B – TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC www.DeThiThuDaiHoc.com Dạng 1: sin... Nhưng nếu tinh ý ta đặt nguyên căn bằng t bài toán sẽ đơn giản hơn rất nhiều.. Cũng giống dạng 6 thì đề rất ít
Trang 1CÁC DẠNG TÍCH PHÂN VÀ CÁCH TÍNH
A - TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC: Dạng ( )
( )
P x
Q x
Dạng 1: Bậc của tử lớn hơn (hay bằng) bậc của mẫu:
Cách giải: Ta thực hiện phép chia đa thức cho đa thức
Ví dụ 1:
x x
0
7 19 ln | 2 | |
x + x+ x−
b
a
ax bx c
=
+ +
∫ (Rất quan trọng trong tích phân hữu tỉ)
TH1: Mẫu có 2 nghiệm Đặt 2 1
ax + +bx c 1 2
x x x x
− − giải ra tìm A, B
Ví dụ 2:
2
Làm ngài nháp:
A B A x B x A B x A B
0 2
ln | 1| ln | 2 | |
TH2: Mẫu có 1 nghiệm Phân tích 2 ( )2
0
ax + + =bx c a x−x Tính trực tiếp
Ví dụ 3:
1 0
|
−
TH3: Mẫu vô nghiệm Phân tích
2 2
2
b
ax bx c a x
a a
+ + = + −
b
∆
Ví dụ 4:
x+ = t⇒dx= + t dt đổi cận 0 tan 2 , 1 tan 3
x= ⇒t=Arc x= ⇒t=Arc
khi đó
arctan 3/ 3 arctan 3/ 3 arctan 3/ 3
2 arctan 2/ 3 arctan 2/ 3 arctan 2/ 3
( 3 tan ) 3
t t
+ +
Đặc biệt: + I 21 dx
x a
= +
∫ Đặt atant=x + I 21 dx
x a
=
−
∫ là dạng TH1 (a > 0)
Ví dụ 5: a)
1 2 0
1 5
x
= +
∫ Đặt x= 5 tant Giải hoàn toàn tương tự Ví dụ 4 b)
2
∫ ∫ Giải tương tự Ví dụ 2 Dạng 2: Một số phép biến đổi thường dùng (phải nhớ từng dạng và cách biến đổi)
n n
n
ax b ax b
I = + + dx= + dx
+
Trang 2* Tương tự: 1/
7 0
( 2) (3 5)
x I
x
+
=
−
4 0
(5 2) (3 1)
x I
x
−
=
+
∫
b) Áp dụng phương pháp trên:
.(4 1)
x
dx
+
1) dx
x+
Đặt t =
x
x
+
+
* Tương tự: 1/
1
0
1 (3 4) (3 2)
=
1
0
1 (2 1) (3 1)
x x
=
∫
Ví dụ 7: Các phép biến đổi hay
a)
+ I1: Đặt t = x2 - 3 + I2: ln|x|
* Tương tự: 1/
3
9 5
1 3
dx I
x x
= +
3 6
1 3
dx I
x x
= +
∫
x x k k x x k x x k x x k
b)
4
2
1
1
x
+
x
− (ở bước đầu chia cho x2)
* Tương tự: 1/
3 2 4 1
1 1
x
I dx x
−
= +
1
1
x
x x x x
−
=
∫
BÀI TẬP TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ
1/
1 3
3 2
0
1
x
x x x
+
=
3 2
2 2
( 2)( 1)
x x
x x
+ +
=
2 3
1 ( 1)
dx
x x
=
+
∫
4/
1
0
( 2)( 1)
x
x x
+
=
1
3 0
( 1)
x
x
+
= +
3 3 2
0 1
x
x
=
+
∫
7/
2
3
3
x
x x
=
− +
2 3
2
1 ( 1)
x
x
= +
3 3 0
dx
x x
= +
∫
Trang 310/
