Đang tải... (xem toàn văn)
Tích phân
Chương 2. Hàm nhiều biến số2.1. Các khái niệm cơ bản:2.1.1. Định nghĩa hàm nhiều biến số:* Định nghĩa: u= f(M). x1; x2 ; ; xn; D;{ })n,1i(Rx:)x; .;x;x(RDin21n==)x ;;x;x(f)M(fu)x ;;x;x(MRD:fn21n21=={ })x; ;x;x(fy:R)y;x; .;x;x(Rn211nn21f==+ VÝ dô :{ }2222222yx1)y;x(f)y;x(R1yx:)y;x(D:f)2yx)y;x(fz)y;x(RR:f)1−−=→≤+=+==→ 2.1.2. Giới hạn của dãy điểm trong Rn* Định nghĩa: Dãy điểm {Mp(x1p; x2p; .;xnp) } trong Rn gọi là dần tới Mo ( x1; x2; ; xn) khi Ký hiệu: +p)n,1i(xxLim0)xx(Lim)M;M(dLimiippn1i2iippopp====+=++=++oppopMMLimp;MM 2.2. Giới hạn của hàm 2 biến số.2.2.1. Giới hạn lặp của hàm 2 biến số.Định nghĩa:2R)y;x(M;D);y,x(fzooof=).()y;x(flimLim)y,x(flimLim).()y;x(flimLim)y,x(flimLimooooooooyyxxyyxxxxyyxxyy2212== VÝ dô: TÝnh c¸c giíi h¹n lÆp sau:111102222000222200==+−=−=−=+−=→→→→→→)(LimyxyxlimLimJ)(LimyxyxlimLimIxyxyxy Mở rộng: giới hạn lặp của hàm n biến số:Cho hàm số u = f(x1; x2; . ; xn) có tập xác định Df ; Mo ( x1o; x2o; .; xno).Cố định xj khác xjo , ta tính giới hạn lặp của hàm n -1 biến x1; x2; ; xj - 1; xj+1 ; ; xn :)x()x; .;x;x(flim .limlim .limLimjnxxxxxxxxxxnonojjojjoo=++2111112211)x(Limjxxjoj 2.2.2. Giới hạn của hàm 2 biến sốĐịnh nghĩa: Hàm z= f(x;y) xác định trong V(Mo) có thể trừ Mo (xo; yo).<<>>==L)M(f)M;M(dM:;)L)M(fLim(L)y;x(fLimoMMyyxxooo00 VÝ dô 1: 000002222222200=⇒≠∀≤+≤−⇒≠∀≤+≤++=→→I);()y;x(yyxxyy);()y;x(yyyxxyxxyyxxyLimIyx VÝ dô 2: T×m 2200yxxyLimyx+→→Kh«ng tån t¹i giíi h¹n trªn 2.3. Tính liên tục của hàm 2 biến số:Định nghĩa: hàm số u =f(M) xđ trong Df;f(M) liên tục tại Mo nếuKhi đó điểm Mo là điểm liên tục của f(M).Hàm không liên tục tại Mo thì Mo được gọi là điểm gián đoạn của hàm số. foDM ).()M(f)M(fLimoMMo32=)y;x(f)yy;xx(f)y;x(f).()y;x(fLim).(ooooooyx000042032++== [...]... Chương 2. Hàm nhiều biến số 2.1 . Các khái niệm cơ bản: 2.1 .1. Định nghĩa hàm nhiều biến số: * Định nghÜa: u= f(M). x 1 ; x 2 ; ; x… n ; D; { } )n,1i(Rx:)x; ;x;x(RD in21 n =∈=⊂ )x ;;x;x(f)M(fu)x ;;x;x(M RD:f n21n21 == → { } )x; ;x;x(fy:R)y;x; ;x;x(R n21 1n n21f =∈= + b) Phương pháp nhân tử Lagrange: Lập hàm L=L(t;x; y) =f(x;y) + t.g(x;y) (2.1 0) ã M o (x o ; y o ) là cực... giới hạn lặp của hàm n -1 biến x 1 ; x 2 ; ; x… j - 1 ; x j+1 ; ; x… n : )x()x; ;x;x(flim limlim limLim jn xxxxxxxxxx nonojjojjoo ϕ= →→→→→ ++−− 21 11112211 )x(Lim j xx joj ϕ → 2.2 . Giới hạn của hàm 2 biến số. 2.2 .1. Giới hạn lặp của hàm 2 biến số. Định nghĩa: 2 R)y;x(M;D);y,x(fz ooof = ).()y;x(flimLim)y,x(flimLim ).