Bài tập tích phân hàm mũ, logarit có lời giải

Bài tập Tích phân hoctoancapba.com Trần Sĩ Tùng TP4: TÍCH PHÂN HÀM SỐ MŨ - LOGARIT Dạng 1: Đổi biến số Câu 1. x x e I dx e 2 1 = + ∫ • Đặt x x x t e e t e dx tdt 2 2= ⇒ = ⇒ = . t I dt t 3 2 1 ⇒ = = + ∫ t t t t C 3 2 2 2 2ln 1 3 − + − + + x x x x x e e e e e C 2 2 2ln 1 3 = − + − + + Câu 2. x x x x e I dx x e 2 ( ) − + = + ∫ • x x x x e I dx x e 2 ( ) − + = + ∫ = x x x xe x e dx xe .( 1) 1 + + ∫ . Đặt x t x e. 1= + ⇒ x x I xe xe C1 ln 1= + − + + . Câu 3. x dx I e 2 9 = + ∫ • Đặt x t e 2 9= + ⇒ dt t I C t t 2 1 3 ln 6 3 9 − = = + + − ∫ x x e C e 2 2 1 9 3 ln 6 9 3 + − = + + + Câu 4. x x x x I dx ex e 2 2 2 1 ln(1 ) 2011 ln ( ) + + + =   +   ∫ • Ta có: x x I dx x x 2 2 2 ln( 1) 2011 ( 1) ln( 1) 1   + +   =   + + +   ∫ . Đặt t x 2 ln( 1) 1= + + ⇒ t I dt t 1 2010 2 + = ∫ t t C 1 1005ln 2 = + + = x x C 2 2 1 1 ln( 1) 1005ln(ln( 1) 1) 2 2 + + + + + + Câu 5. e x x xe J dx x e x 1 1 ( ln ) + = + ∫ • e x e e x x d e x e J e x e e x 1 1 ( ln ) 1 ln ln ln ln + + = = + = + ∫ Câu 6. x x x x x e e I dx e e e ln2 3 2 3 2 0 2 1 1 + − = + − + ∫ • x x x x x x x x x e e e e e e I dx e e e ln2 3 2 3 2 3 2 0 3 2 ( 1) 1 + − − + − + = + − + ∫ = x x x x x x e e e dx e e e ln2 3 2 3 2 0 3 2 1 1   + − −  ÷  ÷ + − +   ∫ = x x x e e e x 3 2 ln2 ln2 ln( – 1) 0 0 + + − = ln11 – ln4 = 14 ln 4 Câu 7. ( ) x dx I e 3ln2 2 3 0 2 = + ∫ • ( ) x x x e dx I e e 3ln2 3 2 0 3 3 2 = + ∫ . Đặt x x t e dt e dx 3 3 1 3 = ⇒ = ⇒ I 3 3 1 ln 4 2 6   = −  ÷   Trang 26 Bài tập Tích phân hoctoancapba.com Trần Sĩ Tùng Câu 8. x I e dx ln2 3 0 1= − ∫ • Đặt x e t 3 1− = ⇒ t dt dx t 2 3 3 1 = + ⇒ I = dt t 1 3 0 1 3 1 1   −  ÷ +   ∫ = dt t 1 3 0 3 3 1 − + ∫ . Tính dt I t 1 1 3 0 3 1 = + ∫ = t dt t t t 1 2 0 1 2 1 1   − +  ÷ + − +   ∫ = ln2 3 π + Vậy: I 3 ln2 3 π = − − Câu 9. ( ) x x x x x x e e dx I e e e e ln15 2 3ln2 24 1 5 3 1 15 − = + + − + − ∫ • Đặt x x t e t e 2 1 1= + ⇒ − = x e dx tdt2⇒ = . ( ) t t dt I dt t t t t t t 4 4 2 4 2 3 3 3 (2 10 ) 3 7 2 2 3ln 2 7ln 2 2 2 4   − = = − − = − − − +  ÷ − + −   ∫ ∫ 2 3ln2 7ln6 7ln5= − − + Câu 10. ln3 2 ln 2 1 2 x x x e dx I e e = − + − ∫ • Đặt t = x e 2− ⇒ x e dx tdt 2 2= ⇒ I = 2 t tdt t t 1 2 2 0 ( 2) 1 + + + ∫ = 2 t t dt t t 1 2 0 2 1 1 1   + − +  ÷ + +   ∫ = t dt 1 0 2 ( 1)− ∫ + d t t t t 1 2 2 0 ( 1) 2 1 + + + + ∫ = t t 1 2 0 ( 2 )− + t t 1 2 0 2ln( 1)+ + = 2ln3 1− . Câu 11. x x x x e e I dx e e ln3 3 2 0 2 4 3 1 − = − + ∫ • Đặt x x x x x x t e e t e e tdt e e dx 3 2 2 3 2 3 2 4 3 4 3 2 (12 6 )= − ⇒ = − ⇒ = − x x tdt e e dx 3 2 (2 ) 3 ⇒ − = tdt I dt t t 9 9 1 1 1 1 1 (1 ) 3 1 3 1 ⇒ = = − + + ∫ ∫ t t 9 1 1 8 ln5 ( ln 1) . 3 3 − = − + = Câu 12. ∫ −= 3 16 ln 3 8 ln 43 dxeI x • Đặt: x x t t e e 2 4 3 4 3 + = − ⇒ = tdt dx t 2 2 4 ⇒ = + t dt I dt dt t t 2 3 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 8 4 4 ⇒ = = − + + ∫ ∫ ∫ ( ) I 1 4 3 1 8= − − , với dt I t 2 3 1 2 2 4 = + ∫ Tính dt I t 2 3 1 2 2 4 = + ∫ . Đặt: t u u2tan , ; 2 2 π π   = ∈ −  ÷   dt u du 2 2(1 tan )⇒ = + Trang 27 Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân I du 3 1 4 1 1 2 2 3 4 24 π π π π π   ⇒ = = − =  ÷   ∫ . Vậy: I 4( 3 1) 3 π = − − Câu 13. x x e I dx e ln3 3 0 ( 1) = + ∫ • Đặt x x x x tdt t e t e tdt e dx dx e 2 2 1 1 2= + ⇔ = + ⇔ = ⇒ = tdt I t 2 3 2 2 2 1⇒ = = − ∫ Câu 14. x x e I dx e ln5 2 ln2 1 = − ∫ • Đặt x x x tdt t t e t e dx I t d t e 2 2 3 2 2 1 1 2 20 1 1 2 ( 1) 2 3 3   = − ⇔ = − ⇒ = ⇒ = + = + =  ÷   ∫ Câu 15. x I e dx ln2 0 1= − ∫ • Đặt x x x x td td t e t e tdt e dx dx e t 2 2 2 2 1 1 2 1 = − ⇒ = − ⇒ = ⇒ = = + t I dt dt t t 1 1 2 2 2 0 0 2 1 4 2 1 2 1 1 π   − ⇒ = = − =  ÷ + +   ∫ ∫ Câu 16. x x x x I dx 2 1 2 2 4 4 2 − − − = + − ∫ • Đặt x x t 2 2 − = + ⇒ x x x x 2 4 4 2 (2 2 ) 4 − − + − = + − ⇒ 1 81 ln 4ln 2 25 =I Câu 17. 1 0 6 9 3.6 2.4 = + + ∫ x x x x dx I • Ta có: x x x dx I 1 2 0 3 2 3 3 3 2 2 2    ÷   =     + +  ÷  ÷     ∫ . Đăt x t 3 2   =  ÷   . dt I t t 3 2 2 1 1 ln3 ln2 3 2 = − + + ∫ ln15 ln14 ln3 ln2 − = − Câu 18. e x I x x dx x x 2 1 ln 3 ln 1 ln   = +  ÷ +   ∫ • e e x I dx x xdx x x 2 1 1 ln 3 ln 1 ln = + + ∫ ∫ = 2(2 2) 3 − + e 3 2 1 3 + = e 3 5 2 2 2 3 − + Câu 19. e x x I dx x 3 2 1 ln 2 ln+ = ∫ Trang 28 Bài tập Tích phân hoctoancapba.com Trần Sĩ Tùng • Đặt t x 2 2 ln= + ⇒ x dt dx x 2ln = ⇒ I tdt 3 3 2 1 2 = ∫ ( ) 3 3 4 4 3 3 2 8 = − Câu 20. e e dx I x x ex 2 ln .ln = ∫ • e e e e dx d x I x x x x x 2 2 (ln ) ln (1 ln ) ln (1 ln ) = = + + ∫ ∫ = e e d x x x 2 1 1 (ln ) ln 1 ln   −  ÷ +   ∫ = 2ln2 – ln3 Câu 21. x x x e I dx e e ln6 2 ln4 6 5 − = + − ∫ • Đặt x t e= . I 2 9ln3 4ln2 = + − Câu 22. e x I dx x x 3 2 2 1 log 1 3ln = + ∫ • e e e x x x xdx I dx dx x x x x x x 3 3 2 2 3 2 2 2 1 1 1 ln log ln2 1 ln . ln . ln 2 1 3ln 1 3ln 1 3ln    ÷   = = = + + + ∫ ∫ ∫ Đặt dx x t x t x tdt x 2 2 2 1 1 1 3ln ln ( 1) ln . 3 3 + = ⇒ = − ⇒ = . Suy ra I t t 2 3 3 3 1 1 1 4 3 9ln 2 27ln 2   = − =  ÷   . Câu 23. e x x x I dx x x 1 ( 2)ln (1 ln ) + − = + ∫ • e e x dx dx x x 1 1 ln 2 (1 ln ) − + ∫ ∫ = e x e dx x x 1 ln 1 2 (1 ln ) − − + ∫ Tính J = e x dx x x 1 ln (1 ln )+ ∫ . Đặt t x1 ln = + ⇒ t J dt t 2 1 1 1 ln2 − = = − ∫ . Vậy: I e 3 2ln2= − + . Câu 24. e e x x x x I dx x x 3 2 2 2 2 ln ln 3 (1 ln ) − + = − ∫ • e e e e I dx xdx x x 3 3 2 2 1 3 2 ln (1 ln ) = − − ∫ ∫ e e 3 2 3ln2 4 2= − − + . Câu 25. e x x I dx x 2 2 2 2 1 ln ln 1− + = ∫ • Đặt : dx t x dt x ln= ⇒ = ⇒ t t t t t t t t t I dt dt dt dt I I e e e e 2 2 2 1 2 1 2 0 0 0 1 2 1 1 1 1− + − − − = = = − + = + ∫ ∫ ∫ ∫ + t t t t t tdt dt dt dt I te e e e e e 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 −     = − − = − − + − =  ÷  ÷     ∫ ∫ ∫ ∫ + t t t t t t tdt dt dt dt I te te e e e e e e 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 2 − − = − = − + − = − = − ∫ ∫ ∫ ∫ Trang 29 Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân Vậy : e I e 2 2( 1)− = Câu 26. 5 2 ln( 1 1) 1 1 − + = − + − ∫ x I dx x x • Đặt ( ) t xln 1 1= − + ⇒ dx dt x x 2 1 1 = − + − ⇒ I dt ln3 2 2 ln2 2 ln 3 ln 2= = − ∫ . Câu 27. 3 3 1 ln 1 ln = + ∫ e x I dx x x • Đặt dx t x x t tdt x 2 1 ln 1 ln 2= + ⇒ + = ⇒ = và x t 3 2 3 ln ( 1)= − ⇒ t t t t I dt = dt t t t dt t t t 2 2 2 2 3 6 4 2 5 3 1 1 1 ( 1) 3 3 1 1 ( 3 3 ) − − + − = = − + − ∫ ∫ ∫ 15 ln2 4 = − Câu 28. e x I dx x x 1 3 2ln 1 2ln − = + ∫ • Đặt t x1 2ln= + ⇒ e I t dt 2 1 (2 )= − ∫ = 3 524 − Câu 29. e x x I dx x 3 2 1 ln 2 ln+ = ∫ • Đặt t x 2 2 ln= + ⇒ I 3 3 4 4 3 3 2 8   = −   Câu 30. 