Lời giải hàm nhiều biến

VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 1) Vẽ đồ thị tìm tập giá trị hàm số a) z(x, y) = + x − y b) z(x, y) = ln(1 − x − y ) 2) Vẽ đồ đồng mức cách vài đồng mức hàm số a) b) z(x, y) = xy u(x, y) = y − x c) u(x, y) = x − ln y 3) Mô tả mặt mức hàm số a) b) x y u= + + z2 u = x + y2 − z 4) Tìm giới hạn tồn giới hạn không tồn tạị hàm a) 2 x →0 x y→0 + y2 lim x −y Lời giải ; Đặt y = kx (k ≠ 0) x → ⇒ y → ⇒ lim x (1 − k ) x → x (1 − k ) khác với k khác b) lim x →0 y→0 x − sin y ⇒ không tồn = (1 − k ) (1 + k ) 2 x →0 x y →0 + y2 lim nhận giá trị x −y ; x + 2y Lời giải Đặt lim x →0 y→0 y = kx (k ≠ 0) x → ⇒ y → ⇒ x − sin y x + 2y − k2 = lim x →0 nhận sin kx − k2 (kx) = (1 + 2k ) (1 + 2k ) giá trị khác với k khác ⇒ không tồn lim x →0 y→0 c) ; lim x cos y x → 2x y →0 + y2 x − sin y x + 2y Lời giải Đặt lim y = kx (k ≠ 0) x → ⇒ y → ⇒ x cos y x → 2x y→0 + y2 = lim cos kx = + k x →0 + k2 nhận giá trị khác với k khác ⇒ không tồn lim x cos y x → 2x y→0 d) + y2 ; lim x sin y x →0 x y →0 + y2 Lời giải 0≤ x sin y x +y e) ≤ x sin y x x →1 (x y →1 = sin y → (x, y) → (0,0) lim x sin y x →0 x2 y →0 + y2 ; x + 2y lim ⇒ − 1) + y Lời giải lim x →1 (x y →1 x + 2y − 1) + y hàm số =3 f (x, y) = x + 2y (x − 1) + y liên tục (1,1) =0 f) x y+x lim x →0 x y→0 ; + sin y Lời giải Ta có ⇒ ⇒ sin y = y + o(y ) y → x2 y + x3 0≤ x + sin y2 x2 y + x3 lim x →0 x y→0 h) lim + sin y = x y + x3 x + y + o(y ) ≤ x y + x3 x2 = x + y → (x, y) → (0,0) =0 x + y2 x →0 y →0 x + y2 + − Lời giải lim x →0 y→0 x + y2 2 x +y +4−2 = lim x →0 y→0 (x + y )( x + y + + 2) x + y2 5) Xác định tập lớn hàm số liên tục: a) u= x+y x + y3 Lời giải =4 hàm số xác định x+y u= x +y ¡ − { (x + y = 0} ,nên liên tục Vậy tập xác định lớn hàm số liên tục tập ¡ b)  x f (x, y) =   y − { (x + y = 0} y ≥ x y < x Lời giải hàm số liên tục nên f (x, y) ∀x, y : y ≠ x liên tục y=x lim f (x, y) = lim2 f (x, y) = x = f (x, x ) y→x2 + 2⇒ y→x − hàm số liên tục ¡ 6) Xét liên tục hàm số f(x,y) a)   10 1  exp  x sin 10 cos 10 ÷ xy ≠ f (x, y) =  x y    x = y =  Lời giải (0,0);(1,0);(0,1) , +)  1  lim exp  x10 sin 10 cos 10 ÷ = x →0 x y   y →0 ≤ x10 sin ⇒ 1 cos ≤ x10 → x → 0, y → 10 10 x y Hàm số liên tục +) không tồn ⇒ +)  1  lim exp  x10 sin 10 