Lời giải chương 3: Tích phân đường và mặt

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG - MẶT 1) Tính tích phân y I = ∫ ds ; x = t ; y = t 0.5 ≤ t ≤ x L a) Giải 1 y 16t + 9t I = ∫ ds = ∫ dt = 16t + 9d(16t + 9) ∫ x t 32 0.5 L 0.5 = ( 16t + 48 ) 31 = 0.5 ( 125 − 13 13 48 ) I = ∫ x zds ; x = 2sin t; y = t;z = 2cos t;0 ≤ t ≤ b) L π Giải I = ∫ xy ds ; c) L Với L nửa bên trái đường π I = ∫ x zds = 16 ∫ sin t cos t dr = sin t L π =4 2 g x + y = 16 Giải π π − ≤ t ≤ Đặt x = 4cos t ; y = 4sin t với 1 π I = ∫ xy ds = 46 L − I = ∫ xe yz ds d) π/2 cos t sin tdt = 2.4 sin t = 2.4 ∫ 5 π L Với L đoạn thẳng nối (0;0;0) đến (1;2;3) Phương trình đường thẳng x = t; y = 2t;z = 3t (0 ≤ t ≤ 1) I = ∫ xe ds = 14 ∫ te6t dt = yz L 14 6t e 12 = 14 (e − 1) 12 1.Tìm tọa độ trọng tâm dây đinh ốc trụ x = 2cos t, y = 2sin t, x = 3t 2) ≤ t ≤ 2π với mật độ ρ = cosnt Giải XG = Từ ρ ρ ρ xdS Z = zdS Y = ydS m = ρ ∫ dS G G m L∫ m L∫ m L∫ L ; ; Vì đinh ốc trụ nên ≤ t ≤ 2π 2π m = ρ ∫ dS = ρ ∫ 13dt = 2πρ 13 L 2π ρ ρ X G = ∫ xdS = 13 ∫ 2cos tdt = = YG ZG = ∫ zdS = mL mL 2π 2π 13 ; 2π ∫ 3tdt = 3π Vậy tọa độ trọng tâm ( X G ,YG , ZG ) = (0,0,3π) 2 2.Tìm tọa độ trọng tâm khối lượng dây mảnh x + y = với x ≥ với mật độ ρ = cosnt Giải 2 π π − ≤ t ≤ Đặt x = 2cos t ; y = 2sin t với π m = ρ ∫ 2dt = 2ρπ − XG = YG = π ; ρ xdS = m L∫ 2π π ∫ − 4cos tdt = π ρ ydS = ∫ mL 2π π π ∫ 4sin tdt = − π ( XG , YG ) =   ,0 ÷ π  Vậy tọa độ trọng tâm r F Cho trường vectơ = (P;Q) có hướng đường tròn đồng tâm với tâm 3) gốc tọa độ,xác định I = ∫ Pdx + Qdy L mang dấu ? Khi L xác định: a) L là đoạn thẳng thẳng từ (−3, −3) đến (3,3) b) L là đoạn thẳng thẳng từ (−3, −3) đến (−3,3) c) C vòng tròn đ/ hướng ngược kim đồng hồ với bán kính 3, tâm gố tọa độ Giải Từ rr I = ∫ Pdx + Qdy = ∫ F.vds L L rr r r rr F.v = F v cos F, v ( ) vr vec tơ phương tiếp tuyến,nên 3 a) rr I = ∫ Pdx + Qdy = · π F, v ) = ( góc I = ∫ Pdx + Qdy ≥ ·r r F, v L b) góc L I = ∫ Pdx + Qdy Đ ∫ I= C ∪ C1 ∪ C −1 I= ∫ x +y =R 2 −Ñ ∫ − C1 Ñ ∫ C −1 (1 − x )dy + 2xydx (1 − x ) + y = i∫ C1 (1 − x )dy + 2xydx (1 − x ) + y + i∫ C−1 (1 − x )dy + 2xydx (1 − x ) + y Trong C±1 đường kín đủ nhỏ bao (±1,0) tương ứng 5 1 − x = ε cos t  Ta viết pt đường kín  y = ε sin t ≤ t ≤ 2π ε đủ nhỏ i∫ (1 − x )dy + 2xydx (1 − x ) + y C1 I= ∫ » AB = i∫ (1 − x )2 + y C −1 (1 − x )dy + 2xydx (1 − x ) + y (1 − x )dy + 2xydx ∫ ε (cos t + sin t) ε2 = 2π = 4π Tìm giá trị α để tích phân 7) = 2π I = ∫ (1 + y + y