Tích phân ll...
Chương Tích phân đường tích phân mặt 7.1 Tích phân đường 233 7.1.1 Tích phân đường hàm số 233 7.1.2 Ý nghĩa tích phân đường loại I 236 7.1.3 Tích phân đường hàm vectơ 237 7.1.4 Ý nghĩa vật lý tích phân đường loại II 239 7.1.5 Định lý Green 240 7.1.6 Tích phân khơng phụ thuộc đường 242 7.2 Tích phân mặt 245 7.2.1 Tích phân mặt hàm số 245 7.2.2 Tích phân mặt hàm vectơ 246 7.2.3 Định lý Ostrogradski 249 7.2.4 Định lý Stokes 251 7.3 Lý thuyết trường 253 7.3.1 Khái niệm trường 253 7.3.2 Gradient luật bảo toàn 255 7.3.3 Phân tán định lý Ostrogradski 256 7.3.4 Xoáy định lý Stokes 257 7.1 Tích phân đường 7.1.1 Tích phân đường hàm số Giả sử C đường cong trơn R2 với điểm đầu A điểm cuối B, f hàm số xác định C Phân hoạch T đường cong C họ hữu hạn điểm đường cong A0 = A, A1 , , An = B , nối tiếp (theo nghĩa khúc AAi phần khúc AAi +1 , với i=1,2, ,n-1) Ký hiệu ∆sk độ dài đoạn cong Ak −1 Ak δT 234 Giải tích hàm nhiều biến đường kính phân hoạch, tức số lớn số ∆sk , k = 1, , n Chọn ck ( xk , yk ) ∈ Ak −1 Ak xét tổng n σT = ∑ f ( xk , yk )∆sk k =1 Nếu tổng σT có giới hạn δT → không phụ thuộc vào việc chọn điểm ck giới hạn gọi tích phân đường hàm f (hay cịn gọi tích phân đường loại I f ) theo C ký hiệu ∫ f ( x, y)ds = lim σT δT →0 C Một số tính chất suy trực tiếp từ định nghĩa: • Nếu tồn ∫ f ( x, y ) ds C • Nếu tồn ∫ ∫ αf ( x, y)ds = α ∫ C f1 ( x, y )ds C ∫ f ( x, y )ds tồn C C C Khi C hợp C1 C2 ∫ f1 ( x, y )ds , C1 ∫ f1 ( x, y )ds tồn tại, C2 ∫ f ( x, y ) ds + ∫ f ( x, y )ds C1 f ( x, y ) ds = C • C2 Việc lấy C = AB hay C = BA khơng ảnh hưởng tới tích phân, nghĩa ∫ f ( x, y )ds = ∫ f ( x, y )ds AB • f1 ( x, y )ds + ∫ f ( x, y )ds C ∫ ∫ ( f1 + f )ds C ∫ ( f1 ( x, y) + f ( x, y))ds = ∫ • f ( x, y )ds với α ∈R C BA ∫ Nếu f ( x, y ) ≥ C f ( x, y )ds ≥ C • ∫ f ( x, y )ds ≤ ∫ f ( x, y ) ds C • C Tồn α ∈ [ inf ( x , y )∈C f ( x, y ), sup f ( x, y )] cho ( x , y )∈C ∫ f ( x, y )ds = αl (C ) , C l (C ) độ dài C Để tính tích phân đường loại I xét phương trình tham số C theo tham số tự nhiên x = x( s ) , y = y ( s ) , ≤ s ≤ l (C ) 235 Chương Tích phân đường tích phân mặt Phân hoạch T C A0 = A, A1 , , An = B sinh phân hoạch tương ứng [0, l (C )] = s0 < s1 < sn = l (C ) Điểm ck ∈ Ak −1 Ak ứng với τk ∈ [ sk −1sk ] Khi n σT = ∑ f ( x( τk ), y (τk ))∆sk k =1 Qua giới hạn tổng δT → ta thu ∫ f ( x, y ) ds = ∫ f ( x( s ), y ( s ))ds C C Nếu C cho phương trình tham số t x = x(t ) , y = y (t ) , a ≤ t ≤ b , ta biết ds = x '2 (t ) + y '2 (t )dt , b ∫ f ( x, y )ds = ∫ f ( x(t ), y (t )) x '2 (t ) + y '2 (t ) dt a C Nhận xét Hoàn toàn tương tự trên, C đường cong không gian cho phương trình tham số x = x(t ) , y = y (t ) , z = z (t ) , a ≤ t ≤ b , tích phân đường hàm f C tính theo cơng thức b ∫ f ( x, y , z )ds = C ∫ f ( x(t ), y (t ), z (t )) x '2 (t ) + y '2 (t ) + z '2 (t )dt a Thí dụ 1) Cho C đoạn parabol y = x A = (0,0) B = (1,1) Tính ∫ xyds C Giải Phương trình tham số C x = t , y = t , ≤ t ≤ Vậy ∫ C xyds = ∫ t + 4t dt = 2) Cho C đường cong không gian x = sin 2t , y = sin t cos t , z = cos t ≤ t ≤ π / Tính ∫ zds C Giải Áp dụng công thức nhận xét ta có π2 ∫ zds = ∫ cos t 4sin t cos t + (cos t − sin t ) + sin tdt C = ∫ + u du = − ln( −1) 2 236 Giải tích hàm nhiều biến 7.1.2 Ý nghĩa tích phân đường loại I Ý nghĩa hình học Giả sử C đường cong phẳng mặt phẳng tọa độ Oxy, f hàm số biến x y, nhận giá trị không âm Khi ấy, ta suy từ định nghĩa tích phân đường f theo C diện tích miền thẳng đứng giới hạn C đường cong không gian xác định sau z f ( x, y) x y {( x, y, f ( x, y )) : ( x, y ) ∈ C} Ý nghĩa học C Hình 7.1 Giả sử C đường cong vật chất với khối lượng riêng điểm m( x, y ) Với phân hoạch T C = AB , cung Ak −1 Ak ta xem khối lượng riêng khơng đổi m( xk , yk ) Khi tổng m ∑ m( xk , yk )∆sk k =1 xấp xỉ khối lượng toàn C Qua giới hạn tổng δT → , ta thu cơng thức tính khối lượng đường cong vật chất C M = ∫ m( x, y )ds C Tương tự ta tính moment theo x y M x = lim δT →0 M y = lim δT →0 n ∑ yk m( xk , yk )∆sk = ∫ ym( x, y)ds , k =1 C n ∑ xk m( xk , yk )∆sk = ∫ xm( x, y)ds , k =1 C moment quán tính J = J x + J y = ∫ ( y + x ) m( x, y )ds C Trọng tâm đường cong vật chất ( x0 , y0 ) tính theo cơng thức x0 = My M , y0 = x M M 237 Chương Tích phân đường tích phân mặt 7.1.3 Tích phân đường hàm vectơ Nếu tổng σT định nghĩa tích phân đường loại I ta thay ∆sk ∆xk ∆yk ta thu hai dạng tích phân đường gọi tích phân đường f theo C x y Cụ thể ∫ n f ( x, y ) dx = lim δT →0 C ∫ ∑ f (uk , vk )∆xk , k =1 n ∑ f (uk , vk )∆yk δ →0 f ( x, y ) dy = lim T C k =1 Những tích phân cịn gọi tích phân đường loại II Khác với ∆sk ln dương, tích phân giá trị ∆xk ∆yk âm, dương, hay 0, phụ thuộc vào việc chọn điểm đầu, điểm cuối đường cong Cho nên người ta viết rõ B ∫ B f ( x, y ) dx A ∫ f ( x, y ) dy A Nếu đường cong C cho phương trình tham số x = x(t ) , y = y (t ) , a ≤ t ≤ b , thỏa mãn giả thiết x(t ), y (t ) liên tục [a,b] hàm f liên tục C, tk ∫ ∆xk = xk − xk −1 = x(tk ) − x(tk −1 ) = x '(t )dt , tk −1 tk ∆yk = yk − yk −1 = y (tk ) − y (tk −1 ) = ∫ y '(t ) dt , tk −1 nên sau qua giới hạn tổng tích phân ta có cơng thức b ∫ f ( x, y ) dx = ∫ f ( x(t ), y (t )) x '(t )dt , a b C ∫ f ( x, y ) dy = ∫ f ( x(t ), y (t )) y '(t ) dt a C Trong ứng dụng, tích phân đường loại II thường xuất dạng tích phân đường hàm vectơ ( f , g ) sau ∫ f ( x, y )dx + g ( x, y )dy C Nếu C đường cong không gian tích phân đường hàm ba biến theo C x, y, z định nghĩa tương tự, ta có cơng thức tính tương ứng C cho phương trình tham số 238 Giải tích hàm nhiều biến Thí dụ 1) Tính ∫ xydx + x dy với C cho phương trình C y = 3t − 2t , ≤ t ≤ / x = 3t −1 , Giải Vì dx = 3dt , dy = (6t − 2) dt nên ta có 5/3 ∫ xydx + x dy = C 2) Tính ∫ 5/3 (3t −1)(3t − 2t )3dt + ∫ (3t −1) (6t − 2)dt = 58 ∫ yzdx + xzdy + xydz với C cho công thức C y = x2 , z = x3 , ≤ x ≤ Giải Bằng cách đặt x = t ta có phương trình tham số C x=t , y = t2, z = t3, ≤ t ≤ Do ∫ yzdx + xzdy + xydz = ∫ (t t dt + t.t 2tdt + t.t 3t dt ) = ∫ 6t dt = 64 3 C Chú ý Khi C đường cong đóng kín, tức điểm đầu trùng với điểm cuối, tích phân đường loại I không phụ thuộc A vào việc lựa chọn điểm Tuy nhiên tích phân đường loại II ta phải xác định hướng (thông thường, mặt phẳng, người ta quy định hướng dương hướng theo phần mặt phẳng giới hạn đường cong ln nằm phía bên trái, hướng ngược lại hướng âm) B Hình 7.2 Khi xác định hướng rồi, lấy A, B điểm khác C, ta có B ∫ C f ( x, y ) dx = ∫ A f ( x, y ) dx + A ∫ f ( x, y ) dx , B tích phân khơng phụ thuộc vào việc chọn A hay B điểm đầu Tích phân cịn viết ∫ f ( x, y)dx , C chọn hướng dương C, −∫ f ( x, y )dx , C trái lại 239 Chương Tích phân đường tích phân mặt Thí dụ Tính ∫C ydx − xdy với C cạnh tam giác đỉnh (0,0), (1,0), (0,1) Giải Tính trực tiếp ta có (1,0) ∫C ydx − xdy = ∫ (0,1) ( ydx − xdy ) + (0,0) ∫ (0,0) ( ydx − xdy ) + (1,0) ∫ ( ydx − xdy ) = −1 (0,1) (Vì đoạn [(0,0), (1,0)] ta có y = 0, dy = 0, đoạn [(0,1),(0,0)] ta có x = 0, dx = 0) Nhận xét Giả thiết C cho phương trình tham số tự nhiên x = x( s ) , y = y( s) , ≤ s ≤ , với x(s), y(s) hàm trơn Khi ∫ f ( x, y ) dx = C ∫ f ( x( s ), y ( s )) x '( s )ds C Đây cơng thức cho mối liên hệ tích phân đường loại I loại II 7.1.4 Ý nghĩa vật lý tích phân đường loại II Giả thiết mặt phẳng R2 ta có trường lực, tức điểm ( x, y ) ∈ R2 có lực tác động F ( x, y ) = ( f ( x, y ), g ( x, y )) Hãy tính cơng điểm vật chất khối lượng đơn vị di chuyển theo đường cong C = AB R2 Trước hết ta nhớ công sinh lực P điểm vật chất di chuyển đoạn thẳng Q1Q2 W = P Q1Q2 Như vậy, dùng phân hoạch T C A0 = A, A1 , , An = B cơng sinh điểm vật chất di chuyển cung nhỏ Ak −1 Ak xấp xỉ ∆Ak = F (uk , vk ).