Chương 4 tích phân đường và mặt lê hoài nhân

Chương TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT CBGD Lê Hoài Nhân Ngày 22 tháng 10 năm 2015 CBGD Lê Hồi Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶTNgày 22 tháng 10 năm 2015 / 53 Mục lục Tích phân đường loại Định nghĩa Cách tính Ứng dụng Trường vector Tích phân đường loại Định nghĩa Cách tính Cơng thức Green Định lý CBGD Lê Hoài Nhân () Ứng dụng Tích phân mặt loại Định nghĩa Cách tính Ứng dụng Tích phân mặt loại Định nghĩa Cách tính Cơng thức Gauss - Ostrogradski Cơng thức Stokes Ứng dụng TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶTNgày 22 tháng 10 năm 2015 / 53 Định nghĩa tích phân đường loại Định nghĩa 1.1 ((5) trang 109) Cho hàm số f (x, y , z) xác định cung L từ A đến B Chia cung AB thành n cung nhỏ không giẫm lên điểm chia liên tiếp: A ≡ A0 , A1 , , An ≡ B Ký hiệu độ dài cung Ai −1 Ai ∆si CBGD Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶTNgày 22 tháng 10 năm 2015 / 53 Định nghĩa tích phân đường loại Định nghĩa 1.1 ((5) trang 109) Cho hàm số f (x, y , z) xác định cung L từ A đến B Chia cung AB thành n cung nhỏ không giẫm lên điểm chia liên tiếp: A ≡ A0 , A1 , , An ≡ B Ký hiệu độ dài cung Ai −1 Ai ∆si Trên cung Ai −1 Ai chọn điểm Mi tùy ý lập tổng tích phân In = n f (Mi ).∆si i =1 CBGD Lê Hồi Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶTNgày 22 tháng 10 năm 2015 / 53 Định nghĩa tích phân đường loại Định nghĩa 1.1 ((5) trang 109) Cho hàm số f (x, y , z) xác định cung L từ A đến B Chia cung AB thành n cung nhỏ không giẫm lên điểm chia liên tiếp: A ≡ A0 , A1 , , An ≡ B Ký hiệu độ dài cung Ai −1 Ai ∆si Trên cung Ai −1 Ai chọn điểm Mi tùy ý lập tổng tích phân In = n f (Mi ).∆si i =1 Cho n → ∞ cho max ∆si → Nếu In có giới hạn hữu hạn I khơng phụ thuộc chia cung AB cách chọn Mi I gọi tích phân đường loại f cung AB CBGD Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶTNgày 22 tháng 10 năm 2015 / 53 Định nghĩa tích phân đường loại Định nghĩa 1.1 ((5) trang 109) Cho hàm số f (x, y , z) xác định cung L từ A đến B Chia cung AB thành n cung nhỏ không giẫm lên điểm chia liên tiếp: A ≡ A0 , A1 , , An ≡ B Ký hiệu độ dài cung Ai −1 Ai ∆si Trên cung Ai −1 Ai chọn điểm Mi tùy ý lập tổng tích phân In = n f (Mi ).∆si i =1 Cho n → ∞ cho max ∆si → Nếu In có giới hạn hữu hạn I khơng phụ thuộc chia cung AB cách chọn Mi I gọi tích phân đường loại f cung AB Ký hiệu I = f (x, y , z).ds L CBGD Lê Hồi Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶTNgày 22 tháng 10 năm 2015 / 53 Cách tính tích phân đường loại Để tính tích phân đường loại ta thực bước sau đây: Tham số hóa đường cong L Viết phương trình tham số đường cong L cách thích hợp Xác định cận tham số tính vi phân cung ds Đưa tích phân đường loại tích phân xác định Thay kết gồm x, y , z phương trình L, ds, cận tham số vào cơng thức (4.6) - (4.8) trang 111 Tính tích phân xác định.Tính tích phân xác định thu bên suy đáp số CBGD Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶTNgày 22 tháng 10 năm 2015 / 53 Bảng tóm tắt cách tính tích phân đường loại Phương trình tham số y = g (x) x = x(t) y  = y (t)  x = x(t) y = y (t)  z = z(t) CBGD Lê Hoài Nhân () Vi phân cung ds = · · · Biến lấy tích phân Cơng thức áp dụng + g (x)dx x (4.8) x (t) + y (t)dt t (4.7) x (t) + y (t) + z (t)dt t (4.6) TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶTNgày 22 tháng 10 năm 2015 / 53 Ví dụ Tính tích phân đường loại I xds với L phần parabol y = I = x2 từ x = đến x = 2 L I = 2xds với L phần parabol y = x từ (0, 0) đến (1, 1) L I = x ds với L phần tư thứ đường tròn x + y = L 4 (x + y )ds với L cung phần tư thứ đường astroid I = L 2 x + y = a3 I = L x ds với L đường giao tuyến hai mặt phẳng x − y + z = x + y + 2z = từ gốc đến điểm (3, 1, −2) CBGD Lê Hồi Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶTNgày 22 tháng 10 năm 2015 / 53 Ví dụ Tính tích phân đường loại II I = L 2y + z ds với L đường giao tuyến mặt cầu x + y + z = a2 mặt phẳng y = x CBGD Lê Hoài Nhân () Đs: 2πa2 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶTNgày 22 tháng 10 năm 2015 / 53 Tích phân mặt loại Ví dụ 5.2 (y − z)dydz + (z − x)dzdx + (x − y )dxdy với S biên Tính I = S hình nón giới hạn z = S CBGD Lê Hoài Nhân () x + y z = Tích phân lấy theo phía TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT Ngày 22 tháng 10 năm 2015 44 / 53 Tích phân mặt loại Ví dụ 5.2 (y − z)dydz + (z − x)dzdx + (x − y )dxdy với S biên Tính I = S