sin 2x)dx + (x + αycos x)dy L không phụ thuộc đường lấy tích phân Giải ( + y + y2 sin 2x ) ′y = ( x + αycos2 x ) ′x ∀x, y ⇔ + 2ysin 2x = − αysin 2x ⇔ α = −2 (∀x, y) r r r Tính cơng trường lực F = xi + (y + 2) j dịch chuyển vật dọc theo cung 8) xycloit x = t − sin t; y = − cos t;0 ≤ t ≤ 2π Giải r r r Từ công thức tính cơng trường F = Pi + Q j dọc theo L A = ∫ (P cos α + Qsin α)ds = ∫ Pdx + Qdy L L r (cos α ,sin α ) = n vec tơ tiếp tuyến (x,y) đường L Nên A = ∫ xdx + (y + 2)dy = L 2π ∫ [ (t − sin t)(1 − cos t) + (3 − cos t)sin t ] dt = 2π r F Tính cơng trường lực = (xz; yx; yz) dịch chuyển vật dọc theo đường 9) x = t ; y = − t ;z = t ≤ t ≤ Giải A = ∫ (Pcos α + Qcos β + R cos γ )ds = Ñ ∫ Pdx + Qdy + Rdz L L r (cos α ,cos β ,cos γ ) = n Trong vec tơ tiếp tuyến (x,y,z) đường L ( ) A = ∫ xzdx + yxdy+yzdz = ∫ 2t + 3t − 4t10 dt = L 23 − = 11 88 r 3 10) Tính cơng trường lực F = (x y ; y x ) dịch chuyển vật từ A(0;0) đến B(2;1) Giải Chọn đường từ A(0;0) đến B(2;1) đường y= x với (0 ≤ x ≤ 2) x5 26 A = ∫ x y dx + y x dy = ∫ dx = = 24 L 3 11) Mô tả tập mở liên thông { (x; y) : x > 0, y > 0} ; { (x; y) : x ≠ 1} ; { (x; y) :1 < x } + y2 < Giải { (x; y) : x > 0, y > 0} góc thứ mặt phẳng tọa độ không kể trục { (x; y) :1 < x + y2 < 9} :miền vành khăn đường tròn x + y2 = x + y = (không kể biên) { (x; y) : x ≠ 1} = ¡ − { x = 1} 12) Tính tích phân đường theo hai cách:+trực tiếp;+Green a) I=Ñ ∫ xy dx + x dy L với L biên hình chữ nhật ABCD:A(0;0),B(2;0),C(2;3),D(0;3) Giải Cách I=Ñ ∫ xy dx + x dy = L ∫ ∫ + AB ∫ + BC ∫ + CD DA 0 0 = ∫ 0dx + ∫ 8dy + ∫ 9xdx + ∫ 0dy = Cách ( ) 0 ( ) ( ) I=Ñ ∫ xy dx + x dy = ∫∫ 3x − 2xy dxdy = ∫ dx ∫ 3x − 2xy dy =∫ 9x − 9x dx =6 L G I=Ñ ∫ xydx + x y dy b) L 2 với L biên tam giác ABC:A(0;0).B(1;0),C(1;2) Cách I=Ñ ∫ xydx + x y dy= L ∫ AB + ∫ + BC ∫ CA 0 = ∫ 0dx+ ∫ y dy+ ∫ (2x + 16x )dx = − 10 = 3 Cách 2x 0 I=Ñ ∫ xydx + x y dy = ∫∫ (2xy − x)dx = ∫ xdx ∫ (2y − 1)dy = ∫ (8x − 2x )dx = L I= c) G Ñ ∫ (5x » AB + 4y)dx − (4y3 + 3x)dy 3 2 x = a − y với cung từ -a đến a (a>0) π π ( − ≤ ϕ ≤ ) 2 Cách Đặt x = a cos ϕ ; y = a sin ϕ 8 Ñ ∫ (5x I= + 4y)dx − (4y3 + 3x)dy » AB = π ∫  −a ( 5a π − ) ( ) cos t + 4a sin t sin t − a 4a sin t + 3a cos t cos t  dt  π  3a  7a π = ∫  −2a −  dt = − 2  π − Bổ sung vào đường x = − a ≤ y ≤ a theo chiều từ (0,a) đến (0.