Slide Vi tích phân a2 chương 3 Tích phân đường

1 Tích phân đường loại 1Tích phân trên đường cong kín Tích phân của trường bảo toàn Ứng dụng CBGD... Đường cong tích phân của trường vector là đường cong mà vector tiếp tuyến của nó cùng

Trang 1

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG

CBGD Lê Hoài Nhân

Ngày 12 tháng 4 năm 2013

Trang 2

1 Tích phân đường loại 1

Tích phân trên đường cong kín

Tích phân của trường bảo toàn

Ứng dụng

CBGD Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 2 / 33

Trang 3

Định nghĩa

Trang 4

Định nghĩa

Cho hàm số f (x, y, z) xác định trên cung L từ A đến B

Trang 5

Định nghĩa

Chia cung AB thành n cung nhỏ không giẫm lên nhau bởi các điểmchia liên tiếp: A ≡ A0, A1, , An ≡ B

Trang 6

Định nghĩa

Chia cung AB thành n cung nhỏ không giẫm lên nhau bởi các điểmchia liên tiếp: A ≡ A0, A1, , An ≡ B Ký hiệu độ dài cung Ai −1Ai là

∆si

Trang 7

Định nghĩa

Trang 8

Định nghĩa

Cho n → ∞ sao cho max ∆si → 0

Trang 9

Định nghĩa

Trang 10

Định nghĩa

Trang 11

Cách tính

Trang 14

Cách tính - L là đường cong phẳng

Trang 15

x02(t) + y02(t)dt

Trang 18

Trang 21

Trang 25

Trang 27

Cách tính - L là đường cong trong không gian

Trang 28

Trang 29

Trang 30

Trang 31

Trang 32

Ví dụ 1 Tính tích phân I =Z

L

x2ds với L là đường giao tuyến của

hai mặt phẳng x − y + z = 0 và x + y + 2z = 0 từ gốc đến điểm(3, 1, −2)

Trang 33

Ví dụ 1 Tính tích phân I =Z

L

x2ds với L là đường giao tuyến của

hai mặt phẳng x − y + z = 0 và x + y + 2z = 0 từ gốc đến điểm(3, 1, −2)

Trang 34

Ứng dụng hình học

Trang 36

Ví dụ 1 Tính độ dài một nhịp của đường Cycloid

x = a.(t − sint), y = a.(1 − cos t) với t ∈ [0, 2π]

Trang 37

Ví dụ 1 Tính độ dài một nhịp của đường Cycloid

x = a.(t − sint), y = a.(1 − cos t) với t ∈ [0, 2π]

Ví dụ 2 Tính độ dài một nhịp của đường lò xo

x = a cos t, y = a sin t, z = b.t với t ∈ [0, 2π]

Trang 38

Ứng dụng cơ học

Trang 39

Khối lượng cung Một cung L có khối lượng riêng tại mỗii điểm M

là δ(M) có khối lượng là:

Trang 44

Trang 45

Tâm khối Tâm khối lượng của cung L

xc = Myz

m

Trang 48

Ví dụ 1 Tìm khối lượng và tâm khối của dây có dạng đường đinh ốc

x = cos t, y = sin t, z = t với 0 ≤ t ≤ π) biết rằng δ(x, y , z) = z

Trang 49

Ví dụ 1 Tìm khối lượng và tâm khối của dây có dạng đường đinh ốc

x = cos t, y = sin t, z = t với 0 ≤ t ≤ π) biết rằng δ(x, y , z) = z

Ví dụ 2 Tìm khối lượng và tâm khối của dây y = a2(exa + e−xa) với

0 ≤ x ≤ a biết rằng δ(x, y) = 1

y

Trang 50

Trang 52

yds

Trang 53

LZ

L

zds

Trang 54

LZ

Trang 55

Định nghĩa

Trang 58

Đường cong tích phân

Trang 59

Định nghĩa Đường cong tích phân của trường vector là đường cong

mà vector tiếp tuyến của nó cùng phương với vector của trường điqua điểm đó

Trang 60

Định nghĩa Đường cong tích phân của trường vector là đường cong

mà vector tiếp tuyến của nó cùng phương với vector của trường điqua điểm đó

Đường cong tích phân của trường vector −→F thỏa mãn hệ phươngtrình vi phân:

Trang 61

Trường bảo toàn

Trang 62

Định nghĩa Trường vector−→F được gọi là trường bảo toàn nếu tồntại hàm số φ(x, y, z) sao cho

Trang 63

Định nghĩa Trường vector−→F được gọi là trường bảo toàn nếu tồntại hàm số φ(x, y, z) sao cho