cos 10 ÷ x →1 x y   y →0 O(1,0) x →0 y →1 y10 không tồn lim cos y →0  1  lim exp  x10 sin 10 cos 10 ÷ = cos1 ≠ f (0,1) x →0 x y   y →1 lim cos b) O(0,0) hàm số không liên tục ⇒ vì lim x10 sin x →0 y →1 = cos1 hàm số không liên tục  (1+ x)  f (x, y) = e  e x cos y O(0,1) x ≠ x = O(0,0) x10 =1 y10 Lời giải Vì lim e (1+ x) x cos y x →0 y→0 c)  = lim  (1 + x →0  y →0    f (x, y) = (1 + sin xy)  e cos x xy 1  cos y x) x ÷ ÷  ⇒ hàm số liên tục =e O(0,0) xy ≠ x = y = Lời giải Vì lim (1 + sin xy) cos x xy x →0 y→0 ⇒ d) Hàm số liên tục  = lim (1 + sin xy) x →0  y →0  O(0,0)  x −y sin f (x, y) =  x + y  0 2 cos x  xy sin xy sin xy  x + y ≠ x + y = y = kx (k ≠ 0) x → ⇒ y → ⇒ lim sin x →0 y→0 x − y2 x + y2 = lim sin x →0 =e Lời giải Đặt   − k2 + k2 = sin − k2 + k2 O(0,0) O(0,0) nhận giá trị khác cho k giá trị khác ⇒ e) Hàm số không liên tục O(0,0)  2 2 (x + y )sin x + y x + y ≠ f (x, y) =   x + y =  O(0,0) Lời giải ⇒ 2 ≤ (x + y )sin x + y2   lim (x + y )sin =0 x →0  x + y2  y→0 7) Hàm số f (x, y) = sin ≤ x + y → (x, y) → (0,0) ⇒ Hàm số liên tục 1− x − y O(0,0) Lời giải *Chọn < ε0 < với dãy (x ′n , y′n ), x ′n = y′n = (x n , y n ), x n = y n = 1 − 2nπ 1 − nπ ⇒ liên tục hình tròn 2 2 x + y ε0 ⇒ f (x, y) không liên tục x + y2 < 8) Tìm đạo hàm riêng cấp hàm số sau mô tả chúng hệ sốgóc: a) u = x − 2x y + 3xy3 Lời giải 2 3 u = x − 2x y + 3xy ⇒ u ′x = 4x − 4xy + 3y u ′y = −4x y + 9xy Đối với u ′x = 4x − 4xy + 3y nhau,ứng với x giá trị cho y = y0 = co n s t u ′x = 4x − 4xy + 3y số góc tiếp tuyến đường cong tương tự cho trường hợp b) u= cho x giá trị khác tương ứng thu hệ u = x − 2x y + 3xy   y = y0 2 (x, y0 ) u ′y = −4x y + 9xy x−y x+y Lời giải u= x−y 2y −2x ⇒ u ′x = ;u ′y = x+y (x + y) (x + y) Đối với u ′x = ứng với tiếp cho 2y y = y0 = co n s t cho x giá trị khác nhau, (x + y) x ≠ y0 giá trị u ′x = 2y (x + y) tương ứng thu hệ số góc ; ; ; ;  3 3   3 3  2  2  N1  , , , ,0 ÷ P2  − ,− ,0 ÷ ÷ N2  − , − , − ÷ P1  3 3 3 2 2          2 P3  ,0, ÷   ; ;    2 2 2 P4  − ,0, − ; P 0, , P 0, − , − ÷ 5 ÷ 6 ÷  2    2   ta có c) ; ; f (Pk ) = −2 f (M k ) = −2 f (x, y,z) = xyz ; 53 ⇒ f = −2 53 f (N k ) = − max f = − 27 27 với điều kiện 2 x + y +z =3 ; Lời giải +) Lập hàmLagrange g(x, y,z, λ) = xyz + λ(x + y + z − 3)  yz + 2λx = (y − z)(2λ − x) =  xz + 2λy = (x − z)(2λ − y) =   ⇒  xy + 2λz =  (y − x)(2λ − z) =  x + y + z = x + y2 + z =   ; ; ; ; ; ; ; ⇔ (−1, −1, −1) (1,1, −1) (1,1,1) (1, −1,1) ( −1,1,1) ( −1, −1,1) ( −1,1, −1) (1, −1, −1) ; ⇒ f = −1 max f = d) 2 f (x, y,z) = x + y + z với điều kiện x2 + ; y z + =1 Lời giải +) Lập hàm Lagrange y2 z g(x, y,z, λ) = x + y + z + λ(x + + − 1) 2 2 ; ; ⇔ (0,0, ±2) (0, ± 2,0) (±1,0,0)  x + λx = 2y + λy =  4z + λz =  2 x + y + z =  ta có e) ; ; ; f (0,0, ±2) = f (0, ± 2,0) = f (±1,0,0) = ⇒ f = max f = f (x, y,z) = x + y + z với điều kiện y − x = 1, z − xy = ; Lời giải +) Lập hàm Lagrange g(x, y,z, λ, β) = x + y + z + λ(y − x − 1) + β(z − xy − 1) 1 − λ − βy = ⇔ (−1,0,1) ⇒ f (−1,0,1) = 2y + λ − β x =  1 + β = y − x =  z − xy = f) với điều kiện f (x, y, z) = 2x + 2y − z 2 x + y +z =9 ; Lời giải +) Lập hàm Lagrange g(x, y,z, λ) = 2x + 2y − z + λ(x + y + z − 9) ; ⇒ ⇒ (2,2, − 1) (−2, −2,1) + λ x =  λ = ±  + 2λ y =   − + 2λ z =  x + y2 + z2 =  ; ⇒ max f = f (2, 2, −1) = f = f ( −2, −2,1) = −9 41) Tìm GTLN, GTNN có điều kiện hàm số a) f (x, y) = xy − x với điều kiện 2 x + y =1 ; Lời giải +) Lập hàm Lagrange g(x, y, λ) = xy − x + λ(x + y − 1)  y − 2x + 2λx = ⇔   x + 2λy =  2 x + y = ( ) x + 2xy − y = ⇒ x = −1 ± y ⇒ y = 2m 2 2± ;x = 4 2± 2m x=± ;y = ± 2 ⇒ ; ⇒  2− 2+   2− 2+  ÷ M2  − ÷ M1  , ,−  ÷  ÷ 2 2     f (M1 ) = − 1− = f (M ) ;  2+ 2−   2+ 2−  ÷ M4  − ÷ M3  , ,−  ÷  ÷ 2 2     ; ⇒  2−  2+  2− 2+  ÷ N2  − ÷ N1  ,− ,  ÷  ÷ 2 2     f (M ) = f (M ) = − = f (N1 ) = f (N ) ; ⇒  2+  2−  2+ 2−  ÷ N4  − ÷ N3  ,− ,  ÷  ÷ 2 2     f (N3 ) = f (N ) = − 1+ 2 ⇒ b) ; max f = −1 1+ f = − 2 với điều kiện f (x, y) = cos(y − x ) 2 x + y =1 ; Lời giải +) Lập hàmLagrange g(x, y,z, λ) = cos(y − x ) + λ(x + y − 1) ; ; ⇔ (0, ± 1) ( ± 1,0)  2x sin(y − x ) + 2λx =  ± , ±  ÷  2 2   −2ysin(y − x ) + 2λy =  2  x + y = 2 f (0, ±1) = f ( ±1,0) = cos1 = f c) 2 f (x, y,z) = x + y + z Lời giải ;   f ± ,± ÷ = = max f 2   với điều kiện 4 x + y + z =1 ; +) Lập hàm Lagrange  x + 2λ x =   y + 2λ y =   z + 2λ z =  4 x + y + z = g(x, y,z, λ) = x + y + z + λ(x + y + z − 1) ; ; ⇔ M1 ( ±1,0,0) M (0, ±1,0) M3 (0,0, ±1) ⇒ f (M k ) = ⇒ f = ; 1  ⇒ f (N k ) = ⇒ max f =  1   N1  , , ÷ N  − , − , − ÷ 3 3  3 3  ; ; 1    ⇒ f (Pk ) =    P1  0, ± , ± ÷ P2  ± ,0, ± ÷ P3  ± , ± ,0 ÷ 2 2 2     42) Tìm thể tích hình hộp chữ nhật lớn số hình hộp chữ nhật với cạnh song song với trục toạ độ nội tiếp ellipsoid 2 x z + y2 + =1 Lời giải Gọi (x, y, z) kích thước hình hộp chữ nhật.