Lời giải chương 3: Tích phân đường và mặt

F P;Q;R là trường thế khi và chỉ khi Hàm thế vị fx.y.z được xác định...    Vì hàm trong tích phâm lẻ theo x,y,z và miền lấy tích phân đối xứng qua các trục tương ứng.

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG - MẶT

1) Tính các tích phân

a)

4 3 L

y

I ds ;x t ; y t 0.5 t 1

x

Giải



1 3

2 2

0.5

b)

3

L

I x zds ;x 2sin t; y t;z 2cos t;0 t

2



Giải

c)

4 L

Ixy ds ;

Với L là nửa bên trái đường

2

0

I x zds 16 5 sin t cos t dr 4 5 sin t 4 5





g x2 y2 16 Giải

Đặt x 4cos t ; y 4sin t  với 2 t 2

0 L

2

I xy ds 4 cos t sin tdt 2.4 sin t 2.4









d)

yz

L

Ixe ds

Với L là đoạn thẳng nối (0;0;0) đến (1;2;3) Phương trình đường thẳng x t; y 2t;z 3t (0 t 1)    

2 2

0

2) 1.Tìm tọa độ trọng tâm của dây đinh ốc trụ x 2cos t, y 2sin t, x 3t  

0 t 2   với mật độ  cosnt

Giải

Từ

G

L

m



;

G

L

m



;

G

L

m



m dS

Vì đinh ốc trụ nên 0 t 2  

2



   

2

1







;

2 G

1







Vậy tọa độ trọng tâm X ,Y ,ZG G G (0,0,3 )

2.Tìm tọa độ trọng tâm của và khối lượng của dây mảnhx2 y2  với x 04  với mật độ  cosnt

Giải

Đặt x 2cos t ; y 2sin t  với 2 t 2

2

2







   

;

2 G

L

2









2 G

L

2

1











 G G

2

X ,Y  ,0

3) Cho trường vectơ F (P;Q)



có hướng là những đường tròn đồng tâm với tâm

là gốc tọa độ,xác định L

IPdx Qdy

mang dấu gì ? Khi L được xác định:

a) L là là đoạn thẳng thẳng từ ( 3, 3)  đến (3,3)

b) L là là đoạn thẳng thẳng từ ( 3, 3)  đến ( 3,3)

c) C là vòng tròn đ/ hướng ngược kim đồng hồ với bán kính 3, tâm tại gố tọa độ Giải

IPdx Qdy F.vds 

và F.v F v cos F, v   

ở đó v là vec tơ chỉ phương của tiếp tuyến,nên

a) L

IPdx Qdy 0 

vì góc F,v  2 b) L

IPdx Qdy 0 

vì gócF,v  nhọn

c) L

IPdx Qdy 0 

vì gócF,v  

4) Tính các tích phân

a)

L

Ie  dx xydy ; x t ; y t 0 t 1    

Giải

1



b) L

Ixydx (x y)dy 

với L là đường gấp khúc nối từ (0;0) đến (2;0) rồi đến (3;2)

Giải

Phương trình đường từ (0;0) đến (2;0): y 0 (0 x 2)  

Phương trình đường từ (2;0) đến (3;2): y 2x 4 (2 x 3)   

3

2x

3

5) Hãy chứng tỏ

L

I2x sin ydx (x cos y 3y )dy 

không phụ thuộc đường

lấy tích phân,từ đó tính tích phân khi L là đường bất kỳ nối (-1;0) đến (5;1).

Giải

x

x cos y 3y   2x sin y   2x cos y 2x cos y x, y 

Chọn đường nối (-1;0) đến (5;1)là đường đi từ (- 1,0) đến (5,0) sau đó đến (5,1)

5 1

2

1 0

I 0dx (25cos y 3y )dy 25sin1 1



6) Hãy chứng tỏ tích phân 

2

2 2 2 AB

(1 x )dy 2xydx I

(1 x ) y





không phụ thuộc đường lấy tích phân ở trong miền đơn liên D2  ( 1;0)  ,từ đó tính tích phân khi cung

AB là đường bất kỳ không cắt Ox nối A(0;0) đến B(1;1)

Giải

2

2 2 2 2 2 2

y x



2x (1 x ) y  4x(1 x ) 2x (1 x ) y  4xy

luôn đúng Chọn AB là đường tròn x2 y2 R2

Khi R < 1 thì 

2

2 2 2 AB

(1 x )dy 2xydx

(1 x ) y



vì theo Green

Khi R > 2 thì

C C C C C

I

 

x y R

(1 x )dy 2xydx (1 x )dy 2xydx (1 x )dy 2xydx I



 

