Nội dung gồm 3 phần:Phần 1: giới thiệu về các công thức và kiến thức của lượng giác và tích phân Phần 2: 400 bài toán tích phân hàm lượng giác (193 bài toán tự luyện, 207 đề thi) Phần 3: Lời giải chi tiết của 400 bài toán.
Trang 1_VŨQUỐCANH
Tica PHNVHAW SO LUCNG GC
ss
THỊ VÀO ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG
TỪ 1977 ĐẾN 2000 TRONG TOÀN QUỐC
Trang 2LỜI NÓI ĐẦU
Học sinh thường lúng túng khi làm những bài toán "tích phân hàm Số
lượng giác" khi thi vào các trường Đại học và Cao đẳng, phần vì
giác” thuộc chương trình lớp 11, và "tích phân” học ở cuối học kỳ II lớp 12
Để giúp đỡ học sinh tự luyện tập, chúng tôi giới thiệu “Tuyển tập 400 bãi ˆ
toán tích phân hàm số lượng giác” ;
Tập sách có ba phần: bệ”
Phần một : Giới thiệu các công thức và kiến thức về lượng giác, tích phân <
Phần hai : 400 đề bài toản (193 bài tự luyện tập, 207 dé thi)
Phan ba : Phần giải các bài toản _
Phần đề thi được tuyển chọn gồm những bài toán thi đại học đã ra từ ˆ
năm 1977 đến năm 2000 của 60 trường Đại học và Cao đẳng trong toàn
quốc từ Thái Nguyên, thủ đô Hà Nội, Hải Phòng, Đà Nẵng, Quy Nhơn,
Thành phố Hồ Chí Minh đến Cần Thơ, Nha Trang, Đà Lạt §
Hy vọng cuốn sách sẽ giúp ích nhiều cho các em học sinh trong việc
rèn luyện toán để đạt kết quả tốt
Cuốn sách có thể có những thiếu sót, mong các độc giả góp ý Tác giả
Trang 3
CHƯƠNG fe
NHUNG DIEU CAN NHO VA CAC CONG THUC LƯỢNG:
1 ĐƠN VỊ ĐO GÓC VÀ CUNG 180°=œradian — ; 1°= 180 radian TƯ “ h 0 180° mt radian = 180! 5 J radian = = 57°17'45" TL
Trang 5rat h SinŒœ + costa = 1 Sinœ tga = cosa cosa cot ga = — sing tga.cotga = 1
Trang 6re { mints + a) =—sina cos(t + &) = — cosa 13 CÔNG THỨC CỘNG CUNG, CÔNG THÚC NHÂN ĐÔI, NHÂN BA _
cos(a+b) = cosacosb — sinasinb COS2a = cos”a ~
Trang 11A Định nghĩa: Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b] on cối hàm F(x) thì tích phân từ a đến b của hàm số f(x) là — F(a) b = F(b) — F(a) a b J f(x)dx = F(x)
hú ý: Free Ỉ f(tdt = j f(u)du = F(b) — F(a)
B Cac tinh chat:
Trang 17— 121.Tính: ¥ I= ƒcotg°xdx * 422.Tinh: I= fe™ sinbxdx 5 dx : 123.Tinh: f sin(x + a)sin(x +b) (a—b#n,kez) X 124.Tính tích phân: KP ee 9 SINK + cos X 125.Tính: so ST sinx + COSX x 126.Tính: = = Sinx - sina 127.Tính tích phân: lụ= ƒsin "3 x cos(n + 1)xdx a
GIGI HAN CUA TICH PHAN
128 Cho = Jer sin xxdx Chứng minh lim l„ =0 ) Aa
Trang 2177 Tính tích phân: 178 Tính tích phân: 179 Tính tích phân: 180 Tính tích phân: 181 Tính tích phân: 182 Tính: 183 Tính: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẨN
184 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường y = sinx va y = cosx với x e [O.z/2]
185 Tinh diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
y =a rcsinx, y = arccosx va y = 0
186 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : y = arctg x, y=arccotgx và y=0; 187 Tinh diện tích hình phẳng giới hạn bởi
: 0<x<x, 0<y<sin%
188 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
Trang 22a eae a ÿ*Ù xen
2! Y =cosx Y=0,x=0,x=x
190 Tính thể tích hình tròn XoAYy giới hạn bởi các
duéng y = Vcos® x + sin®x , Y=0,x=0,x=z/2 quay
quanh trục Ox
191 Cho D là miền giới hạn bởi các đường
= VCOS” X + sin' x y=0 X=z/2 X=
‘€ tich khGi tròn xoay tạo nên do ta quay miền D
tròn xoay được tạo nên do ta quay
Trang 23x cos’ x 4 Tinh J=f 9 cos (Đại học BK — Y Dược 1983 ý 196 Với môi số nguyên tự nhiên tự nhiên, xét : | đi ch Ì5-4cosx N đ 5 Chứng minh: ,= 2 t.+-la(Vn>3)
Trang 24203 Ta nói rằng hai hàm số f(x) và g(x) là trực giao với nhau cạn đoạn [-x„m] nế wf f(x).g(x)dx = 0
Hãy chứng tỏ rằng hàm Ủ„(x) = cosmx trực giao với các ham U(x) = Coskx (k # m) và V„(x) = sinnx (m N;neN;keN)
Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP HCM (1993)
¥ 204 Tinh thể tích khối tròn xoay tạo nên khi ta quay quanh trục Ox
Trang 26* - tư Ă oe ` ahh, 8 Sao cho f(x) = A + si re fA Tinh {te 0 , _ Đại học Sư phạm TP.HCM 221 Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [0, 1] 4 - = :: # ` Chứng minh rằng: Jxfisin x)dx = = [tin x)dx 6 25 , Đại học Luật TP HCM z
x222 Tính tích phân: [ *Š aes ä9+cos“x Đại hoc Y dược TP HGM :
Trang 27` x
229 Tinh tich phan j sin" xdx trong đó n là số tự nhiên cho trước A h
Học viện Quan hệ Quốc tế ® 2 230 Xét tích phân : In= Ísin" xdx 0 P pees! n+1 ` Ching to rang : Int2 = n+ out Đại học Đà Lạt 1 231 Tính giới hạn lim [x" sin(xx)dx (neN) ĐÓ) Đại học Ngoại thương 4 232 Tinh tich phan : In= ftg?*xdx (n là số nguyên dương) 4 Đại học Cần Thơ 2 ý 233 Tính: i XGOS X0X IS 28 DNo T0) 6 vb? cos? x +c? sin? x Đại học Tài chính — Kế toán Hà Nội dx : 3sin? x - 8sinxcosx + 5cos 234 Tính tích phân: 1 2 rk 4
235.Cho In= Ítg"xdx gre minh rang I, + Ineo = 7" ‘
Yorn la 86 ty nhign, m= 2 _Đại học Nông
Trang 28238 Với mỗi n cN Đặt
Sa ca ông VN
n 1+sin — in Bi 1+sin 5ã 2n =o
Tim lim s, nox Dai hoc Quéc gla Ha Nél
x 239 Tính tích phân : 1 cos* xdx J ai hoc Dan lap PI ai ho n lập Phương Đông
x 240 Tính tích phân : _ [cos”3xdx 3 Viện Đại học Mở Hà Nội -
DE THI NĂM 1996
241 Tinh tich phan : si 1+ sin2x
Trang 29x 2 cos x = z Spe (eee OX Vee Chứng minh rang: I J ee AA Đại học Giao thông x 4 Asin? x inh ti ân: |= [———-dx