Để tìm thể tích hình hộp chữ nhật lớn nội tiếp ellipsoid 2 ,ta tìm GTLN x z + y2 + =1 f (x, y,z) = xyz thỏa mãn điều kiện x2 z2 +y + =1 Xét hàm số Lagrange ta có x2 z2 g(x, y,z, λ) = xyz + λ( + y + − 1) ⇔ λx  yz + =    xz + 2λy =   xy + 2λz =   z2 x  + y + = 1   x = 4y ;z = 9y ⇒  ± ,± , ÷⇒ max f = 3   43) Tìm (các) điểm đường cong độ Lời giải 6 x + y = 64 gần xa với gốc toạ Gọi M(x, y) điểm đường cong ,bài toán tìm GTLN,GTNN thỏa mãn f (x, y) = x + y x + y6 = 64 Xét hàm số Lagrange g(x, y, λ) = x + y + λ(x + y6 − 64) ; ; ⇔ (0, ± 2) ( ± 2,0) x  ± 32, ± 32 + λ x =  2  x +y  y + 6λy5 =   x + y2  6  x + y = 64  ( Có ) f (0, ±2) = f (±2,0) = ; điểm đường cong gần với gốc toạ độ ⇒ (0, ±2) (±2,0) 6 x + y = 64 ⇒ ( ) f ± 32, ± 32 = (± 6 32, ± 32 ) điểm đường cong 6 x + y = 64 xa với gốc toạ độ 44) Tìm hình chữ nhật có chu vi lớn nội tiếp elíp x a2 + y b2 =1 Lời giải Gọi M(x,y) tọa độ đỉnh hình chữ nhật nội tiếp x a2 + y b2 =1 cạnh hình chữ nhật phải song song với trục tọa độ.Ta phải tìm GTLN hàm số Xét hàm f (x, y) = 4(x + y) thỏa mãn x a + y b2 =1  x y2  g(x, y, λ) = 4(x + y) + λ  + − ÷ ÷ b a   2λx 4 + = a   2λy 4 + = b   x y2  + =1 b a ⇔ λ = ±2 a + b ⇒ x= ±a ; 2 a +b y= Vậy tọa độ đỉnh hình chữ nhật nội tiếp x2 a2  a b ,  2 a + b2  a +b 2 ;  ÷ ÷   a b ,  − a + b2 a + b2  2 ;  ÷ ÷  ± b2 a + b2 + y2 b2 =1  a b ,−  2 a + b2  a +b 2 ;  ÷ ÷   a2 b2 ,−  − 2 a + b a + b2  45) Tìm điểm mặt cong 2 xy z =  ÷ ÷  gần gốc toạ độ Lời giải: Giả sử M(x, y, z) điểm mặt cong 2 xy z = Bài toán tìm GTNN hàm số thỏa mãn f (x, y,z) = x + y + z xy z = Xét hàm số g(x, y,z, λ) = x + y + z + λ(xy z − 1) x x   + λy z = + λy z =   2 2  x +y +z  x +y +z   y + λ xyz = + 2λxz =     2 ⇒  x + y2 + z2  x +y +z   z  + 2λxy z =  + 2λxy =  x + y2 + z2  x + y2 + z2   2  xy z =  xy z = ⇒ điểm mặt cong ⇒  10  y = z = 2x ⇒ x = , ± 8, ±10 ÷    2 xy z = 46) Một hộp bìa tông không nắp tích dm Tìm kích thước hộp cho lượng bìa sử dụng it Lời giải: Gọi x,y,z kích thước hộp,diên tích xung quanh hộp (không