Trong đó C1 là đường kín đủ nhỏ bao ( 1,0) tương ứng

Ta có thể viết pt đường kín

2

1 x cos t

y sin t

  







 khi 0 t 2   và  đủ nhỏ

1 1

2

(1 x )dy 2xydx (1 x )dy 2xydx (cos t sin t)

2







2

2 2 2 AB

(1 x )dy 2xydx

(1 x ) y



7) Tìm giá trị  để tích phân

L

I(1 y y sin 2x)dx (x    ycos x)dy không phụ thuộc đường lấy tích phân

Giải

1 y y sin 2x    x  ycos x  x, y

1 2ysin 2x 1 ysin 2x 2 ( x, y)

8) Tính công do trường lực F xi (y 2) j  

dịch chuyển một vật dọc theo cung xycloit x t sin t; y 1 cos t;0 t 2      

Giải

Từ công thức tính công của trường F Pi Q j 

dọc theo L

A(Pcos Qsin )ds Pdx Qdy

ở đó (cos ,sin ) n  



là vec tơ tiếp tuyến tại (x,y) của đường L

Nên

2

2

A xdx (y 2)dy (t sin t)(1 cos t) (3 cos t)sin t dt 2



9) Tính công do trường lực F (xz; yx; yz)



dịch chuyển một vật dọc theo đường

x t ; y  t ;z t 0 t 1  

Giải

A(Pcos Qcos R cos )ds  Pdx Qdy Rdz 

Trong đó (cos ,cos ,cos ) n   



là vec tơ tiếp tuyến tại (x,y,z) của đường L

1

7 7 10

8 11 88

10) Tính công do trường lựcF (x y ; y x ) 2 3 2 3



dịch chuyển một vật từ A(0;0) đến B(2;1)

Giải

Chọn đường đi từ A(0;0) đến B(2;1) là đường

x y 2

 với (0 x 2) 

2 5 6

2 3 2 3

11) Mô tả các tập mở liên thông

(x; y) : x 0, y 0   ;(x; y) : x 1 ; (x; y) :1 x 2 y2 9

Giải

(x; y) : x 0, y 0   góc thứ nhất của mặt phẳng tọa độ không kể các trục

(x; y) :1 x 2 y2 9

:miền vành khăn giữa 2 đường tròn x2 y2  và9

2 2

x y  (không kể biên)1 (x; y) : x 1  2  x 1

12) Tính các tích phân đường theo hai cách:+trực tiếp;+Green

a)

2 3 L

I xy dx x dy

với L là biên hình chữ nhật ABCD:A(0;0),B(2;0),C(2;3),D(0;3)

Giải

Cách 1

2 3

I xy dx x dy          0dx8dy9xdx0dy 6 Cách 2

I xy dx x dy 3x  2xy dxdy dx 3x  2xy dy9x  9x dx 6

b)

2 3 L

I xydx x y dy

với L là biên của tam giác ABC:A(0;0).B(1;0),C(1;2) Cách 1

10 2

I xydx x y dy= + + = 0dx+ y dy+ (2x 16x )dx 4

Cách 2

2

I xydx x y dy (2xy x)dx xdx (2y 1)dy (8x 2x )dx

3

c) 

AB

I (5x 4y)dx (4y 3x)dy

với là cung x  a2  y2 từ -a đến a (a>0) Cách 1 Đặt x a cos ; y a sin    và ( 2 2)

  



AB

I (5x 4y)dx (4y 3x)dy

2

2

a 5a cos t 4a sin t sin t a 4a sin t 3a cos t cos t dt









2

2









Cách 2 Bổ sung vào đường x 0  a y a  theo chiều từ (0,a) đến (0.-a)

a

x y a AB

x 0

7 a

2



 





13) Tính các tích phân đường theo công thức Green theo hướng dương

a)

L

I e dx 2xe dy

với L là hình vuông có các cạnh x 0;x 1; y 0; y 1    Giải

1 1

I e dx 2xe dy e dxdy dx e dy e 1 

b)

3 3

L

I y dx x dy

với L là đường tròn x2 y2 4 Giải

2 2



 

Với x r cos ; y rsin    và (0  2 ;0 r 2) 

c)

3 3

L

I y dx x dy

với L gồm đoạn từ (-2;0) đến (2;0) và nửa trên đường tròn

2 2

x y 4

Giải

2



 

Với x r cos ; y rsin    và (0 ;0 r 2) 

d)

