Cách tính tích phân đường loại 1Để tính tích phân đường loại 1 ta thực hiện các bước sau đây: Tham số hóa đường cong L.. Cách tính tích phân đường loại 2Ta tính tích phân đường loại 2 bằ
Trang 1Chương 4
TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT
CBGD Lê Hoài Nhân
Ngày 22 tháng 10 năm 2015
Trang 25 Tích phân mặt loại 2
Định nghĩaCách tínhCông thức Gauss - OstrogradskiCông thức Stokes
Ứng dụng
Trang 3Định nghĩa tích phân đường loại 1
Định nghĩa 1.1 ((5) trang 109)
Cho hàm số f (x, y, z) xác định trên cung L từ A đến B
Chia cung AB thành n cung nhỏ không giẫm lên nhau bởi các điểmchia liên tiếp: A ≡ A0,A1, ,An ≡ B Ký hiệu độ dài cung Ai −1Ai là
∆si
Trang 4Định nghĩa tích phân đường loại 1
Định nghĩa 1.1 ((5) trang 109)
Cho hàm số f (x, y, z) xác định trên cung L từ A đến B
Chia cung AB thành n cung nhỏ không giẫm lên nhau bởi các điểmchia liên tiếp: A ≡ A0,A1, ,An ≡ B Ký hiệu độ dài cung Ai −1Ai là
Trang 5Định nghĩa tích phân đường loại 1
Định nghĩa 1.1 ((5) trang 109)
Cho hàm số f (x, y, z) xác định trên cung L từ A đến B
Chia cung AB thành n cung nhỏ không giẫm lên nhau bởi các điểmchia liên tiếp: A ≡ A0,A1, ,An ≡ B Ký hiệu độ dài cung Ai −1Ai là
Trang 6Định nghĩa tích phân đường loại 1
Định nghĩa 1.1 ((5) trang 109)
Cho hàm số f (x, y, z) xác định trên cung L từ A đến B
Chia cung AB thành n cung nhỏ không giẫm lên nhau bởi các điểmchia liên tiếp: A ≡ A0,A1, ,An ≡ B Ký hiệu độ dài cung Ai −1Ai là
Ký hiệu I =Z f (x, y, z).ds
Trang 7Cách tính tích phân đường loại 1
Để tính tích phân đường loại 1 ta thực hiện các bước sau đây:
Tham số hóa đường cong L Viết phương trình tham số của đườngcong L một cách thích hợp Xác định cận của tham số và tính viphân cung ds
Đưa tích phân đường loại 1 về tích phân xác định Thay các kếtquả gồm x, y, z trong phương trình của L, ds, cận của tham số ởtrên vào một trong các công thức (4.6) - (4.8) trang 111
Tính tích phân xác định.Tính tích phân xác định thu được bên trên
và suy ra đáp số
Trang 8Bảng tóm tắt cách tính tích phân đường loại 1
Trang 9Ví dụ về Tính tích phân đường loại 1 I
Trang 10Ví dụ về Tính tích phân đường loại 1 II
Trang 11Độ dài cung
Công thức 1.1 (trang 110 dòng 12 ↓)
L =Z
Lds
Trang 12
Độ dài cung
Công thức 1.1 (trang 110 dòng 12 ↓)
L =Z
L
ds
Ví dụ 1.1
1 Tính độ dài một nhịp của đường Cycloid x = a.(t − sint),
y = a.(1 − cos t) với t ∈ [0, 2π]
2 Tính độ dài một nhịp của đường lò xo x = a cos t, y = a sin t,
z = b.t với t ∈ [0, 2π]
Trang 13Khối lượng, Moment và tâm khối
Trang 14Khối lượng, Moment và tâm khối
Moment tĩnh của cung L đối với các mặt tọa độ là
Trang 15Khối lượng, Moment và tâm khối
Moment tĩnh của cung L đối với các mặt tọa độ là
Tâm khối của cung L là xc = Myz
m ; yc =
Mxz
m ; zc =
Mxym
Ví dụ 1.2
Trang 16Tọa độ trọng tâm của cung đồng chất
L
yds; zc= 1
LZ
Lzds
Ví dụ 1.3
1 Tìm tọa độ trọng tâm của nửa trên đường tròn tâm O bán kính R
2 Tìm tọa độ trọng tâm của đường đinh ốc
−
→t (t) = a cos t−→i + a sin t−→j + b.t−→k
Trang 17Trường vector
Định nghĩa 2.1 ((2) trang 106)
Trường vector xác định trên miền Ω là một hàm vector −→F (x, y, z)với (x, y, z) ∈ Ω
Trang 19Đường cong tích phân
Định nghĩa Đường cong tích phân của trường vector là đường cong
mà vector tiếp tuyến của nó cùng phương với vector của trường điqua điểm đó
Trang 20Đường cong tích phân