2
5 3
1
dx
x x
=
+
1 3
0 1
dx
x
= +
1 5 2
0 1
x
x
= +
∫
13/
1
3
0 (1 2 )
x
x
=
+
9 0
(3 5) (1 2 )
x
x
−
= +
2
0
1 ( 1)( 1)( 3)
x x x
=
∫
Trang 4B – TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
www.DeThiThuDaiHoc.com
Dạng 1: sin os
b
a
I =∫ x c xdx
+ Nếu n hoặc m lẻ: Đặt hàm số dưới mũ chẵn bằng t (Tức là sinx = t hoặc cosx = t)
+ Nếu n, m cùng lẻ: Đặt t = sinx hoặc t = cosx đều được
+ Nếu n, m cùng chẵn thì dùng công thức hạ bậc: 2 1 cos 2 2 1 cos 2
x= − x= +
Dạng 2: I =∫ f[cos ].sinx xdx - Hàm số ta có thể đưa hết về cosx và chỉ còn lại sinx là phần dư ở sau
(cách nhận dạng là số mũ của sinx lẻ) Đặt t = cosx
Các phép biến đổi:
sin x= sin x.sinx= − (1 cos x) sinx
sin k osbatki sin k osbatki .sin (1 cos ) osk batki .sin
x c x x c x x x c x x
lẻ)
A2 = 21 1 s inx2 2 s inx2 1 s inx2 1
sin k+ x = sin k+ x = (sin x)k+ = (1 cos )x k+
A3: Hàm số có chứa sin 2x= 2 sin cosx x
áp dụng: 1/
4 2 0
sin 2 3sin 4 sin 1
x
π
=
4 3 0
1 sin
x
π
2
0
sin 2 sin cos 3
x x
x
π
+
=
+
∫
Dạng số 3: I =∫ f[sin ].cosx xdx - Hàm số ta có thể đưa hết về sinx và chỉ còn lại cosx là phần dư ở sau (cách nhận dạng là số mũ của cosx lẻ) Đặt t = sinx
Các phép biến đổi:
cos x=cos osx c x= − (1 sin x c x) os
cos k+ x.sinx batki x= cos k x.sinx batki x.cosx= − (1 cos x) sink x batki x.cosx (nhận dạng: cosx
mũ lẻ)
A2 = 21 1 cos2 2 cos2 1 cos2 1
cos k cos k (cos )k (1 sin )k
A3: Hàm số có chứa sin 2x= 2 sin cosx x
áp dụng: 1/
4
2 5 0
sin os
I x c xdx
π
4
0
1 cos
x
π
2
0
sin 2 cos sin 3
x x
x
π
+
=
+
∫
Dạng số 4: 2 2
[sin , cos ].sin 2
I =∫ f x x xdx - Hàm số chứa 2 2
sin x, cos x và sin2x tách rời ra
Cách biến đổi: Đặt t = 2 2
[sin , cos ]
f x x
(sin x) ' = sin 2 , (cosx x) ' = − sin 2x
+ Đôi khi người ta không cho sin2x mà cho sinx.cosx ta biến đổi sinx.cosx = 1sin 2
Ví dụ 8: a)
/2
2 0
sin 2
1 os
x
c x
π
= +
∫ Ta nhận thấy hàm số có chứa cos 2 x và sin2x
sin 2
dt
t x dt xdx dx
x
− đổi cận: x = pi/2 thì t = 1, x = 0 thì t = 2
Khi đó:
1
1 2 2
sin 2
ln | || 2 sin 2
x dt
−
∫
Trang 5b)
/2
0
sin 2 cos 4 sin
x
π
=
+
∫ Ta nhận thấy hàm số có chứa đồng thời sin 2 x, cos 2 x và sin2x
cos 4 sin cos 4 sin 2 ( sin 2 4 sin 2 )
3sin 2
tdt
x
Đổi cận: x = pi/2 thì t = 2, x = 0 thì t = 1
Khi đó:
1
2 1 2
| 3sin 2 3 3
x tdt
Dạng 5: (tan ). 12
cos
I f x dx
x
=∫ - Hàm số chứa mình tanx và 12
cos x tách rời ra
Cách biến đổi: Đặt t = tanx
Ví dụ 9: a)
2 0
(tan 1) cos
x
x
= ∫
2
1
cos
t x dt dx dx x dt
x
= ⇒ = ⇒ = Đổi cận x= 0 ⇒t= 0,x= π / 4 ⇒t= 1
Khi đó:
2
t
x
+
Nhưng đề thi không cho một cách đơn giản vậy, có nghĩa là mình phải qua các phép biến đổi mới nhận dạng được chứ lúc đầu chưa thấy có mình tanx và 12
cos x (yêu cầu kỹ năng và làm nhiều)
b)
4 2 / 4
sin cos (tan - 2 tan 5)
x
π
π
=
+
∫ Mới nhìn vào ta thấy có tanx nhưng có thêm 2 4
sin x, cos x Ta sẽ
cố gắng tìm cách đưa về đúng dạng, Ở ví dụ sau ta sẽ thấy điều đó:
2
2
cos (tan - 2 tan 5) cos tan - 2 tan 5
tan - 2 tan 5 cos
x
x
=
+
/ 4
/ 4
dx
π
π
∫
Từ bài này ta có thể tổng quát được rằng cứ số mũ của sin ở trên tử nhỏ hơn số mũ của cos ở dưới mẫu là ta tách như vậy
Chú ý: Các phép biến đổi thường dùng để đưa về dạng này
cos x = cos x cos x = + x cos x Từ đây làm cho thầy 16
cos x???
Tổng quát lên cosx mũ chẵn ta sẽ giải quyết được hết bằng cách này (Nếu cosx mũ lẻ ta cũng giải quyết được bằng A2 dạng 3)
sin sin cos cos
a x b+ x x c+ x+d ta sẽ chia cả tử và mẫu cho cos
2
x
Trang 6
A3 =
asinx b x c= asin b c c c
2
s
2
x
co )
( s inxa bc xos ) = a sin x 2absin cosx x b cos x
A5 =
osx (sin os ) ( os sin ) ( 1)sin ( 1) cos
cho?)
A6 =
sinx
a
cho?)
Dạng 6: (cot ). 12
sin
I f x dx
x
=∫ - Hàm số chứa mình cotx và 12
sin x tách rời ra
Cách biến đổi: Đặt t = cotx
Ví dụ 10: a)
/4
2 /6
sin
x
x
π π
+
= ∫ nếu theo 1 cách máy móc thì thấy hàm số chứa cotx và 12
sin x thì ta
đặt t = cotx Nhưng nếu tinh ý ta đặt nguyên căn bằng t bài toán sẽ đơn giản hơn rất nhiều
Không tin hãy thử?
Cũng giống dạng 6 thì đề rất ít khi cho sẵn dạng, mà phải qua phép biến đổi
sin x= sin x sin x = +co x sin x Từ đây làm cho thầy 16
sin x???
A 2, A 3 , A 4 , A 5 , A 6 Ở dạng 4 ta có thể giải quyết bằng cách này bằng cách không chia cho cos nữa mà
ta sẽ chia cả tử và mẫu cho sin Thử coi?
