Bài tập tích phân đường và mặt có lời giải

Chun đề TÍCH PHÂN ĐƯỜNG & MẶT 02.03.1.001.A1072 : Tính tích phân đường  y ds Với C: x = t3 , y = t, ≤ t ≤2 C Lời giải: 2  y ds   t C  dx   dy       dt   t  dt   dt  2  3t   1 dt   t 2 9t  1dt 3      9t  1   145  1 36  54   02.03.1.002.A1072 : Tính tích phân đường  xyds Với C: x = t2, y = 2t, ≤ t ≤ C Lời giải:  xyds   t   2t   2t    2 dt   t 2 C Đặt 2 4t  4dt   4t t  1dt t  u   u  t   du  2tdt 1  u   thay vào biểu thức ta có  32  2 u  udu  u  u   du 1 1   2  52 32  2 8   u  u    2 2   1 3 5 5  15   1 02.03.1.003.A1072 : Tính tích phân đường  xy ds Với C cung bên phải đường tròn x2 + y2 = 16 C Lời giải:  x  cos t   với t  2  y  4sin t Đặt   /2  xy ds   (4 cos t )(4sin t ) ( 4sin t )  (4 cos t ) dt  /2 C  /2    45 cos t sin t 16(sin t  cos t ) dt  /2  /2  /2 46.2 1    4sin t cos tdt   sin t   5   /2  /2 02.03.1.004.A1072 : Tính tích phân đường  x sin yds Với C đoạn thẳng từ điểm (0,3) đến điểm (4,6) C Lời giải:  x  4t  y   3t Đặt  với ≤ t ≤1  x sin yds   (4t )(3  3t ) C Đặt  dt  20 t sin(3  3t )dt 2 du  dt u  t   1  dv  sin(3  3t )dt v  cos(3  3t ) Có  1  C x sin yds  20  t cos(3  3t )  sin(3  3t )  1  1  20  20  cos  sin   sin 3   sin  3cos  sin  9 3  02.03.1.005.A1072 : Tính tích phân đường  (x Với C cung thuộc đường cong y  x từ (1,1) đến y  x )dy C (4,2) Lời giải: Thay y  x , lấy tích phân theo cận x với 1≤x≤4  C ( x y  x )dy  1  x   x 1  x dx   ( x  1)dx  x 21 1 1  243    x  x   64    1  4  1  02.03.1.006.A1072 : Tính tích phân đường  e dx Với C cung thuộc đường cong x  y từ (-1,-1) đến (1,1) x C Lời giải: Thay x  y , lấy tích phân theo cận y với -1≤y≤1 1  e dx   e x y3 1 C y dy  e   e1  e 1  e    e y3 1 02.03.1.007.A1072 : Tính tích phân đường  ( x  y)dx  x dy Với C đường gấp khúc từ (0,0) đến (2,1) từ (2,1) C đến (3,0) Lời giải: C  C1  C2 Với C1 : x  x, y  x  Với x  x, y   x C2 : dy  dx,  x  2  dy  dx,  x   ( x  y)dx  x dy   ( x  y)dx  x dy   ( x  y)dx  x dy 2 C C1 C2  1       x   x   x   dx    x    x   x  1 dx 2     2      x  x dx     x  x dx  0 2 3   1     x  x3   6 x  x  x3  0  2  16 22  0   3 02.03.1.008.A1072 : Tính tích phân đường  x dx  y dy Với C cung tròn thuộc đường tròn 2 x  y  từ (2,0) đến C (0,2) nối với đoạn (0,2) đến (4,3) Lời giải: C  C1  C2   x  cos t  dx  2sin tdt  x  4t  dx  4dt   Với C1 :  y  2sin t  dy  cos tdt , C2 :  y   t  dy  dt 0  t     0  t    x dx  y dy   x dx  y dy   x dx  y dy 2 C C1  /2   2 C2  cos t   2sin tdt    2sin t   cos tdt     4t   4dt     t  dt 2 2  /2     cos t sin t  sin t cos t  dt    65t  4t   dt 0  /2 1 83 1   65   1  65   cos3 t  sin t    t  2t  4t          3 3 0 3 0 3 3 02.03.1.009.A1072 : Tính tích phân đường  xyzds Với C: x  2sin t , y  t , z  2cos t ,  t   C Lời