Phương pháp giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình vô tỉ

Chun đề : PT-BPT-HPT VƠ TỈ TỐN THPT - MAKE THE MATH SHINE Contents I PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG II PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ THÊM BỚT THÀNH HẰNG ĐẲNG THỨC III.PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ 11 ĐẶT ẨN PHỤ HOÀN TOÀN 11 ĐẶT ẨN PHỤ KHƠNG HỒN TỒN 14 ĐẶT ẨN PHỤ ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH 14 ĐẶT ẨN PHỤ ĐƯA VỀ HỆ 15 IV PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ NHÂN LIÊN HỢP 19 PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ NHÂN LIÊN HỢP TRỰC TIẾP CÁC BIỂU THỨC CĨ SẴN TRONG PHƯƠNG TRÌNH 19 PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ NHÂN LIÊN HỢP THÊM BỚT HẰNG SỐ 22 PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ NHÂN LIÊN HỢP THÊM BỚT BIỂU THỨC BẬC NHẤT 25 V PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP VECTƠ 26 VI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ ĐƯA VỀ DẠNG f  u   f  v  32 VII PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ SỬ DỤNG BĐT ĐỂ ĐÁNH GIÁ 38 VIII PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ SỬ DỤNG BĐT BUNHIACOPXKI 42 IX PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ SỬ DỤNG BĐT COSI 46 X PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 50 XI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ SỬ DỤNG SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐƯỜNG TRỊN ĐƯỜNG THẲNG 65 XII PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA 70 XI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ CĨ THAM SỐ 71 XIV TRẮC NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ 78 I PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Phƣơng pháp chung B  AB  A  B   B  A B  A  B   A   B  A  B   B     A  B Trần Mạnh Tường https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ B   A  B  A    A  B2  B   A B  A  B L Đố TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE , ứ ẩ , ệ    B B B Đ C B ề ệ ể ế ứ ế ề ế ể x   x  3x   Bài 1: Gi ứ 1 ( Khối D – 2006) Lời giải A  B  x  3x   (1)  x    x  3x    2 2 x   ( x  3x  1)  x  3x    x  x   x          2  ( x  1) ( x  x  2)  x    x  x  11x  x    X Kết luậ P ng ã Nhận xét: P ệm x  1, x   ng tổng quát: mx  n  ax2  bx  c, (m, a  0) ều gi ợc theo d ng lũ ợc nghiệm h u tỷ tiế H ể phân tích thành tích A  B Nế số ( ầ i, nhân tới, cộng chéo) Cịn nghiệm vơ tỷ ta tiến hành sử dụng l máy tính bỏ ú ể l ợng nhân tử chung bậ , ứ ể ề d ng tích số bậc hai nhân bậc hai mà dễ ợc nghiệm trình: x3  x  x    x   x    Bài 2: Gi Lời giải Đ ều kiệ x ịnh: x  2 Ta có: x3  x  x    x   x    x3  x2  x  5   x  4  x   2  x  x  x  x  x  22 x   Vậy:  x2  3x  1 x  x3  3x  x    Vì x4  x3  3x  x   x  x  x  1   x  x    0x  (*)  x  x    13 Với x  3x    x   13 Thử l i nghiệ ợc x  nghiệm nh t thỏa mãn  13 Kết luận: P ệm nh t x  D Nhận xét: ể phân tích ta dùng máy tính casio Trần Mạnh Tường https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ Chuyên đề : PT-BPT-HPT VƠ TỈ TỐN THPT - MAKE THE MATH SHINE Sử dụng máy tính Casio ta thu được: x1  3.302775638, x2  0.3027756377 Tư Viet đảo: x1  x2  3, x1 x2  1 Nhân tử thu được: x  x  x  x5  x  x3  x  22 x  Nhập máy tính: Calc 100 x  3x   x2  x x    x  x2 Bài 3: Gi Lời giải  3  x  x  ()   2  7  x  x x    x  x 3  x   )  x  (do x  không nghiệm củ  x    x 3  x  3  x  2  x   x2      0  2  x     x  1  x  1 x   x3  x  16 x  16    x  4 2    x ( x  5)  ( x  2) P Kết luậ P ệm nh t x  1  A  hay B  n: A  B   , A  B ã Nhận xét: P A  hay B  D B   2x  x2  Bài 4: Gi ọn ểm toán, ta nên chọ n nh t, tức chọn x   x   x  Lời giải P  ã x 1  x   ới:  x   3  x  1 x  2   x 1  x    x    3  x  1 x   x  3    x   x   Thử l i ta th y giá trị x  1; x  2; x  Đ ều kiện x   P Trần Mạnh Tường ều thỏ ã - Kết luận Tập nghiệm củ Bài Gi ã ã 3  T  1; 2;  2  x3   x   x - x   x  2x 1 Lời giải ã ới: https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ Chuyên đề : PT-BPT-HPT VƠ TỈ TỐN THPT - MAKE THE MATH SHINE x 8  x   x2  x   x  2x 1 x3    x3    x  1   x  x     x    x  x     x   2x 1 x   x  Thử l i ta th y nghiệm củ ã ỉ có giá trị x  x3   x   x  x   x  x3 C 2 D Bài Tổng nghiệm củ B A  x3  x  x   Lời giải Đáp án: B Đ ều kiện x  1 P ã ới:  x3    x    x2  x   x    x3    x 1   x3    x  3   x  x  1   x  1  x  x  1   x  1 x3 x3    x  x   x  x    x   x3 - Tập nghiệm củ ã T   3;1  „     Vậy tổng nghiệm là:     27 x3  18x  x   27 x  x  1 x   125  Gi sử nghiệm củ Bài 7: C a b với a, b, c số c trình có d ng x  S  a bc A S  46 B S  47 a tối gi n Tính c C S  48 D S  49 Lời giải Đáp án: B Ta có: 27 x3  18x  x   27 x  x  1 x   125     x   3x  125  x   3x  16  22 Suy ra: a  16, b  22, c  x Vậy S  47 x3  x  4  x  x2  x  2020  1009  3x  có nghiệ Bài 8: Biết rằ nh t d ng x  a  bằng: Trần Mạnh Tường b  c d e a , b, d  , c, e số nguyên tố K a bc d e https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ Chuyên đề : PT-BPT-HPT VƠ TỈ A 901 B 902 TỐN THPT - MAKE THE MATH SHINE C 903 D 904 Lời giải Đáp án: C x3  x  4  x  x  x  2020  1009  3x    x  1   x  1   x  1   x  1   2019  2019   x  1  2019  1  1 2    x  1      x  1  2019   2  2  1 2   x  1    x  1  2019  2   x  1   x  1  2018    x  1   x  1  2019  1  897  1  897  x  1     x  1  1  897  Vậy a  1, b  1, c  3, d  897, e   a  b  c  d  e  904 Bài 9: Gi sử a, b, c  * K x   x  3x   có nghiêm có d ng x  a  b c a  b  c có kết qu B A C D Lời giải Đ ều kiện x  P ã ới:   x  3x     x  3x  1  x    2   x  3x  1  x    x  3x    x  3x     2  x  x  11x  x     x  x  1 x  x    3  3 x  x     x 1  x       x   Vậy a  2, b  1, c   a  b  c  Bài 10: C x2  1 1  x   16 16  x2  1 1  x  x  x  x  x  (1) 16 2 16 2018 can Tổ Trần Mạnh Tường ệm củ ằng https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ 25  25  A B 16 16 TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE 49 C D 16 Lời giải Chọn B x  x  x    x  1  x  x  1   x   ( ) Từ Ta có (1)  x  1 1  x   16 16  x2  1  1  x  16  4  x3  x  x  2018 can  x2  1 1  x   16 16  x2  1 x  x3  x  x  16 2017 can 1    x     x  1  x  x  1 4  1  