Định nghĩa Đường cong tích phân của trường vector là đường cong
mà vector tiếp tuyến của nó cùng phương với vector của trường điqua điểm đó
Trang 21Trường bảo toàn
Trang 22Trường bảo toàn
Trang 23Trường bảo toàn
Hàm φ(x, y, z) được gọi là hàm thế vịcủa trường bảo toàn −→F
Mặt mức của φ(x, y, z) được gọi làmặt đẳng thế
Trang 24Trường bảo toàn
Hàm φ(x, y, z) được gọi là hàm thế vịcủa trường bảo toàn −→F
Mặt mức của φ(x, y, z) được gọi làmặt đẳng thế
Nếu −→F là trường vector phẳng thì đường mức của hàm thế vị đượcgọi làđường đẳng thế
Trang 25Định nghĩa tích phân đường loại 2
Định nghĩa 3.1 ((6) trang 117)
Cho trường vector −→F xác định trên đường cong L : −→r = −→r (t) với
t ∈ [a, b]
Trang 26Định nghĩa tích phân đường loại 2
Trang 27Định nghĩa tích phân đường loại 2
Trang 28Định nghĩa tích phân đường loại 2
Trang 29Định nghĩa tích phân đường loại 2
Trang 30Định nghĩa tích phân đường loại 2
Nếu −→r = (x, y, z) thì d−→r = (dx, dy, dz)
Trang 31Định nghĩa tích phân đường loại 2
Nếu −→r = (x, y, z) thì d−→r = (dx, dy, dz) và giả sử rằng
−
→F (x, y, z) = (P, Q, R)thì
−
→F d−→r = Pdx + Qdy + Rdz.
Trang 32Định nghĩa tích phân đường loại 2
Nếu −→r = (x, y, z) thì d−→r = (dx, dy, dz) và giả sử rằng
−
→F (x, y, z) = (P, Q, R)thì
−
→F d−→r = Pdx + Qdy + Rdz.
Do đó người ta còn viết tích phân đường loại 2 ở dạng:
I =Z
LPdx + Qdy + Rdz
Trang 33Cách tính tích phân đường loại 2
Ta tính tích phân đường loại 2 bằng cách chuyển về tích phân xác địnhtheo các bước sau:
1 Tham số hóa đường cong L Viết phương trình tham số của L mộtcách thích hợp và suy ra các vi phân dx, dy, dz theo vi phân củatham số Xác định cận của tham số tương ứng với điểm đầu và điểmcuối của L
2 Chuyển tích phân đường loại 2 về tích phân xác đinh Thay x, y,
z trong phương trình của L; các vi phân dx, dy, dz và hai cận củatham số vào tích phân đường
3 Tính tích phân xác định Tính tích phân xác định thu được và suy
Trang 34Bảng tóm tắt cách tính tích phân đường loại 2
Trang 35Ví dụ về Tính tích phân đường loại 2 I
Trang 36Ví dụ về Tính tích phân đường loại 2 II
4 Tính tích phân đường loại hai I =
Z
L
(y2− z2)dx + 2yzdy − x2dztrong đó L là đường cong có phương trình tham số x = t, y = t2,
z = t3
(0 ≤ t ≤ 1) lấy theo chiều tăng của tham số
5 Tìm công sản sinh bởi lực −→F = (x + y)−→i + (x − z)−→j + (z − y)−→k dichuyển vật từ điểm A(1, 0, −1) đến điểm B(0, −2, 3) dọc theo đườngthẳng AB
Trang 37với L là biên của miền D và tích phân đường lấy theo chiều dương.
1 Xác định P(x, y) và Q(x, y) (lần lượt là "hệ số" của dx và dy)
2 Tính hiệu ∂Q
−∂P.
Trang 38(exsin y − ky)dx + (excos y − k)dy
trong các trường hợp sau:
1 L là nửa phía trên của đường tròn x 2
Trang 40Ví dụ về Công thức Green III
5 Tính tích phân
I =I
L
ex
((1 − cos y)dx − (y − sin y)dy)
với L chạy theo chu tuyến dương của miền phẳng 0 ≤ x ≤ π và
0 ≤ y ≤ sin x
6 Tính tích phân
x 2 +y 2
=R 2
e−(x 2 +y 2 ).(cos 2xydx + sin 2xydy )
Trang 45Áp dụng Định lý bốn mệnh đề tương đương để tính tích phân đường loại 2 I
Trang 46Áp dụng Định lý bốn mệnh đề tương đương để tính tích phân đường loại 2 II
2 Mệnh đề 1 Tìm hàm φ(x, y) theo công thức (4.20) và (4.21) trang 127:
φ(x, y ) =
x Z
x 0 P(x, y 0 )dx +
y Z
y 0 Q(x, y)dy + C hoặc
φ(x, y ) =
x Z
x 0 P(x, y)dx +
y Z
y 0 Q( x 0 , y)dy + C trong đó (x 0 , y 0 ) ∈ D Khi đó,
B
Z
A
Pdx + Qdy = φ(B) − φ(A).
