Tìm tốc độ biến thiên của hàm tại điểm và hướng được cho:... Từ điểm 2, −1 trên mặt phẳng, một con kiến sẽ di chuyển theo hướng nào để đi đến nơi mát nhất... Tìm nhiệt độ thấp nhất và ca
Trang 11 Tìm miền xác định của các hàm:
(a) z = xy
x2+ y2
(b) z = ln(1 + xy)
(c) z =
r
1 − x
2
a2 − y
2
b2
(d) z = arcsiny − 1
x (e) z =psin(π(x2 + y2))
(f) u =pR2− x2− y2− z2+p 1
x2+ y2+ z2− r2 (0 < r < R) Đáp số:
(a) (x, y) 6= (0, 0)
(b) xy > −1
(c) Hình Elip x
2
a2 +y
2
b2 ≤ 1 kể cả biên (d) Tập các điểm (x, y) thỏa:
1 − x ≤ y ≤ 1 + x, (x > 0)
1 + x ≤ y ≤ 1 − x, (x < 0)
Tại x = 0 hàm không xác định
(e) Tập các điểm thỏa: 2k ≤ x2+ y2 ≤ 2k + 1, k ≥ 1, k ∈ Z (Hình vành khăn)
(f) Phần không gian giữa hai mặt cầu x2+ y2+ z2 = r2 và x2+ y2+ z2 = R2 kể cả mặt ngoài nhưng không kể mặt trong
2 Tính các giới hạn sau:
(x,y)→(0,a)
sin xy x
(x,y)→(∞,∞)
x + y
x2− xy + y2
(x,y)→(1,0)
ln(x + ey) p
x2+ y2
(x,y)→(∞,a)
1 + 1 x
x+yx2
(x,y)→(∞,∞)
x2+ y2
x4+ y4
(x,y)→(+∞,+∞)
xy
x2+ y2
x 2
Đáp số:
3 Xét sự liên tục của các hàm số tại (0, 0):
(a) f (x, y) =
x2y2
x2+ y2 nếu (x, y) 6= (0, 0)
0 nếu (x, y) = (0, 0)
Trang 2(b) f (x, y) =
x2y2
x4+ y4 nếu (x, y) 6= (0, 0)
0 nếu (x, y) = (0, 0) Đáp số:
(a) liên tục
(b) không liên tục
4 Tính đạo hàm riêng của các hàm số sau:
(a) z = x√
y + √3y x (b) z = sinx
y cos
y x
(c) z = arctany
x tại (−1, 1) (d) u = xy ln z tại (e, 2, e) Đáp số:
(a) ∂z
∂x =
√
33
√
x4
∂z
∂y =
x
2√
y +
1
3
√ x (b) ∂z
∂x =
1
ycos
x
y cos
y
x +
y
x2 sinx
ysin
y x
∂z
∂y = −
x
y2 cosx
ycos
y
x − 1
xsin
x
y sin
y x (c) ∂z
∂x = −
y
x2+ y2, ∂z
∂y =
x
x2x2+ y2 Thay (−1, 1): ∂z
∂x =
∂z
∂y = −
1 2 (d) ∂u
∂x = y ln zx
y ln z−1
∂u
∂y = ln x ln zx
y ln z
∂u
∂z =
y ln x
u ln z
Thay (e, 2, e): ∂u
∂x =
∂u
∂z = 2e,
∂u
∂y = e
2
5 Dùng định nghĩa tìm các đạo hàm riêng của hàm:
f (x, y) =
2x3 − y3
x2+ 3y2 (x, y) 6= 0
0 (x, y) = (0, 0) Đáp số: fx0(0, 0) = 2, fy0(0, 0) = −1/3
6 Chứng minh các hàm số thỏa mãn phương trình đạo hàm riêng:
(a) z = xey thỏa x∂z
∂x =
∂z
∂y
Trang 3(b) z = x + y
x − y thỏa x
∂z
∂x + y
∂z
∂y = 0 (c) u = x2+ yz thỏa x∂u
∂x + y
∂u
∂y + z
∂u
∂z = 2u (d) z = f (x2+ y2) trong đó f là hàm khả vi theo một biến thỏa y∂z
∂x − x∂z
∂y = 0
7 Tìm phương trình tiếp diện và pháp tuyến của đồ thị:
(a) f (x, y) = x2 − y2 tại (−2, 1)
(b) f (x, y) = cosx
y tại (π, 4) (c) f (x, y) = x
