta có: f '  x   Với x  * , phương trình   f log  x   10  f log   x    f    f log   x    log x                 f  log  x     f log   x3    f log   x3   f  log  x    x   log   x3   log   x   x  x       x  3 Đối chiếu điều kiện xét Vậy phương trình có nghiệm x  Câu Cho hàm số f  x   9x 9x  Tập tất giá trị thực tham số m để phương trình   f  3m  sin x   f  cos x   có nghiệm   3 1 1 m m m A  B  C 4 12 192 192 192 Lời giải Chọn C https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc D  m 12 192 NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM Xét hàm số f  x   9x x 3 Suy hàm số f  x   Ta có f   x   9x 1.3  1.0  x  3 x.ln  0, x   đồng biến  9x  9x 91 x 9x Ta có: f  x   f 1  x   x  1 x  x  x   f  x   f 1  x   x   3 3 3 3 Do f cos x  f  sin x   f sin x         Nên PT cho  f  3m  sin x   f  sin x    1  3m  sin x  sin x  3m  sin x  sin x 4 1 1 Đặt t  sin x , t   1;1 ; g  t   t  t  g '  t   2t  ; g '  t    2t    t  4 8 Phương trình cho có nghiệm   Câu 5 1  3m   m 64 192 12 4x Cho hàm số f  x   x Tập tất giá trị thực tham số m để phương trình 2   f  m  sin x   f  cos x   có nghiệm phân biệt thuộc đoạn   ; 2    3 1 1 A   m  B   m  C   m  D   m  64 64 64 64 4 Lời giải Chọn B 4x Xét hàm số f  x   x , ta có 2 2.4 x.ln f  x   0, x    hàm số f  x  đồng biến  1 x    41 x   x 1 x  4x   2.4 4x    f  x    f 1  x  Suy f 1  x   f  x   x  4x  1     Từ đó, PT f  m  sin x   f  cos x    f  m  sin x    f 1  sin x  4        f  m  sin x   f  sin x      1 Từ 1   , ta có PT (2)  m  sin x  sin x  m  sin x  sin x * 4 Ta lại có: f 1  x   https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc NHĨM GIÁO VIÊN TỐN VIỆT NAM Phương trình * có nghiệm phân biệt thuộc   ; 2  m  t  t có nghiệm phân biệt thuộc  1;0 Xét hàm số y  t  t Bảng biến thiên: Vậy * có nghiệm phân biệt thuộc   ; 2    m  64 Câu Cho hàm số f  x   log x  3x  x Tổng bình phương giá trị tham số m để phương   trình f  có ba nghiệm thực phân biệt   x  m    f  x  4x  7    A 14 B 13 C 10 D Lời giải Chọn A   1 1 Ta có: f    log3  x  3x    log3 x  3x  x    f  x  x  x  x   1  3x.ln  x ln  x   Hàm số f  x  đồng biến  0;    Lại có: f   x   x ln x    f  x  m  3  f  x  x   Do f    x  m    f  x  4x  7     4m   x  x   x  m   x2  x   x  m  x2  x     4m  x  Vẽ hai parabol y   x  x  y  x  hệ trục Hai parabol y   x  x  y  x  tiếp xúc với điểm A  2;8 Parabol y   x  x  có đỉnh I1  4;12  ; parabol y  x  có đỉnh I  0;   4m  m   Phương trình cho có ba nghiệm thực phân biệt   4m    m    4m  12  m  2 Vậy tổng bình phương giá trị m    14 https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc NHĨM GIÁO VIÊN TỐN VIỆT NAM Câu Cho hàm số f  x   log x  x  Có giá trị thực tham số m để bất phương trình f  x  1 A   x   f  x  6m  m  m   nghiệm với x ? B C Lời giải D Vô số Chọn A Xét hàm số f  x   log x  x   log x  x  TXĐ: D   x 1 x 4  , x   nên f  x  đồng biến  Ta có f   x    2 x  x  ln 2 x  ln      Mặt khác f   x   log  x  1   log  log 2 2 x 4x  x    log 2  x2   x   x   x   f  x  x   Do bất phương trình cho tương đương  x  1  x  5  f  x  6m  m  m    f  x  1  f   