(∆xk , ∆yk ) = f (uk , vk )∆xk + g (uk , vk )∆yk (uk , vk ) ∈ Ak −1 Ak n ∑ ∆Wk δ →0 Theo định nghĩa công sinh F dọc theo G W = lim T k =1 Vậy cơng thức tính cơng W cho tích phân đường hàm vectơ F W = ∫ f ( x, y ) dx + g ( x, y )dy C Đối với trường hợp lực khơng gian việc tính tốn hồn tồn tương tự 240 Giải tích hàm nhiều biến y Thí dụ Cho trường lực F ( x, y, z ) = ( x , , z3 ) với r = x + y + z Tính r r r cơng sinh dọc theo đoạn [(1,0,0), (2,0,0)] Giải Bằng cách tính trực tiếp ta có (2,0,0) W= y x z 1 ∫ ( r dx + r dy + r dz ) = ∫ x2 dx = (1,0,0) (Chú ý: Trên đoạn [(1,0,0),(2,0,0)] ta có y = 0, dy = 0, z = 0, dz = 0) 7.1.5 Định lý Green Trong nhận xét Mục 7.1.3 có cơng thức liên hệ tích phân đường loại Định lý Green cho công thức liên hệ tích phân kép ∂f ∂f tích phân đường Để ngắn gọn, đôi lúc ta viết f , , thay viết rõ giá trị ∂x ∂y tương ứng (x,y) Nhắc lại đường cong C gọi trơn khúc ánh xạ xác định trơn khúc Định lý Giả thiết C đường cong phẳng kín, đơn trơn khúc, U miền bao gồm C phần C bao bọc Khi f g hàm khả vi liên tục miền mở chứa U ∂g ∂f ∫ ( fdx + gdy) = ∫∫ ∂x − ∂y dxdy B2 C U B1 Chứng minh Chúng ta chứng minh công thức cho trường hợp U có dạng đơn giản Đối với trường hợp tổng quát nêu ý tưởng khơng vào chi tiết kỹ thuật ϕ1 , ϕ2 liên tục [a, b] ∂f ∫∫ ∂y dxdy U = ϕ2 ( x ) ∫ dx ∫ b ϕ1 ( x ) a b Hình 7.3 Khi a A2 A1 a) Giả thiết U := { a ≤ x ≤ b , ϕ1 ( x) ≤ y ≤ ϕ2 ( x) }, ∂f dy = ∂y b ∫ ( f ( x, ϕ2 ( x)) − f ( x, ϕ1 ( x)))dx a 241 Chương Tích phân đường tích phân mặt ∫ A2 B2 B1 A1 A2 B2 fdx = ∫ fdx + ∫ fdx + ∫ fdx + C b y A1 ∫ fdx β B1 a = ∫ f ( x, ϕ1 ( x))dx + ∫ f ( x, ϕ2 ( x))dx a b Từ suy α ∫ fdx = −∫∫ C U ∂f dxdy ∂y x Hinh 7.4 b) Tương tự, U:= { α ≤ y ≤ β , ϕ1 ( y ) ≤ x ≤ ϕ2 ( y ) }, ∂f ∫ gdy = ∫∫ ∂x dxdy C U Tóm lại miền U có dạng đơn giản nêu ta có cơng thức Green định lý c) Đối với miền U mà chia thành miền có dạng nêu cơng thức Green tích phân kép vế B2 phải hợp tích phân kép miền nhỏ, cịn tích phân đường vế trái chứa đường biên U (trên đoạn đường phụ bên B1B2 hình vẽ, tích phân tính hai lần, B1 lần từ A đến B lần từ B đến A, nên chúng Hình 7.5 triệt tiêu nhau) d) Đối với miền U tổng quát hơn, người ta cố định điểm A C xét phân hoạch T: A0 = A, A1 , , An = A (theo hướng dương) Ký hiệu CT đường gấp khúc với đỉnh A0 , , An UT miền bao đường gấp khúc Miền UT có dạng xét phần trên, ta có cơng thức Green ∂g ∂f ∫ ( fdx + gdy) = ∫∫ ( ∂x − ∂y )dxdy CT UT Nhận xét độ dài cung Ak −1 Ak dần tới ∫ ( fdx + gdy) CT ∂g ∂f ∫ ( fdx + gdy) , ∫∫ ( ∂x − ∂y )dxdy C ∫∫ U dần tới UT ∂g ∂f ( − ) dxdy Do vậy, ta có cơng thức ∂x ∂y Green nêu định lý C2 B2 C1 B1 Hình 7.6 dần tới 242 Giải tích hàm nhiều biến Nhận xét Định lý Green áp dụng cho miền có “lỗ hổng” với lưu ý lấy tích phân đường theo biên với hướng dương Thí dụ hình vẽ bên ∂g ∂f ∫∫ ( ∂x − ∂y )dxdy = ∫ ( fdx + gdy) + ∫ ( fdx + gdy) U C1 C2 Muốn chứng minh công thức cần tách U thành miền bao C1, C2 đoạn B1B2 Tích phân đường dọc theo B1B2 tham gia hai lần, lần từ B1 đến B2 lần từ B2 đến B1 , nên triệt tiêu Đối với miền có nhiều lỗ hổng, cách chứng minh hồn tồn tương tự Thí dụ 1) Tính ∫ (e x2 + y )dx + ( x + tan y ) dy với C biên hình chữ nhật đỉnh (1,2), C (5,2), (5,4), (1,4) Giải Việc tính trực tiếp tích phân khơng đơn giản Nếu ta áp dụng cơng thức Green tích phân ∫∫ (2 x −1) dxdy = ∫ M ∫ (2 x −1)dxdy = 40 2) Chứng minh diện tích miền M bao đường cong C tính cơng thức S ( M ) = ∫ xdy = −∫ ydx áp dụng cho tính diện tích hình ellip C C x = a cos t , y = b sin t , ≤ t ≤ 2π Giải Trong công thức Green, lấy f ( x, y ) = 0, g ( x, y ) = x , ta có ∫ xdy = ∫∫ dxdy = S (M ) C M lấy f ( x, y ) = − y, g ( x, y ) = , ta có −∫ ydx = ∫∫ dxdy = S ( M ) C M Từ hai công thức ta thu dược S ( M ) = ∫ ( xdy − ydx) C Áp dụng cho hình ellip ta có 2π S ( M ) = ∫ ( xdy − ydx) = ab ∫ (cos t + sin t )dt = πab 2 C 7.1.6 Tích phân khơng phụ thuộc đường Giả thiết A B hai điểm miền mở U liên thông đường theo nghĩa hai điểm miền nối với đường cong trơn 244 Giải tích hàm nhiều biến Chứng tỏ tích phân khơng phụ thuộc vào