248 Tinh tich phan h ae x
Đại học Kỹ thuật Quân sự Tốc 249 Tinh tich phan: |= fsin? xcos* xdx 0 Đại học Ngoại ngữ Hà Nội dx 250 Tính : Ïz==—=—— Ysin® x cos® x Đại học Tài chính - Kế toán Hà Nội 251-252 Tính tích phân :
41 1 Tran cus 2 |= 1e 1o Te-x
Đại học Công Đoàn 2
253 Tính tích phân : je cos? xdx ì Đại học Thị s
Tim họ nguyên hàm của hàm số: f(x) = e*cos3x
Trang 302, x2 257 Tinh tich phan : Di bóc lsinx|dx Đại học Dược Hà Nội “2: 258 Tính tích phân: [= iM +sinxdx Bai hoc Y Hal Phong 0 259-260 Chứng minh các bất đẳng thức sau: 1 e*> 1 + x với mọi x 0 1
2 jor dx > >is Đại học Xây dựng
261 Tìm nguyên hàm của hàm số: f(x) = six Zoe sin2x) -
Trang 32Qos “ng m (tg? 3tgt) 7 ; 4
Đại học Quốc gia TP.HCM
+ 278 Tìm họ nguyên hàm của hàm số: _ f(x)~ Sin3xsin4x
†gx + cot g2x
Đại học Ngoại thương Hà Nội 279 Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:
f(x) = (sin*x + cos*x) (sin®x + cos®x) Hoc vién Quan hé quéc té 280 Tink tich phan: |= ƒ@ sin? x - sin x cos x ~ cos? x)dx t 281-282 Tính tích phân : x " 2 c 1/1= [N1+ cos 2xdx 2! 1= [x? J4 x?dx
Toa “Bai hoc Thuy Ici
Đại học Nông nghiệp
283 Tính tích phân :
284 Tính tích phân :
Trang 34ĐỀ THỊ NĂM 1998 x 295 Tính tích phân sau : 2 l= f(cos* x +sin® x)dx 0 Đại học An ninh 4 + 296-297 Tinh cac tich phan sau: > x f 2 2 1/1= [cos 2x(sin* x +cos* x)dx 2/J= fjcosx|/sinxdx a ø Đại học Bách khoa 2 2 298 Tính tích phân : t=f COS ako 4 cosx+1 Đại học Cần Thơ : 2 x 4 300 Tinh tich phan : I= Í [ot —sin wi : -2 Đại học Giao thông Vận tải ề 2 sinx cos? xdx X 301 Tính tích phân : I=ƒ 0 1+cos”x
š Học viện Công nghệ Bưu chính 'Viễn thông y 302 Tim các giá trị của x thoả mãn phương trình:
Trang 35x 4 ein3 305 Tinh tich phan: [Š” X a„ Đại học Quốc gia Hà Nội * 6 cos? x ? 306-307 Xét cac nguyén ham sau: 1/ [sin” xdx 21 [cos5xsin3xdx Trường TH Truyền hình _ 308 Xét tích phân |, = am xdx với n là số nguyên dương Chứng minh : in", n+1 <n + a Đại học Huế X 309 Tính tích phân: |= Jxsin Vxdx Đại học Mỏ - Địa chất 2 X 310 Tính tích phân : Jcos? xcos 4xdx Đại học Ngoại ngữ 0
V311-312 1/Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = cos3x.cos3x
2/ Tim họ nguyên hàm của hàm số f(x) = cos?x.cos2x Đại học Ngoại thương
Trang 36
315 Tính tích phân : iat
o11- Tae cos? x
-_ Cao đẳng Hải quan - 316 Cho hai tích phân sau; x = 2 2 l= Joos? xcos* 2xdx J= [Sin? x cos2 2xdx 0 9 1/ Tính l + J và I - J 2/ Tinh | va J
Hoc vién Ngan hang
Trang 37® 2 sin2x Ofer ete CC 323-324 1/Tính tích phân : | 7 nh bằng cách biến đổi t = sin2x 2 sin2x 5 if an = diva 2/ Tính tích phân J Tce