x  1  x    f   x  6m  m  m  f 2 4 2   x    f  x  6m  m  m  4   x  1  x    x  6m  m2  m4   x  1   x  1   x  1  m4  m2  6m Đặt t  x  1; t   Bất phương trình trở thành t  t  6t  m  m  m Xét hàm số g  t   t  t  6t ; t   Ta có g   t   4t  2t  ; g   t    4t  2t    t  Bảng biến thiên Bất phương trình cho nghiệm với x  m  m  m  4  g  m   4  g  m   4  m  (Suy từ bảng biến thiên) Vậy có giá trị thực m thỏa mãn Câu   Cho hàm số f  x    e x  e 2 x   ln x  x   x Có giá trị nguyên tham   số m để bất phương trình f 3x  m  f  x3  12   nghiệm với x   2;1 A B 2 C Vô số Lời giải Chọn A   Xét hàm số f  x    e x  e 2 x   ln x  x   x Tập xác định D   https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc D 20 NHĨM GIÁO VIÊN TỐN VIỆT NAM x 1 x   x  2e2 x  2e2 x   x  x     x  x2  x 1 Suy hàm số f  x  đồng biến  Ta có Ta có f '  x    2e x  2e2 x   f   x    e 2 x  e x   ln    e 2 x  e x   ln   e 2 x  e x   ln  x   x  x3  x3 x 1  x   x   x  x3   f  x  x   Suy f  x  hàm số lẻ      BPT f 3x  m  f  x3  12    f 3x  m  f 12  x3   x  x  m  12  0, 1  x  m  12  x  x  x  m  12     x  x  m  12  0,    x0 +) Đặt g  x   x3  3x  m  12  g '  x   3x  x  3x  x       x  2 Ta có BBT: Do (1) thỏa mãn với x   2;1  m    m  +) Đặt h  x   x3  3x  m  12  h '  x   3x  x  3x  x     x  Ta có BBT: Do (2) thỏa mãn với x   2;1  Max  h  x     m  12   m  12  2;1 Câu Vậy 12  m  Suy có 21 giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu 4x  Cho hàm số f  x   ln x   x  x Tập tất giá trị tham số m để bất phương trình f x   m( x  1)  f  m  1  có nghiệm    A m   1 B m  C m  Lời giải Chọn A 4x  2x https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Xét hàm số f  x   ln   4x2   x  1  D m  NHĨM GIÁO VIÊN TỐN VIỆT NAM Tập xác định D      4x 4 x  1 f   x   ln x   x   x  ln   x 2  4x 1  2x  x 1 4x   1   ln  x   x   x   ln x   x  x   f  x  , x   2   Do f  x  hàm số lẻ  Ta lại có f   x    x ln  2 x ln  0, x    f  x  đồng biến  4x  Xét bất phương trình f x   m( x  1)  f  m  1  , ĐKXĐ x           f  f   x   m( x  1)   f  m  1 (do f  x  hàm số lẻ) x   m( x  1)   f  m  1  x   m( x  1)  m  (do f  x  đồng biến  )  m   x   1  x  x  1 (*) x2 x  1 6 x2 x4 Xét g ( x)  Ta có g   x   x2 x   x   m x   g  x     x  x     x    x      x   Bảng biến thiên: Từ BBT, bất phương trình (*) có nghiệm  m  1 Cách khác: Đặt t  x  4, t  , (*) trở thành m  Lập bảng biến thiên hàm số max g  t   g 0;    1  g t   t 1 t2  t 1 khoảng t2  0;   ta 1 3 1 , từ suy bất phương trình (*) có nghiệm  m  4 Câu 10 Cho hàm số f  x   x  x  Tổng bình phương giá trị tham số m để phương trình   x  x   f   x  x     x  m  1   f x  2mx  m  https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc  có nghiệm phân biệt NHĨM GIÁO VIÊN TỐN VIỆT NAM A 13 B Lời giải C D Chọn B Ta có: 2 x  2mx  m  x  m ; f '( x)   x x2  f ( x)   x  x   f ( x) f ( x)   f ( x)   x2   x x2   x   f ( x) f ( x  x  2) x  m 1 x2  x   Phương trình cho  (1) f (2 x  m  1) f ( x  x  2)  f ( x  x  2)  Xét hàm số g (t )  t f (t )  t f '(t )  (t  0)  g '(t )  f (t ) f (t ) t  t 1  t  t2 t 1  0 t  f (t ) Vậy hàm số