Từ đây ta có nhận xét: hầu hết các bài tích phân của hàm lượng giác mà tử số là hằng số sẽ được giải quyết bằng 2 cách dạng 4 hoặc dạng 5
'sin ' cos '
asinx b x c
a x b x c
=
∫ - Hàm bậc nhất của sinx, cosx chia hàm bậc nhất của sinx,cosx Hướng giải quyết: Tử = asinx b+ cosx+ =c A a( 'sinx b+ 'cosx c+ ') +B a( 'cosx b− 'sin )x +C
Ví dụ 11:
/2
0
sin 7 cos 6
4 sin 3cos 5
=
∫
Ta phân tích tử số:
sinx+ 7 cosx+ = 6 A(4 sinx+ 3cosx+ + 5) B(4 cosx− 3sin )x + =C (4A− 3 ) sinB x+ (3A+ 4 ) cosB x+ 5A C+
Khi đó ta có hệ phương trình:
A B
A B
A C
(tức là ta cho hệ số sinx, cosx ở đầu bằng cuối) giải hệ phương trình ta được: A = 1, B = 1, C = 1
Khi đó:
sin 7 cos 6 (4 sin 3cos 5) (4 cos 3sin ) 1
Trang 7
/2 / 2
1
4 sin 3cos 5
/2 2 0
4 cos 3sin
4 sin 3cos 5
x x
=
/ 2
3
0
1
4 sin 3cos 5
π
=
∫ quay lại A3 của dạng 5
MỘT SỐ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC THƯỜNG DÙNG TRONG TÍNH TÍCH PHÂN
1 / sin 2x= 2 sin cos 2/ cos 2x x x= cos x− sin x= 2 cos x− = − 1 1 2 sin x
3 / sin 4 / cos tan
x
+
5 / sin 6 / cos
7 / 1 tan 8/ 1 t
x+ x= − x= + x= + x
10 / sin cos 1 sin 2 cos 4
11 / 1 sin 2 + x= (sinx+ cos )x
CÁC CÔNG THỨC ĐẠO HÀM QUAN TRỌNG
1 / (sin ) ' sin 2 2 / (cos ) ' sin 2
3 / (tan ) ' 1 tan 4 / ( t ) ' 1 t
BÀI TẬP TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC 1/
/2
2 0
sin cos (1 cos )
I x x x dx
π
/2 3 0 tan
I xdx
π
/2
0
sin 2 sin
1 3cos
x x
x
=
+
∫
4/
/2
0
sin 2 cos
1 cos
x x
x
π
=
+
/2 3
0
4 sin
1 cos
x
x
π
= +
/12
0 tan 4
π
= ∫
7/
/2 3
0
cos
1 sin
x
x
π
=
+
/2
0
3sin 4 cos 3sin 4 cos
=
+
/3 2 0 sin tan
I x xdx
π
= ∫
10/
/2 3
2 0
sin
1 cos
x
x
π
=
+
/2
0
cos 2
1 cos
x
x
π
= +
/2 cos 0 sin 2
x
I e xdx
π
= ∫
13/
/4
sin 0
(tan xcos )
I x e x dx
π
/2 sin 0 ( x cos ) cos
π
/2
2 0
sin 2
4 cos
x
x
π
=
−
∫
16/
/4 3
4 0
4 sin
1 cos
x
x
π
=
+
/4 2
0
1 2 sin
1 sin 2
x
x
= +
/3
0
cos
2 cos 2
x
x
π
=
+
∫
/2
sin
0
.sin 2
x
I e xdx
π
/2
0
cos
2 cos 2
x
x
π
=
+
/2
2 3 0
sin 2 (1 sin )
π
Trang 825/
/2
2 0
sin 2
1 cos
x
x
π
=
+
/2
2 0
sin 4
1 cos
x
x
π
= +
/2
2 3 0
sin 2 (1 sin )
π
28/
/2
0
sin 2 cos 4 sin
x
π
=
+
/2
0
sin cos
4 cos 9 in
x x
x s x
π
=
+
/2
0
1
1 tan
x
π
= +
∫
31/
/4
4 0
1
cos
x
π
/4 6 0 tan
I xdx
π
/4 3 0 tan
I xdx
π
= ∫
34/
/4