x2  x   x3  x  x  16  x     x  1  x  x  1    1   x  D ổ 25  16 ệm II PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỈ THÊM BỚT THÀNH HẰNG ĐẲNG THỨC x  14 x   x  10 Lời gi i Bài 1: Gi x  14 x   x  10  x  20 x  25  x  10  x  10    x  5   x  10    x   x  10  Bài 3x  x   x7 Lời giải Cách 1: Đ t t  Đ t y  x  hệ Trần Mạnh Tường x7  t   ta có:  3x  x   t  t   x   3 y   t  thành   3t   y https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ Chuyên đề : PT-BPT-HPT VƠ TỈ TỐN THPT - MAKE THE MATH SHINE 3x  21 x2  x   Cách 2: P ã 49  x  18 x   3x  21  x  21x   x  21  x  21  4 7  1    3x     3x  21   2  2  : 1) x  x  Bài tậ Bài 4x  28 2) x  x  x3 3) 27 x  18 x  x  [phƣơng pháp nhóm thành đẳng thức] G  x  y    z  y  z  11   y  z    x  z  x  11   z  x    y  x  y  11 ệ Lời giải ĐK  x  ới cộng với vế theo vé, ta có Cách 1: Nhân vế mỗ 2x  y  2z  x   y   z    x   y   z  x  y  z  10 x  10 y  10 z  66 [Dạng toán dạng phƣơng pháp ghi mực đỏ]   x  3   y  3   z         x 1     y 1     x  1     y  1   z  1   z 1   x  y  z  Cách 2: Đánh giá bất đẳng thức x    x  y    y  z    z  x  x  11  y  y  11  z  z  11* Ta có:  x2  4 x   2 x    x   x    x  Suy VT *  , d u "  " x y x  y  z  M t khác, VP *  , d “=” x y x  y  z  Vậy x  y  z  x  x   x x  3x  có nghiệm x1 , x2 , x3 ( x1  x2  x3 ) Tính Bài 4: Biế T  x1  (  1) x2  x3 ? A T  5 B T  C T  D T  Lời giải Đáp án: C Đ ều kiện : x  3x   Pt  x  x   x x  x   4( x  x  x  1)  (2 x  1) Trần Mạnh Tường https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ  3 x   2 x  3x      2 x  x   x   1 x   3 1  Vậy T   1  3 4   ( x  3)  x  x  48  x  24 có d ng x  m  n p (với Bài 5: Nghiệm nhỏ nh t m, n  TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE p số nguyên tố) Tính giá trị T  m  n  p A T  25 B T  27 C T  D T  Lời giải Đáp án: A Đ ều kiện: 12  x  P ới  x  3  x  x  48   x  24  ã   x2  x  9   x  3  x2  8x  48    x  8x  48    x  3   x  x  48       x  3   x  x  48  1   x  3   x  x  48  3    x   x     x  2  1   2 x  x  48     x  2   x  6   x      x  5   2   2 x  20 x  12     x  5  Nghiệm nhỏ nh t x  5  31 D  x  2  (thỏa mãn) 31  x  5  31 (thỏa mãn) 31 m  n  p  5   31  25 [Các Bài phân tích đẳng thức]   Bài x   x2  x  Bài x  9x  20  3x  10 HD: PT  3x  10  3x  10   x  x   Bài Bài x   x  3x  HD: PT  x   x    x  x    9x2 HD: PT   x  1  x    x  x  x  x  10  80 x  10 HD: PT  x  x  40  80 x  40  x  2.2 x.19  192   80 x  40  80 x  400   x  19   Bài 10 x2  x     80 x  20 4x  28 HD: PT  196 x  196 x  28 x   196 x  196 x  28 x  63 Trần Mạnh Tường https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE  196 x  224 x  64  28 x  63  28 x  63    14 x  8   28 x  63   10  3x  x  Bài 11  x  HD: PT   4  10  x   x   * + *  3 10  x  x  x  12 10  x  x  16 x  10  x   12 10  x   x  28 x  49    10  3x    x   Bài 12  x  1 2 x2   2x2  2x  HD: PT   x  1 x   16 x  16 x    x  1   x  1 x2   16  x  1  16 x  24 x    4x 1  x2  Bài 13    x  3 Giải phƣơng trình x x  x   3x   x  x  1 Lời giải 1  x x  x   3x   x  x     x  x x  x   x  x   3x   3x        x  x2  x    