Trang 48không phụ thuộc vào đường lấy tích phân Hãy tính tích phân trênvới a, b vừa tìm trong trường hợp L có điểm đầu là O(0, 0) và điểmcuối A(1, 1).
Trang 50Ví dụ 3.1
Dùng tích phân đường loại 2 tìm diện tích hình tròn bán kính R
Trang 51Tính công của lực biên thiên
Công thức 3.2 (trang 117 dòng 5 ↓)
Một lực −→F = P−→i + Q−→j + R−→k là di chuyển chất điểm từ A đến B theoquỹ đạo L có công được tính theo công thức
W =ZL
−
→F d−→r =Z
LPdx + Qdy + Rdz
Trang 52Tính công của lực biên thiên
Công thức 3.2 (trang 117 dòng 5 ↓)
Một lực −→F = P−→i + Q−→j + R−→k là di chuyển chất điểm từ A đến B theoquỹ đạo L có công được tính theo công thức
W =ZL
−
→F d−→r =Z
LPdx + Qdy + Rdz
Ví dụ 3.2
Hãy tính công của lực −→F = −y−→i + x−→j + z−→k là di chuyển chất điểm trêncung lò xo x = cos t, y = sin t, z = t từ điểm ứng với t = 0 đến điểm ứngvới t = 2π
Trang 53Tích phân mặt loại 1
Cho hàm số f (x, y, z) xác định trên mặt cong S trong không gian
Trang 54Tích phân mặt loại 1
Cho hàm số f (x, y, z) xác định trên mặt cong S trong không gian
Chia mặt cong S thành n miền con, ký hiệu các miền con này và diệntích của nó là ∆Si
Trang 55Tích phân mặt loại 1
Cho hàm số f (x, y, z) xác định trên mặt cong S trong không gian
Chia mặt cong S thành n miền con, ký hiệu các miền con này và diệntích của nó là ∆Si
Trên mỗi miền con này ta chọn điểm Mi tùy ý và lập tổng
Trang 56Tích phân mặt loại 1
Cho hàm số f (x, y, z) xác định trên mặt cong S trong không gian
Chia mặt cong S thành n miền con, ký hiệu các miền con này và diệntích của nó là ∆Si
Trên mỗi miền con này ta chọn điểm Mi tùy ý và lập tổng
Trang 57Tích phân mặt loại 1
Cho hàm số f (x, y, z) xác định trên mặt cong S trong không gian
Chia mặt cong S thành n miền con, ký hiệu các miền con này và diệntích của nó là ∆Si
Trên mỗi miền con này ta chọn điểm Mi tùy ý và lập tổng
Trang 65Ứng dụng của tích phân mặt loại 1
Diện tích của mặt cong S được tính theo công thức
Ví dụ 4.4
Trang 66Ứng dụng của tích phân mặt loại 1
Mặt cong S có hàm mật độ khối lượng tại điểm (x, y, z) làδ(x, y , z) thìkhối lượng của mặt là
3 +1) 15
Trang 67Ứng dụng của tích phân mặt loại 1
Bài tập 4.1
Tính diện tích của phần mặt paraboloid x2
+ y2
− z = 0 trong cáctrường hợp sau:
+ y2
Trang 68Ứng dụng của tích phân mặt loại 1
Bài tập 4.4
Tính diện tích của phần mặt x2
− 2z = 0 nằm phía trên tam giác đượcgiới hạn bởi các đường thẳng x =√3, y = 0 và y = x của mặt phẳngOxy
Trang 69Tích phân mặt loại 2
Định nghĩa 5.1 (Mặt định hướng)
Mặt định hướng là mặt cong được trang bị một trường vector pháp tuyếnđơn vị, biến thiên liên tục trên nó
Trang 71= ±RRD
P −∂z
∂x + Q.−∂y∂z+ R dxdy
với dấu "+" tương ứng tích phân lấy theo phía trên của S và dấu "−"tương ứng tích phân lấy theo phía dưới của S
Trang 78trong đó S là biên của miền V và tích phân lấy theo phía ngoài của S.
Trang 79Công thức Gauss - Ostrogradski
Trang 80Công thức Gauss - Ostrogradski
Trang 81Công thức Gauss - Ostrogradski
Trang 82Công thức Gauss - Ostrogradski
Trang 83Công thức Gauss - Ostrogradski
Trang 84Công thức Gauss - Ostrogradski
Trang 88Thông lượng của trường vector
Trang 89HẾT CHƯƠNG 4