Bài tập phép tính vi phân hàm nhiều biến

Hàm số nhiều biến 1 1. Tìm miền xác định của các hàm: (a) z = xy x 2 + y 2 (b) z = ln(1 + xy) (c) z =  1 − x 2 a 2 − y 2 b 2 (d) z = arcsin y −1 x (e) z =  sin(π(x 2 + y 2 )) (f) u =  R 2 − x 2 − y 2 − z 2 + 1  x 2 + y 2 + z 2 − r 2 (0 < r < R) Đáp số: (a) (x, y) = (0, 0) (b) xy > −1 (c) Hình Elip x 2 a 2 + y 2 b 2 ≤ 1 kể cả biên (d) Tập các điểm (x, y) thỏa: 1 − x ≤ y ≤ 1 + x, (x > 0) 1 + x ≤ y ≤ 1 − x, (x < 0) Tại x = 0 hàm không xác định. (e) Tập các điểm thỏa: 2k ≤ x 2 + y 2 ≤ 2k + 1, k ≥ 1, k ∈ Z (Hình vành khăn) (f) Phần không gian giữa hai mặt cầu x 2 + y 2 + z 2 = r 2 và x 2 + y 2 + z 2 = R 2 kể cả mặt ngoài nhưng không kể mặt trong 2. Tính các giới hạn sau: (a) lim (x,y)→(0,a) sin xy x (b) lim (x,y)→(∞,∞) x + y x 2 − xy + y 2 (c) lim (x,y)→(1,0) ln(x + e y )  x 2 + y 2 (d) lim (x,y)→(∞,a)  1 + 1 x  x 2 x+y (e) lim (x,y)→(∞,∞) x 2 + y 2 x 4 + y 4 (f) lim (x,y)→(+∞,+∞)  xy x 2 + y 2  x 2 Đáp số: (a) a (b) 0 (c) ln 2 (d) e (e) 0 (f) 0 3. Xét sự liên tục của các hàm số tại (0, 0): (a) f(x, y) =    x 2 y 2 x 2 + y 2 nếu (x, y) = (0, 0) 0 nếu (x, y) = (0, 0) Vi tích phân A2 2 Hàm số nhiều biến (b) f(x, y) =    x 2 y 2 x 4 + y 4 nếu (x, y) = (0, 0) 0 nếu (x, y) = (0, 0) Đáp số: (a) liên tục (b) không liên tục 4. Tính đạo hàm riêng của các hàm số sau: (a) z = x √ y + y 3 √ x (b) z = sin x y . cos y x (c) z = arctan y x tại (−1, 1) (d) u = x y ln z tại (e, 2, e) Đáp số: (a) ∂z ∂x = √ y − y 3 3 √ x 4 ∂z ∂y = x 2 √ y + 1 3 √ x (b) ∂z ∂x = 1 y cos x y cos y x + y x 2 sin x y sin y x ∂z ∂y = − x y 2 cos x y cos y x − 1 x sin x y sin y x (c) ∂z ∂x = − y x 2 + y 2 , ∂z ∂y = x x 2 x 2 + y 2 Thay (−1, 1): ∂z ∂x = ∂z ∂y = − 1 2 (d) ∂u ∂x = y ln zx y ln z−1 ∂u ∂y = ln x ln zx y ln z ∂u ∂z = y ln x z x u ln z Thay (e, 2, e): ∂u ∂x = ∂u ∂z = 2e, ∂u ∂y = e 2 5. Dùng định nghĩa tìm các đạo hàm riêng của hàm: f(x, y) =    2x 3 − y 3 x 2 + 3y 2 (x, y) = 0 0 (x, y) = (0, 0) Đáp số: f  x (0, 0) = 2, f  y (0, 0) = −1/3 6. Chứng minh các hàm số thỏa mãn phương trình đạo hàm riêng: (a) z = xe y thỏa x ∂z ∂x = ∂z ∂y Vi tích phân A2 Hàm số nhiều biến 3 (b) z = x + y x − y thỏa x ∂z ∂x + y ∂z ∂y = 0 (c) u = x 2 + yz thỏa x ∂u ∂x + y ∂u ∂y + z ∂u ∂z = 2u (d) z = f(x 2 + y 2 ) trong đó f là hàm khả vi theo một biến thỏa y ∂z ∂x − x ∂z ∂y = 0 7. Tìm phương trình tiếp diện và pháp tuyến của đồ thị: (a) f(x, y) = x 2 − y 2 tại (−2, 1) (b) f(x, y) = cos x y tại (π, 4) (c) f(x, y) = x x 2 + y 2 tại (1, 2) Đáp án: (a) z = −4x − 2y −3 x + 2 −4 = y −1 −2 = z − 3 −1 (b) z = 1 √ 2 (1 − x − π 4 + π 16 (y −4)) x − π − 1 4 √ 2 = y −4 π 16 √ 2 = z − 1 √ 2 −1 (c) z = 2/5 + 3x/25 − 4y/25 x − 1 3 = y −2 4 = z − 1/5 −25 8. Tính gần đúng các giá trị sau: (a) ln 3  1, 03 + 4 √ 0.98 − 1 ĐS: 0,005 (b) sin(π(0, 01).