đường Nếu C trơn khúc, tách tích phân thành khúc ta có kết Chú ý 1) Nếu f g có đạo hàm riêng liên tục tích phân khơng phụ thuộc đường ∂f ∂g (= ∂ F ) = ∂x∂y ∂y ∂x Điều ngược lại U miền đơn liên (tức miền giới hạn đường cong kín bất kỳ) 2) Điều kiện tích phân khơng phụ thuộc đường điều kiện tích phân theo đường cong kín Xét khía cạnh vật lý, trường ( f , g ) bảo tồn có hàm F (tức F ' = ( f , g ) ) cơng sinh di chuyển hạt vật chất theo đường cong đóng (khi khơng có ma sát) Đây hệ định luật bảo tồn lượng 3) Định lý mở rộng cho tích phân đường khơng gian cách dễ dàng Thí dụ B 1) Chứng minh ∫x ydx + xy dy phụ thuộc vào đường lấy tích phân A ∂f ∂g ∂f ∂ g , nên tích phân ≠ = x = y Chứng tỏ ∂y ∂x ∂y ∂x không phụ thuộc đường Giải Từ Chú ý 1) ta có 2) Kiểm tra xem tích phân ∫y cos xdx + (2 y sin x + e z )dy + ye2 z dz có phụ C thuộc đường hay không Giải Giả sử tồn F để F ( x, y,z ) = ( y cos x, y sin x + e2 z , ye2 z ) Khi F ( x, y,z ) = y sin x + G ( y, z ) , với hàm G đó, ∂F = y cos x Tiếp ∂x ∂F = y sin x + e z , ta tìm G ( y, z ) = ye z + H ( z ) Tương tự, theo, ∂y ∂F = ye x , ta thấy H ( z ) = α (hằng số) Vậy, F ( x, y,z ) = y sin x + ye z + α ∂z thỏa mãn yêu cầu Chứng tỏ tích phân khơng phụ thuộc đường 245 Chương Tích phân đường tích phân mặt 7.2 Tích phân mặt 7.2.1 Tích phân mặt hàm số Cũng tích phân đường, xây dựng tích phân kép mặt cong thay tích phân mặt phẳng Giả sử S mặt cong trơn, T phân hoạch S đường cong trơn khúc bao gồm mảnh S1 , S2 , , S n Gọi δT đường kính phân hoạch tức đường kính lớn đường kính cầu nhỏ chứa S k , k = 1, , n ∆S k diện tích S k Chọn Bk = (α k , βk , γ k ) ∈ Sk , k = 1, 2, , n Giả sử f hàm số xác định S Ta thiết lập tổng n σT = ∑ f ( Bk ) ∆Sk (*) k =1 Nếu tổng σT có giới hạn δT → không phụ thuộc vào việc chọn Bk ∈ Sk , giới hạn gọi tích phân mặt (loại I) f S ký hiệu ∫∫ n ∑ f ( Bk )∆Sk δ →0 f ( x, y, z )dS = lim T S k =1 Để tính tích phân mặt loại I ta xét phương trình tham số S x = x(u , v) , y = y (u , v) , z = z (u , v) , (u , v) ∈ U ⊆ R2 , U miền đóng giới nội Giả thiết f liên tục Phân hoạch T S tương ứng với phân hoạch T’ U thành miền M , , M n Theo cơng thức tính diện tích mặt biết ∆Sk = ∫∫ EG − F dudv , Mk E = ∂X ∂u , F = ∂X ∂ X , G = ∂X ∂v ∂u ∂ v Thay công thức vào tổng (*) qua giới hạn δT → ta có ∫∫ f ( x, y , z )dS = ∫∫ f ( x(u , v), y (u , v), z (u , v)) EG − F dudv S (**) M Tích phân mặt loại I có tính chất tương tự tích phân đường loại I suy trực tiếp từ định nghĩa Thí dụ Tính ∫∫ zdS S nửa mặt cầu x + y + z = 1, z ≥ S Giải Phương trình tham số S 246 Giải tích hàm nhiều biến x=u , z = − (u + v ) , u + v ≤ y=v, Các hệ số Gauss mặt cong (xem Chương 6) E = (1,0, − u − (u + v ) ) = G = (0,1, − v − (u + v ) uv , − (u + v ) Thay vào cơng thức (**) ta có F= ) = 1− u , − (u + v ) EG − F = z ∫∫ zdS = ∫∫ S 1− v2 , − (u + v ) dS = π u +v ≤1 Ý nghĩa học tích phân mặt Nếu xem S mặt vật chất với khối lượng riêng điểm (x,y,z) ρ( x, y , z ) , đại lượng ρ( Bk ) ∆S k khối lượng mảnh S k xem khối lượng riêng không đổi ρ( Bk ) S k Giới hạn tổng n ∑ ρ( Bk )∆Sk k =1 δT → gọi khối lượng mặt S Các khái niệm moment, moment quán tính, trọng tâm định nghĩa tương tự trường hợp đường cong 7.2.2 Tích phân mặt hàm vectơ Giả sử S mặt cong trơn Tại điểm P ∈ S ta có hai vectơ pháp tuyến đơn vị đối chiều n+ n− Khi P di chuyển theo đường cong kín, đơn S n+ di chuyển cách liên tục về n− Nếu với điểm B bất kỳ, sau di chuyển theo đường cong kín, đơn mà n+ lại trở ta nói S mặt cong hai phía Trong trường hợp ngược lại, S gọi mặt cong phía Lá Moebius hình vẽ bên thí dụ mặt cong phía Hình 7.8 Giả sử S mặt cong hai phía điểm vectơ pháp tuyến n+ (hoặc n− ) chọn Khi ta nói S định hướng Dưới ta xét mặt cong hai phía Trên mặt cong S định hướng, có đường cong kín C hướng mặt cong sinh hướng đường cong theo nguyên tắc “vặn nút chai”, hướng dương đường cong C hướng mà theo (thân đứng theo hướng