L

I (y e )dx (2x cos y )dy  

với L là biên của miền giới hạn bởi các parabol y x ;x y 2  2

Giải

2

1 x 1

1

3

14) Dùng công thức Green để tính các tích phân sau theo chiều dương

a)

L

I x ydx y xdy

với L là biên của miền giới hạn bởi x2 y2 4 Giải

2 2



 

với x r cos ; y rsin    và (0  2 ;0 r 2) 

b)

3

L

I x ydx xdy

với L là biên của miền giới hạn bởi x2 y2 1 Giải

 

(hàm lẻ với biến x,miền lấy tích phân đối xứng)

c)

L

I (ye 2x cos y x y)dx (xe   x sin y xy xy)dy

với L là biên của miền giới hạn bởi x2 y2  2x 0

Giải

xy 2 xy 2 2

L

I (ye 2x cos y x y)dx (xe   x sin y xy xy)dy

(x 1) y 1

  

(x 1) y 1

3

2



  



Với x 1 r cos ; y rsin     và (0  2 ;0 r 1) 

d) 

OA

I ( x y 2x y)dx (xy    x 2y)dy

với OA là cung từ O(0;0) đến A(0;2) của đường x2 y2  2y 0(x 0) 

Giải

Bổ sung vào đường x 0 (0 y 2)   theo chiều từ A(0;2) đến O(0;0)

2

0

x (y 1) 1 OA

x 0

  



x (y 1) 1





  





1

2

0

3 16

r 1 rdr 4

4

 

Với x r cos ; y 1 rsin     và ( 2 2;0 r 1)

    

15) Kiểm tra các trường véc tơ sau đây là trường thế Tìm hàm f sao cho

F graff 

a) F (yz;zx; yx)



Giải

F (P;Q;R) là trường thế khi và chỉ khi

Hàm thế vị f(x.y.z) được xác định

f (x, y,z)yzdx zxdy yxdz C  

chọn A(0,0,0);B(x, y,z)

y

f (x, y,z) yzdx zxdy yxdz C   0dx0dyxydz C xyz C  

b) F (2xy;x+2zy; y ) 2



Giải

2

F (2xy;x+2zy; y ) không là trường thế

16) Tính các tích phân mặt

a)

2

S

Ix yzdS

với S là phần mặt phẳng z 1 2x 3y   xác định trong

 0,3 0,2 

Giải.

0 y 2

 

 

14 dx (x y 2x y 3x y )dy 14 (2x 4x 8x )dx 171 14

b) S

IxdS

với S là phần mặt cong y x 2 4z và 0 x 2,0 z 2   

Giải.

2 2

0 z 2

1

8

 

 

x 2 3

2 2







c)

2 2

S

I(x y z )dS

với S là phần mặt trụ x2 y2  nằm giữa z 0;z 29  

Giải.

Chiếu phần mặt y 9 x ;0 z 2 2   

xuống mặt y0z được hình chiếu là miền

G   3 x 3 ;0 z 2 

2 2

S

I(x y z )dS

2

0 3

3

9 x





d) S

IzdS

với S là phần mặt paraboloit z x 2 y2nằm dưới mặt z 4

Giải.

chiếu xuống mặt x0y được x2 y2 4

2 2

0 0

x y 4



 

2

2



578 17 2 34 17 2 1564 17 4 (391 17 1)

với x r cos ; y rsin    và (0  2 ;0 r 2) 

17) Tính thông lượng của các trường vec tơ qua các mặt định hướng dương

tương ứng:

a) F (x, y,z)



với S là mặt ngoài của mặt x2 y2 z2 9

Giải.

  

b) F (0, y, z) 



với S là phần mặt paraboloit y x 2 z2 với 0 y 1 

và hình tròn x2 z21; y 1

2

2 G

z

9 x







Iydzdx zdxdy (1 1)dxdydz 0 

với Vy x 2 z ;x2 2 z2 1, y 1

c) F (xy, yz,zx)



với S là phần mặt paraboloit z 4 x  2  y2nằm phía trên hình vuông 0 x 1;0 y 1    và hướng lên trên

Giải.

Ixydzdy yzdzdx zxdxdy  (yx cos yzcos xzcos )dS

x y

x y 4

 

2 2

x y 4

2yx 2y z xz dxdy

 

x y 4

2yx 2y (4 x y ) x(4 x y ) dxdy

 



Vì hàm trong tích phâm lẻ theo biến x;y và miền lấy tích phân đối xứng qua các trục

tương ứng 2 2

x y 4



 

2 16



    

với x r cos ; y rsin    và (0  2 ;0 r 2) 

d) F (xy, 2y,3x) 



với S là phần mặt x2 y2 z2 4

Giải.

