BÀI TẬP PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 1... Phương pháp làm giống như ý a/.
Trang 1BÀI TẬP PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
1 Bài 1: Cho hàm 1
1 ,
n
i i i
với xx x1 , 2 , ,x n;yy y1 , 2 , ,y nR n CMR a/ 1 là một khoảng cách trên n
R
b/ Tồn tại các hằng số dương A B, sao cho A x y, 1 x y, B x y, x y, R n trong đó x y, là một khoảng cách Euclid trên n
R
c/ lim k, 0 lim 1 k, 0
k x x k x x
Giải:
i i
Tức là 1 x y, B 1 x y, B n
+/ 1, 2, , n có 1 2 n 1 2 n (1)
(1) x iy i x i y i Tức A x y, 1 x y, A 1
2 Bài 2: Tìm các giới hạn
a/
0
y
b/
0
y
3 Bài 3: Xét tính liên tục tại 0, 0 của các hàm số sau:
0 ,
f x y
x y
1
0 ,
cos x y
f x y
x y
Giải:
0
0
x
Hàm f x y , không liên tục tại 0, 0
2sin
,
x y cos x y
f x y
Trang 2
2
1 2
2 2
x y
x y
x y
x y
Vậy: f x y , liên tục tại 0, 0
4 Bài 4: CMR hàm số f x y , x y
x y
không có giới hạn tại 0, 0
1
1
n
n n n
n
x n
f x y y
n
'
' ' '
2
1
n
n n n
n
x n
f x y y
n
Vậy: Hàm số f x y , x y
x y
không có giới hạn tại 0, 0
5 Bài 5: CMR các hàm số sau không có giới hạn tại 0, 0
a/ , 22
2
y x
f x y
f x y
xy
Giải:
1
1
n
n
x
y n
(1)
'
'
0
1
n
n
n
x
y n
(2)
Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh
b/ ( Phương pháp làm giống như ý a/ )
1
1
n
n
n n
x n
y n
(1)
Trang 3- Chọn
'
'
1
2 2
1
2 2
n
n
n
x
n
y
n
(2)
Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh
6 Bài 6: Xét sự tồn tại giới hạn lặp của các hàm số sau:
a/ f x y , x y
x y
tại 0, 0 b/ 1
,
1
cosxy
f x y
x y
tại 0,1
Giải:
x f x y y f x y
' '
x
x
xy
1 0
y x f x y
Mỗi x 0 có:
1
x y f x y x x
0 1
x y f x y
7 Bài 7:
a/ Cho 3 2
f x y x xy y Ta có: 2 2
x y x y
, 4 1 1, 0 1
x y xy
b/ f x y , x Ta có f 0,y 0 nên f 0, 0 0
y
và f x , 0 x Hàm một biến này không có đạo hàm tại x 0 nên không tồn tại f 0, 0
x
c/ , 0 0
xy
f x y
xy
Hàm gián đoạn tại 0, 0 vì 1 1
n n
1 1
f
n n
không dần đến f 0, 0 0 khi n Tuy nhiên hàm có các đạo hàm riêng tại 0, 0 ,
f
y
8 Bài 8: Dùng định nghĩa, tính
a/ f 1,1
x
f x y x y
Trang 4b/ f 0, 0 ; f 0, 0
1
,
x y
f x y
x y
Giải:
2 ln
x
f
1
ln 1
lim
1
3
x
x x
0
f x f f
9 Bài 9: Tính đạo hàm riêng của các hàm số sau:
a/ , ln
2
y
x
b/ f x y , arctg x
y
f x y x y e
Giải:
b/
'
2
1 ,
1
x
x y
x y arctg
x y
y y
'
2
,
1
y
y
x y arctg
x y
y y
f
0 ,
xy
x y
f x y
x y
CMR: 2f 0, 0 2f 0, 0
Giải
Tại các điểm x y, 0, 0 , dùng các quy tắc quen thuộc, ta có:
Trang 5và
2
4 ,
Nói riêng f 0,y y y 0
x
, 0 0
f
x
Các đạo hàm riêng tại 0, 0 được tính bằng định nghĩa:
0
, 0 0, 0
0
x
f x f f
0
0
y
f
Theo định nghĩa của đạo hàm riêng cấp hai thì:
2
0
x
2
0
y