1 1 ( ln ) + = + ∫ e x x xe I dx x e x • Đặt x t e xln= + ⇒ 1 ln + = e e I e . Trang 30 Bài tập Tích phân hoctoancapba.com Trần Sĩ Tùng Dạng 2: Tích phân từng phần Câu 31. inx I e xdx 2 s 0 .sin2 π = ∫ • inx I e x xdx 2 s 0 2 .sin cos π = ∫ . Đặt x x u x du xdx dv e xdx v e sin sin sin cos cos   = = ⇒   = =   x x x I xe e xdx e e 2 sin sin sin 2 2 0 0 0 2sin .cos 2 2 2 π π π ⇒ = − = − = ∫ Câu 32. I x x x dx 1 2 0 ln( 1)= + + ∫ • Đặt x du dx u x x x x dv xdx x v 2 2 2 2 1 ln( 1) 1 2  + =    = + + + + ⇒   =   =   x x x I x x dx x x 1 1 2 3 2 2 2 0 0 1 2 ln( 1) 2 2 1 + = + + − + + ∫ x dx x dx dx x x x x 1 1 1 2 2 0 0 0 1 1 1 2 1 3 ln3 (2 1) 2 2 4 4 1 1 + = − − + − + + + + ∫ ∫ ∫ 3 3 ln3 4 12 π = − Câu 33. x I dx x 8 3 ln 1 = + ∫ • Đặt u x dx du dx x dv v x x ln 2 1 1   = =   ⇒   =   = + +   ( ) x I x x dx J x 8 8 3 3 1 2 1.ln 2 6ln8 4ln3 2 + ⇒ = + − = − − ∫ + Tính x J dx x 8 3 1+ = ∫ . Đặt t t t x J tdt dt dt t t t t 3 3 3 2 2 2 2 2 2 1 1 1 .2 2 2 1 1 1 1   = + ⇒ = = = + −  ÷ − + − −   ∫ ∫ ∫ t t t 8 3 1 2 ln 2 ln3 ln2 1   − = + = + −  ÷ +   Từ đó I 20ln2 6ln3 4 = − − . Câu 34. e x x x x I e dx x 2 1 ln 1+ + = ∫ • e e e x x x e I xe dx xe dx dx x 1 1 1 ln= + + ∫ ∫ ∫ . + Tính e e e x x x e I xe dx xe e dx e e 1 1 1 1 ( 1)= = − = − ∫ ∫ +Tính e e e x x e x x e e e I e xdx e x dx e dx x x 2 1 1 1 1 ln ln= = − = − ∫ ∫ ∫ . Vậy: e x e I I I dx x 1 2 1 = + + ∫ = e e 1+ . Trang 31 Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân Câu 35. e x I x dx x x 2 1 ln ln 1 ln   = +  ÷ +   ∫ • Tính e x I dx x x 1 1 ln 1 ln = + ∫ . Đặt t x1 ln= + ⇒ I 1 4 2 2 3 3 = − . + Tính e I xdx 2 2 1 ln= ∫ . Lấy tích phân từng phần 2 lần được I e 2 2= − . Vậy I e 2 2 2 3 3 = − − . Câu 36. 2 3 2 1 ln( 1)x I dx x + = ∫ • Đặt x du u x x dx dv v x x 2 2 3 2 2 ln( 1) 1 1 2   = = +    + ⇒   =   = −    . Do đó I = x dx x x x 2 2 2 2 1 2 ln( 1) 1 2 ( 1) + − + + ∫ x dx x x 2 2 1 ln2 ln5 1 2 8 1   = − + −  ÷ +   ∫ dx d x x x 2 2 2 2 1 1 ln2 ln5 1 ( 1) 2 8 2 1 + = − + − + ∫ ∫ x x 2 2 ln2 ln5 1 ln | | ln | 1| 2 8 2 1   = − + − +  ÷   = 5 2ln2 ln5 8 − Câu 37. x I = dx x 2 2 1 ln( 1)+ ∫ • Đặt dx u x du dx