  

2 3

sin d sin d r dr

      

Với

2

x r cos sin ; y rsin sin ;z r cos        (0  2 ;0 ;0 r 2) J r sin   

18) Chất lỏng với mật độ 1200 chảy với vận tốc v (y,1,z)



.Tìm tốc độ chảy qua mặt 1 2 2

4

với x2 y2 36

Giải.

Tốc độ chảy của chất lỏng qua mặt 1 2 2

4

với x2 y2 36 chính là thông lượng của trường F 1200v 1200(y,1,z) 

qua mặt đó

I 1200 ydydz dxdz zdxdy 1200 (ycos       cos z cos )dS

2 2

x y

300 d (r sin 2 2rsin 36 r )rdr 600 (36r r )dr 194400



19) Nhiệt độ tại điểm (x,y,z) trong một chất với hệ số dẫn nhiệt K =6,5 là

2 2

U 2y 2z

Tìm vận tốc truyền nhiệt vào bên trong qua mặt trụ y2 z2 6 khi 0 x 4 

Giải.

Dòng nhiệt tại (x, y,z) tạo thành trường vec tơ

F 6,5gradU(x, y,z) 6,5(4x,0,4z)

Vậy vận tốc truyền nhiệt vào bên trong chính là thông lượng của trường

F6,5gradU(x, y,z)6,5(0,4y,4z)



V6,5 4xdydz 4zdxdy 

với S

là mặt trụ y2 z2 6 khi 0 x 4  và phân lấy phía trong mặt S

Bổ sung vào S hai mặt

1

S  x 0; y z 6

theo hướng cùng với chiều dương của trục 0x và

2

S  x 4; y z 6

theo hướng cùng với chiều âm của trục 0x

S

V6,5 4xdydz 4zdxdy 

 

y z 6

0 x 4

 

 

6,5 192 1248

20) Dùng Công thức Stoke để tính tích phân,trong đó L được định hướng ngược

chiều kim đồng hồ nếu nhìn từ trên xuống.Tức là tính L

I Pdx Qdy Rdz 

với

F (P,Q,R)

a)F (x y , y z ,z x )  2  2  2



với L là tam giác ABC : A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)

Giải.

L

I (x y )dx (y z )dy (z x )dz    

ABC

S

2 zdydz xdzdx ydxdy

Do vai trò x,y,z tương đương hoán vị vòng quanh ta có

0

0 y 1 x



 

  

b) F (2z,4x,5y)



với L là giao của mặt trụ x2  y2  và mặt phẳng 4 z x 4 

Giải.

I 2zdx 4xdy 5ydz  5dydz 2dzdx 4dxdy 

x y 4

 

x y 4

 

c)F (x z, y x,z ) 2 2 2



với L là giao của mặt trụ x2 y2  và mặt phẳng9

y x z 1  

I x zdx y xdy z dz  x dzdx y dxdy (x cos y cos )dS

2

2 3

0 0

x y 9

81 (x y )dxdy d r dr

2



 



(với x r cos ; y rsin ;0      2 ;0 r 3  )

d) F (y z,z x,x y)   



với L là giao mặt x2 y2 a2 và mp

x z

1;a 0,h 0

a h    .

Giải.

I (y z)dx (z x)dy (x y)dz     2 dydz dzdx dxdy  

2 (cos cos cos )dS

       2 2 2

x y a

h

a

 



e)F (x y ,1, z) 2 3 



với L là giao của mặt trụ x2 y2  và mặt phẳng z 01 

I x y dx dy zdz  3 x y dxdy

x y 1

3



 



(với x r cos ; y rsin ;0      2 ;0 r 1  )

21) Tính công do trường lực F (x x z , y2 y x ,z2 z y )2



sinh ra khi một chất điểm chuyển động dưới ảnh hưởng của nó dọc theo biên của phần mặt cầu

2 2 2

x y z  nằm ở góc phần tám thứ nhất, theo chiều ngược kim đồng hồ khi 4 nhìn từ bên trên

Giải.