()y;x(flimLim)y,x(flimLim oooo oooo yyxxyyxx xxyyxxyy 22 12 = = ... } 22 22 22 2 yx1)y;x(f)y;x( R1yx:)y;x(D:f)2 yx)y;x(fz)y;x( RR:f)1 −−= →≤+= +== → 2.5 .2. Cực trị có điều kiện: a) Khái niệm: Cực trị của hàm z =f(x;y) trên D với điều kiện g(x;y) = 0 (2.9 ) được gọi là cực trị có điều kiện. * Điều kiện cần để có cực trị có điều kiện: Giả sử M o (x o ; y o ) là cực trị có điều kiện của f với điều kiện (2.9 ) và (i) f(x;y); g(x;y) có các đhr cấp 1 liên tục / V(M o ). (ii) g x (M o )... cao Định nghĩa: d 2 f = d(df) = d(f’ x dx + f’ y dy) d 3 f = d(d 2 f) …. d n f = d(d n-1 f) 2.2 .2. Giới hạn của hàm 2 biến số Định nghĩa: Hàm z= f(x;y) xác định trong V(M o ) có thể trõ M o (x o; y o ). ε<−⇒δ<∀>δ∃>ε∀⇔ == → → → L)M(f)M;M(dM:; )L)M(fLim(L)y;x(fLim o MM yy xx o o o 00 2.3 . Tính liên tục của hàm 2 biến số: Định nghĩa: hàm số u =f(M) xđ trong D f ; f(M) liên tục... 0 00 00 22 2222 22 0 0 =⇒ ≠∀≤ + ≤−⇒ ≠∀≤ + ≤ + + = → → I );()y;x(y yx xy y );()y;x(yy yx x yx xy yx xy LimI y x 2.5 .3. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm nhiều biến trong miền đóng và bị chặn: * Tìm cực trị của f(x;y)/ int(D) . * Tính giá trị của f(x;y) trên biên D. So sánh những giá trị vừa tìm được. Ví dụ: Tìm giá trị LN và NN của f(x;y) = x 2 + y 2 – xy + x + y trªn { } D (x; y) : x 0; y 0; x y 3= + − 2.4 .2. Vi phân toàn phần: a) Định nghĩa: Số gia... (2.1 0) ã M o (x o ; y o ) là cực trị có điều kiện của f thì N 0 (t o ; x o ; y o ) là nghiệm của hệ: ã Xét dấu vi phân cấp 2 của L tại N o để kết luận về cực trị có ®iỊu kiƯn L 0 t L 0 (2.1 1) x L 0 y = = = 2.4 .3. Đạo hàm và vi phân cấp cao a) Đạo hàm riêng cấp cao: Định nghĩa: Cho f(x;y); f x, f y '' y '' yx '' xy '' x f y f y f y f yx f y f x f xy f x f y f x f x f x 2 2 2 2 2 2 2 2 = = = = = = = = ... M 3 (- 1; -3); M 4 (-3; -1) * B 2 – AC = 36(y 2 –x 2 ). Khi ®ã (B 2 – AC)(M 1 ) = - 36.8 < 0 vµ A =18 > 0 nên hàm đạt cực tiểu tại M 1 : f min = f(M 1 ) = - 72. T¬ng tù ta cịng cã hàm đạt cực đại tại M 2 : f max = f(M 2 ) = 72. Chó ý: c) Điều kiện đủ: Giả sử hàm f(x;y) có các đhr đến cấp 2 liên tục trong V(M o ) và f x (x o ; y o ) = f y (x o ; y o ) = 0 Đặt A = f’’ xx (x o ; y o );... gọi là khả vi tại M o (x o; ;y o ) và biểu thức gọi là vi phân toàn phần của f tại M o . Hàm f(x;y) khả vi trên D: ( ) )y;x(f)yy;xx(fy;xf oooooo ++= ( ) ).(y.x.y.Bx.Ay;xf oo 52 +++= y.Bx.Adf += 2.4 .1. Đạo hàm riêng Chú ý: yxyyx)y;x(f:VD xlnxf;yxf :)x(x)y;x(f:VD y' y y' x y 532 01 32 1 += == >= b) Điều kiện cần để hàm khả vi: Hàm khả vi thì liên tục. Nếu f(x;y) khả vi tại . })n,1i(Rx:)x;...;x;x(RDin21n==)x....;;x;x(f)M(fu)x....;;x;x(MRD:fn21n21=={ })x;....;x;x(fy:R)y;x;...;x;x(Rn211nn21f==+ VÝ dô :{ }22 222 22yx1)y;x(f)y;x(R1yx:)y;x(D:f)2yx)y;x(fz)y;x(RR:f)1−−=→≤+=+==→ . dô 1: 0000 022 222 222 00=⇒≠∀≤+≤−⇒≠∀≤+≤++=→→I);()y;x(yyxxyy);()y;x(yyyxxyxxyyxxyLimIyx VÝ dô 2: T×m 22 00yxxyLimyx+→→Kh«ng tån t¹i giíi h¹n trªn 2. 3. Tính