3x     x  x  x   1  x  x     3x    x   3x    ã Vậy ệm Hệ thống tập tƣơng tự: 2 x   x  x x   x2  4x  x   x  x  x  12 x   36 x  x   x  3x   4 x  21x  22 x  x    x   x Trần Mạnh Tường https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ x  x   x  10 x  x  TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE x3 11 x   x x  x 12  x  3   x 12  x   28  x 13 x  3x    x  3 x  14  x  1 x  3x   x  x  15  x   x  x   x  x  16  x  1 x  x   x  17 1  x  x  x   x  x  18 x  x    x  11 19 x2  x   x2  x   x  20 2 x    x  x  16 21 x  3x   x x   2 x  22  x  x  4 x   x  x  x2   Bài 14: G 27 2  x  1 x  Lời giải Ý tƣởng: Sử dụng phương pháp phân tích đẳng thức + đặt ẩn phụ Đ ều kiện: x  Nhân vế với ợc 2,    x 1  x 1  x   x 1 Chia c hai vế cho   x 1  x  1 x  1  x   27  x  1 x  27  x  1 x  27  x  1 x  (1) x 1 , ợc x 1 27    x  1 (2) x 1  x  1  x 1  t t  0  t    x 1 x 1  t  1 Đ t Trần Mạnh Tường https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 10 Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE Đáp án: B Dễ th y x  không nghiệ ế pt cho x ợc: √ 13    2.3   x x x x x 3  2  2   ề d ng:   1    1         * x x x x  x   x  Đ Xét hàm số f  t   t  2t với t  *  D , à ồng biến 1 x 13            x2 x x x3 x x 1  x   x  1  5  89  x  16     89   89  x          89  Vậy x0      T  89  2.5   95 19   TN 4.4: Cho hàm số f ( x ) liên tục thị Hỏ f     sin x  f   cos x có t t c nghiệm thuộc  3;  ? B A ẽ C Lời giải D Vô số Đáp án: B 1  sin x  0   sin x  x   3;     1  cos x  0   cos x  f     sin x  f    cos x   sin x   cos x ( Vì f ( x ) ồng biến 0;  sin x  cos x   tan x  1  x   Do x   3;   x      k Vậy có nh t nghiệm thỏ x x   x x   x  x   x  , biết bình TN 4.5: Gọi x0 nghiệm th c củ nghiệm x0 có d ng x02  A S  26  B 25 a b c  a, b, c   , C 24 Lời giải a tối gi n Tính S  a  b  c b D 22 Đáp án: A Trần Mạnh Tường https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 95 Chun đề : PT-BPT-HPT VƠ TỈ Vì : x TỐN THPT - MAKE THE MATH SHINE   5x2   x2   x4  x2   x2    x  Đ ệu kiện : x   1  1 Chia x hai vế :           Đ t : t   x x x  x x x   t   t   2t  t   t 5t   5t    (1  t )  1  t  1 Đ t u   t , v   t Đ ều kiện: u  5, v  Lú u  u   v  v   f (u )  f (v) Cách 1: Xé f '(t )   K  S  26 f (t )  t  t  Đ ều kiện : t  t t 1   hàm số ồng biến 1;   nên ta có u = v   17 ( n) x  1 1    1    1       4x  x 1   x x x x x x x   17 (l ) x   Cách 2: u  u   v  v   u  v    u   v2     uv   u  v  1   u v  u   v2    K 5 1  1 2 x x   17 ( n) x  1     1       4x  x 1    S  26 x x x x x   17 (l ) x   f  f  x   1   f  x   có số nghiệm th c TN 4.6: Cho f  x   x3  3x  x  P A Đáp án: A Đ t t  f  x 1 K B C Lời giải D  t  x  3x  x  f  f  x   1   f  x   trở thành: Trần Mạnh Tường https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 96 Chun đề : PT-BPT-HPT VƠ TỈ TỐN THPT - MAKE THE MATH SHINE t  1 t  1 f t    t     3 2  f  t    t  2t  t  4t  8t   t  1  t  t2   1;1  t  t1   2; 1    t  t3   5;6   t  t2   1;1  t  t  1;6   (Vì g  t   t  4t  8t  ; g  2   7 ; g  1  ; g 1  10 ; g    25 ) t  x  3x  x  , ộ ểm củ y  x  3x  x  ờng thẳng y  t Ta có b ng biến thiên Xé D a vào b ng biến thiên, ta có + Với t  t2   1;1 , ta có d cắt (C) t ểm phân biệ , + Với t  t3   5;6  , ta có d cắt (C) t Vậ ã ệm TN 4.7: Tổ ệm ể , ệm ệm 1+ 2x - x + 1- 2x - x =  x -1  2x - 4x +1 A thị hàm số 1 củ C Lời giải B D Đáp án: C 1  Đề Đ 2    x  1     x  1   x  1 2  x  1  1   ệ   x  1    x  1  2 t   x  1   t  0;1 Lú  2    t    t  2t  2t  1  1 Vớ t  0;   2  3   ế  3 ộ ệ 1 ố f t    t t Trần Mạnh Tường ủ ệ  1 t  0;   2 ợ 1 2  2t  2t  1 t  4t  2t  1   t t t  N ậ  3 VT    3  VP   3 1  Vớ t   ;1 , 2  Xé 2  4 ( ế t  )  4 1   ;1 https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 97 Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ 1 1   0, t   ;1  f  t  : f ' t     t t 2  Xé ố g  t   2t  2t  1 ị TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE 1   ;1 ế 1   ;1 2 1  g '  t   6t  2t  1  4t  2t  1  0, t   ;1  f  t  : 2  Vậ t  Vậ ệ  4  t   x  1 ủ ổ x  1  x  02  22  ệ x3   x  TN 4.8: Tổng nghiệm củ A 1   ;1 ế   C B D Lời giải Đáp án: A    x  x  x   x    f  x  f   x3  x  Xé 3  x 1 2x 1  2x 1 1 ố f  t   t  2t l f '  t   3t   0, t  Từ 1 ,  2  f  x   f  ụ  f t   2 ế  2x 1  x  2x 1  x3  x    x  1  x  x  1   x 1  x  1  x  36 x  53 x  25  3 x  Vậy tổng nghiệm củ TN 4.9: Số nghiệm củ B A   C Lời giải D Đáp án: C     x  3   x     3 x   3  f  x  3  f Xé  3x  ố f t   t  t l f '  t   3t   0, t  1 ụ àx  f  t   t  t ị  t t  Từ 1 ,  2  f  x  3  f Trần Mạnh Tường   3x  ế  2  3x   x   3x  https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 98 Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ  x3  36 x  51x  22  TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE   x   8 x  20 x  11   x   x  Nhận x t T ầ ế f  t   mt  nt T ế ầ ệ  2x  ể ò l ế m   3x   n 3x  f t   t  t D Nế m  1, p  m  px  u    px  u   m ửở ế  x3 nên mp3  ứ à ọ n 1 PT C f  g  x   f h  x  ề 5 m  px  u    px  u   m  ợ , ầ   3x   3x  Dễ  m  1, p   m  8, p   x ế ề  3x   3x    x  u    x  u   3x   3x   8x3  12u  x   6u  1 x  u  u   3x  Đồ D ệ ố ế ủ , ợ m  1, p  ế xé ợ ế ế x  15 x  78 x  141  x  TN 4.10: Nghiệm nhỏ nh t củ  a, b, c   K ợ 12u  36   u  3 ệ 6u   53 u  u   15   m  8, p  1 N   có d ng lờ a b c với a  b  c B 11 A 17 C 13 Lời giải D 15 Đáp án: C     x     x  5   f  x  5  f Xé   2x   2x   2x   1 ố f  t   t  5t f '  t   3t   0, t  ,  f t  Từ 1 ,  2  f  x  5  f  f  t   t  5t ế  2  2x   x   2x   x3  15 x  75 x  125  x   x3  15 x  73x  116    x    x  11x  29    x   x  Trần Mạnh Tường 11  https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 99 Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE a  11 11   Vậy nghiệm nhỏ nh t là: x   b   a  b  c  17 c   Nhận x t N í m  px  u    px  u   m  ụ ,  2x   2x  f  t   mt  5t x3    mp3  ể ọ m  p  1   x  u    x  u   2x   2x  T Lú   í 1  mp3  x3 Do sau khai triển m  px  u  Lú ầ     x  5  3u  x  x  u ễ Khai triển  3  2   x  5   15 x  u  5  2x   2x    ợ  3 ị m  p  ú x3  11x  25 x  12  x  x  TN 5.1: C  Tính tổ ệm củ A 50 B 100 C 53 D 80 Lời giải Đáp án: A     x    x  x  3  x  x  1 x