Chương Tích phân đường tích phân mặt 247 mặt cong) ta thấy mặt cong phía bên tay trái Ngược lại, C định hướng hướng S xác định cho phù hợp với quy tắc Đối với mặt trơn mảnh, việc định hướng tiến hành mảnh mặt cong cho hướng đường tiếp giáp có chiều ngược Đối với mặt cong đóng kín (như mặt cầu) người ta sử dụng định hướng định hướng vào Bây giả sử S mặt cong trơn định hướng F = ( f , g , h) hàm vectơ S Chúng ta giữ nguyên ký hiệu phân hoạch T S trước: S1 , , S n mảnh con, δT đường kính phân hoạch, Bk ∈ S k , k = 1, , n Thay tổng (*) ta xét tổng n xy σT = ∑ h( Bk )∆S kxy , (***) k =1 ∆Skxy có giá trị tuyệt đối diện tích hình chiếu S k xuống mặt phẳng tọa độ Oxy với dấu (+) hướng đường cong bao quanh S k chiếu xuống Oxy có chiều quay dương mặt Oxy (ngược kim đồng hồ hình vẽ) dấu (−) ngược lại xy Nếu tổng σT có giới hạn δT → không phụ thuộc vào việc chọn Bk ∈ S k , giới hạn gọi tích phân mặt (loại II) h S theo ( x, y ) ký hiệu ∫∫ h( x, y, z )dxdy = δlim0 σT → xy T S Đối với f g ta có tích phân Hình 7.9 tương tự (chú ý: Chiều quay dương mặt Ozx từ Oz đến Ox, chiều quay dương mặt Oyz từ Oy đến Oz) Tích phân mặt hàm vectơ F S (hay cịn gọi tích phân mặt loại II) đại lượng ∫∫ fdydz + gdzdx + hdxdy S Để tính tích phân mặt hàm vectơ xét trường hợp S cho phương trình tham số x = x(u , v) , y = y (u , v) , z = z (u , v) , (u , v) ∈ U , U miền đóng giới nội R2 Nhớ lại cơng thức tính diện tích hình chiếu mảnh cong S k xuống mặt phẳng Oxy ∆Skxy = ∫∫ cos γ dS , Sk 248 Giải tích hàm nhiều biến cos γ = C A + B2 + C thành phần thứ vectơ pháp tuyến đơn vị S (γ góc tạo nên pháp tuyến mặt S k với trục Oz) Nếu mảnh S k đại lượng C dương xy xy cos γ > , ∆S k lấy dấu (+) Trái lại ∆S k lấy dấu trừ Như xy ∆S k = ∫∫ cos γdS Sk Theo định lý giá trị trung bình tìm điểm γ k (góc pháp tuyến điểm Bk ∈ Sk trục Oz) cho ∆Skxy = cos γ k ∆S k Thay công thức vào tổng (***) lưu ý giới hạn tổng không phụ thuộc vào việc chọn điểm Bk nên ∫∫ h( x, y, z )dxdy = ∫∫ h( x, y, z ) cos γdS S S Tương tự hàm f g, ta thu ∫∫ fdydz + gdzdz + hdxdy = ∫∫ ( f cos γ1 + g cos γ + h cos γ3 )dS = ∫∫ < F , n+ > dS S S S Kết hợp với cơng thức tính tích phân mặt hàm số mặt cho phương trình tham số ta có ∫∫ < F , n+ > dS = ∫∫ < F ( x(u, v), y(u, v), z (u, v)), n+ (u, v) > S EG − F dudv M = ∫∫ ( f A + g B + h.C ) dudv M Chú ý 1) Nếu S định hướng n− cơng thức vế phải lấy dầu trừ 2) Nếu S mặt trơn mảnh phải xét tích phân mảnh cộng lại ý nghĩa vật lý tích phân mặt loại II Giả sử dòng chất lỏng với mật độ chịu tác động trường ϕ( x, y, z ) lực G = ( g1 , g , g3 ) Hàm vectơ F = ϕG gọi trường lực dòng Lượng dòng chảy qua mặt S đơn vị thời gian gọi lưu thông tính ∫∫ < F , n > dS S Đây tích phân mặt loại II F S Hình 7.10 249 Chương Tích phân đường tích phân mặt Thí dụ Tính tích phân hàm vectơ F ( x, y, z ) = ( y, −x, z ) mặt paraboloid z = x2 + y2 , ≤ z ≤1 Giải Phương trình tham số mặt cong x=u , z = u + v2 , ≤ u + v2 ≤1 y=v, Ta tính A = −2u , B = −2v, C = suy ∫∫ < F , n+ > dS S ∫∫ = (v(−2u ) − u (−2v) + (u + v ) )dudv = u +v ≤1 ∫∫ = (u + v ) dudv = π u +v ≤1 (chú ý: mặt định hướng vào trong) 7.2.3 Định lý Ostrogradski Định lý Green cho ta công thức liên hệ tích phân kép tích phân đường Định lý Ostrogradski cho cơng thức liên hệ tích phân mặt với tích phân bội ba Định lý Giả thiết S mặt trơn mảnh, kín, bao quanh miền V R3 định hướng Nếu hàm vectơ F = ( f , g , h) khả vi liên tục miền mở chứa V ∂f ∂g h ∫∫ fdydz + gdzx + hdxdy = ∫∫∫ ( ∂x + ∂y + ∂z )dxdydz S V Chứng minh Trước hết xét trường hợp V hình trụ đáy S1 cho z = ϕ( x, y ) đáy S2 cho z = ψ ( x, y ) ; mặt bên S3 có hình chiếu xuống Oxy đường cong C kín, trơn khúc bao miền U Ta có ∫∫∫ V ∂h dxdydz = ∫∫ dxdy ∂z U ψ ( x, y ) ∫ ϕ( x , y ) Hình 7.11 ∂h dz = ∫∫ [h( x, y, ψ( x, y) − h( x, y, ϕ( x, y)]dxdy ∂z U ∫∫ hdxdy = ∫∫ hdxdy + ∫∫ hdxdy + ∫∫ hdxdy S S1 S2 S3 = −∫∫ h( x, y , ϕ( x, y ))dxdy + ∫∫ h( x, y, ψ ( x, y ))dxdy U U 250 Giải tích hàm nhiều biến Từ hai đẳng thức ta có ∂h ∫∫ hdxdy = ∫∫∫ ∂z dxdydz S V Thay đổi vai trò biến hàm f, g ta có công thức tương tự cho miền dạng xét Tổng chúng cơng thức Ostrogradski Đối với miền tổng quát nêu định lý, kỹ thuật chứng minh hoàn toàn tương tự cách chứng minh định lý Green Giả sử V miền mở R3 Ta nói V đơn liên vùng bao mặt cong kín, đơn, trơn mảnh V nằm trọn V Hệ Giả thiết V miền đơn liên R3 F hàm vectơ khả vi liên tục V Khi tích phân F theo mặt cong kín, trơn mảnh V ∂f ∂g ∂h + + =0 ∂x ∂y ∂z V Chứng minh Điều kiện đủ suy từ định lý Ostrogradski Để chứng minh điều kiện cần, giả sử có điểm P0 mà ∂f ∂g ∂h + + >0 ∂x ∂y ∂z (trường hợp < chứng minh tương tự) Do tính liên tục, giả thiết bất đẳng thức với điểm cầu V0 tâm P0, bán kính δ > Gọi S0 mặt cầu Theo định lý giá trị trung bình ta có bất đẳng thức ∂f ∂g ∂h ∫∫∫ ( ∂x + ∂y + ∂z )dxdydz > V0 Thế theo định lý Ostrogradski điều kiện đủ, ta lại có ∂f ∂g ∂h ∫∫∫ ( ∂x + ∂y + ∂z )dxdydz = ∫∫ < F , n+ > dS = V0 S0 Điều vô lý Hệ chứng minh xong Thí dụ Tính ∫∫ xdydz + ydzdx + zdxdy biết mặt cong S bao miền V S tích vol(V) Giải Áp dụng cơng thức Ostrogradski ta có ∫∫ xdydz + ydzdx + zdxdy = ∫∫∫ (1 + + 1)dxdydz = 3vol(V ) S V Chương Tích phân đường tích phân mặt 251 7.2.4 Định lý Stokes Định lý Stokes mở rộng định lý Green cho đường cong kín khơng gian Định lý Giả thiết S mặt cong trơn đơn, bao đường cong kín, đơn C định hướng, F = ( f , g , h) hàm vectơ miền mở chứa S Khi ∫ fdx + gdy + hdz = ∫∫ ( C S ∂g ∂f ∂g ∂f − )dxdy + ( ∂h − )dydz + ( − ∂h )dzdx ∂x ∂y ∂y ∂ z ∂z ∂x Chứng minh Trước tiên chứng minh đẳng thức sau ∫ fdx = ∫∫ C S ∂f ∂f dzdx − dxdy ∂z ∂y Để ý rằng, phương trình tham số mặt cong S, hai biến (u , v) ∈ U ⊆ R2 U miền đóng, giới nội, có biên CU trơn khúc (lưu ý chiều CU xác định chiều C phù hợp với hướng S) Bằng cách tham số hóa CU C tham số hóa theo, ta suy cơng thức ∫ C fdx = ∫ f ( ∂x du + ∂x dv) ∂u ∂v CU Áp dụng công thức Green cho tích phân theo đường cong phẳng CU vế phải công thức đổi biến, ta thu ∂x ∂x ∂ ∂x ∂ ∂x ∫ f ( ∂u du + ∂v dv) = ∫∫ [ ∂u ( f ∂v ) − ∂v ( f ∂u )]dudv = CU U = ∫∫ { U ∂f ∂f ∂f ∂f B − C}dudv = ∫∫ dzdx − dxdy ∂z ∂y ∂z ∂y S Như (1) Tương tự, ta chứng minh cơng thức cho g,h, sau lấy tổng thu công thức Stokes Chú ý Đối với mặt cong trơn mảnh định lý Stokes Để chứng minh cần áp dụng công thức cho mảnh lấy tổng chúng Thí dụ Hãy kiểm tra công thức Stokes cho hàm vectơ F ( x, y , z ) = ( z − y , x + z , − x − y ) mặt paraboloid z = − x − y mặt z = Giải Biên mặt cong đường tròn x + y = có phương trình tham số x = 2cos α , y = 2sin α , ≤ α ≤ 2π 252 Giải tích hàm nhiều biến 2π Do ∫ FdC = ∫ ( z − y)dx + ( x + z )dy − ( x + y)dz = ∫ 4d α = 8π S ∂g C ∂f , ∂h ∂g ∂f ∂h ∫∫ ( ∂x − ∂y )dxdy + ( ∂y − ∂z )dydz + ( ∂z − ∂x )dzdx = S = ∫∫ (1 + 1)dxdy + (−1 −1)dydz + (1 + 1)dzdx = S = ∫∫ dxdy + dydz + dzdx = ∫∫ (−4 x + y + 2)dxdy = 8π , S U A = x, B = y, C = Đúng công thức Stokes Để rút hệ khơng phụ thuộc tích phân đường khơng gian vào đường lấy tích phân ta gọi miền V ⊆ R3 miền đơn liên mặt với đường cong kín, trơn khúc C ⊆ V tìm mặt cong trơn mảnh nhận C làm biên Khối hình xuyến thí dụ miền không đơn liên mặt Hệ Giả thiết V miền đơn liên mặt hàm f, g, h liên tục với đạo hàm riêng ∂f ∂f ∂g ∂g ∂h ∂h , , Khi tính chất sau tương , , , ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y đương: (i) Với đường cong kín, trơn khúc nằm trọn V, đẳng thức sau nghiệm ∫ fdx + gdy + hdz = ; C (ii) Tích phân ∫ fdx + gdy + hdz không phụ thuộc vào đường cong C nối hai C điểm A, B V; (iii) Biểu thức fdx + gdy + hdz vi phân toàn phần hàm V; (iv) ∂f ∂g ∂h ∂g ∂f = ∂h = , , = ∂y ∂x ∂y ∂z ∂z ∂x Chứng minh Sự tương đương (iv) với (i) (ii) suy từ định lý Stokes Sự tương đương (iv) (iii) chứng minh tương tự hệ định lý Green mặt phẳng Chương Tích phân đường tích phân mặt 253 7.3 Lý thuyết trường 7.3.1 Khái niệm trường Trường