giải:   xyzds    2sin t  t  2cos t  C    4t sin t cos t  2cos t  2  dx   dy   dz          dt  dt   dt   dt   1   2sin t  dt 2    2t sin 2t  cos t  sin t   1dt    1   2  t sin 2tdt  2  t cos 2t  sin 2t  2 0     2         02.03.1.010.A1072 : Tính tích phân đường  xyz ds Với C đoạn thẳng từ (-1,5,0) đến (1,6,4) C Lời giải:  x  1  2t y   t Đặt   z  4t 0  t  1  xyz ds    1  2t   t  4t  C 22  12  42 dt  21   32t  144t  80t  dt 0  t5 t4 t3  80  236  32  21 32  144  80   21   36    21 0  15   02.03.1.011.A1072 : Tính tích phân đường  xe C Lời giải: yz ds Với C đoạn thẳng từ (0,0,0) đến (1,2,3) x  t  y  2t Đặt   z  3t 0  t   xe yz ds   te C 14 1 2   dt  14  te dt  14  e6t    e  1 12 0  2t  3t  2 6t 2 02.03.1.012.A1072 : Tính tích phân đường x  y  z  ds C: x  t , y cos 2t , z  sin 2t ,0  t  2 C Lời giải: Có x 2 2  dx   dy   dz             2sin 2t    2cos 2t    dt   dt   dt   y  z  ds  2  t C 2  cos 2t  sin 2t  5dt    t  1 dt 2 0 2  8  1  1    t  t     8   2     2  3 0 3    02.03.1.013.A1072 : Tính tích phân đường  xye yz C: x  t , y  t , z  t ,0  t  dy C Lời giải: yz  xye dy    t   t  e C 1 t t  2tdt  2t 4et dt   et   e1       5 5 0 02.03.1.014.A1072 : Tính tích phân đường  ydx  zdy  xdz C: x  t , y  t, z  t ,1  t  C Lời giải: 1/  1/ 2 3/  C ydx  zdy  xdz  1 t 2t dt  t dt  t 2tdt  1  t  t  2t dt 4 4 1  64 128 1 722   t 3/  t  t 5/         5 3 15 3 1 3 02.03.1.015.A1072 : Tính tích phân đường  z dx  x dy  y dz 2 Với C đoạn thẳng nối (1,0,0) đến (4,1,2) C Lời giải:  x   3t y  t Đặt   z  2t 0  t  1 2 2  z dx  x dy  y dz    2t  3dt  1  3t  dt  t 2dt    23t  6t  1 dt C 0 23 35  23    t  3t  t    1  3 0 02.03.1.016.A1072 : Tính tích phân đường   y  z  dx   x  z  dy   x  y  dz Với C đoạn gãy khúc từ (0,0,0) đến C (1,0,1) từ (1,0,1) đến (0,1,2) Lời giải: C  C1  C2  x  t  dx  dt  x   t  dx   dt  y   dy  0dt y  t  dy  dt Với C1 :  , C2 :   z  t  dz  dt  z   t  dz  dt 0  t  0  t    y  z  dx   x  z  dy   x  y  dz C    y  z  dx   x  z  dy   x  y  dz    y  z  dx   x  z  dy   x  y  dz C1 C2 1     t  dt   t  t  0dt   t   dt    t   t  dt   1  t   t  dt  1  t  t  dt 0 1 0   2tdt    2t   dt  t    t  2t     0 1 02.03.1.017.A1073 : Cho trường vecto F hình: a) Nếu C1 đoạn thẳng từ (-3,-3) đến (-3,3), xác định xem  F dr dương, C1 âm hay b) Nếu C2 vòng tròn ngược chiều kim đồng hồ tâm gốc tọa độ với bán kính bằng, xác định xem  F dr dương, âm hay C2 Lời giải: a)Dọc đường thẳng x=-3, vecto F có thành phần y dương, kể từ phần phía trên, tích phân F.T ln dương Vì  F dr   F Tds dương C1 C1 b)Tất vecto (trừ vecto 0) dọc theo vịng trịn bán kính 3theo chiều kim đồng hồ, xác định ngược chiều F, nên F.T âm Vì  F dr   F T ds C2 âm C2 02.03.1.018.A1073 : Cho trường vecto F cung C1 C2 hình, tích phân đường F