Đó chính là lưu số của trường F (x x z , y2 y x ,z2 z y )2



dọc theo biên của tam giác cầu x2 y2 z2  đỉnh A(2,0,0),B(0,2,0),C(0,0,2) theo chiều ngược kim 4 đồng hồ khi nhìn từ bên trên Áp dụng Stoke rồi sau đó tiến hành bổ sung vào mặt S các mặt

1

S  z 0;x y 4;x 0 ; y 0 

theo hướng chiều âm 0z

2

S  x 0;z y 4;z 0 ; y 0 

theo hướng chiều âm 0x

3

S  y 0;z x 4;x 0 ;z 0 

theo hướng chiều âm 0y

ABC

W  (x z )dx (y x )dy (z  y )dz

2 ydydz zdxdz xdxdy 2

  

x 0;y 0 z 0;y 0 x 0;y 0

2 2

2 2

2

x y 4

x 0;y 0

6 xdxdy 6 cos d r dr 16



 

 

22) Dùng Định lý Divergence (Công thức Ostrogragski-Gauss) để tính tích phân

mặt

S

IPdydz Qdzdx Pdxdy 

, nghĩa là tính thông lượng của F (P,Q,R)



qua mặt S

a) F (x , y ,z ) 3 3 3



với S là mặt ngoài x2  y2 z2  1

Giải.

  

4

0 0 0

12

3 d sin d r dr

5

 



     

Với

2

x r cos sin ; y rsin sin ;z r cos        (0  2 ;0 ;0 r 2) J r sin    b) F (e sin y,e cos y, yz ) x x 2



với S là mặt ngoài hình hộp

x 0, x 1, y 0, y 1,z 0,z 2     

Giải.

Ie sin ydydz e cos ydzdx yz dxdy  (e sin y e sin y 2yz)dxdydz 

1 1 2

0 0 0

2 dx ydy zdz 2

c) F (x , y ,z ) 2 2 2



với S là mặt ngoài x2 y2 z2  1

Giải.

  

Vì hàm trong tích phâm lẻ theo (x,y,z) và miền lấy tích phân đối xứng qua các trục tương ứng

d) F (x, yz,z ) 2



với S là mặt ngoài x2 y2 z2 a (a 0)2 

Giải.

2 2 2

3 2

4 a

3

  



Do hàm trong tích phân lẻ theo biến z và miền lấy tích phân đối xứng qua mặt xOy nên

x y z 1

zdxdydz 0

  





e) F (y z,z x, x y)   



với S là mặt ngoài nón x2 y2 z (0 z h)2   không kể 2 đáy

Giải.

Bổ sung vào S mặt z h; x 2 y2 h2hướng lên trên,sau đó áp dụng O - G

 

Do hàm trong tích phân lẻ theo biến x,y và miền lấy tích phân đối xứng nên

f) F (3xy , xe ,z ) 2 z 3



với S là mặt ngoài giới hạn bởi y2 z2  , x1 1;x 2

1 x 2

 

  

2 2 1

3

0 1 0

9

3 dt dx r dr

2







Với y r cos t;z rsin t;x x 0 t 2 0 r 1; 1 x 2          

g) F (x, y,z)



với S là mặt ngoài trụ x2  y2 a ( a z a)2    không kể 2 đáy

Giải.

Bổ sung vào S : z a; x 2 y2 a2hướng lên trên và mặt za; x2 y2 a2

hướng xuống dưới,sau đó áp dụng O - G

S

Ixdydz ydzdx zdxdy 

x y a x y a

a z a

  

h) F (x, y ,1) 2



với S là mặt ngoài trụ x2 y2 2ax (a 0;0 z a)   không kể 2 đáy

Giải.

Bổ sung vào S :  2 2 

1

S  z a ; x y 2ax

hướng lên trên và mặt

2

S  z 0; x y 2ax

hướng xuống dưới,sau đó áp dụng O - G

2 S

Ixdydz y dzdx dxdy 

x y 2ax

0 z a

(1 2y)dxdydz dxdy dxdy

 

 

0 0 o

d rdr (1 2rsin )dz a



     

23) Tính

3 2 2

S

Ix y z dydz

với S là mặt ngoài giới hạn bởi z2 y2 x (0 x 1)2  

Giải.

Bổ sung vào mặt y2 z2 1;x 1 theo hướng về chiều dương 0x

Ix y z dydz 3 x y z dxdydz

2 1 x

4

0 0 0

3 dt dx r dr

5





y r cos t;z rsin t;x x 0 t 2 0 r x 0 x 1         

24) Tìm trường véc tơ gradient của các hàm số:

a) f (x, y) ln(x 2y) 

Giải.

gradf (x, y) ,

x 2y x 2y

b) f (x, y) x y 3x 2 

Giải.

2

gradf (x, y) (2xy 3, x ) 







25) Tìm curl hay rot

và div của trường véc tơ:

a) F (xy, yz,zx)



rotF ( y, z, x)     

; divF x y z  



b) F (e sin y,e cosy,z) x x



divF 1 ; rotF (0,0,0)    