-a) Cách I= Ñ ∫ (5x + 4y)dx − (4y + 3x)dy = − » AB ∫∫ a (3 + 4)dxdy − ∫ 4y3dy = − −a x + y2 ≤ a x ≥0 πa 2 13) Tính tích phân đường theo cơng thức Green theo hướng dương a) y y I=Ñ ∫ e dx + 2xe dy L với L hình vng có cạnh x = 0; x = 1; y = 0; y = Giải 1 0 y I=Ñ ∫ e dx + 2xe dy = ∫∫ e dxdy = ∫ dx ∫ e dy = e − y y L b) y G 3 I=Ñ ∫ y dx − x dy L 2 với L đường trịn x + y = Giải I=Đ ∫ y dx − x dy = −3 L ∫∫ x + y2 ≤ 2π 0 (x + y )dxdy = −3 ∫ dϕ∫ r 3dr = −24π 2 Với x = r cos ϕ ; y = r sin ϕ (0 ≤ ϕ ≤ 2π;0 ≤ r ≤ 2) 9 c) 3 I=Ñ ∫ y dx − x dy L với L gồm đoạn từ (-2;0) đến (2;0) nửa đường tròn x + y2 = Giải I=Ñ ∫ y dx − x dy = −3 ∫∫ L x + y2 ≤ π 0 (x + y )dxdy = −3∫ dϕ∫ r 3dr = −12π 2 Với x = r cos ϕ ; y = r sin ϕ (0 ≤ ϕ ≤ π;0 ≤ r ≤ 2) I=Ñ ∫ (y + e d) x )dx + (2x + cos y )dy với L biên miền giới hạn L 2 parabol y = x ;x = y Giải I=Ñ ∫ (y + e L x )dx + (2x + cos y )dy = ∫∫ dxdy = ∫ dx G x x2 ∫ dy = ∫ ( ) x − x dx = 14) Dùng công thức Green để tính tích phân sau theo chiều dương a) 2 I=Ñ ∫ x ydx − y xdy L 2 với L biên miền giới hạn x + y = Giải I=Ñ ∫ x ydx − y xdy = − 2 L ∫∫ x + y2 ≤ 2π 0 (x + y )dxdy = − ∫ dϕ∫ r 3dr = −8π 2 với x = r cos ϕ ; y = r sin ϕ (0 ≤ ϕ ≤ 2π;0 ≤ r ≤ 2) b) I=Ñ ∫ x ydx − xdy L 2 với L biên miền giới hạn x + y = Giải 10 10 I=Ñ ∫ x ydx − xdy = − L ∫∫ (1 + x )dxdy = −π x + y2 ≤1 (hàm lẻ với biến x,miền lấy tích phân đối xứng) c) xy xy 2 I=Ñ ∫ (ye + 2x cos y − x y)dx + (xe − x sin y + xy + xy)dy L 2 với L biên miền giới hạn x + y − 2x = Giải xy xy 2 I=Ñ ∫ (ye + 2x cos y − x y)dx + (xe − x sin y + xy + xy)dy L ∫∫ = (x −1) + y ≤1 2 ∫∫ = (x −1)2 + y2 ≤1 (y+y (y 2 +x ) − 2x sin y + xye xy + e xy − xye xy − e xy + 2x sin y + x dxdy 2π 0 ) dxdy = ∫ dϕ∫ ( r ) ( ) + 2r cos ϕ + rdr = 2π∫ r + rdr = 3π Với x = + r cos ϕ ; y = r sin ϕ (0 ≤ ϕ ≤ 2π;0 ≤ r ≤ 1) I= Ñ ∫ (−x y − 2x + y)dx + (xy + x − 2y)dy » OA d) với » OA cung từ O(0;0) đến 2 A(0;2) đường x + y − 2y = 0(x ≥ 0) Giải Bổ sung vào đường x = (0 ≤ y ≤ 2) theo chiều từ A(0;2) đến O(0;0) I= Ñ ∫ (− x » OA 11 2 y − 2x + y)dx + (xy + x − 2y)dy = ∫∫ x + (y −1) ≤1 x ≥0 2 (y + x )dxdy − ∫ 2ydy 2 11 ∫∫ = x + (y −1) ≤1 x≥0 ( (y ) +x = π∫ r + rdr − = π ) dxdy − ∫ 2ydy = ∫ dϕ∫ ( r + 2r sin ϕ + 1) rdr − − π 3π − 16 π π ( − ≤ ϕ ≤ ;0 ≤ r ≤ 1) 2 Với x = r cos ϕ ; y = + r sin ϕ 15) Kiểm tra trường véc tơ sau trường Tìm hàm f cho r uuuur F = graff r F a) = (yz;zx; yx) Giải r F = (P;Q;R) trường r  ∂R ∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P  uurr r − , − , − = rotF = ⇔ x − x, y − y,z − z = ( )  ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y ÷   Hàm vị f(x.y.z) xác