theo C1 C2 âm, dương hay Lời giải: Các vecto điểm C1 hốc chiều với C1, nên thành phần tiếp tuyến F.T dương Do  F dr   F Tds C1 C1 dương Mặt khác, khơng có vecto C2 chiều C2, số vecto cịn có chiều ngược lại nên  F dr   F T ds C2 C2 âm 02.03.1.019.A1073 : Tính tích phân đường  F dr theo C hàm r(t): C F  x, y   xyi  y j , r  t   11t 4i  t j ,0  t  Lời giải: F  r  t    11t  t  i   t  j  11t 7i  3t j , r '  t   44t 3i  3t j , 1  F dr   F  r  t  r '  t  dt   11t 44t C 1  3t 3t  dt    484t  9t  dt   44t  t   45 10 11 02.03.1.020.A1073 : Tính tích phân đường  F dr theo C hàm r(t): C F  x, y, z    x  y  i   y  z  j  z 2k , r  t   t 3i  t j  tk ,0  t  Lời giải: F  r t    t  t  i  t  t  j  t  k , r '  t   2ti  3t j  2tk , 1  F dr   F  r  t  r '  t  dt    2t C 0  2t  3t  3t  2t  dt    5t  t  2t  dt 5 1  17 5   t5  t5  t4    15 6 02.03.1.021.A1073 : Tính tích phân đường  F dr theo C hàm r(t): C F  x, y, z   sin xi  cos yj  xzk r  t   t  t j  tk ,0  t  Lời giải:  F dr   C sin t ,cos  t  , t 3t , 2t ,1 dt    3t sin t  2t cos t  t  dt 0 1      cos t  sin t  t    cos1  sin1 0  02.03.1.022.A1073 : Tính tích phân đường  F dr theo C hàm r(t): C F  x, y, z   xi  yj  xyk , r  t   cos ti  sin tj  tk ,0  t   Lời giai:    1  C F dr 0 cos t ,sin t ,cos t sin t  sin t ,cos t ,1  0 sin t cos tdt   sin t   0 02.03.1.023.A1073 : Sử dụng máy tính để tính tích phân đường, kết lấy tới chữ số thập phân  C  F  x, y   xy i  sin y j  t Với r  t   e ' i  e j 1  t   Fdr Lời giải:     j e F  r  t     et  et i  sin et 2 t t  j i  sin e t r '  t   et i  2tet j Khi ta 2    t t t t t C Fdr  1 F  r  t   r '  t  dt  1 e e  sin e 2te  dt,  e t t     2  2te  t sin e  t dt  1,9633  02.03.1.024.A1073 : Sử dụng máy tính để tính tích phân đường, kết lấy tới chữ số thập phân  C Fdr  F  x, y, z   y sin z i  z sinx j  x sin y k  Với r  t   cos t i  sin t j  sin 5t k 0  t    Lời giải: F  r  t     sin t  sin  sin 5t  i   sin 5t  sin  cos t  j   cos t  sin  sin t  k r '  t    sin t i  cos t j  5cos 5t k Khi ta 2    2 cos  sin   32 cos  sin   512 cos  sin    7 Tích phân kép: 4 x  Q P   dA  D  x y  1  44 x2  3x y  5x y  dydx  7 (dpcm) 02.03.1.017.A1122 : Sử dụng định lý Green tìm cơng lực F  x, y   x  x  y  i  xy j dịch chuyển hạt từ tâm O dọc trục x đến (1,0) dọc theo đoạn thẳng đến (0,1) sau dọc trục y gốc tọa độ Lời giải: Theo định lý Green, W  C F dr  C x  x  y  dx  xy dy  D  y  x  dA Với C phần mô tả đề bài, miền D tam giác tạo C Nên: W   1 x y 1 x  y  x  dydx  0  13 y3  xy  dx  0  13 1  x 3  x 1  x  dx y 0 1 1   1       1  x   x  x3             12     12  12  12 02.03.1.018.A1122 : Một hạt điểm (-2,0), di chuyển theo trục x đến (2,0) theo nửa đường tròn y   x2 điểm xuất phát Sử dụng định lý Green tính cơng dịch