(1, 05) + ln 1, 05) ĐS: 0,0814 (c)  sin 2 1, 55 + 8e 0,015 ĐS: 3,019 (d) 3  (2, 01) 2 + (1, 96) 2 ĐS: 1,99 9. Tính đạo hàm của các hàm hợp sau: (a) z = xy 2 , x = t + ln(y + t 2 ), y = e t , tính dz dt (b) z = x 2 ln y, x = u v , y = 3u − 2v, tính ∂z ∂u , ∂z ∂v (c) z = ln(u 2 + v 2 ), u = xy, v = x y , tính ∂z ∂x , ∂z ∂y Đáp án: (a) dz dt = e 2t  1 + e t + 2t e t + t 2 + 2(t + ln(e t + t 2 ))  Vi tích phân A2 4 Hàm số nhiều biến (b) ∂z ∂u = 2 u v 2 ln(3u − 2v) + 3u 2 v 2 (3u − 2v) ∂z ∂v = − 2u 2 v 3 ln(3u − 2v) − 3u 2 v 2 (3u − 2v) (c) ∂z ∂x = 2/x, ∂z ∂y = 2(y 4 − 1) y(y 4 + 1) 10. Tính đạo hàm riêng cấp 2 của các hàm số: (a) z = xe y − ye x (b) z = ln(x +  x 2 + y 2 ) Đáp án: (a) ∂ 2 z ∂x 2 = −ye x , ∂ 2 z ∂x∂y = e y − e x , ∂ 2 z ∂y 2 = xe y (b) ∂ 2 z ∂x 2 = −x (x 3 + y 3 ) 3/2 ∂ 2 z ∂x∂y = −y (x 3 + y 3 ) 3/2 ∂ 2 z ∂y 2 = x 3 + (x 2 − y 2 )  x 2 + y 2 (x 2 + y 2 ) 3/2 .(x +  x 2 + y 2 ) 11. Tìm hàm f(x, y) thỏa phương trình ∂ 2 f ∂x 2 = 12x 2 y, ∂f ∂y = x 4 và thỏa điều kiện f(0, 0) = 1, f(1, 1) = 2 ĐS: f(x, y) = x 4 y + 1 12. Chứng minh rằng hàm z = ln 1  x 2 + y 2 thỏa mãn phương trình đạo hàm riêng ∂ 2 z ∂x 2 + ∂ 2 z ∂y 2 = 0 13. Chứng minh rằng hàm u(x, y, t) = 1 t e − x 2 +y 2 4t thỏa mãn phương trình đạo hàm riêng ∂u ∂t = ∂ 2 u ∂x 2 + ∂ 2 u ∂y 2 14. Tìm gradient của hàm tại điểm được cho và đường thẳng tiếp xúc với đường mức của hàm tại điểm đó (a) f(x, y) = cos x y tại (π, 4) ĐS: −  i + π 4  j 4 √ 2 , y = 4x + 4(1 − π) (b) f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) tại (1, −2) ĐS: 2 5  i − 4 5  j, y = x 2 − 5/2 15. Tìm tốc độ biến thiên của hàm tại điểm và hướng được cho: Vi tích phân A2 Hàm số nhiều biến 5 (a) f(x, y) = x 2 y tại (−1, −1) theo hướng của vector v =  i + 2  j ĐS: 4/ √ 5 (b) f(x, y) = x 2 + y 2 tại (1, −2) theo hướng của vector hợp với trục dương của Ox một góc 60 o ĐS: 1 − 2 √ 3 16. Nhiệt độ T (x, y) tại các điểm trên mặt phẳng được cho bởi T (x, y) = x 2 − 2y 2 . Từ điểm (2, −1) trên mặt phẳng, một con kiến sẽ di chuyển theo hướng nào để đi đến nơi mát nhất. ĐS: −  i −  j 17. Tìm đạo hàm của các hàm ẩn xác định bởi phương trình sau: (a) xe y − ye x − e xy = 0, tính y’ (b) arctan x + y a − y a = 0, tính y’ (c) z 2 + xy 3 = xz y tính ∂z ∂y Đáp án: (a) y  = e y + ye x − ye xy xe xy − e x − xe y (b) y  = a 2 (x + y) 2 (c) ∂z ∂x = z − y 4 2yz − x , ∂z ∂y = 3xy 4 + xz xy −2y 2 z 18. Tìm phương trình tiếp tuyến của đường cong e y x + sin y + y 2 = 1 tại (2, 0) ĐS: y = 0 19. Tìm phương trình tiếp diện của mặt cầu x 2 + y 2 + z 2 = 14 tại (1, −2, 3) ĐS: x − 2y + 3z = 14 20. Tìm cực trị của các hàm số sau: (a) z = 4(x − y) − x 2 − y 2 (b) z = (x 2 + y 2 )e −(x 2 +y 2 ) (c) z = x 3 + y 3 − 3xy (d) z = x 4 + y 4 (e) z = xy + 50 x + 20 y , (x > 0, y > 0) (f) z = 1 −  x 2 + y 2 Đáp án: (a) z max = 8 tại (2, −2) (b) z min = 0 tại (0,0), z max = 1/e tại các điểm thuộc đường tròn x 2 + y 2 = 1 (c) z min = −1 tại (1, 1), z không đạt cực trị tại (0, 0) Vi tích phân A2 6 Hàm số nhiều biến (d) z min = 0 tại (0, 0) (e) z min = 30 tại (5, 2) (f) z max = 1 tại (0, 0) 21. Tìm cực trị có điều kiện: (a) z = x 2 + y 2 với x/2 + y/3 = 1 (b) z = 1 x + 1 y với 1 x 2 + 1 y 2 = 1 a 2 (c) u = x + y + z với 1 x + 1 y + 1 z = 1 Đáp án: (a) z min = 36 13 tại (18/13, 12/13) (b) z min = −2/a tại (−a √ 2, −a √ 2) z max = √ 2 a tại (a √ 2, a √ 2) (c) u min = 9 tại (3, 3, 3) 22. Tìm khoảng cách ngắn nhất từ gốc tọa độ đến đường cong x 2 y = 16 Đáp án: Tìm cực trị của hàm z = x 2 + y 2 với điều kiện x 2 y −16 = 0. Vậy z min = 2 √ 3 tại (±2 √ 2, 2) 23. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm u = xyz với x 2 + y 2 + z 2 = 12 Đáp án: z max = 8, z min = −8 24. Tìm giá trị nhỏ nhất là giá trị lớn nhất của các hàm (a) z = x − x 2 + y 2 trên hình chữ nhật 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1 (b) z = x 2 − y 2 trên hình tròn x 2 + y 2 ≤ 4 (c) z = x 2 y(4 − x − y) trên hình giới hạn bởi các đường x = 0, y = 0, x + y = 6 (d) z = sin x + sin y + sin(x + y) trong miền chữ nhật 0 ≤ x, y ≤ π 2 (e) z = x 2 ye −(x+y) trên miền tam giác x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 4 Đáp án: (a) z min = −2, z max = 5/4 (b) z max = 4 tại (±2, 0) z min = −4 tại (0, ±2) (c) z max = 4 tại (2, 1) z min = −64 tại (4, 2) Vi tích phân A2 Hàm số nhiều biến 7 (d) z min = 0 tại (0, 0) z max = 3 √ 3 2 tại  π 3 , π 3  (e) z max = z(2, 1) = 4/e 3 , z min = 0 trên y = 0(0 < x < 4), x = 0(0 < y < 4) 25. Nhiệt độ của các điểm trên đĩa x 2 + y 2 ≤ 1 cho bởi T (x, y) = (x + y)e −(x 2 +y 2 ) . Tìm nhiệt độ thấp nhất và cao nhất trên đĩa. Đáp án: T min = − 1 √ e , T max = 1 √ e 26. Một hình hộp chữ nhật hở ở phía trên có thể tích 32 cm 3 . Hỏi các cạnh phải có độ dài bao nhiêu để hộp có diện tích xung quang nhỏ nhất. Đáp án: Dài, rộng, cao: 4,4,2 Vi tích phân A2 . x ∂z ∂x = ∂z ∂y Vi tích phân A2 Hàm số nhiều biến 3 (b) z = x + y x − y thỏa x ∂z ∂x + y ∂z ∂y = 0 (c) u = x 2 + yz thỏa x ∂u ∂x + y ∂u ∂y + z ∂u ∂z = 2u (d) z = f(x 2 + y 2 ) trong đó f là hàm khả vi theo. (f) 0 3. Xét sự liên tục của các hàm số tại (0, 0): (a) f(x, y) =    x 2 y 2 x 2 + y 2 nếu (x, y) = (0, 0) 0 nếu (x, y) = (0, 0) Vi tích phân A2 2 Hàm số nhiều biến (b) f(x, y) =    x 2 y 2 x 4 +. ln(u 2 + v 2 ), u = xy, v = x y , tính ∂z ∂x , ∂z ∂y Đáp án: (a) dz dt = e 2t  1 + e t + 2t e t + t 2 + 2(t + ln(e t + t 2 ))  Vi tích phân A2 4 Hàm số nhiều biến (b) ∂z ∂u = 2 u v 2 ln(3u −