x2+ y2 tại (1, 2) Đáp án:
(a) z = −4x − 2y − 3
x + 2
y − 1
z − 3
−1 (b) z = √1
2(1 −
x − π
π
16(y − 4))
x − π
4
√ 2
= y − 4π
16
√ 2
=
z − √1 2
−1 (c) z = 2/5 + 3x/25 − 4y/25
x − 1
y − 2
z − 1/5
−25
8 Tính gần đúng các giá trị sau:
(a) lnp3
1, 03 +√4
0.98 − 1 ĐS: 0,005 (b) sin(π(0, 01).(1, 05) + ln 1, 05) ĐS: 0,0814
(c)
q
sin21, 55 + 8e0,015 ĐS: 3,019 (d) p3
(2, 01)2+ (1, 96)2 ĐS: 1,99
9 Tính đạo hàm của các hàm hợp sau:
(a) z = xy2, x = t + ln(y + t2), y = et, tính dz
dt (b) z = x2ln y, x = u
v, y = 3u − 2v, tính
∂z
∂u,
∂z
∂v (c) z = ln(u2+ v2), u = xy, v = x
y, tính
∂z
∂x,
∂z
∂y Đáp án:
(a) dz
dt = e
2t
1 + e
t+ 2t
et+ t2 + 2(t + ln(et+ t2))
Trang 4
(b) ∂z
∂u = 2
u
v2 ln(3u − 2v) + 3u
2
v2(3u − 2v)
∂z
∂v = −
2u2
v3 ln(3u − 2v) − 3u
2
v2(3u − 2v) (c) ∂z
∂x = 2/x,
∂z
∂y =
2(y4− 1) y(y4+ 1)
10 Tính đạo hàm riêng cấp 2 của các hàm số:
(a) z = xey − yex
(b) z = ln(x +px2+ y2)
Đáp án:
(a) ∂
2z
∂x2 = −yex, ∂
2z
∂x∂y = e
y − ex,∂
2z
∂y2 = xey (b) ∂
2z
(x3+ y3)3/2
∂2z
∂x∂y =
−y (x3+ y3)3/2
∂2z
∂y2 = x
3+ (x2− y2)px2+ y2
(x2+ y2)3/2.(x +px2+ y2)
11 Tìm hàm f (x, y) thỏa phương trình ∂
2f
∂x2 = 12x2y,∂f
∂y = x
4 và thỏa điều kiện
f (0, 0) = 1, f (1, 1) = 2
ĐS: f (x, y) = x4y + 1
12 Chứng minh rằng hàm z = lnp 1
x2+ y2 thỏa mãn phương trình đạo hàm riêng
∂2z
∂x2 +∂
2z
∂y2 = 0
13 Chứng minh rằng hàm u(x, y, t) = 1
te
−x2+y24t thỏa mãn phương trình đạo hàm riêng
∂u
∂t =
∂2u
∂x2 + ∂
2u
∂y2
14 Tìm gradient của hàm tại điểm được cho và đường thẳng tiếp xúc với đường mức của hàm tại điểm đó
(a) f (x, y) = cosx
y tại (π, 4) ĐS:
−~i + π
4~j
4√
2 , y = 4x + 4(1 − π) (b) f (x, y) = ln(x2+ y2) tại (1, −2)
ĐS: 2
5~i − 4
5~j, y = x
2 − 5/2
15 Tìm tốc độ biến thiên của hàm tại điểm và hướng được cho:
Trang 5(a) f (x, y) = x2y tại (−1, −1) theo hướng của vector ~v = ~i + 2~j ĐS: 4/√
5 (b) f (x, y) = x2+ y2 tại (1, −2) theo hướng của vector hợp với trục dương của Ox một góc 60o ĐS: 1 − 2√
3
16 Nhiệt độ T (x, y) tại các điểm trên mặt phẳng được cho bởi T (x, y) = x2− 2y2 Từ điểm (2, −1) trên mặt phẳng, một con kiến sẽ di chuyển theo hướng nào để đi đến nơi mát nhất ĐS: −~i − ~j
17 Tìm đạo hàm của các hàm ẩn xác định bởi phương trình sau:
(a) xey− yex− exy = 0, tính y’
(b) arctanx + y
a = 0, tính y’
(c) z2+ xy3 = xz
y tính
∂z
∂y Đáp án:
(a) y0 = e
y + yex− yexy