chuyển hạt trường lực F  x, y   x, x3  3xy Lời giải: Theo định lý Green, W  C F dr  C xdx   x  3xy  dy  D  3x  y   dA Với D hình bán nguyệt bao C Chuyển sang tọa độ cực, ta có: W  3   1  r d dr  3  r   12  0 02.03.1.019.A1122 : Sử dụng công thức A   xdy    ydx  C C xdy  ydx tính diện C tích miền bên vịm đường cycloid x  t  sin t , y   cos t Lời giải: Giả sử C1 vòm cycloid từ (0,0) đến (2π,0), ứng với ≤ t ≤ 2π  x  2  t  C2 chứa đoạn từ (2π,0) đến (0,0), nên có C2  y  0  t  2  C  C1  C2 thuận chiều kim đồng hồ nên –C có chiều dương Theo đề bài, có: A    ydx   C  2 ydx  C1  ydx   2 2 1  cos t 1  cos t  dt  0  dt  C2 2 1  2cos t  cos t  dt   t  2sin t  12  14 sin 2t   3 02.03.1.020.A1122 : Nếu đường trịn C có bán kính lăn bên ngồi đường tròn x  y  16 , điểm cố định P C vẽ đường epicycloid, với  x  5cost  cos5t phương trình tham số  Vẽ đường epicycloid sử dụng công  y  5sin t  sin 5t thức A   xdy    ydx   xdy  ydx tìm diện tích miền C C C Lời giải: A  xdy   2  5cos t  cos5 t  5cos t  5cos5t  dt C  2  25cos t  30cos t sin 5t  5cos 5t  dt 2  1 1  1    25  t  sin 2t   30  sin 4t  sin10t    30 20  8 0  2 02.03.1.021.A1122 : a) Nếu C đoạn thẳng nối điểm (x1,y1) với (x2,y2), chứng minh  C xdy  ydx  x1 y2  x2 y1 b) Nếu đỉnh đa giác, theo thứ tự ngược chiều kim đồng hồ (x1,y1),(x2,y2)…,(xn,yn).Chứng A minh diện tích đa giác  x1 y2  x2 y1    x2 y3  x3 y2     xn y1  x1 yn  2 c) Tính diện tích ngũ giác có đỉnh (0,0), (2,1), (1,3), (0,2) (-1,1) Lời giải: a) Áp dụng công thức r  t   1  t  r0  tr1 ,  t  1, ta viết phương trình tham   x  1  t  x1  tx2 số  với  t  y   t y  ty     dx   x2  x1  dt =>  dy   y2  y1  dt Có C xdy  ydx  0 1  t  x1  tx2   y2  y1  dt  1  t  y1  ty2   x2  x1  dt     x1  y2  y1   y1  x2  x1   t  y2  y1  x2  x1    x2  x1  y2  y1   dt    x1 y2  x2 y1  dt  x1 y2  x2 y1 b)Ta áp dụng định lý Green với C  C1  C2 Cn với Ci đoạn thẳng nối từ điểm  xi , yi  đến điểm  xi 1, yi 1  i=1,2,…,n-1 Và Cn đoạn thẳng nối  xn , yn  với  x1 , y1  Theo công thức A   xdy    ydx   xdy  ydx C C C =>  D dA  xdy  ydx với D đa giác tạo C C Vì diện tích đa giác là: A  D    dA  D   C1 xdy  ydx C xdy  ydx   xdy  ydx    C2 Cn 1 xdy  ydx   xdy  ydx Cn  Sử dụng công thức câu a, được: A D   c) A    x1 y2  x2 y1    x2 y3  x3 y2     xn 1 yn  xn yn 1    xn y1  x1 yn   2  0.1  2.0    2.3  1.1  1.2  0.3   0.1   1     1  0.1  2      0  2 02.03.1.022.A1122 : Cho D miền giới hạn C mặt phẳng Oxy Sử   dụng định lý Green để chứng minh tọa độ trọng tâm x, y D x x dy,  2A C y y dx với A diện tích miền D  2A C Lời giải: Theo định lý Green: 1 x dy  xdA   xdA  x   2A C 2A D A D  1 y dx    y dA  ydA  y   A C A D A D 02.03.1.023.A1122 : Sử dụng tập 22 tìm trọng tâm phần tư hình trịn bán kính a Lời giải: Giả sử chọn