định f (x, y,z) = ∫ yzdx + zxdy + yxdz + C AB f (x, y,z) = chọn A(0,0,0);B(x, y,z) x y z 0 ∫ yzdx + zxdy + yxdz + C = ∫ 0dx + ∫ 0dy + ∫ xydz + C = xyz + C AB r F b) = (2xy; x+2zy; y ) Giải r  ∂R ∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P  uurr r − , − , − = rotF = ⇔ 2y − 2y,0,1 + 2y − 2x ≠ ( )  ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y ÷   12 12 r F = (2xy; x+2zy; y ) khơng trường 16) Tính tích phân mặt a) I = ∫∫ x yzdS S với S phần mặt phẳng z = + 2x + 3y xác định { [ 0,3] × [ 0, 2]} Giải I = ∫∫ x yzdS = 14 S 0 ∫∫ x y(1 + 2x + 3y)dxdy 0≤ x ≤3 0≤ y ≤2 = 14 ∫ dx ∫ (x y + 2x y + 3x y )dy = 14 ∫ (2x + 4x + 8x )dx = 171 14 b) 2 I = ∫∫ xdS S với S phần mặt cong y = x + 4z ≤ x ≤ 2,0 ≤ z ≤ Giải 2 I = ∫∫ xdS = ∫∫ x 4x + 17dxdz = ∫ dz ∫ 17 + 4x d(17 + 4x ) 80 S 0≤ x ≤ 2 0≤ z≤ 2 ( = ∫ 17 + 12 c) x =2 4x 2 dz ) x =0 I = ∫∫ (x y + z )dS S 33 33 − 17 17 = ∫ 33 33 − 17 17 dz = 12 ( ) 2 với S phần mặt trụ x + y = nằm z = 0;z = Giải { y = ± − x ;0 ≤ z ≤ 2} xuống mặt y0z hình chiếu miền Chiếu phần mặt 13 13 G = { −3 ≤ x ≤ ;0 ≤ z ≤ 2} I = ∫∫ (x y + z )dS S = ∫∫ (x − x + z ) + S z2 = ∫∫ 9−x G −3 d) I = ∫∫ zdS S dxdz + ∫∫ (− x − x + z ) + S x − x2 dxdz dx = ∫ z dz ∫ 9−x dxdz x y = 32arcsin = 16π 9−x 2 với S phần mặt paraboloit z = x + y nằm mặt z = Giải 2 chiếu xuống mặt x0y x + y ≤ ∫∫ I= 2 2 (x + y ) + 4x + 4y dxdy = x + y2 ≤ ( ) ( ) 2π 0 ∫ dϕ ∫ r + 4r dr π 2 =  + 4r 16   ( ) ( 2 4r 2  = π  + 4r − 1 + 4r d + 4r ∫   16 = π  578 17 − 34 17 −  π 1564 17 + (391 17 + 1) π − =  = 16  15 60  16 − 1+ )  với x = r cos ϕ ; y = r sin ϕ (0 ≤ ϕ ≤ 2π;0 ≤ r ≤ 2) 17) Tính thơng lượng trường vec tơ qua mặt định hướng dương tương ứng: 14 14 r 2 F a) = (x, y,z) với S mặt mặt x + y + z = Giải I = ∫∫ xdydz + ydzdx + zdxdy = S ∫∫∫ dxdydz = 81π x + y + z ≤9 2 r 2 F b) = (0, y, − z) với S phần mặt paraboloit y = x + z với ≤ y ≤ 2 hình trịn x + z ≤ 1; y = Giải I = ∫∫ ydzdx − zdxdy = ∫∫∫ (1 − 1)dxdydz = S với V { } V = y ≥ x + z ; x + z ≤ 1, y = r 2 F c) = (xy, yz,zx) với S phần mặt paraboloit z = − x − y nằm phía hình vng ≤ x ≤ 1;0 ≤ y ≤ hướng lên Giải I = ∫∫ xydzdy + yzdzdx + zxdxdy = ∫∫ (yx cos α + yz cos β + xz cos γ )dS S I= S ∫∫ ( -yxz′x − yzz′y + xz ) dxdy = ∫∫ x + y ≤4 = ∫∫ x + y ≤4 x + y2 ≤ 2 ( 2yx ) + 2y z + xz dxdy  2yx + 2y (4 − x − y ) + x(4 − x − y )  dxdy   Vì hàm tích phâm lẻ theo biến x;y miền lấy tích phân đối xứng qua trục ⇒I= tương ứng ∫∫ x + y2 ≤ 2π 2y (4 − x − y )dxdy = ∫ sin ϕdϕ∫ (4 − r )r 3dr 2 2 64  32π  = 2π  16 − ÷ =   15 15 với x = r cos ϕ ; y = r sin ϕ (0 ≤ ϕ ≤ 2π;0 ≤ r ≤ 2) r 2 d) F = (xy, −2y,3x) với S phần mặt x + y + z = Giải I = ∫∫ xydzdy − 2ydzdx + 3xdxdy = S = 2π π 0 ∫ sin ϕdϕ∫ sin 2 θdθ ∫ r 3dr − ∫∫∫ (y − 2)dxdydz x + y +z ≤4 2 64π 64π =− 3 Với x = r cos ϕ sin θ; y = r sin ϕ sin θ;z = r cos θ (0 ≤ ϕ ≤ 2π;0 ≤ θ ≤ π;0 ≤ r ≤ 2) J = r sin θ r v 18) Chất lỏng với mật độ 1200 chảy với vận tốc = (y,1,z) Tìm tốc độ chảy qua mặt z=9− ( ) x + y2 2 với x + y ≤ 36 Giải z=9− ( ) x + y2 2 với x + y ≤ 36 Tốc độ chảy chất lỏng qua mặt r r F = 1200v = 1200(y,1,z) qua mặt thơng lượng trường I = 1200∫∫ ydydz + dxdz + zdxdy = 1200 ∫∫ (ycos α + cos β + z cos γ )dS S = 1200 S ∫∫ ( − yz′x − z′y + z)dxdy = 300 x + y ≤ 36 2π 0 ∫∫ (2yx + 2y + 36 − x − y )dxdy x + y ≤ 36 = 300 ∫ dϕ∫ (r sin 2ϕ + 2r sin ϕ + 36 − r )rdr = 600π∫ (36r − r )dr = 194400π 2 19) Nhiệt độ điểm (x,y,z) chất với hệ số dẫn nhiệt K =6,5 16 16 U = 2y + 2z 2 Tìm vận tốc truyền nhiệt vào bên qua mặt trụ y + z = ≤ x ≤ Giải Dòng nhiệt (x, y,z) tạo thành trường vec tơ r uuuur F = −6,5gradU(x, y,z) = −6,5(4x,0,4z) Vậy vận tốc truyền nhiệt vào bên thông lượng trường V = −6,5∫∫ 4xdydz + 4zdxdy r uuuur F = −6,5gradU(x, y,z) = −6,5(0,4y,4z) qua mặt S với S 2 mặt trụ y + z = ≤ x ≤ phân lấy phía mặt S Bổ sung vào S hai mặt { } theo hướng với chiều dương trục 0x { } theo hướng với chiều âm trục 0x S1 = x = 0; y + z ≤ S2 = x = 4; y + z ≤ V = −6,5∫∫ 4xdydz + 4zdxdy S = −6,5 ∫∫ S ∪S1 ∪S2 = 6,5 ∫∫∫ 4ydxdz + 4zdxdy + 6,5∫∫ 4ydxdz + 4zdxdy + 6,5∫∫ 4ydxdz + 4zdxdy S1 S2 8dxdydz y2 + z ≤ 0≤ x ≤ = 6,5 × 192π = 1248π 17 17 20) Dùng Cơng thức Stoke để tính tích phân,trong L định hướng ngược I=Đ ∫ Pdx + Qdy + Rdz L chiều kim đồng hồ nhìn từ xuống.Tức tính với r F = (P,Q,R) r 2 F a) = (x + y , y + z ,z + x ) với L tam giác ABC : A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1) Giải 2 I=Ñ ∫ (x + y )dx + (y + z )dy + (z + x )dz = −2 ∫∫ zdydz + xdzdx + ydxdy SABC L Do vai trò x,y,z tương đương hốn vị vịng quanh ta có I = −6 ∫∫ ≤ x ≤1 ≤ y ≤1− x 1− x 0 ydxdy = −6 ∫ dx ∫ 1 ydy = −3∫ (1 − x) dx = (1 − x)3 = −1 0 r 2 F b) = (2z,4x,5y) với L giao mặt trụ x + y = mặt phẳng z = x + Giải I=Ñ ∫ 2zdx + 4xdy + 5ydz = ∫∫ 5dydz + 2dzdx + 4dxdy L = ∫∫ S (5cos α + 2cos β + 4cos γ)dS = x + y2 ≤ ∫∫ (−5 + 4)dxdy = −4π x + y2 ≤ r 2 2 F c) = (x z, y x, z ) với L giao mặt trụ x + y = mặt phẳng y + x + z = 2 2 2 I=Ñ ∫ x zdx + y