xexy − ex− xey
(b) y0 = a
2
(x + y)2
(c) ∂z
∂x =
z − y4 2yz − x,
∂z
∂y =
3xy4+ xz
xy − 2y2z
18 Tìm phương trình tiếp tuyến của đường cong eyx + sin y + y2 = 1 tại (2, 0) ĐS: y = 0
19 Tìm phương trình tiếp diện của mặt cầu x2+ y2+ z2 = 14 tại (1, −2, 3) ĐS:
x − 2y + 3z = 14
20 Tìm cực trị của các hàm số sau:
(a) z = 4(x − y) − x2− y2
(b) z = (x2+ y2)e−(x2+y2)
(c) z = x3+ y3− 3xy
(d) z = x4+ y4
(e) z = xy + 50
20
y , (x > 0, y > 0) (f) z = 1 −px2+ y2
Đáp án:
(a) zmax = 8 tại (2, −2)
(b) zmin = 0 tại (0,0), zmax = 1/e tại các điểm thuộc đường tròn x2+ y2 = 1
(c) zmin = −1 tại (1, 1), z không đạt cực trị tại (0, 0)
Trang 6(d) zmin = 0 tại (0, 0)
(e) zmin = 30 tại (5, 2)
(f) zmax = 1 tại (0, 0)
21 Tìm cực trị có điều kiện:
(a) z = x2+ y2 với x/2 + y/3 = 1
(b) z = 1
x +
1
y với
1
x2 + 1
y2 = 1
a2
(c) u = x + y + z với 1
x+
1
y +
1
z = 1 Đáp án:
(a) zmin = 36
13 tại (18/13, 12/13) (b) zmin = −2/a tại (−a√
2, −a√
2)
zmax =
√ 2
a tại (a
√
2, a√ 2) (c) umin = 9 tại (3, 3, 3)
22 Tìm khoảng cách ngắn nhất từ gốc tọa độ đến đường cong x2y = 16
Đáp án: Tìm cực trị của hàm z = x2+ y2 với điều kiện x2y − 16 = 0 Vậy zmin = 2√
3 tại (±2√
2, 2)
23 Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm u = xyz với x2+ y2+ z2 = 12
Đáp án: zmax = 8, zmin = −8
24 Tìm giá trị nhỏ nhất là giá trị lớn nhất của các hàm
(a) z = x − x2+ y2 trên hình chữ nhật 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1
(b) z = x2− y2 trên hình tròn x2+ y2 ≤ 4
(c) z = x2y(4 − x − y) trên hình giới hạn bởi các đường x = 0, y = 0, x + y = 6
(d) z = sin x + sin y + sin(x + y) trong miền chữ nhật 0 ≤ x, y ≤ π
2 (e) z = x2ye−(x+y) trên miền tam giác x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 4
Đáp án:
(a) zmin = −2, zmax = 5/4
(b) zmax = 4 tại (±2, 0)
zmin = −4 tại (0, ±2)
(c) zmax = 4 tại (2, 1)
zmin = −64 tại (4, 2)
Trang 7(d) zmin = 0 tại (0, 0)
zmax = 3
√ 3
2 tại
π
3,
π 3
(e) zmax = z(2, 1) = 4/e3, zmin = 0 trên y = 0(0 < x < 4), x = 0(0 < y < 4)
25 Nhiệt độ của các điểm trên đĩa x2+ y2 ≤ 1 cho bởi T (x, y) = (x + y)e−(x 2 +y 2 ) Tìm nhiệt
độ thấp nhất và cao nhất trên đĩa
Đáp án: Tmin = −√1
e, Tmax =
1
√ e
26 Một hình hộp chữ nhật hở ở phía trên có thể tích 32 cm3 Hỏi các cạnh phải có độ dài bao nhiêu để hộp có diện tích xung quang nhỏ nhất
Đáp án: Dài, rộng, cao: 4,4,2