phần tư hình trịn hình bên   x   a /  x dy  C A   a2   y   y dx   a / C Có C  C1  C2  C3 với   x  a cos t x  t x     C1  y  , C2  y  a sin t , C3  y  a  t 0  t  a  0  t  a    0  t   a  /2 0 2 2  x dy   x dy   x dy   x dy   0dt   C1 C C2 C3  a cos t   a cos t  dt  0 0dt a  /2     a cos tdt  a  1  sin t  cos tdt  a sin t  sin t  0  0 4a x x dy   a / C 3  /2  3  /2 a  /2 0 y dx   y dx   y dx   y dx   0dt   C1 C   /2 C2 a sin tdt  a y 3  a / C C3  y dx   /2 a   a sin t   a sin t  dt  0 0dt a  /2 1  cos t  sin tdt  a  13 cos3 t  cos t    a3 4a 3    4a 4a  Vậy x, y   ,   3 3  02.03.1.024.A1122 : Sử dụng tập 22 tìm trọng tâm tam giác với đỉnh (0,0), (a,0) (a,b) với a > 0, b > Lời giải: Có A  ab C  C1  C2  C3 với: x  x x  x x  a  b    C1  y  , C2  y  y , C3  y  x a 0  x  a 0  y  b     x  a; x  b 2 2 2 b x dy  x dy  x dy  x dy   a dy  C C1 C2 C3 0 a x a dx b 1   a b   x   a b  a b  a 2b a  a 3 x x dy  a  2A C  b2  b  2 2 C y dx  C1 y dx  C2 y dx  C3 y dx    a  a x  dx   a x    ab a 1  y y dx  b  2A C 2  Vậy x, y   a, b  3    02.03.1.025.A1122 : Một phiến mỏng có tỉ trọng   x, y    ứng với vùng mặt phẳng Oxy tạo đường kín C Chứng minh momen quán tính là: Ix    y dx, 3 C Iy   x dy 3 C Lời giải: Theo định lý Green: 1    y 3dx      3 y  dA   y  dA  I x D D C Và 1   x3dy     3x  dA   x  dA  I y D D C 02.03.1.026.A1122 : Tìm momen quán tính đĩa trịn bán kính a với khối lượng riêng  Lời giải: 2  1 2 1  I y    x3dy     a cos t  dt  a     cos 2t  cos 4t dt C 3 8   2   a4   a  02.03.1.027.A1122 : Tính tích phân F  x, y   xyi   y  x  j  x2  y   C F dr với C cung kín theo chiều dương bao quanh gốc tọa độ Lời giải: Chọn C’ đường tròn ngược chiều kim đồng hồ với tâm O, bán kính a với a đủ nhỏ để C’ nằm C D miền C C’ 2 2 P x  x  y   xy.2  x  y  y x3  xy    2 y x  y   x2  y  Có: P  Q xy x  y2   y2  2 2 2 Q 2  x  y    y  x   x  y  x x3  xy    2 x x  y    x2  y  y  x2 x 2 Khi  C  Q P  Pdx  Qdy     dA  D 0dA  C ' D x  y   Pdx  Qdy   Và  C F dr   F dr C' Tham số hóa C’ theo r  t   a costi asintj,  t  2 Có:  2  C F dr   F dr C'  a cos t  a sin t  i   a sin t  a cos t  j a cos t  a sin t  2 2  a sin ti  a cos tj  dt   2 2  cos t sin t  cos t dt   cos t sin t  cos t 1  sin t  dt     0 a 2 2    cos tdt   sin t 0  a a = 02.03.1.028.A1122 : Tính tích phân F  x, y   x  y,3x  y  C F dr với C đường cong theo chiều dương bao quanh miền D có diện tích Lời giải: P Q có đạo hàm riêng cấp heo định lý Green:  Q P  F dr  C D  x  y  dA  D   1 dA  A  D   2.6  12 02.03.1.029.A1122 : Nếu F  x, y     yi  xj  x  y2  chứng minh  C F dr = với đường kín C khơng qua khơng chứa gốc tọa độ Lời giải: Với đường kín C không qua không chứa gốc tọa độ, tồn miền D P y x có đạo hàm riêng cấp D nên áp , Q  2 2 x  y x  y     