Hàm φ(x, y, z) được gọi là hàm thế vị của trường bảo toàn−→F Mặtmức của φ(x, y, z) được gọi là mặt đẳng thế Nếu−→F là trường vectorphẳng thì đường mức của hàm thế vị được gọi là đường đẳng thế

Trang 64

Định nghĩa

Trang 65

Định nghĩa

Cho trường vector −→F xác định trên đường cong L : −→r = −→r(t) với

t ∈ [a, b]

Trang 66

Định nghĩa

Cho trường vector −→F xác định trên đường cong L : −→r = −→r(t) với

t ∈ [a, b]

Chia cung L bởi các điểm chia liên tiếp A ≡ A0, A1, , An≡ B

Trang 68

Trên mỗi cung Ai −1Ai chọn điểm Mi tùy ý và lập tổng tích phân

Trang 70

Trang 72

Định nghĩa

Trang 73

Định nghĩa

Nếu −→r = (x, y , z) thì d−→r = (dx, dy , dz)

Trang 76

Cách tính tích phân đường loại 2

Trang 77

Giống như tích phân đường loại 1, ta tính tích phân đường loại 2bằng cách chuyển về tích phân xác định

Trang 78

Giống như tích phân đường loại 1, ta tính tích phân đường loại 2bằng cách chuyển về tích phân xác định

Tùy thuộc vào phương trình đường cong L mà ta có công thức tínhtích phân đường loại 2

Trang 79

Trang 84

Trang 85

Phương trình của L : y = y(x) ứng với x = a đến x = b

Trang 91

Trang 92

Trang 93

Trang 94

Trang 95

Trang 96

Định lý Green

Trang 97

Định lý Green

Định lý Cho P và Q và các hàm số liên tục cùng các đạo hàm riêngtrên miền phẳng D hữu hạn Khi đó, ta có

Trang 98

Trang 99

với L là biên của miền D và tích phân đường lấy theo chiều dương.

Trang 100

Định lý Green

Trang 104

Định lý Green

Trang 105

Định lý Green

Ví dụ 2 Tính tích phân

I =Z

L

(exsin y − ky)dx + (excos y − k)dy

với L là nửa trên hình tròn x2

+ y2

= ax, tích phân lấy từ điểmA(a, 0) đến gốc O(0, 0)

Trang 106

Định lý bốn mệnh đề tương đương

Trang 107

Định lý Cho P và Q và các hàm số liên tục cùng các đạo hàm riêngtrên miền phẳng D hữu hạn Khi đó, bốn mệnh đề sau tương đươngnhau:

Trang 108

1 Tồn tại hàm φ(x, y) sao cho dφ(x, y) = Pdx + Qdy, ∀(x, y) ∈ D.

Trang 109

2 ∂Q

∂x =∂P

∂y,∀(x, y ) ∈ D.

Trang 110

Pdx + Qdy = 0 với mọi đường cong kín L nằm hoàn toàn trong D.

Trang 111

Trang 112

Tích phân của trường bảo toàn - Ví dụ

Trang 113

Trang 114

+ y2

)2

không phụ thuộc vào đường lấy tích phân Hãy tính tích phân trênvới a, b vừa tìm trong trường hợp L có điểm đầu là O(0, 0) và điểmcuối A(1, 1)

Trang 115

Định lý bốn mệnh đề tương đương - Ghi chú

Trang 116

Hàm φ(x, y) trong định lý trên được gọi là hàm thế vị của trường

Trang 117

Trang 118

Trang 119

Trang 120

Trang 121

Trang 122

Trang 123

Nếu φ(x, y) là hàm thế vị của trường bảo toàn−→F = P−→i + Q−→j thì

Trang 124

Nếu φ(x, y) là hàm thế vị của trường bảo toàn−→F = P−→i + Q−→j thì

Trang 125

Trang 126

Trang 127

Trang 128

Diện tích hình phẳng

Trang 129

Diện tích hình phẳng

Một miền D hữu hạn có biên là đường cong kín L có diện tích đượctính bởi công thức

Trang 130

xdy− ydx

Trang 131

xdy− ydx

Ví dụ Dùng tích phân đường loại 2 tìm diện tích hình tròn bán kínhR

Trang 132

Tính công của lực

Trang 133

Một lực −→F = P−→i + Q−→j + R−→k là di chuyển chất điểm từ A đến Btheo quỹ đạo L có công được tính theo công thức

Trang 134

Trang 135

Định dạng
Số trang	135
Dung lượng	1,01 MB