0 sin 2 sin cos cos
dx
π
=
2 2 5 0
sin (tan 1) os
x
x c x
π
=
+
/6 4
0
tan cos 2
x
x
π
= ∫
37/
/6 3
0
tan
cos 2
x
x
π
/2
0
1
1 sin 2
x
π
= +
/4
2 0
1 (sin 2 cos )
π
=
+
∫
40/
4 /3
1
sin
2
x
π
π
/2
0 1 cos
dx I
x
π
= +
/2
2 0
1
2 cos
x
π
=
−
∫
43/
/2
4 /4
1
sin
x
π
π
/2
2 /4
sin
x
x
π π
+
/4 2 /6
1 sin cot
x x
π π
= ∫
46/
/3
/3
1 sin 9 cos
π
π
=
+
/2 cot 2 /4 sin
x e
x
π π
/4
3 0
cos 2
(sin cos 2)
x
x x
π
=
∫
49/
/4
0
cos 2 sin cos 2
x
x x
π
=
/2
/4
sin cos sin cos
x x
x x
π π
−
=
+
/2
/4
1
1 sin 2
x
π π
= +
∫
52/
/2
3
/4
sin cos
sin cos
x x
x x
π
π
+
=
−
/3
/4
sin cos
3 sin 2
x x
x
π π
+
=
+
/2
/4
sin cos
1 sin 2
x x
x
π π
−
=
+
∫
55/
/2
3 0
cos 2 (sin cos 3)
x
x x
π
=
/2
/4
sin cos
1 sin 2
x x
x
π π
−
=
+
∫
57/
/2 6
/4
sin sin cos
x
x x
π
π
=
+
/2 3
/4
sin sin cos
x
x x
π π
=
+
/2
/4
sin
x
π π
=
+
∫
Trang 9C - TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈ (CHỨA CĂN)
www.DeThiThuDaiHoc.com
b a
I =∫ f x x −k dx - Hàm số có chứa 2
x −k Hướng giải quyết: đặt
2
2
t k
x k t x x k t x x k t xt x x
t
+
Ví dụ 1:
1 2 2
x
x
=
−
∫ Nếu đặt t = căn thì việc giải sẽ rất khó khăn
Khi đó ta sẽ định hướng đặt 2
3
x − = −t x
2
2 2
3
2
t
t
t
+
−
Đến đây rồi việc giải tiếp dành cho các em!!!
Dạng 2: I =∫ (x+a x b dx)( + ) - Hàm số có chứa (x+a x b)( + )
Hướng giải quyết:
2
a b
t= +x +
Ví dụ 2:
1
0 ( 1)( 3)
I =∫ x+ x+ dx
2
t= +x + = +x
dt dx
⇒ = , x+ = − 1 t 1,x+ = + 3 t 1
2
I =∫ t− t+ dx=∫ t − dx Hình như là đã quay về dạng 1 hehe!!!
x a x b
− − +
∫
( ) sin , (0 )
2
x= + −a b a t < <t π
2( ) sin cos
( ) sin , ( )(1 sin ) ( ) os t
dx b a t tdt
x a b a t x b b a t b a c
2 2 2
2( ) sin cos
( ) sin cos
b a t t
dt dt t
b a t t
−
Ví dụ 3:
2 2 0
1
x x
=
− + +
∫
Ta sẽ phân tích:
I =∫ dx=∫ dx Trình bày lời giải cho thầy
Trang 10Dạng 4 2
I =∫ f x a−x dx - Hàm số có chứa 2
a−x Hướng giải quyết: Đặt x= asint
Ví dụ 4:
1
2 0
1 3
x
=
−
∫ đặt x= 3 sint, trình bày lời giải tiếp
Ta quay lại với trường hợp phương trình trong căn vô nghiệm, coi cách này có giải quyết được không?
Ví dụ 5:
1 2 0
1
x x
=
− + +
∫ đúng là phương trình trong căn vô nghiệm và có hệ số a < 0
− + + = − − + + = − + 1
2
0
1
x x
=
+ +
1
2 0
1
5 ( 1)
x
=
− +
∫ đặt x+ = 1 5 sint thử coi được không?