x dx I x dv x x x v x x 2 2 1 ln( 1) 1 3 2 1 ln( 1) 3ln2 ln3 1 1 ( 1) 2   = + =   + ⇔ ⇒ = − + + = −   = +   = −   ∫ Câu 38. x I x dx x 1 2 0 1 ln 1   + =  ÷ −   ∫ • Đặt du dx x u x x x dv xdx v 2 2 2 1 ln (1 ) 1 2  =  +    = − ⇒   −   =  =   ⇒ x I x x dx x x 1 2 2 2 2 0 1 1 1 2 ln 2 2 1 1 0         +   = −  ÷  ÷ −   −         ∫ x dx dx x x x 1 1 2 2 2 2 0 0 ln3 ln3 1 ln3 1 1 2 1 ln 8 8 ( 1)( 1) 8 2 2 3 1   = + = + + = + +   − + −   ∫ ∫ Câu 39. I x x dx x 2 2 1 1 .ln   = +  ÷   ∫ • Đặt u x x dv x dx 2 1 ln    = +   ÷     =  ⇒ I 10 1 3ln3 ln2 3 6 = − + Câu 40. I x x dx 1 2 2 .ln(1 ) 0 = + ∫ • Đặt u x dv x dx 2 2 ln(1 )   = +  =   ⇒ I 1 4 .ln2 3 9 6 π = + + Trang 32 Bài tập Tích phân hoctoancapba.com Trần Sĩ Tùng Câu 41. x I dx x 3 2 1 ln ( 1) = + ∫ • Đặt u x dx dv x 2 ln ( 1)  =   =  +  ⇒ I 1 3 ln3 ln 4 2 = − + Câu 42. 2 2 1 ln ( ln ) . 1 + + = + ∫ e x x x x e e x I dx e • Ta có: e e x x e I x dx dx H K e 2 2 1 1 ln . 1 = + = + + ∫ ∫ + e H x dx 2 1 ln .= ∫ . Đặt: u x dv dx 2 ln  =  =  ⇒ e H e x dx e 1 2ln . 2= − = − ∫ + e x x e K dx e 2 1 1 = + ∫ . Đặt x t e 1= + ⇒ e e e e e t e I dt e e t e 1 2 1 1 1 ln 1 + + − + ⇒ = = − + + ∫ Vậy: e e e I e e 1 –2 ln 1 + = + + Câu 43. 2 1 1 2 1 ( 1 ) + = + − ∫ x x I x e dx x • Ta có: 2 3 1 1 1 1 2 2 1 + +   = + − = +  ÷   ∫ ∫ x x x x I e dx x e dx H K x + Tính H theo phương pháp từng phần I 1 = 2 2 1 1 5 2 1 1 2 2 1 3 2 + +   = − − = −  ÷   ∫ x x x x H xe x e dx e K x 5 2 3 . 2 I e⇒ = Câu 44. 4 2 0 ln( 9 )= + − ∫ I x x dx • Đặt ( ) u x x dv dx 2 ln 9   = + −  =   ⇒ ( ) x I x x x dx x 4 4 2 2 0 0 ln 9 2 9 = + − + = + ∫ Trang 33 . Bài tập Tích phân hoctoancapba.com Trần Sĩ Tùng TP4: TÍCH PHÂN HÀM SỐ MŨ - LOGARIT Dạng 1: Đổi biến số Câu 1. x x e I dx e 2 1 = + ∫ • . ) + = + ∫ e x x xe I dx x e x • Đặt x t e xln= + ⇒ 1 ln + = e e I e . Trang 30 Bài tập Tích phân hoctoancapba.com Trần Sĩ Tùng Dạng 2: Tích phân từng phần Câu 31. inx I e xdx 2 s 0 .sin2 π = ∫ • inx I e. t u u2tan , ; 2 2 π π   = ∈ −  ÷   dt u du 2 2(1 tan )⇒ = + Trang 27 Trần Sĩ Tùng Bài tập Tích phân I du 3 1 4 1 1 2 2 3 4 24 π π π π π   ⇒ = = − =  ÷   ∫ . Vậy: I 4( 3 1) 3 π =