xdy + z dz = ∫∫ x dzdx + y dxdy = ∫∫ (x cos β + y cos γ)dS L 18 S S 18 = ∫∫ 2 (x + y )dxdy = x + y2 ≤9 2π 0 ∫ dϕ∫ r dr = 81π (với x = r cos ϕ ; y = r sin ϕ ;0 ≤ ϕ ≤ 2π ;0 ≤ r ≤ ) r 2 F d) = (y − z,z − x, x − y) với L giao mặt x + y = a mp x z + = 1;a > 0,h > a h Giải I=Ñ ∫ (y − z)dx + (z − x)dy + (x − y)dz = −2 ∫∫ dydz + dzdx + dxdy L S = −2 ∫∫ (cos α + cos β + cos γ )dS = −2 S ∫∫ x + y2 ≤ a h   + 1÷dxdy = −2πa(h + a) a  r 2 F e) = (x y ,1, −z) với L giao mặt trụ x + y = mặt phẳng z = 2 I=Ñ ∫ x y dx + dy − zdz = −3∫∫ x y dxdy L S = −3 ∫∫ x y dxdy = − x + y ≤1 2 2 2π ∫ sin 2ϕdϕ∫ r dr = − π (với x = r cos ϕ ; y = r sin ϕ ;0 ≤ ϕ ≤ 2π ;0 ≤ r ≤ ) r x y z F 21) Tính cơng trường lực = (x + z , y + x , z + y ) sinh chất điểm chuyển động ảnh hưởng dọc theo biên phần mặt cầu x + y + z = nằm góc phần tám thứ nhất, theo chiều ngược kim đồng hồ nhìn từ bên Giải 19 19 r x y z F Đó lưu số trường = (x + z , y + x , z + y ) dọc theo biên tam 2 giác cầu x + y + z = đỉnh A(2,0,0),B(0,2,0),C(0,0,2) theo chiều ngược kim đồng hồ nhìn từ bên Áp dụng Stoke sau tiến hành bổ sung vào mặt S mặt { } { } theo hướng chiều âm 0x { } S1 = z = 0; x + y ≤ 4; x ≥ ; y ≥ theo hướng chiều âm 0z S2 = x = 0;z + y ≤ 4;z ≥ ; y ≥ S3 = y = 0;z + x ≤ 4; x ≥ ;z ≥ W= Ñ ∫ (x x theo hướng chiều âm 0y + z )dx + (y y + x )dy + (z z + y )dz ABC  = 2∫∫ ydydz + zdxdz + xdxdy =   S ∪S ∪∫∫S S  = ∫∫∫ 0dxdydz + V ∫∫ =6 x + y2 ≤ x ≥ 0; y ≥ ∫∫ xdxdy + x + y ≤4 x ≥ 0; y ≥ ∫∫ ∪ S3 z + y ≤4 z ≥ 0; y ≥ 2 π 2 0 − ∫∫ − ∫∫ − ∫∫ S1 S2 ydydz + S3 ∫∫  ÷ ÷  zdzdx z + x ≤4 x ≥ 0;y ≥ 2 xdxdy = ∫ cos ϕdϕ∫ r dr = 16 22) Dùng Định lý Divergence (Cơng thức Ostrogragski-Gauss) để tính tích phân mặt I = ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Pdxdy S r F , nghĩa tính thơng lượng = (P,Q,R) qua mặt S 20 20 r 3 2 F a) = (x , y ,z ) với S mặt x + y + z = Giải I = ∫∫ x 3dydz + y3dzdx + z3dxdy = S 2π π 0 = ∫ dϕ∫ sin θdθ∫ r dr = ∫∫∫ (x + y + z )dxdydz x + y + z ≤1 12π Với x = r cos ϕ sin θ; y = r sin ϕ sin θ;z = r cos θ (0 ≤ ϕ ≤ 2π;0 ≤ θ ≤ π;0 ≤ r ≤ 2) J = r sin θ r x x F b) = (e sin y,e cos y, yz ) với S mặt hình hộp x = 0, x = 1, y = 0, y = 1,z = 0,z = Giải I = ∫∫ e x sin ydydz + e x cos ydzdx + yz 2dxdy = ∫∫∫ (e x sin y − e x sin y + 2yz)dxdydz S V 1 0 = ∫ dx ∫ ydy ∫ zdz = r 2 2 2 c) F = (x , y ,z ) với S mặt x + y + z = Giải I = ∫∫ x dydz + y dzdx + z dxdy = S ∫∫∫ (x + y + z)dxdydz = x + y2 + z ≤1 Vì hàm tích phâm lẻ theo (x,y,z) miền lấy tích