Đề ệ T VT  D "" x Kế ợ  : x  x   0, x    x    x  x  3  x  x   VP   x     x  x  3  x  x    x   x  ề ệ , ệ x   x  ủ x  x TN 5.2: Tính tích nghiệm củ A -2 B 1 1  1 x x C 1 1 D Lời giải Đáp án: B Đề ệ x  Trần Mạnh Tường https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 100 Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ 1   1  x    Cauchy 1 x    x    x     x x      x  1 Cauchy  1 x   x  x  x  1   T Từ 1 ,    D TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE  x 1  1  x x x  2 "  "   x  1  x  x 1 1   x2  x    x   x 2   x 1  x Kế ợ ề ệ , ệ x  ủ 1  x  x  x   x   x   x  14 Tính tích nghiệm củ TN 5.3: C trình? A B C D -9 Lời giải Đáp án: C VP  x   x   x   x  14  x   x   x   x  14  1 D VT    x    "" x D "" x x   2 x  Từ 1 ,    P TN 5.4: P A x  ệ 7  4x  1 x 1 B 1 có nghiệm th C c? D Lời giải Đáp án: A Đề ệ x  1 1  7   x  1   x 1 Sử ụ BĐT C  2 7 ,  x  1 ố 7 7    x  1  x  1  x  1 Cauchy  33 7 ,  x  1  x  1 ợ 7 7  x  1  x  1  x  1 7 7    x  1  3  x 1 x 1 Trần Mạnh Tường https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/  101 Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ  7   x  1  3 x 1  7   x  1   x 1 Từ   ,  3   TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE  1  3 "  "  3 x  7   x  1  x  1 4  x  1  x  1   7     x  1       x  1   x  1    x     x  1         1  x  1 3   x     3   x  4  x  1    x   Kế ợ ề ệ , ệ x 3  x8   x   x8  x  x  25 TN 5.5: C   P nghiệm th A B C D Lời giải Đáp án: A x  nghiệm củ u   x ;    v   x ; 3 Đ u  v  uv M "" x  u, v ù  x=  x  y  x  y   x  y  x  y  10  29 TN 5.6: C ã Tí A  C p  x; y  thỏa ị A  x  100 y ? B C 100 D 25 Lời giải Đáp án: A Tậ x ị D    x  1  (2  y )  Trần Mạnh Tường  x  1  (3  y )  29 https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 102 Đ Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ  u   x  12  (2  y )2 u   x  1;  y     2 v   1  x;  y    v   1  x   (3  y )    u  v   2 2  52  29 u  v   2;5  u  v  uv M  u, v ù "" x TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE  5x  y   x  , y  x  x   x  x  11x  P TN 5.7: C th c? A C B ệm D Lời giải Đáp án: D + x  nghiệm pt  u   x ; 2x    v  1; x  + x  0, Đ u  v  uv M  u, v ù "" x ợc x   x  x  32  x  x  18  Tính tổ TN 5.8: C A 48 B 48 C 48 15 ệm D 15 Lời giải Đáp án: A OA  x  x  32  A  x  4; 4      C ọ  B  x  3; 3  OB  x  x  18   O  0;   AB  ta có AO  BO  AB D u x y A, B, C thẳng hàng  x   24 x2  x 1  x2  x   x2  x  TN 5.9: P A B 1 có nghiệm th C c? D Lời giải Đáp án: A Đề ệ  x2  x 1      x  x   0, x  Trần Mạnh Tường x 1  1   x 2 https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 103 Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ Á ụ BĐT BCS x  x  1; 1; ố 1; 1 VT  x  x   x  x   TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE  2 x2  x 1  x2  x   x T VT  x  x  x   x   x  1    x 1   3 2   x  x 1  x  x   x Từ 1 ,   ,  3    D  x  x   x  x2  x 1 x2  x    x  1 S ề ợ  12   x  x  1   x  x  1   x Hay Hay x  x   x x  x 1 ệ , "  "   ,  3 x 1 ệ x1   x2 có nghiệm TN 6.1: Tập hợp t t c giá trị tham số x2 ể B m  A