Giả sử U miền không gian R3 điểm p ∈ U gán đại lượng vô hướng f ( p) ∈ R (hoặc đại lượng vectơ F ( p) ∈ R3 ) Khi ta nói U có trường vơ hướng f (tương ứng, trường vectơ F) Như vậy, trường vô hướng hàm số trường vectơ hàm vectơ xác định miền cho Nếu U miền mặt phẳng R2 trường vơ hướng trường vectơ (phẳng) U định nghĩa tương tự Thí dụ 1) Trong vùng không gian V, ký hiệu T ( p, t ) nhiệt độ W ( p, t ) vectơ tốc độ gió đo điểm p ∈ V thời điểm t Khi ấy, với t cố định, trường nhiệt độ T ( p, t ) trường vô hướng, cịn trường gió W ( p, t ) trường vectơ V 2) Giả sử hạt vật chất khối lượng m0 đặt gốc tọa độ Khi theo định luật Newton, lực hút tác động lên hạt vật chất khối lượng m đặt p( x, y, z ) cho công thức gm m F ( x, y , z ) = − r , r g số hấp dẫn, r vectơ định vị p với tọa độ x,y,z Đây trường vectơ gọi trường lực hấp dẫn 3) Giả sử điện tích q đặt gốc tọa độ Khi xung quanh có trường điện f ( x, y , z ) = q r Đây trường vô hướng Các khái niệm liên quan Giả sử f trường vô hướng miền U ⊆ R3 Chúng ta giả thiết f khả vi đạo hàm khác không miền U Khi với số c, phương trình f ( x, y , z ) = c 254 Giải tích hàm nhiều biến xác định mặt cong gọi mặt mức hay mặt đẳng trị (vì giá trị f mặt không đổi) Hiển nhiên mặt mức khác khơng giao chúng phủ kín miền U Thí dụ Trong trường điện (ở phần thứ thí dụ trên), với số c, mặt đẳng trị f ( x, y, z ) = c mặt cầu x + y + z = (q / c) gọi mặt đẳng Trong phần tiếp theo, ta ký hiệu i, j, k vectơ đơn vị trục tọa độ Ox, Oy, Oz Trường vectơ F viết dạng F = F xi + F y j + F zk , F x , F y , F z tọa độ F Cho F trường vectơ U Đường cong C gọi đường dòng F tiếp tuyến đường cong điểm p ∈ C có hướng trùng với hướng F ( p) Mặt cong S gọi mặt dòng S bao gồm đường dòng điểm p ∈ S , vectơ F ( p ) nằm mặt phẳng tiếp tuyến với S p Nếu đường cong C cho phương trình tham số x = x(t ) , y = y (t ) , z = z (t ) , hướng tiếp tuyến C ( x '(t ), y '(t ), z '(t )) , phương trình đường dịng C dx = dy = dz Fx Fy Fz Nhận xét Nếu trường vectơ F khác điểm p ∈ U có đường dịng qua Hơn nữa, đường dịng khơng cắt Ngoài ra, C0 đường cong trơn qua điểm C0 có đường dịng qua, tập tất đường dòng tạo thành mặt dịng Nếu C0 đường kín, mặt dịng trở thành ống dịng Thí dụ Trong trường hấp dẫn (phần thứ thí dụ đầu tiên), ta có phương trình đường dịng dx α0 x r −1 = dy α0 y r −1 = dz α0 z r −1 , α số −gm0 m Phương trình tương đương với dx = dy = dz x = α t , y = α t , z = α t x y z Đây đường thẳng qua điểm đặt hạt vật chất Chương Tích phân đường tích phân mặt 255 7.3.2 Gradient luật bảo tồn Gradient Cho trường vơ hướng f miền U ⊆ R3 Khi gradient f ∂f ∂f ∂f ∇f = , , ∂ x ∂ y ∂z (hay ký hiệu gradf ) trường vectơ U Một số tính chất trường vectơ biết Chương 1) Đạo hàm theo hướng v f tính theo cơng thức ∂f =< grad f , v0 > ∂v v0 = (cos α,cos β,cos γ ) vectơ đơn vị hướng v với góc hướng α, β, γ 2) Giá trị lớn đạo hàm theo hướng ∂f đạt v0 trùng với hướng ∂v gradf, ∂f 2 ∂f 2 ∂f 2 grad f = + + ∂x ∂y ∂z 3) Gradient f p có hướng với vectơ pháp tuyến n+ mặt mức qua p (tại điểm p) Thật vậy, phương trình mặt mức qua p f ( x, y, z ) = c , với c = f ( p) Vectơ pháp tuyến p (xem thí dụ mục đường cong mặt cong) ∂f ( p) ∂f ( p ) ∂f ( p) n+ = ∂ x , ∂ y , ∂z trùng với gradf Thí dụ Biết trường nhiệt thời điểm t cố định cho công thức T = 100 x + y2 + z Hãy tìm giá trị trường vectơ tốc độ thay đổi nhiệt p = (1,3, −2) T thay đổi nhanh theo hướng nào? Giải Ta tính gradient T 256 Giải tích hàm nhiều biến −200 y grad T = −200 x 2 , , −200 z 2 ( x + y + z ) ( x + y + z )2 ( x + y + z ) Đây trường vectơ tốc độ thay đổi nhiệt Tại p = (1,3, −2) ta có grad T ( p ) = − 200 ( i + j − 2k ) 196 Theo 2), T thay đổi nhanh theo hướng gradient tức hướng (−i − j + 2k ) Luật bảo toàn Cho F trưòng vectơ miền U ⊆ R3 Nếu tồn hàm f khả vi U cho F = grad f người ta gọi F trường bảo toàn gọi -f hàm Trong Vật lý học, trường vectơ thường xem trường lực Nếu