: inh bất đẳng n thức : I —: sin x cos xdx ae
parca nani b 6 (1+cos* x)(1+ sin* x) 4
Đại học Quốc gia TP.HCM
325 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong có phươ trình:
= (2 + cosx)sinx va ba đường thẳng y=0;x= Si ;x= =
Dai hoc Công đ ĐỀ THỊ NĂM 1999 x + 3% Tính tích phân : l= je x? sinxdx Dai hoc An ni *327 Tinh nguyên hàm của hàm số: HỆ) xi V2x+1+.J2x—1 1o đi 328 Cho hàm số ;
Tìm họ nguyên hàm Q(x) = sinxsin2xcos5x Đại học Kinh tế Quốc
Trang 383 d; v 330 Tinh tich phan: [9% Đại học Y khoa Hà Nội x Sin—
331 Tính tích phân: Tinh tic! pl ree al 1= [—_X t Sax ` 7 Jxarctaxde
Đại học Giao thông vn X 332 Tính tích phân : TT ä 4sinx+3cosx+5 Đại học Tài chính - Kế toán 333 Tính : J= Ix cos* x sin® xdx Dai hoc Tai chinh Ké toan(PB) x Tính tích phan: t=} IDX a 334 Tính tích phân : al a cna 4
Dai hoc Tai chinh Ké toan
335 Tinh [22+ cos? x dx (ala hang s6) Đại học Xây dựng
x
2
336 Tính tích phân : fsin2x(1 + sin? x)dx
Trang 40Ruết Í guèint (se ˆ ° Đại học Luật Hà Nội 348 Tìm họ nguyên hàm: pS pain oe sinx + ¥3 cos x Học viện Ngân hàng 2
349 Tính tích phân: j= ( °0SX _ pl J Tran Cao đẳng Hải quan ẳng Hải
Trang 41?®x+cosX x+ đ 356 Tính tích phân sau: J2 gir2x 22 Ix Đại học Giao thông Vận tải sin? x 4 x
357 Tinh tich phan: I= la se
Đại học Giao thông Vận tải - 358 Tìm họ nguyên hàm của hàm số: f(x) = sin*2x
Đại học Kinh tế Quốc dân -
359 Tính tích phân: I= fe* cos xdx
Trang 42win 364 Tinh: f— —_ Đại học Mỏ - Địa chất z sinx si x + 9) 365 Tinh tich phan: ƒ cos2x 9 (sinx + cos x +2)? Đại học Ngoại thương 4 366 Tinh tich phan: a cos 2x oh 0 Sinx+cos x+2 Đại học Ngoại thương 367 Tìm họ nguyên hàm của hàm số: 1 oa cos xcos| x + *) es
Hoc vién Ngan hang (D)
Đại học Quốc gia Hà Nội
sinx
368 Tìm họ nguyên hàm của hàm số: TU Sứ TH
Học viên Ngân hàng (A)
Trang 443 381 Tính tích phan: AS Jtatxax Đại học Y Hà Nội i 383 Tính diện tích hình phẳng giới hạn phương trình y = sin’ vàx=Z 2
bởi các đường cong có
?xcos*x, truc Ox va hai đường thẳng x = 0
Dai hoc Bach khoa Ha Nội
384 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y=sinIx] ; y= |x|—x Viện Đại học Mở 385 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: E= Fy = ey ee
E622 GOST K aay Gis abe
Hoc vién Ky thuat Quan su
386 Tính tich phan: 1= ie sinx +e*x?}ix
=1
Đại học Thái Nguyên 387 Tính tích phân: Joos? x sin? xdx
0
Trang 49Tính: 11 [cos? xdx 2! {sin* xdx GIAI
1/ Ta có: |= Jcos® xdx = [cos x cos xdx = [ÍI- sin” x}†sinx
Trang 53
Biết 1 il ae ee