m  x  m  Lời giải C D  m  Đáp án: C Đ ều kiệ x ịnh 1  x  thành 2t  t   m * Đ t t  1 x  1 x,  t  P d:ym ù  * í ờng thẳng ới trục hoành , ố nghiệm pt * số D ểm parabol  P  : y  2t  t  ộ ểm  P   d  Phát họa  P   d  lên hệ trục, ta th ã ệm  m  y O 2 x TN 6.2: Có giá trị nguyên tham số x2  x  5mx  3x   có nghiệm x A 2017 B 2018 m  2018; 2018 ể Đáp án: C Tậ x ịnh: D   3;0   3;   Trần Mạnh Tường C 2019 Lời giải D 2020  https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 104 Chun đề : PT-BPT-HPT VƠ TỈ Ta có: x  5mx  3x 2 Đ t t Để TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE x 3 x 3     x  3  x  5mx x x 2 x2  x2  3  5m 1 x x x2  t  0 x 1 có nghiệ 1 trở thành: 2t  3t  5m   ng trình   có nghiệ Do t   2t  3t   m  m   2018; 2018 Do  nên có 2019 giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu toán m  A B Đáp án: A Tậ x ịnh củ x  3x   m x  x  có nghiệm ể TN 6.3: Có giá trị nguyên tham số m C 15 Lời giải D 27 D   0;   Ta có: x  x   m x  x    x  x  1   x  x  1  m x  x  1 x  x  1 x2  x  x2  x  2 1  m 1 x  x 1 x  x 1 x2  x  2x  1  1 Đ t t x  x 1 x  x 1 x  1 x  2x 1  2x  1 1  x  x 1    x  x 1 Do x  nên    t  1;  1   x      x  1 x  x  1 K Để trở ã 2t  1  2t    t t   có nghiệm thuộc 1;  2t  mt    m   ệ  Xét hàm số: y  2t  ; t  1;  t   t2  t1  1  1  2t2     2t1    t2  t1     t2   t1  t1.t2       2 0 Với t1; t2  1; ; t1  t2 xét tỉ số  t2  t1 t2  t1 t1.t2   1 ồng biến nửa kho ng 1;   y 1  2t   y  t t 1 m  Do m số nguyên nên có nh t giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán Suy hàm số y  2t  TN 6.4: Tìm số giai trị tham     2t  1t  33 số m ể ( x  m  x)3  ( x  m  x)3   m  1 x  m  x   4m  có nghiệm Trần Mạnh Tường https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 105 Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ A B TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE C D Lời giải Đáp án: B 2 2   a  x  m  x a  b  x  m  (a  b)  x  4m Đ t:  a  0, b      2   b  x  m  x ab  ( x  m  x)( x  m  x)  m Kết hợp với (), ợc hệ ab  m  3 a  b   ab  1 a  b   (a  b)   ab  m  (a  b)  (a  b)  3(a  b)   a  b  b   a     a  2a  m a   a   m ab  m Xét hàm y  f  a   a  2a với  a  có b ng biến thiên Vậy  m  suy m  m x   3 x   x  , biết tập t t c giá trị tham số m ể ệm nửa kho ng (a; b] Tính giá trị biểu thức S  a  b3 TN 6.5: C ã 28 A 27 B  26 27 C 1 D Lời giải Đáp án: B Đ ều kiện x  1, Chia hai vế cho x 1 ợc pt: x 1 x 1 x 1  24  1 Đ t t4 x 1 x 1 x 1 x 1 2    1 1  t 1 Do x    x 1 x 1 m  3t  2t (*) T B ng biến thiên hàm f (t )  3t  2t [0;1) m  3 Theo b ng biến thiên (*) có nghiệm thuộc [0; 1)  1  m  1/ TN 6.6: Biết tập hợp giá trị m ể (m  2) x   (2m 1)  x  m 1  có nghiệ n  a; b Giá trị S  2019b  2020a 172 : A 1918 B 1819 C 1981 Lời giải D 2019 Đáp án: C Trần Mạnh Tường https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 106 Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ +) (m  2) x   (2m 1)  x  m 1  , TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE ều kiện 3  x  a  x  +) Đ t  ,  a, b  b   x a  b  +) Ta có :  (I)`` (m  