phân đối xứng qua trục tương ứng r 2 2 d) F = (x, yz, z ) với S mặt x + y + z = a (a > 0) 21 21 Giải I = ∫∫ xdydz + yzdzdx + z dxdy = S ∫∫∫ x + y2 + z2 4πa (1 + 3z)dxdydz = ≤1 Do hàm tích phân lẻ theo biến z miền lấy tích phân đối xứng qua mặt xOy nên ∫∫∫ zdxdydz = x + y + z ≤1 2 r 2 F e) = (y − z,z − x, x − y) với S mặt ngồi nón x + y = z (0 ≤ z ≤ h) không kể đáy Giải 2 Bổ sung vào S mặt z = h ; x + y ≤ h hướng lên trên,sau áp dụng O - G I = ∫∫ (y − z)dydz + (z − x)dzdx + (x − y)dxdy = − S ∫∫ (x − y)dxdy = x + y2 ≤ h Do hàm tích phân lẻ theo biến x,y miền lấy tích phân đối xứng nên r F = (3xy , xez ,z3 ) với S mặt giới hạn y + z = , x = −1; x = f) I = ∫∫ 3xy dydz + xez dzdx + z3dxdy = S 2π −1 = ∫ dt ∫ dx ∫ r 3dr = ∫∫∫ y + z ≤1 −1≤ x ≤ ( 3y2 + 3z2 ) dxdydz 9π Với y = r cos t;z = r sin t; x = x ≤ t ≤ 2π ≤ r ≤ 1; − ≤ x ≤ r F = (x, y,z) với S mặt trụ x + y = a ( −a ≤ z ≤ a) không kể đáy g) Giải 22 22 2 2 2 Bổ sung vào S : z = a ; x + y ≤ a hướng lên mặt z = −a ; x + y ≤ a hướng xuống dưới,sau áp dụng O - G I = ∫∫ xdydz + ydzdx + zdxdy S ∫∫∫ =3 dxdydz − 2a x + y2 ≤ a −a ≤ z ≤ a ∫∫ dxdy = 6πa − 2πa = 4πa x + y2 ≤ a r 2 F h) = (x, y ,1) với S mặt trụ x + y = −2ax (a > 0;0 ≤ z ≤ a) không kể đáy Giải Bổ sung vào S : { } hướng lên mặt S1 = z = a ; x + y ≤ −2ax { } S2 = z = 0; x + y ≤ −2ax hướng xuống dưới,sau áp dụng O - G I = ∫∫ xdydz + y dzdx + dxdy S ∫∫∫ = x + y ≤−2ax 0≤z ≤a (1 + 2y)dxdydz − ∫∫ dxdy + ∫∫ dxdy S1 S2 = 2π a a 0 o ∫ dϕ∫ rdr ∫ (1 + 2r sin ϕ)dz = πa 23) Tính I = ∫∫ x y + z dydz S 2 với S mặt giới hạn z + y ≤ x (0 ≤ x ≤ 1) Giải 2 Bổ sung vào mặt y + z ≤ 1; x = theo hướng chiều dương 0x I = ∫∫ x S 23 y + z dydz = 3∫∫∫ x 2 V 2π x 0 y + z dxdydz = ∫ dt ∫ dx ∫ r dr = 2 π 23 y = r cos t;z = r sin t; x = x ≤ t ≤ 2π ≤ r ≤ x ≤ x ≤ 24) Tìm trường véc tơ gradient hàm số: a) f (x, y) = ln(x + 2y) Giải uuuur   gradf (x, y) =  , ÷  x + 2y x + 2y  b) f (x, y) = x y − 3x Giải uuuur gradf (x, y) = (2xy − 3, x )  uuuur x y z gradf (x, y,z) =  , ,  x + y2 + z x + y2 + z x + y2 + z  c) uur 25) Tìm curl hay rot div trường véc tơ: r uurr r a) F = (xy, yz,zx) rotF = (− y, − z, − x) ; divF = x + y + z r x x F b) = (e sin y,e cosy, z) r uurr divF = ; rotF = (0,0,0)  ÷ ÷  r 3 2 F 26) Chứng tỏ trường = (4x y − 2xy , 2x y − 3x y + 4y ) trường dùng điều để tính tích phân ∫ (4x y − 2xy3 )dx + (2x y − 3x y + 4y )dy L dọc theo đường L : x = t + sin πt; y = 2t + cos πt (0 ≤ t ≤ 1) Giải r uurr r F = (4x