có đáy) f (x, y,z) = 2(x + y)z + yx thỏa mãn Xét hàm Bài toán tìm GTNN f (x, y, z) = 2(x + y)z + yx xyz = g(x, y,z, λ) = 2(x + y)z + yx+λ(xyz − 4) với x > 0; y > 0;z > 2z + y + λyz = ⇒ 2z + y 2z + x 2x + 2y ⇒ x = y = 2z = = 2z + x + λxz = yz xz xy   2x + 2y + λxy =  xyz = ⇒ z = ⇒ (2, 2,1) (đơn vị : dm) 47) Tìm giá trị nhỏ hàm f (x, y,z) = x + 2y + 3z đường cong giao mặt phẳng x − y + z =1 với mặt trụ 2 x + y =1 Lời giải: Tức tìm giá trị nhỏ hàm Xét f (x, y, z) = x + 2y + 3z thỏa mãn x − y + z =1 x + y2 = g(x, y,z, λ, β) = x + 2y + 3z + λ(x − y + z − 1) + β( x + y − 1)  29 29 1 + λ + 2β x = ⇒ β2 = ⇒β= ± ;x = ± ;y = m   λ = −3 29 29 2 − λ + 2βy =    ⇒ x = 3 + λ = β x − y + z =     x + y = y = − 2β  ;  29 29 29 − 29   29 29 29 + 29  M1  ,− , M , , ÷ − ÷ 29 29 29 29 29 29     , f (M1 ) = − 29 f (M ) = + 29 ⇒ f = − 29 48) Một hãng dùng sợi len sợi để dệt vải Lượng vải làm P(x, y) = K(y − 1)(x − 1) , x khối lượng len (theo pound) với giá p đô la pound y khối lượng với giá q đô la pound, x; y > , K số dương Nếu hãng chi S đô la cho nguyên liệu, nên lấy len để làm nhiều vải nhất? Lời giải: Tức tìm giá trị lớn hàm Xét P(x, y) = K(y − 1)(x − 1) thỏa mãn S = px + qy g(x, y, λ) = K(y − 1)(x − 1) + λ(px + qy) ; ⇒ ⇒ K(p + q) − KS p + q − S p +q −S K(x − 1) + λ q =  λ = x = − y = −  2pq K 2p K 2q K(y − 1) + λp = px + qy = S  49) Mật độ mặt cầu 2 x +y +z =4 kim loại cho ρ(x, y,z) = + xz + y Tìm chỗ có mật độ cao nhất,thấp Lời giải: Bài toán quy tìm GTLN,GTNN 2 x +y +z ≤4 ρ(x, y,z) = + xz + y Xét hình cầu không kể biên thỏa mãn điều kiện ρ′x = z =   ρ′y = ⇔ 2y =  ′  x = ρz = ρ′′xx = ρ′′zz = 0; ρ′′yy = đạo hàm hỗn hợp triệt tiêu,nên không đủ điều kiện để xét cực trị địa phương (0,0,0) Xét toán tìm GTLN,GTNN ρ(0,0,0) = ρ(x, y, z) = + xz + y thỏa mãn điều kiện x + y2 + z2 = Lập hàm g(x, y,z, λ) = + xz + y + λ(x + y + z − 4)  z + λx =  y + λy =   x + λz =  x + y2 + z2 =  Giải hệ ta nghiệm ; M1 ( 2,0, 2) M (− 2,0, − 2) M3 ( − 2,0, 2) M ( 2,0, − 2) M5 (0, ±2,0) ; ; ; ρ(M1 ) = ρ(M ) = ρ(M3 ) = ρ(M ) = ρ(M ) = ; Điểm ; M ( 2,0, − 2) M3 ( − 2,0, 2) Còn điểm M3 (0, ±2,0) có mật độ thấp có mật độ cao [...]