chất điểm với khối lượng m chuyển động miền U với quĩ đạo đường cong khả vi x(t) theo định luật Newton ta có F ( x (t )) = mx (t ) , F ( x ) = mx Điều có nghĩa mx = grad f ( x ) , cách nhân vô hướng vế với x ta suy ( ) d m( x ) − f ( x ) = , hay m( x ) − f ( x ) = const dt Nếu ta gọi số hạng đầu vế trái động cơng thức có nghĩa vật chuyển động tổng động ln số Chính điều lý giải trường gradient hàm khả vi lại có tên trường bảo tồn Khơng phải trường trường bảo toàn 7.3.3 Phân tán định lý Ostrogradski Phân tán trường vectơ F (hay divergence F) miền U ⊆ R3 , ký hiệu divF, trường vô hướng xác định x y z div F = ∂F + ∂F + ∂F ∂x ∂y ∂z Với ký hiệu này, định lý Ostrogradski viết sau ∫∫ < F , n > ds = ∫∫∫ div Fdv , S V S mặt trơn mảnh, kín bao quanh miền V R3 Theo ngôn ngữ vật lý, công thức nói lưu thơng F qua mặt S tích phân bội ba phân tán F miền V giới hạn S Chương Tích phân đường tích phân mặt 257 Ý nghĩa vật lý khái niệm phân tán Theo định lý giá trị trung bình ta tìm điểm p0 = ( x0 , y0 , z0 ) bên V cho ∫∫∫ div Fdv = div F ( p0 ) vol(V ) , V vol(V) ký hiệu thể tích V Suy div F ( p0 ) = ∫∫ < F , n > ds vol(V ) S Như với điểm p cố định bên V, ký hiệu Sε mặt cầu tâm p bán kính ε vε thể tích cầu này, ta tìm điểm pε bên Sε cho div F ( pε ) = vε ∫∫ < F , n > ds Sε Cho ε → ta thu div F ( p) = lim ε→0 vε ∫∫ < F , n > ds Sε Cơng thức có nghĩa phân tán trường vectơ F điểm p giới hạn lưu thơng đơn vị thể tích qua mặt cầu tâm p bán kính tiến dần tới Như vậy, F tốc độ di chuyển chất lỏng div F ( p ) tỷ lệ thu lượng chất lỏng đơn vị thể tích lân cận điểm p Nếu div F ( p) > , p điểm nguồn, lưu thơng vào mặt Sε lưu thơng Nếu div F ( p) < , p điểm rị, lưu thông vào mặt Sε nhiều lưu thông Trường vectơ F mà khơng có điểm nguồn, khơng có điểm rị div F = phương trình liên tục chất lỏng khơng nén 7.3.4 Xốy định lý Stokes Xốy trường vectơ F miền U ⊆ R3, ký hiệu curlF rotF, trường vectơ z x y x ∂Fy curl F = ( ∂F − ) i + ( ∂F − ∂Fz ) j + ( ∂F − ∂F )k ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y Với ký hiệu định lý Stokes viết sau ∫ < F , T >ds = ∫∫ < curl F , n > ds , C S T ký hiệu vectơ tiếp tuyến đơn vị C tức 258 Giải tích hàm nhiều biến dx i + dy j + dz k , ds ds ds x y z < F , T > ds = F dx + F dy + F dz ; S mặt cong trơn, đơn bao đường cong C kín, đơn định hướng Lưu ý người ta gọi < curl F , n > xoáy F quanh n Cơng thức phát biểu sau: tích phân đường thành phần tiếp tuyến F dọc theo C theo chiều dương tích phân mặt cuả thành phần pháp tuyến xốy curlF mặt S pε Ý nghĩa vật lý khái niệm xoáy p Xét điểm p M đĩa trịn Sε tâm p, bán kính ε > với biên đường tròn Cε Từ định lý Stokes định lý giá trị trung bình, tồn pε ∈ Sε cho ∫ < F , T > ds = ∫ < curlF , n > ds =< curF ( pε ), n( pε ) > πε Cε ε Cε Hình 7.12 Do Cε < curl F ( pε ), n( pε ) >= πε ∫ < F , T >ds Cε Khi ε → , điểm pε dần tới p ta thu < curl F ( p '), n( p) >= lim ε→0 πk ∫ < F , T > ds (*) Cε Nếu F biểu diễn trường tốc độ chất lỏng tích phân ∫ < F ,T > ds Cε gọi lưu lượng quanh Cε Nó biểu thị xu trung bình chất lỏng chuyển động quanh đường cong Cε Công thức (*) cho biết chuyển động chất lỏng quanh biên đĩa trịn vng góc với vectơ n bán kính đĩa dần tới Nếu miền U mà có curl F = , lưu lưu lượng đường cong kín Trong trường hợp này, người ta nói trường vectơ vắng xốy ... tỏ tích phân khơng phụ thuộc đường 245 Chương Tích phân đường tích phân mặt 7.2 Tích phân mặt 7.2.1 Tích phân mặt hàm số Cũng tích phân đường, xây dựng tích phân kép mặt cong thay tích phân mặt. .. tâm đường cong vật chất ( x0 , y0 ) tính theo cơng thức x0 = My M , y0 = x M M 237 Chương Tích phân đường tích phân mặt 7.1.3 Tích phân đường hàm vectơ Nếu tổng σT định nghĩa tích phân đường. .. C 7.1.6 Tích phân khơng phụ thuộc đường Giả thiết A B hai điểm miền mở U liên thông đường theo nghĩa hai điểm miền nối với đường cong trơn 243 Chương Tích phân đường tích phân mặt khúc Đường từ