hình nón giới hạn z = S CBGD Lê Hoài Nhân () x + y z = Tích phân lấy theo phía TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT Ngày 22 tháng 10 năm 2015 44 / 53 Tích phân mặt loại Ví dụ 5.2 (y − z)dydz + (z − x)dzdx + (x − y )dxdy với S biên Tính I = S hình nón giới hạn z = ngồi S CBGD Lê Hoài Nhân () x + y z = Tích phân lấy theo phía TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT Ngày 22 tháng 10 năm 2015 44 / 53 Định lý Gauss - Ostrogradski Định lý 5.1 ((8) trang 140) Nếu P, Q, R hàm số liên tục đạo hàm riêng chúng miền hữu hạn V Pdydz + Qdzdx + Rdxdy S = ∂P ∂Q ∂R + + ∂x ∂y ∂z dxdydz V S biên miền V tích phân lấy theo phía ngồi S CBGD Lê Hồi Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT Ngày 22 tháng 10 năm 2015 45 / 53 Công thức Gauss - Ostrogradski Ví dụ 5.3 Tính tích phân I = xydydz + yzdzdx + zxdxdy với S biên hình S chóp giới hạn mặt x = 0, y = 0, z = x + y + z = Tích phân lấy theo phía ngồi S CBGD Lê Hồi Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT Ngày 22 tháng 10 năm 2015 46 / 53 Cơng thức Gauss - Ostrogradski Ví dụ 5.3 Tính tích phân I = xydydz + yzdzdx + zxdxdy với S biên hình S chóp giới hạn mặt x = 0, y = 0, z = x + y + z = Tích phân lấy theo phía ngồi S CBGD Lê Hồi Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT Ngày 22 tháng 10 năm 2015 46 / 53 Cơng thức Gauss - Ostrogradski Ví dụ 5.4 Tính tích phân I = xdydz + ydzdx + zdxdy với S mặt cầu tâm O, S bán kính a Tích phân lấy theo phía ngồi S CBGD Lê Hồi Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT Ngày 22 tháng 10 năm 2015 47 / 53 Công thức Gauss - Ostrogradski Ví dụ 5.5 Tính tích phân I = x dydz + y dzdx + z dxdy với S nửa S mặt cầu x + y + z = a2 , tích phân lấy theo phía S CBGD Lê Hồi Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT Ngày 22 tháng 10 năm 2015 48 / 53 Cơng thức Gauss - Ostrogradski Ví dụ 5.5 Tính tích phân I = x dydz + y dzdx + z dxdy với S nửa S mặt cầu x + y + z = a2 , tích phân lấy theo phía S CBGD Lê Hồi Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT Ngày 22 tháng 10 năm 2015 48 / 53 Cơng thức Gauss - Ostrogradski Ví dụ 5.6 Tính tích phân I = x dydz + y dzdx + z dxdy với S phía ngồi S biên hình lập phương ≤ x ≤ a, ≤ y ≤ a, ≤ z ≤ a CBGD Lê Hồi Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT Ngày 22 tháng 10 năm 2015 49 / 53 Định lý Stokes Định lý 5.2 ((7) trang 139) Nếu P, Q, R hàm số liên tục đạo hàm riêng chúng mặt cong hữu hạn S Pdx + Qdy + Rdz = L S ∂R ∂y − ∂Q ∂z dydz + ∂P ∂z − ∂R ∂x dzdx + ∂Q ∂x − ∂P ∂y dxdy L biên mặt cong S, hướng lấy tích phân mặt chiều lấy tích phân đường tuân thủ quy tắc vặn nút chai CBGD Lê Hồi Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT Ngày 22 tháng 10 năm 2015 50 / 53 Định lý Stokes Ví dụ 5.7 (y + z)dx + (z + x)dy + (x + y )dz với L giao Tính tích phân I = L tuyến mặt cầu x + y + z = a2 mặt phẳng x + y + z = Tích phân lấy ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ chiều dương trục Oz CBGD Lê Hồi Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT Ngày 22 tháng 10 năm 2015 51 / 53 Định lý Stokes Ví dụ 5.7 (y + z)dx + (z + x)dy + (x + y )dz với L giao Tính tích phân I = L tuyến mặt cầu x + y + z = a2 mặt phẳng x + y + z = Tích phân lấy ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ chiều dương trục Oz CBGD Lê Hồi Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT Ngày 22 tháng 10 năm 2015 51 / 53 Thông lượng trường vector Công thức 5.2 ((4.31) trang 135) − → − → − → − → Thông lượng trường vector F = P i + Q j + R k qua mặt định hướng S Pdydz + Qdzdx + Rdxdy φ= S CBGD Lê Hồi Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT Ngày 22 tháng 10 năm 2015 52 / 53 HẾT CHƯƠNG CBGD Lê Hồi Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT Ngày 22 tháng 10 năm 2015 53 / 53 ... gọi tích phân đường loại f cung AB Ký hiệu I = f (x, y , z).ds L CBGD Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶTNgày 22 tháng 10 năm 2015 / 53 Cách tính tích phân đường loại Để tính tích phân. .. CBGD Lê Hoài Nhân () Đs: 2πa2 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶTNgày 22 tháng 10 năm 2015 / 53 Độ dài cung Công thức 1.1 (trang 110 dòng 12 ↓) L= ds L CBGD Lê Hồi Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN... viết tích phân đường loại dạng: Pdx + Qdy + Rdz I = L CBGD Lê Hồi Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT Ngày 22 tháng 10 năm 2015 15 / 53 Cách tính tích phân đường loại Ta tính tích phân đường