Trang 54ty eos xdx _ i + sinx) ¿ 1+ sinx 1+ sinx k 2 = Inlt+ sinx; =H 1-2) lo x x 2S ene hạ | dcos x ~ -Ineosxi 2 4 gCOSX 5 COSX : = {in vã a in =Inv2 Do đó @=a= n(1+ Inv2 =In(V2 +1) BÀI 8 | | Tinh: 5 dx | Sins x GIẢI dx dx oe lặn: x i sin’ x sin? x ;
= ~fia + cotg ?xŸ dcotgx
= -Íú +2cotg?x + cot g*x}d cot gx
Trang 56BÀI 11 4 sin“ xdx 2 Tinh: 1Ì gàng aa GIẢI - i= sin* 'xdx _ sey oe BAe co J cos°x “cos“x cos”x 1 ] = | 1.=x+G | | 5 TÊN] bi To
sinŸ x sin” x(sin xdx)
Trang 57_ +tg*x tox d(tgx) = [tạ 'xdfgx)+2 ey + [tgxd(tgx) -1 4 => 1 2x + 2Inlgx| +2 tợ'x +C Cách khác: P ca NN Tale XcosỶ x Tin xe 1 xcos* x = footex-—.—_ dx
sin? x cos* x cos* x
= Jeotgx(1+ cotg Px)(1 + tg*x)d(tax)
= [(cotax +cotg’x)(1+ ta°x)d(tax)
= [(cotgx + tox + cotg®x + cot gx)d(tax)
Trang 592/ Ta có: * J = (Sin xdx _ 4 _'eeto|- “cotg'x vo : Vents
Trang 62= - l(sl +SINEARA Dodo: J=5 J Si + 1 sin2xdx Am ƒsin4xdx a! Cách khác: ` J= fcosxsin3xdx = [sin3xcosxdx = [sin3xdsinx = Í(3sinx— 4sin x)dsinx ‹ xã inẻ 3 2x)- = sin’ x—sin’ x + C = —(1—cos2x)=| - => J==g (2cos2x + cos4x) #6 BAI 20-21 Tính : 1 [cos2xcos3xdx 2! fsin 2 GIẢI 1/ Ta có |= [cos2xcos3xdx
Biết cosacosb = 2 [cos(a+b) + cos(a-b)]
Trang 66Tính tích phân: 1= eesxeos2x GIẢI %
Taco: = Ícos xcos 2x COS 3xdx 0
Biét cosacosb = 5 leostarb) + cos(a-b)] Suy ra: cosxcos2xcos3X = cos2x.cos3Xcosx
Trang 82u= arcsinx du = cosxdx > v=e dv =¢xdx
Từ (1)= I=uv~ [vdu= e* sinx~ ƒe" cosdx = ©” Sinx = JQ
Trang 85a aa 1+x? = arctgx + Je***darctgx) +C = arctgx + er"! 1
Chú ý: Biết e*dx = Jde* =e*
Trang 93Ta có: I= [cosxIn(1+cosx)dx u = arcsinx du=-_—ShX Đặt | => 1+cosx s dv = xdx : Vv=sinx nt I=uv- Vdu= sinxIn(1 + cosx) + {-S!1_* 1+cosx = sinxIn(1 + cosx) + [(i-cosx)dx +C
Trang 98Áp dụng công thức: ae ~~ = aresinx +C x BÀI 68 oe Tinh: Si 'SỈn” x + cos* x GIẢI
Taicé: =] =SINX COS re tị : d(sin bội a
Trang 102— 1 r2 2x cos(wx) = [i= sn [Ee] 2/ Ta có: J= fe*x°dx= : jx'de” u=x [du = 3x?dx Đặt => dv = de* Ik, =n Ẫ ` St ri
J=uv— [vdu = — x*e** — 5 ]e”x”dx
Trang 104BÀI 77-78 cj sin2xdx F 2I | bình ul lạ —cos’ 2x Ị GIẢI i dị 2 1⁄1= ƒ sin2xdx “-3Í (cos 2x)
Trang 112sin xdx Cách khác : | = In x -Í d(cosx) _ “cosx(1— cos? x)? = Bị °x+1—cos? Xq(c cosx) cosx(1~ cos” x)? \
cos xd(cosx) -¢ d(cos x) ¥
= - [en [oe (1—cos? x) cos x(1— cos? x) cos* x +1—cos*x sẽ ” cosx(1~ cos? x} -_ =:I cos’ x) ~ 2°(1—cos? x)?
E zal _ feos cos xd(cos › x) +
2sin°x ~ (1—cos? x)? cos x = = = 2sin’ x x + Inltgx| +C | (b) Hai két qua (a) va (b) déu dung vi: 1 1 1 2,
Se ee €OS x sin == — —cot
Trang 117= [2sinxcos xdx : 1+ cos’ x
- -a[©98 xd(eosx) 1+ cos? x
Thôi jot +cos? x)
2” 1+cos2x os
=> (Re ee eee |I=~In(1 + cos2x) +C a = Bac 2 afer a’ +sin’ x