y − 2xy3 ,2x y − 3x y + 4y3 ) trường rotF = 24 24 ( ⇔ 2x y − 3x y + 4y3 ) ′x = ( 4x3 y2 − 2xy3 ) ′y ⇔ 8x3 y − 6xy2 = 8x3 y − 6xy2 Nên tích phân khơng phụ thuộc đường lấy tích phân,do ta lấy tích phân AB với A(0,1) B(1,1) I = ∫ (4x y − 2xy3 )dx + (2x y − 3x y + 4y3 )dy L ∫ (4x = y − 2xy3 )dx + (2x y − 3x y + 4y3 )dy AB = ∫ (4x − 2x)dx = 0 27) Xét xem trường véc tơ có trường hay khơng Nếu đúng, tìm hàm f ứng với trường véc tơ r r r F = (2x cos y − ycos x)i + ( − x sin y − sin x) j a) Giải r r r uurr r F = (2x cos y − ycos x)i + ( −x sin y − sin x) j trường rotF = ⇔ (2x cos y − ycos x)′y = (− x sin y − sin x)′x ∀(x, y) ∈ ¡ Hàm vị xác định (tích phân lấy theo đường gấp khúc) f (x, y) = ∫ (2x cos y − ycos x)dx + (−x sin y − sin x)dy AB x y 0 = ∫ 2xdx + ∫ (− x sin y − sin x)dy = x cos y + cos y + C Với A(0,0);B(x, y) C = const r r r y x F = xe i + ye j b) 25 25 Giải ′ ′ r r r xe y ) ≠ ( ye x ) ( F = xe i + ye j không trường y x nên trường véc tơ Do y x r 2 3 F 28) Cho = (ax − 3xz , x y + by ,cz ) Tìm giá trị a, b, c để tích phân I = ∫∫ (ax − 3xz )dydz + (x y + by3 )dzdx + cz 3dxdy S không phụ thuộc vào việc 2 chọn mặt S mà biên giao mặt paraboloid hyperbolic z = y − x 2 mặt trụ x + y = định hướng ngược kim đồng hồ nhìn từ bên Giải uuuur r gradU(x, y,z) = F U(x, y,z) Ta có thỏa mãn Đồng thời U(x, y,z) hàm điều hòa tức ∂2 U ∂x + ∂2U ∂y + ∂2 U ∂z =0 2 với mặt S kín giao với mặt trụ x + y = ta ln có  ∂2U ∂2U ∂2U   ∂U  ∂U ∂U ∫∫  ∂x dydz + ∂y dzdx + ∂z dxdy ÷ = ∫∫  ∂x + ∂y2 + ∂z ÷÷dxdydz =0  S S Để I = ∫∫ (ax − 3xz )dydz + (x y + by3 )dzdx + cz3dxdy S không phụ thuộc vào việc r 2 3 F chọn mặt S.Thì trường = (ax − 3xz , x y + by ,cz ) phải trường hàm điều hòa U(x, y,z) tức r divF = ∀(x, y, z) ∈ ¡ ⇔ 3ax − 3z + x + 3by + 3cz = ∀(x, y,z) ∈ ¡ 26 26 ⇔ (3a + 1)x + 3by + 3(c − 1)z = ∀(x, y,z) ∈ ¡ 27 ⇔ a = − ;b = 0;c = 27 ... thuộc đường lấy tích phân, từ tính tích phân L đường nối (-1;0) đến (5;1) Giải 4 ′ x cos y − 3y ) = ( 2x sin y ) ′y ⇔ 2x cos y = 2x cos y ∀x, y ( x Xét Chọn đường nối (-1;0) đến (5;1)là đường. .. y2 » AB Hãy chứng tỏ tích phân lấy tích phân miền đơn liên D ⊂ ¡ không phụ thuộc đường − { (±1;0)} ,từ tính tích phân cung » đường không cắt Ox nối A(0;0) đến B(1;1) AB Giải  ′  ′ − x2 2xy... ) với S mặt x + y + z = a (a > 0) 21 21 Giải I = ∫∫ xdydz + yzdzdx + z dxdy = S ∫∫∫ x + y2 + z2 4πa (1 + 3z)dxdydz = ≤1 Do hàm tích phân lẻ theo biến z miền lấy tích phân đối xứng qua mặt xOy