dụng công thức Green Lại có P Q  nên y x  F dr   D C 0dA  02.03.1.030.A1122 : Hoàn thiện trường hợp đặc biệt định lý Green cách chứng minh công thức Q dA D x  Qdy   C 02.03.1.031.A1122 : Sử dụng định lý Green để chứng minh đổi biến tích phân kép với hám f  x, y   :  dxdy   R S   x, y    u, v  dudv Lời giải: Ta có h  h h  h xdy  g u , v du  dv  g u , v  g u , v         R S v  S u v  u h  h        g  u , v     g  u , v   dA S u v v u    g h  h g h  2h       g  u, v    g u, v  dA S u v  u  v  v  u  v  u     x, y   x y x y       dA     S u v S  u, v v u     Chọn dấu + hướng S trùng với chiều dương chọn dấu – ngược lại Trong hai trường hợp, từ A(R) dương, dấu chọn tương tự   x, y    u, v  Kết luận A  R    dxdy   R S   x, y    u, v  dudv 02.03.1.036.A1074 : Tìm lượng khối trọng tâm sợi dây hình xoắn ốc x  t , y  cos t, z  3t,  t   mật độ điểm bình phương khoảng cách tới tâm O Lời giải: m    x  y  z  ds   C  2 x y z t 2 t  1 1    sin t    cos t  dt 2 8   1 2dt     2  3  2 8  0    2  3  2 2  4    3    3 2 2  4 2 4  2 3  2  1  t  1 dt    3   2 3  cos t  t  1 dt   sin t  t  1 dt   3  2  1   ,0,0  Vậy  x , y , z    4     02.03.1.037.A1074 : Nếu sợi dây có mật độ tuyến tính   x, y  nằm dọc cung C mặt phẳng, momen quán tính theo trục x, y là: I x   y   x, y  ds, I y   x   x, y  ds C Lời giải: Có   x, y   k 1  y   x  cos t  0t   y  sin t , ds  dt  C  I x   y   x, y  ds   sin t  k 1  sin t  dt  k   sin t  sin t dt C   0   k  1  cos 2t  dt  k  1  cos t  sin tdt 1 u  cos t    k    1  u  du  Với  2  du   sin tdt  4  k    3   I y   x   x, y  ds  k  cos t 1  sin t  dt C   k   2  cos t dt  k cos t sin tdt  k      0 0  3 02.03.1.038.A1074 : Nếu sợi dây có mật độ tuyến tính   x, y, z  nằm dọc cung C không gian, momen quán tính theo trục x, y, z là: I x    y  z    x, y, z  ds , I y    x  z    x, y, z  ds C C I z    x  y    x, y, z  ds C Tìm momen qn tính sợi dây hình xoắn ốc x  2sin t , y  2cos t , z  3t ,  t  2 Lời giải:  2cos t    x, y, z   k Có ds  đặt   2sint   32 dt   cos t  sin t   9dt  13dt , I x    y  z    x, y, z  ds   C 2 2  4cos t  9t   k  13dt  1    13k   t  sin 2t   3t   13k  4  24    2 0  13 k 1  6  I y    x  z    x, y, z  ds   C 2  4sin t  9t   k  13dt 2  1    13k   t  sin 2t   3t   13k  4  24    2 0  13 k 1  6  I z    x  y    x, y, z  ds   C 2  4sin t  4cos t   k  13dt 2  13k  dt  8 13k 02.03.1.039.A1074 : Tìm cơng thực trường lực F  x, y   xi   y   j làm hạt di chuyển dọc cung cycloid r  t    t  sin t  i  1  cos t  j,  t  2 Lời giải: W   F dr   C  2  2 0 2 t  sin t 3t ,3  cos t  cos t ,sin t dt  t  t cos t  sin t  sin t cos t  3sin t  sin t cos t  dt  t  t cos t  2sin t  dt 2 1    t   t sin t  cos t   2cos t   2 2 0 02.03.1.047.A1074 : a)Chứng minh trường lực không