Từ đó đặt câu hỏi: vô nghiệm nhưng hệ số a dương bài toán sẽ được giải quyết như thế nào?
I =∫ f x x +a dx
Hướng giải quyết: sẽ có 2 cách
Cách 1: đặt x= atant
Cách 2: đặt 2
x + + =a x t
Ví dụ 6:
1 2 0
1 3
x
=
+
∫
x= t⇒dx= + t dt đổi cận x = 0, t = 0: x = 1, t = π / 6
khi đó:
2
1 tan
cosx
t dt t dt
cách 2: đặt
2
đổi cận: x = 0, t = 3: x = 1, t = 3
khi đó:
3
2
3
2
t
Ví dụ 7: Đề thì sẽ không cho sẵn như trên, hoặc đó chỉ là bước tính cuối cùng của 1 bài tích phân
1
2
0
1
x x
=
+ +
∫ - vô nghiệm và hệ số a dương
Ta có thể biến đổi: 2 2
x + x+ = +x +
khi đó
cách 1: x+ = 1 3 tant Giải tiếp
cách 2: 2
(x+ 1) + + + = 3 (x 1) t Giải tiếp (ta xem x + 1 như là x trong ví dụ 6)
Dạng 6:
2
1
a x b ax bx c
=
∫
Trang 11Hướng giải quyết: đặt 1
t
a x b
= +
ax b ax c ax b ax c
=
Hướng giải quyết: nhân cho lượng liên hợp (nếu cộng nhân tử và mẫu cho dấu trừ và ngược lại)
Dạng 8: 1
x x k
=
+
∫
hướng giải quyết: đặt
m
x k t
x
+
= (cách này sẽ sử dụng rất hiệu quả khi đặt t = căn không được)
Tổng kết lại
- Hướng thứ nhất: đặt t = căn
- Hướng thứ hai: đặt t
x
=
- Hướng thứ ba: dựa vào bảng sau
2 2
π π
∈ −
hoặc x = |a| cost; với t∈[ ]0;π
2 2
x −a
2 2
t π π
∈ −
cost; với [ ]0; \
2
t∈ π π
2 2
π π
∈ −
hoặc x = |a|cost; với t∈( )0;π
a x
a x
+
a x
a x
−
(x a b− )( −x) Đặt x = a + (b – a)sin2t
2 2
1
π π
∈ −
BÀI TẬP TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈ 1/
4
2
dx
I
x x
=
+
7 3
3 2
x
x
=
+
1
0 1
I =∫x −x dx
4/
3
2 3
dx I
x
=
+
3 3
3 3
2
dx I
x x
=
−
4 (1 )
dx I
x x
= +
∫
Trang 1210/
6
3
2 4
4
2 (2 )
x dx
I
−
=
2 3
3
2 2
1
1 ( 1)
x dx I
−
16
4
1 (1 )
dx I
x x
=
+
∫
13/
1
5 4 0
(1 )
I =∫ x + x dx 14/
3 5 3 2 0
2 1
x x
x
+
=
+
2 3
2 5
1 4
x x
=
+
∫
16/
2 4
5
x
x
=
+
3 3 2
x
x
=
+
1
0 1
I =∫x −x dx
19/
9
3
1
1
I =∫x −xdx 20/
2
1 1
dx I
x x
−
=
+
2
3
1 1
dx I
x x
=
+
∫
22/
3/ 2
2
2 1
dx I
x x
=
−
1
2
dx I
x x x
=
1
2
dx
x+ x + x
∫
25/
3
2
0
dx
I=
x -3x+2
1 2 0
dx I=
x +2x+1
1 2
dx I
x x
=
+ +
∫
28/
1
2
0 - - 2 3
dx I
x x
=
+
1 2 0
1.
I =∫ x + +x dx 30/
1 2 0
2 3.
I =∫ − −x x+ dx
31/
1
0 3 1 3 6
dx I
=
1
0 2 4 2 9
dx I
=
∫