2)a  (2m  1)b  m   a  b  +) Trong hệ tọ ộ O , ờng tròn tâm O bán kính R  , 2m ờng thẳng  có hệ số góc k  (vì với 2m  (m  2)a  (2m  1)b  m   m ệm) y d2: k2=7 B : k= -1 O 2-m 2m-1 d1: k1= A x -1  1 ểm I   ;   cố ịnh  3 +) Hệ (I) có nghiệm   nằm miền góc nhọn t o d1 , d +) Nhận xét th y  7 1 +) IA  ;   d1 có hệ số góc k1   3 1 7 +) IB  ;   d có hệ số góc k2  3 3  a  2m  7 m  +) Yêu cầu toán  k1  k  k2   2m  b   S  2019b  2020a 172  1981 TN 6.7: Gọi T tập giá trị nguyên củ nghiệm.Tính tổng phần tử T A.0 B.20 16x  m   x  18x   m có ể C.-20 Lời giải D.10 Đáp án: C Đ t t  16x  m  , t  Ta có m  t  16 x  P thành  16 x  m   2 x t  2 x   x  t   x  t  1    t  x   16 x  m   x  Trần Mạnh Tường https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 107 Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ  x   m  x  16x     x   m  x  20x   TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE   m  nghiệm   m  20 Do m thuộc Z nên T   3;2;1;0;1;2;3;20 Từ thị, TN 6.8: Có giá trị m A ể B m  x  m  x  m có nghiệm C D Lời giải Đáp án: C m  x  m   m   m  x   x    ĐKXĐ   x  m m      x m x   + Khi m  ệm nh t x   m  x  m  x  m2  x  m2   m  2m  2 2  2m  m  x  m  m  x  m  2m   * 2 m  x  m  m       m  ều kiện m  nên *   4  m  x   m  4m  4m m  m     m3   m   x  m  m x     ều kiện  x  m ệm khi:  m  m    m   m    m    m      m3   m   m    m   4 giá trị nguyên m thỏa mãn ể ệm m  ho c  m  D + Khi m  D D Vậ Trần Mạnh Tường https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 108 Chun đề : PT-BPT-HPT VƠ TỈ TỐN THPT - MAKE THE MATH SHINE TN 6.9: Tìm giá trị nhỏ nh t m ể A m   B m   4 x  x   3 x    m  có nghiệm C m   D m  4 Lời giải Đáp án: B Đ t t  x  1, t   t  x  x  t  3t   m   t  3t   m T ợ Xét hàm số y  t  3t  1, t  B ng biến thiên t 1  y 5 ệm m    D a vào b ng biế , TN 6.10: Hỏi có giá trị x  x  x  m  m có nghiệ A 2019 B 2018 Chọn C Ta cầ xé m ờng hợp x  m  K ỏ 0 ể ề C 2015 Lời giải ểu thức vế D 2014 ề x ịnh Đ t y  x  x  m z  x  m  y, z  2 x  y  m   Ta có hệ 2 x  z  y  xm  z   Khơng m t tính tổng qt, ta gi sử m  y  z 2 xz  x y  xm  y  m z m y  z m  4m Thay m  y  z vào hệ ợc: x  m  m  x  4m  m  x  Để có x   m  4m   m   m  5, 6, , 2019 N ậy có t t c 2015 giá trị m thỏa mãn yêu cầu củ ề Trần Mạnh Tường https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 109 ... https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/ 14 Chuyên đề : PT-BPT-HPT VÔ TỈ   a  b  b  c  c  a   TOÁN THPT - MAKE THE MATH SHINE   Bài 4: Giải bất phƣơng trình 2 x    x   x  3x  1 Lời giải Đ ều kiện 1  x  x ... Chuyên đề : PT-BPT-HPT VƠ TỈ TỐN THPT - MAKE THE MATH SHINE IV PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỈ NHÂN LIÊN HỢP PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỈ NHÂN LIÊN HỢP TRỰC TIẾP CÁC BIỂU THỨC CĨ SẴN TRONG PHƢƠNG TRÌNH Bài Gi T ều kiệ... a1  b1  a   ; ợc  b1  3  2a1  b1  a2  b2    2a2  b2   V PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP VECTƠ Bài 1: G ệ Trần Mạnh Tường  x   y   10    x  y  https://www.facebook.com/groups/TAILIEUDAYTHEMTOANTHPT/