đổi không sinh công di chuyển hạt hết vòng đường tròn x2  y  b) Điều có đúng với trường F  x   kx , k số x  x, y Lời giải: a) r  t   cos t ,sin t ,  t  2 Với F  a, b  W   F dr C 2   2 a, b  sin t ,cos t dt  a sin t  b cos t dt   a cos t  b sin t 0  2 b) Có F  x, y   kx  kx, ky 2 W   F dr   C 2  k cos t , k sin t  sin t ,cos t dt  k sin t cos t  k sin t cos t  dt 2   0dt  0 02.03.1.048.A1074 : Một hàng rào hình trịn bán kính 10m cho x  10cos t , y  10sin t Chiều cao hàng rào ứng với tọa  x, y  độ tuân theo hàm h  x, y    0.01 x  y  chiều cao thay đổi từ 3m đến 5m Giả sử 1l sơn quét 100m2 Phác thảo hàng rào tính xem cần lít sơn để phủ kín hai mặt hàng rào Lời giải: Khảo sát hàng rào mặt phẳng xy, Tâm gốc tọa độ, chiều cao z  h  x, y  Có thể mơ tả hàng rào phương trình  x  10cos u tham số   y  10sin u   2  z  v   0.01 10cos u   10sin u      v   cos u  sin u   v   cos 2u  ,  u  2 ,  v   x  10cos t  Diện tích hàng rào  h  x, y  ds với C  y  10sin t C 0  t  2    2   0.01 10cos t 2  10sin t 2  h x , y ds    C 0    2   cos 2t   10sin t   10cos t  dt 100dt 2   =10  4t  sin 2t   10 8   80 m 2  0 Nếu sơn mặt, tổng diện tích 160 m2, với 1l sơn 100 m2 160  16  5.03 (l) Chúng ta cần 100 02.03.1.049.A1074 : Nếu C cung cho hàm vecto r  t  , a  t  b v vecto không đổi  Chứng minh: C v.dr  v  r  b   r  a   Lời giải: Giả sử: r  t   x  t  , y  t  , z  t  ; v  v1 , v2 , v3 Có:  C v.dr   v1 , v2 , v3 x '  t  , y '  t  , z  t  b a b =  v1 x '  t   v2 y '  t   v3 z ' t  dt a  v1 x  t   v2 y  t   v3 z t   a b  v1 x  b   v2 y  b   v3 z b    v1x  a   v2 y  a   v3 z  a    v1  x  b   x  a    v2  y b   y  a    v3  z b   z  a    v1 , v2 , v3 x  b   x  a  , y b   y  a  , z b   z  a   v1 , v2 , v3  x  b  , y  b  , z b   x  a  , y  a  , z  a    v  r  b   r  a   02.03.1.050.A1074 : Nếu C cung cho hàm vecto r  t  , a  t  b Chứng minh:  C r.dr  | r  b  |2  | r  a  |2  Lời giải: Với r  t   x  t  , y  t  , z  t  :  C r.dr   x  t  , y  t  , z  t  x '  t  , y '  t  , z '  t  b a    x  t  x '  t   y  t  y '  t   z  t  z '  t  dt a b b 2 2 1 1    x  t     y  t     z  t    2 2 a 2 2 2   x  b     y  b     z  b     x  a     y  a     z  a  2   r b  r  a    2     ... đốn tích phân đường F C tích cực, tiêu cực khơng Sau tính tích phân đường F(x, y) = (x – y) i + xy j Với C cung đường tròn x2 + y2 = theo chiều kim đồng hồ từ (2, 0) đến (0, -2) Lời giải: Ta có. .. máy tính để tính tích phân đường, kết lấy tới chữ số thập phân  C C   x, y, z    t , t , e  t  Với  0  t  ze xy ds Lời giải: Với (x,y,z) = (t2, t3, t4) ta có tích phân sau  C ze... tính để tính tích phân đường, kết lấy tới chữ số thập phân  C x sin  y  z  ds C   x, y, z    t , t , t  Với  0  t  Lời giải: Với (x,y,z) = (t2, t3, t4) ta có tích phân sau  C