g (t ) đồng biến, phương trình (1) tương đương với pt  x  x   2( x  m)  2m   x  x  2  x  2x   x  m 1  x  2x 1  x  m   2  x  x   2( x  m)  2m  x  Ta thấy hai parabol y   x  x  1, y  x  tiếp xúc với điểm có tọa độ 1;  nên f (t ) đồ thị chúng hệ tọa độ Oxy sau Bài Khi để phương trình có nghiệm đường thẳng y  m cắt hai parabol điểm  m    2m    m    m 1 phân biệt, từ đồ thị suy    2m  1 m   Vậy tổng bình phương giá trị m Bài tập tự luyện: Cho hàm số y  f ( x ) liên tục  có đồ thị hình vẽ bên Có giá trị m  5m nguyên tham số m để phương trình  f ( x )  có bốn nghiệm thực f ( x)  phân biệt https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc NHĨM GIÁO VIÊN TỐN VIỆT NAM Bài A Gọi S B C tập hợp giá trị thực tham số 3 Bài x   m  3x  x  m có hai nghiệm thực Tích tất phần tử tập hợp S 23 A B C D 27 27 Cho hàm số f ( x)  x  x  Số giá trị nguyên tham số m để phương trình f   f ( x)  f ( x)  m   x  x  có nghiệm x  [ 1; 2] A 1746 Bài Bài B 1750 C 1747 D 1748 Cho phương trình 4 x  x  log  m  x   2m   ,  m    Số giá trị ngun m để phương trình cho có nghiệm thuộc đoạn  2;2  A B C D Vơ số Có tất số nguyên dương a với a  2021 để phương trình x  ax  a ln a  ln  ax  a ln a   ee  x A 1199 Bài có nghiệm x  B 2003 Cho hàm số y  f  x   trình  x  m  f  x  m   Bài m D cho phương trình C 1001 D 1802 x   x Tìm giá trị nhỏ tham số m để bất phương   x2  f   x2   nghiệm với x   1;1 A  B 2 C  D Có cặp số nguyên dương  x; y  với x  2021 thỏa mãn    x  y    y  log  x  1 ? Bài A 2020 B 1010 C D 3 Cho hàm số f  x   x  15 x  78 x  141  m  x   m với m tham số Có số nguyên m thuộc đoạn  2020 ; 2020 cho f  x   với x thuộc đoạn  ; 4 ? A 2020 Bài B 2024 Cho hàm số f  x   log 2021  C 2021 D 2022  x   x  x 2021  x 2023 Tập nghiệm bất phương trình f  2 x   f   x  3  A  1;   Bài 10 B   1;   C  ; 1 D  ; 1 9t với m tham số thực Gọi S tập hợp tất giá trị 9t  m tham số m cho f  x   f  y   với x, y thỏa mãn e x  y  e  x  y  Tìm số phần tử Xét hàm số f  t   S A B Vô số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc C D NHĨM GIÁO VIÊN TỐN VIỆT NAM Lời kết: Trên viết nhỏ sử dụng tính chất hàm số để giải số toán PT-BPT viết tham khảo, tổng hợp từ nhiều câu hỏi đăng FB NHĨM GIÁO VIÊN TỐN VIỆT NAM với kỹ thuật tạo lớp toán thú vị Do kinh nghiệm chưa nhiều thời gian hạn chế nên chuyên đề nhiều thiếu sót Rất mong nhận đóng góp ý kiến thầy, cô bạn bè đồng nghiệp để viết hoàn thiện Chúc thầy cô em sức khỏe, thành công! https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc ... Tính chất Cho hàm số f liên tục nghịch biến khoảng K , u  K BPT f  u   f  v   u  v với  v  K Một số hàm số có vài tính chất đặc biệt: +) Với a  hàm số f  x   a x  a  x hàm số. .. Câu Cho hàm số f  x   log x  x  Có giá trị thực tham số m để bất phương trình f  x  1 A   x   f  x  6m  m  m   nghiệm với x ? B C Lời giải D Vô số Chọn A Xét hàm số f ...  Tìm số phần tử Xét hàm số f  t   S A B Vô số https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc C D NHĨM GIÁO VIÊN TỐN VIỆT NAM Lời kết: Trên viết nhỏ sử dụng tính chất hàm số để giải số toán