Thông tin tài liệu
BÀI TẬP PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 1. Bài 1: Cho hàm 1 1 , n ii i x y x y với 1 2 1 2 , , , ; , , , n nn x x x x y y y y R CMR a/. 1 là một khoảng cách trên n R b/. Tồn tại các hằng số dương ,AB sao cho 1 , , , , n A x y x y B x y x y R trong đó ,xy là một khoảng cách Euclid trên n R c/. 1 lim , 0 lim , 0 kk kk x x x x Giải: +/. 2 22 ii i i i i i i x y x y n Tức là 11 ,,x y B x y B n +/ 12 , , , n có 1 2 1 2 nn (1) Từ 2 (1) i i i i x y x y Tức 1 , , 1A x y x y A 2. Bài 2: Tìm các giới hạn a/. 0 0 0 0 lim limlim 1 1 1 1 x x y y xy xy xy xy b/. 0 0 0 0 sin sin lim limlim x x y y xy xy yy 3. Bài 3: Xét tính liên tục tại 0,0 của các hàm số sau: a/. 22 22 22 22 11 0 , 00 xy xy xy f x y xy b/. 22 22 22 22 1 0 , 00 cos x y xy xy f x y xy Giải: a/. 0 0 0, 1 lim 0, 1 0,0 0 y x f y f y f y Hàm ,f x y không liên tục tại 0,0 b/. Ta có 22 2 22 2 2 2 2 2sin 1 2 , xy cos x y f x y x y x y Nên 2 22 22 2 22 2 22 0 0 0 0 22 0 0 0 0 sin 2 1 2 lim , 2lim lim lim 0 0,0 2 2 x x x x y y y y xy xy f x y x y f xy xy Vậy: ,f x y liên tục tại 0,0 4. Bài 4: CMR hàm số , xy f x y xy không có giới hạn tại 0,0 - Chọn 1 lim , 0 1 n nn n n x n f x y y n - Chọn ' '' ' 2 lim , 3 1 n nn n n x n f x y y n Vậy: Hàm số , xy f x y xy không có giới hạn tại 0,0 5. Bài 5: CMR các hàm số sau không có giới hạn tại 0,0 a/. 2 2 , 2 yx f x y yx b/. 1 , sinf x y xy Giải: a/. - Chọn 1 , 0 lim , 0 1 n n n n n n n x n n f x y n f x y y n (1) - Chọn ' ' ' ' ' ' 0 , 1 lim , 1 1 n n n n n n n x n f x y n f x y y n (2) Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh. b/. ( Phương pháp làm giống như ý a/. ) - Chọn 1 1,2, , 0,0 lim , 0 1 n n n n n n n n x n n x y f x y y n (1) - Chọn ' ' ' ' ' ' 1 2 2 , 1, 1,2, lim , 1 1 2 2 n n n n n n n x n f x y n f x y y n (2) Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh. 6. Bài 6: Xét sự tồn tại giới hạn lặp của các hàm số sau: a/. , xy f x y xy tại 0,0 b/. 1 , 1 cosxy f x y xy tại 0,1 Giải: a/. 00 lim , lim , 1 xy f x y f x y Do đó 0 0 0 0 limlim 1 limlim y x x y x y x y x y x y b/. ' ' 0 0 0 0 cos 1 cos 1 sin 1:lim , lim lim lim 0 11 1 x x x x x x xy xy y xy y f x y x y y xy Vậy: 10 limlim , 0 yx f x y Mỗi 0x có: 1 1 1 cos 1 sin lim , lim lim sin 1 y y y xy x xy f x y x x y x 0 1 0 limlim , limsin 0 x y x f x y x Vậy: 01 limlim , 0 xy f x y 7. Bài 7: a/. Cho 32 ,2f x y x xy y Ta có: 22 , 3 2 1,0 3 ff x y x y xx , 4 1 1,0 1 ff x y xy yx b/. ,f x y x Ta có 0, 0fy nên 0,0 0 f y và ,0f x x Hàm một biến này không có đạo hàm tại 0x nên không tồn tại 0,0 f x c/. 00 , 10 xy f x y xy Hàm gián đoạn tại 0,0 vì 11 , 0,0 nn nhưng 11 ,1f nn không dần đến 0,0 0f khi n Tuy nhiên hàm có các đạo hàm riêng tại 0,0 , thật vậy 00 0 ,0 0,0 00 0,0 lim lim 0 xx f x f f x x x và 0,0 0 f y 8. Bài 8: Dùng định nghĩa, tính a/. 1,1 f x với 2 , ln 1f x y x y b/. 0,0 ; 0,0 ff xy với 22 22 22 1 sin 0 , 00 xy x y xy f x y xy Giải: a/. 1 1 1 2 ln ,1 1,1 ln 2 ln3 3 1,1 lim lim lim 1 1 1 x x x x f x f x f x x x x 1 1 ln 1 11 3 lim 1 33 3 x x x b/. 00 ,0 0,0 0 0,0 lim lim 0 0 xx f x f f x x x 9. Bài 9: Tính đạo hàm riêng của các hàm số sau: a/. , ln 2 y f x y x x b/. , x f x y arctg y c/. 22 , xy f x y x y e Giải: a/. 22 21 ln ; ln 2 2 2 2 y x y y xx x x x y y x x y b/. ' 2 2 2 22 2 1 , 1 x x y f x y x x y arctg xy x x y x y x y y ' 2 2 2 22 2 , 1 y x x y f x x y x y arctg xy y y y x y x y y c/. 22 2 2 2 2 2 2 2 2 xy xy xy xy x y x y fx x y e e x y ye e xx x y x y 22 22 , xy y x x y f x y e y xy 10. Bài 10: Cho hàm số 2 2 2 2 22 22 0 , 00 xy x y x y xy f x y xy CMR: 22 0,0 0,0 ff x y y x Giải Tại các điểm , 0,0xy , dùng các quy tắc quen thuộc, ta có: và 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 4 , f x y x y x y x y xy y y x x y x y xy Nói riêng 0, 0 f y y y x ; ,0 0 f x x x x Các đạo hàm riêng tại 0,0 được tính bằng định nghĩa: 0 ,0 0,0 0,0 lim 0 0 x f x f f xx ; 0 0, 0,0 0,0 lim 0 0 y f y f f yy Theo định nghĩa của đạo hàm riêng cấp hai thì: 2 00 ,0 0,0 0,0 lim lim 0 0 xx ff x fx yy x y x x 2 00 0, 0,0 0,0 lim lim 1 0 yx ff y fy xx y x y y Vậy 22 0,0 0,0 ff x y y x . BÀI TẬP PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 1. Bài 1: Cho hàm 1 1 , n ii i x y x y với 1 2 1 2 , , ,. 0 f y và ,0f x x Hàm một biến này không có đạo hàm tại 0x nên không tồn tại 0,0 f x c/. 00 , 10 xy f x y xy Hàm gián đoạn tại 0,0 vì. 00 ,0 0,0 0 0,0 lim lim 0 0 xx f x f f x x x 9. Bài 9: Tính đạo hàm riêng của các hàm số sau: a/. , ln 2 y f x y x x b/. , x f x y arctg y
Ngày đăng: 30/10/2014, 12:00
Xem thêm: BÀI TẬP PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN, BÀI TẬP PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN