Bài tập chuỗi số và chuỗi hàm có lời giải

Bài tập chuỗi số và chuỗi hàm có lời giải Bài tập chuỗi số và chuỗi hàm có lời giải Bài tập chuỗi số và chuỗi hàm có lời giải Bài tập chuỗi số và chuỗi hàm có lời giải Bài tập chuỗi số và chuỗi hàm có lời giải

ĐẠI SỐ

Chuyên đề 1: Chuỗi số và chuỗi hàm

Bài 01.04.1.172.A.141

(a) Đồ thị hàm số

có bao nhiêu tiệm cận ngang và tiệm cận đứng ?

Sử dụng đồ thị hàm số để tính giá trị của giới hạn

(b) Bằng việc tính giá trị của f x , ước tính các giá trị giới hạn trong phần (a) 

(c) Tính chính xác giá trị giới hạn trong phần (a) Kết quả đã nhận được giốnghay khác nhau

Ta thậy : y 0.5 vày 0.5 là hai tiệm cận đứng.

Bởi vậy ta tính được rằng :

Với : x 0 ta có

bởi vậy khi ta chia cho x với x 0 ta có :

Như vậy :

Bài 01.04.1.173.A.142

Tìm phương trình hàm số f thỏa mãn các điều kiện dưới đây :

Lời giải:

(1) Ta có :

 mức độ tử số < mức độ mẫu số(2) Ta có :

 Có 1 phần tử x2 ở mẫu số(3) Ta có :

vì x  3 , 2 x   

Khi x     f x    

vì x   3 , 2 x  

Vẽ phác họa đồ thị hàm số :

 không có sự thay đổi tại x 0

 hàm số sẽ thay đổi tại x 1 và x 1

Khi : x   f x     

vì x 4 0 và 1 x 2   

Vẽ phác họa đồ thị hàm số :

 không có sự thay đổi tại x 2

 hàm số sẽ thay đổi tại x 1 và x 0

Khi : x    f x   

vì x  3

x  1  Khi : x     f x   

 không có sự thay đổi tại x 1 và x 1

 hàm số sẽ thay đổi tại x 3

Khi : x    f x    

vì 3 x    

x 12  

1 x 4  

 không có sự thay đổi tại x 1, x 1 và x 0

 hàm số sẽ thay đổi tại x 2

vì x 12  

x  12  

Như vậy theo định lý Squeeze :

(b) Theo phần (a), tiệm cận ngang là y 0

Hàm số :

cắt tiệm cận ngang khi sinx 0

x n

  với mọi nNhư vậy , hàm số cắt tiệm cận ngang vô số lần

Như vây :

Bài 01.04.1.184.A.143

Sử dụng định nghĩa 8 để chứng minh rằng

(b) Phương trình của đường tiếp tuyến là

(b) Phương trình của đường tiếp tuyến là

hoặc

với đường tiếp tuyến y2x2 tại điểm 1,0 

Bài 01.04.1.189.A.150

Tìm phương trình đường tiếp tuyến của đường cong tại điểm cho sẵn

Như vậy phương trình đường tiếp tuyến là

Như vậy phương trình đường tiếp tuyến là

Bài 01.04.1.192.A.150

Tìm phương trình đường tiếp tuyến của đường cong tại điểm cho sẵn

Bài 01.04.1.193.A.150

(a) Tìm phương trình tiếp tuyến của đường cong

tại điểm x a

(b) Tìm phương trình đường tiếp tuyến tại các điểm 1,5 , 2,3   

(c) Vẽ đồ thị đường cong và cả hai tiếp tuyến

(c) Vẽ đồ thì đường cong và hai đường tiếp tuyến

Lời giải:

(a) Sử dụng (1) với phương trình và điểm P

1

y x

Như vậy , vận tốc sau t 2 là v24 /ft s

Như vậy, vận tốc của viên đá tại thời điểm t a là v10 3.72 a m s /(c) Viên đá sẽ chạm bề mặt khi H 0

(d) Khi chạm bề mặt, vân tốc của viên đá là :

Như vậy, vận tốc viên đá khi chạm bề mặt là v10 /m s

Bài 01.04.1.197.A.151

Việc dịch chuyển của một hạt chuyển động trong một ống thẳng được chobởi phương trình chuyển động

với đơn vị của t là giây (s).

Tìm vận tốc của hạt chuyển động tại thời điểm t a t , 1,t 2,t3

Lời giải:

Ta có :

Như vậy :

Bài 01.04.1.198.A.151

Việc dịch chuyển của một hạt chuyển động trong một ống thẳng được chobởi phương trình chuyển động

với đơn vị của t là giây (s).

(a) Tìm vận tốc trung bình tại mỗi khoảng

(b) Ta có :

Bởi vậy :

(c) Đồ thi hàm s

Phương trình đường tiếp tuyến là

Phương trình đường tiếp tuyến là

(b) Vẽ đồ thì đường cong và đường tiếp tuyến

Lời giải:

(a) Sử dụng (4) với phương trình

ta có :

Tại điểm 2,8 ta có :

Tại điểm 3,9 ta có :

phương trình đường tiếp tuyến tại 3,9 

(b) Vẽ đồ thì đường cong và đường tiếp tuyến

Bài 01.04.1.203.A.151

Tìm f a ' 

Lời giải:

Sử dụng (4) với phương trình

ta có :

Lời giải:

Sử dụng (4) với phương trình

ta có :

Bài 01.04.1.209.A.151

Mỗi giới hạn đại biểu cho một đạo hàm của hàm số f tại điểm a.Tìm hàm số f và a

Bài 01.04.1.214.A.151

Một sự di chuyển của hạt chuyển động với phương trình

với s được đo bằng meter (m)

t được đo bằng giây (s)Tìm vận tốc khi t 5

Lời giải:

Ta có :

Như vậy tốc độ hạt chuyển động sau t 5 là v1 /m s

Bài 01.04.1.215.A.151

Một sự di chuyển của hạt chuyển động với phương trình

với s được đo bằng meter (m)

t được đo bằng giây (s)Tìm vận tốc khi t 5

Lời giải:

Ta có :

Như vậy tốc độ hạt chuyển động sau t 5 là v1.04 /m s

Bài 01.04.1.216.A.152

Số thuê bao điện thoại di đông N của Mĩ được thể hiện trong bảng sau

(a) Tìm tỉ lệ gia tăng trung bình trong khoảng

Như vậy mỗi năm có 20.5 triệu số thuê bao di động tăng lên.

(iii) Trong năm  2000,2002 ta có :

Như vậy mỗi năm có 16 triệu số thuê bao di động tăng lên

(b) Từ giá trị của (ii) và (iii) ta có

Như vậy sự tăng trưởng tức thời năm 2002 là 18.25 triệu số thuê bao di động

(c) Ước tính A 2000,107 

2004,175

Bài 01.04.1.217.A.152

Số địa điểm quán cà phê công cộng N được thể hiện trong bảng sau

(a) Tìm tỉ lệ gia tăng trung bình trong khoảng

Như vậy mỗi năm có 2571 địa điểm tăng lên.

(iii) Trong năm  2005,2006 ta có :

Như vậy mỗi năm có 2199 địa điểm tăng lên

(b) Từ giá trị của (ii) và (iii) ta có

Như vậy sự tăng trưởng tức thời năm 2006 là 2385 địa điểm

(c) Ước tính A 2005,10060 

B2007,14800 

Độ dôc tại năm 2002 là

Như vậy độ dốc sự tăng trưởng tại năm 2005 là 2370 địa điểm

Bài 01.04.1.218.A.152

Chi phí về sản xuất x của 1 loại hàng hóa nào đó là

(a) Tính tỉ lệ trung bình thay đổi của C liên quan tới x khi tiến độ sản xuất thayđổi