... (2,02) 2 Lời giải Xét hàm u(x, y,z) = x 2 + y 2 + z 2 chọn (x 0 , y0 , z 0 ) = (4,4,2); ∆x = 0,02; ∆y = −0,01; ∆z = 0,02 (4,02) 2 + (3,99) 2 + (2,02) 2 ≈ 36 + d) 0,08 − 0,04 + 0,04 0,04 =6+ 6 3 ; 2 (1,02) + (1,97) 3 Lời giải Xét hàm chọn u(x, y) = x 2 + y3 (x 0 , y0 ) = (1, 2); ∆x = 0,02; ∆y = −0,03 (1,02) 2 + (1,97)3 ≈ 3 + 0,02 12 × 0,03 0,016 − =3− 3 6 3 f) 5e0,06 + (2,03)2 Lời giải Xét hàm chọn... 3e0,04 Lời giải Xét hàm chọn 2 u(x, y) = x + 3e y (x 0 , y 0 ) = (1,0); ∆x = 0,02; ∆y = 0,04 (1,02) 2 + 3e0,04 ≈ 2 + 0,01 + 0,03 = 2,04 35) Tìm và phân lớp các điểm tới hạn của các hàm số sau: a) z = x 2 − 8xy − 2y 2 Lời giải z′x = 0 ⇔  ′ z y = 0 và 2x − 8y = 0 ⇔ (0,0)  −8x − 4y = 0 A = z′′xx = 2;C = z′′yy = −4;B = z′′xy = −8 AC − B2 = −72 < 0 ⇒ hàm không đạt cực trị b) z = x sin(πy) Lời giải z′x... phương trình c) 3 2 u = x − 3x y Lời giải u = x 3 − 3x 2 y ⇒ u ′x = 3x 2 − 6xy; u ′y = −3x 2 u ′′xx = 6x − 6y; u ′′yy = 0 ⇒ u = x 3 − 3x 2 y không là nghiệm của phương trình Laplace 24) Tìm đạo hàm của hàm số a) z(x, y) = x ln y tại P(−4,e) theo hướng r  5 12  l = , ÷  13 13  Lời giải Do r 5 x 12 5e − 48 l = 1 ⇒ ∂z(P) r = ln y + × = 13 y 13 13e ∂l b) u=e −x Lời giải tại cos y theo hướng r r r ... r OP Lời giải uuu r ∂u(P) 2 ∂u(P) 2 ∂u(P) 1 OP  2 2 1  ⇒ ∂u(P) r = × + × + × uuu r = , , ÷ ∂ x 3 ∂ y 3 ∂ z 3 ∂ l OP  3 3 3  ∂u(P)  2x 2y z r = + +  3 x 2 + y2 + z2 3 x 2 + y2 + z 2 3 x 2 + y 2 + z 2 ∂l   ÷ =1 ÷  (2,2,1) 25) Tìm tất cả các điểm tại đó chiều biến thiên nhanh nhất của hàm số là r r f (x, y) = x + 2y − 2x i + j 2 2 Lời giải Điểm tại đó chiều biến thiên nhanh nhất của hàm số... tg(yt) Lời giải ( ) ( ⇒ u ′x = z tan(yt);u ′y = xzt 1 + tan 2 (yt) ;u ′z = x tan(yt);u ′t = xzy 1 + tan 2 (yt) 9) a) ) Tìm các đạo hàm riêng của hàm u và tính chúng tại các điểm chỉ ra u = sin(xyln z) tại M(1,0,1) ; Lời giải u = sin(xyln z) ⇒ u ′x = yln z cos(xyln z); u ′y = x ln z cos(xyln z); u ′z = xy cos(xyln z) z u ′x (1,0,1) = u ′y (1,0,1) = u ′z (1,0,1) = 0 b) 3 3 u = xy z tại M(1,2,0) Lời giải. .. y ln 2 x 22) Tìm các đạo hàm riêng ′′ f xy và ′′′ 2 f xy với 2 2 f (x, y) = 2x y + x ln y Lời giải ′′ (x, y) = 4x + f x′ (x, y) = 4xy + 2x ln y ⇒ f xy 2x 2x ′′′ 2 (x, y) = − ; f xy y y2 23) Xét xem hàm nào sau đây là nghiệm của phương trình Laplace a) 2 u = 2x + y 2 ; Lời giải u ′′xx = 4;u ′′yy = 2 ⇒ u = 2x 2 + y2 b) 2 u=x −y 2 không là nghiệm của phương trình Laplace ; Lời giải u ′′xx = 2; u ′′yy... giá trị tính bằng máy tính bỏ túi a) (1,01) 2 ( ) 1,98 − 1 ; Lời giải Xét hàm (1,01) 2 ( 2 z(x, y) = x ( y − 1) ) ;  π + 0,01  tan  ÷  3,98  Lời giải (x 0 , y0 ) = (1,2); ∆x = 0,01; ∆y = −0,02 1,98 − 1 ≅ z(x 0 , y 0 ) + z ′x (x 0 , y 0 ) ∆x + z ′y (x 0 , y 0 ) ∆y = ( 2 − 1) + 0,02( 2 − 1) − b) chọn 0,02 0,01 = 1,02 × 0,414 − 1,414 2 2 Xét hàm π+x z(x, y) = tan  ÷  y  chọn π 1  π + 0,01  tan... sin(xe y ) − 2e 2y cos(xe y ) 21) Tìm các đạo hàm riêng cấp hai của các hàm số: a) z = x ln y + tan(xy) Lời giải z′x = ln y + y 1 + tan 2 (xy)  ⇒ z′′xx = 2y 2 tan(xy) 1 + tan 2 (xy)  z′y = x x + x 1 + tan 2 (xy)  ⇒ z ′′yy = − 2 + 2x 2 tan(xy) 1 + tan 2 (xy)      y y z′′xy = 1 + ( 1 + 2xy.tan(xy) ) 1 + tan 2 (xy)    y 1 ) 3/ 2 b) z=x y Lời giải z′x = yx y −1 ⇒ z′′xx = y(y − 1)x y −... y,z) Fz′ (x, y,z) =− y − 2xz z − 2xy Lời giải Đặt ⇒ ⇒ F(x, y, z) = xz − ln(x + y + z) Fx′ = z − 1 1 1 ;Fy′ = − ;Fz′ = x − x+y+z x+y+z x+y+z F′ z(x + y + z) − 1 z′x (x, y) = − x = − Fz′ x(x + y + z) − 1 và z′y (x, y) = − Fy′ Fz′ = 1 x(x + y + z) − 1 13) Sử dụng quy tắc đạo hàm hàm ẩn để tìm a)Với z = z(x, y) được xác định x z = ln + 1 z y Tìm dz(1,1);d 2 z(1,1) Lời giải Đặt z x⇒ 1 1 x+z F(x, y, z) = ln... 2 AC − B = −4 < 0 ⇒ hàm không đạt cực trị z = xy3 − 8x + 12y 2 Lời giải z′x = 0 ⇔  ′ z y = 0 ⇔ (−4,2)  y3 − 8 = 0  2 3xy + 24y = 0 A = z′′xx = 0;C = z′′yy = 6xy + 24;B = z ′′xy = 3y 2 ⇒ AC − B2 = −144 < 0 Do A = 0 nên chưa kết luận được,xong 2 d z( −4,2) = 24(k − h)h đổi dấu khi h, k thay đổi trong đó : f) z = e4x − x Lời giải z′x = 0 ⇔  ′ z y = 0 2 ∆x = k; ∆y = h ⇒ hàm không đạt cực trị ... y → 10 10 x y Hàm số liên tục +) không tồn ⇒ +)  1  lim exp  x10 sin 10 cos 10 ÷ x 1 x y   y →0 O (1, 0) x →0 y 1 y10 không tồn lim cos y →0  1  lim exp  x10 sin 10 cos 10 ÷ = cos1 ≠... song song cho công thức 1 + = R1 R R R1 Tìm R2 ∂R ∂R1 mạch điện ∂R(25, 40) ∂R1 Lời giải R R1 R 22 1 ∂R ∂R(25, 40) 64 + = ⇒R= ⇒ = ⇒ = R1 R R R + R1 ∂R1 ( R + R1 ) ∂R1 16 9 16 ) Chiều dài , chiều... a)   10 1  exp  x sin 10 cos 10 ÷ xy ≠ f (x, y) =  x y    x = y =  Lời giải (0,0); (1, 0);(0 ,1) , +)  1  lim exp  x10 sin 10 cos 10 ÷ = x →0 x y   y →0 ≤ x10 sin ⇒ 1 cos ≤ x10 → x