(i) từ x 100 tới x 105

(ii) từ x 100 tới x 101

(b) Tìm tỉ lệ thay đổi tức thời của C khi x 100

(d) Sử dụng định nghĩa đạo hàm để chứng minh rằng kết quả phần (c) là chínhxác

Lời giải:

(a) Bằng cách phóng to , ta tính được

(b) Bằng phương pháp đối xứng ta có

như vậy :

(c) Xuất hiện f x bằng 2 lần giá trị của '  x

Nên ta dự đoán phương trình

(d) Ta có

(c) Đồ thị hàm số

Lời giải:

Ta có

Miền của f = miền của f ' = R

Bài 01.04.1.227.A.163

Tính đạo hàm của hàm số sử dụng định nghĩa của đạo hàm

Miền của f = miền của f ' = R

Bài 01.04.1.228.A.163

Tính đạo hàm của hàm số sử dụng định nghĩa của đạo hàm

Lời giải:

Ta có

Miền của g = miền của g' = 0, 

Bài 01.04.1.229.A.163

Tính đạo hàm của hàm số sử dụng định nghĩa của đạo hàm

Lời giải:

Ta có

Miền của g =  ,9 , miền của g' =  ,9

Bài 01.04.1.230.A.163

Tính đạo hàm của hàm số sử dụng định nghĩa của đạo hàm

Lời giải:

Ta có

Miền của f = miền của ' ,3 3,

Miền của G = miền của G    '  , 3  3,

Miền của f = miền của f   ' 0, 

Bài 01.04.1.233.A.163

Tính đạo hàm của hàm số sử dụng định nghĩa của đạo hàm

Lời giải:

Ta có

Miền của f = miền của f 'R

Bài 01.04.1.234.A.163

(a) Vẽ đồ thì hàm số

Bằng cách sử dụng đồ thị hàm y  x

(b) Sừ dụng đồ thị hàm số phần (a) để vẽ đồ thị hàm số f '(c) Tính f x ' 

Tìm miền của f f, '

(d) Sừ dụng để vẽ đồ thị hàm số f ' và so sánh với phần (b)

Lời giải:

(a) Đồ thị hàm số

y x

Đồ thị hàm số

(b) Đồ thị hàm số f '

(c) Ta có :

Miền của f    ,6 , miền của f   '  ,6

Lời giải:

(a) Ta có

Lời giải:

(a) Ta có

 tiếp tuyến ngang vô nghiệm.

Cả 2 đều bị gián đoạn tại x 0

Bài 01.04.1.237.A.163

Sử dụng định nghĩa tính f x f' , " x

Sau đó vẽ đồ thì hàm f f f, ', "

Lời giải:

Ta có :

Vẽ đồ thị hàm số

Bài 01.04.1.238.A.163

Sử dụng định nghĩa tính f x f' , " x

Sau đó vẽ đồ thì hàm f f f, ', "

Lời giải:

Ta có :

Vẽ đồ thị hàm số

có 1 tiếp tuyến dọc tại 0,0 

(d) Minh họa phần (c) bằng cách vẽ đồ họa

Lời giải:

(a) Ta có

giới hạn bên trái là :

 không có giới hạnNhư vậy :

 Không tồn tại giới hạn

 f không khả vi tại 6

Tuy nhiên ta có công thức cho f ' là

hoặc

Lời giải:

Ta có :

Hoặc ta có thể tính :

Bài 01.04.1.244.A.167

Bài 01.04.1.247.A.167

Tìm giới hạn :

Bài 01.04.1.249.A.167

Tìm giới hạn :

Lời giải:

Ta có :

Bài 01.04.1.252.A.167

Tìm giới hạn :

sau đó chia mẫu số bởi x , x 0 ta được

Như vậy :

 y 1 là tiệm cận ngang

Miền của f    ,0  1,

Với

 x 0 không phải tiệm cận đứng

 x 1 không phải tiệm cận đứng

(b) Phương trình đường tiếp tuyến là :

hay