Lời giải hàm nhiều biến

Đối với cho khi cho x những giá trị khác nhau,ứng với mỗi x thì giá trị tương ứng thu được là hệ số góc của tiếp tuyến của đường cong tại tương tự cho trường hợp b Lời giải.. và Đối với

VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

x 2y

→

→

−+

hàm số xác định trên ,nên liên tục trên đó.

Vậy tập xác định lớn nhất trên đó hàm số liên tục là tập

b)

Lời giải.

nên liên tục trên hàm số liên tục trên

6) Xét sự liên tục của các hàm số f(x,y)

+) vì

Hàm số liên tục tại

+) không tồn tại vì không tồn tại

hàm số không liên tục tại

nhận các giá trị khác nhau khi cho k những giá trị khác nhau

Hàm số không liên tục tại

Đối với cho khi cho x những giá trị khác

nhau,ứng với mỗi x thì giá trị tương ứng thu được là hệ

số góc của tiếp tuyến của đường cong tại

tương tự cho trường hợp

b)

Lời giải.

Đối với cho khi cho x những giá trị khác nhau,

ứng với mỗi thì giá trị tương ứng thu được là hệ số góc của

(x y)

′ =

+

tuyến của đường cong tại

tương tự cho trường hợp

u(x y)

tương tự cho trường hợp .

Lời giải.

và

Đối với cho khi cho x những giá trị khác nhau,ứng

với mỗi thì giá trị tương ứng thu được là hệ số góc của tiếp tuyến của

đường cong tại

tương tự cho trường hợp

u′ =e y y= 0 =co n s t 0≠

3/ y x

u′ =e

3/ y 0

(s,t) (1,0) (s,t) (1,0)

y x

14) Nhiệt độ tại mỗi điểm trên đĩa kim loại phẳng cho bởi

trong đó T

đotheo , x và y theo mét Tìm vận tốc biến thiên nhiệt độ theo vị trí tại điểm

(2,2) theo chiều trục Ox và theo chiều trục Oy

15) Điện trở toàn phần của hai dây dẫn với điện trở và trong một mạch điện

mắc song song cho bởi công thức .Tìm và

∂

R(25,40)R

∂

∂

Lời giải.

16) Chiều dài , chiều rộng w và chiều cao h của một chiếc hộp thay đổi theo thời

gian Tại một thời điểm nhất định các kích thước này là , , và

w tăng lên với vận tốc 0,2m/scòn h giảm đi với vận tốc 0,3m/s Tại thời điểm đó hãy tìm vận tốc biến thiên của các đại lượng sau: (a) thể tích, (b) diện tích xung quanh

Lời giải.

Thể tích hộp và diện tích xung quanh

Sự của đại lượng thể tích khi vận tốc biến thiên được xác định

Sự của đại lượng diện tích xung quanh khi vận tốc biến thiên được xác định

c) tại theo hướng

Lời giải

25) Tìm tất cả các điểm tại đó chiều biến thiên nhanh nhất của hàm số

là

Lời giải.

Điểm tại đó chiều biến thiên nhanh nhất của hàm số là

(x y) 14(x y) 14 (x y) 14

c) ; ;

Lời giải.

Lời giải.

27) Một quả núi có dạng paraboloid elliptic , trong đó a và b

là nhữnghằng số dương Tại điểm (1,2) độ cao của núi tăng lên nhanh nhất theo chiều nào? Mộtviên bi đặt ở điểm này, đầu tiên bi sẽ lăn theo chiều nào?

(2,0)

55

Tại điểm (1,2) độ cao của núi tăng lên nhanh nhất theo chiều

véc tơ đơn vị vuông góc với mặt tại là

29) Giả sử một chất điểm xuyên vào mặt tại điểm theo

chiều vuônggócvới mặt Chất điểm sẽ cắt mặt phẳng Oxy tại điểm nào?

Lời giải

grad z(1,2)uuuur

(1,2)grad z(1,2) 2( ax, by)uuuur = − − = −2(a,2b)

y x

đó là bài toán tìm giao điểm của đường thẳng qua điểm vuông góc với

mặt

có phương trình và mặt phẳng xOy điểm

thuộc

mặt cong,Véc tơ chỉ phương của đường thẳng

đường thẳng qua điểm có phương trình:

Cắt xOy tại điểm (2,2,0)

30) Tìm phương trình mặt phẳng tiếp xúc với đồ thị của hàm số

phương trình đường thẳng pháp tuyến

phương trình tiếp diện

b) tại

Lời giải

pháp tuyến với mặt đã cho tại điểm

phương trình đường thẳng pháp tuyến

phương trình tiếp diện

32) Dùng vi phân để tính xấp xỉ lượng thiếc trong một chiếc hộp mạ thiếc kín với

đường kính 8cm và chiều cao 12 cm nếu lớp mạ dày 0.01 cm

+

2 2x 8xz

Tại , nên chưa kết

37) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm

Cực trị địa phương của hàm trong miền

do nên chỉ xét với các điều kiện

Cực trị địa phương của hàm trong miền

⇒A f= xx′′ =0;C f= yy′′ =0;B f= xy′′ = −3

39) Tìm cực trị có điều kiện của các hàm số

Lời giải.

Do hàm không đạt cực trị địa phương trong nên ta xét cực trị của

0,3

với điều kiện

nên không có cực trị của với điều kiện

Do điểm nghi ngờ nên không có cực trị địa

phương

của hàm trong miền tam giác

Ta xét cực trị của với các điều kiện ; và +) Lập hàm Lagrange

d) với điều kiện ;

40) Tìm cực trị có điều kiện của các hàm số

f) với điều kiện ;

Lời giải.

+) Lập hàm Lagrange

;

;

41) Tìm GTLN, GTNN có điều kiện của các hàm số

+) Lập hàm Lagrange

;

42) Tìm thể tích của hình hộp chữ nhật lớn nhất trong số các hình hộp chữ nhật với

các cạnh song song với các trục toạ độ và nội tiếp trong ellipsoid

lớn nhất nội tiếp trong ellipsoid ,ta đi tìm GTLN của

thỏa mãn điều kiện

Gọi là điểm trên đường cong ,bài toán đi tìm GTLN,GTNN của

điểm trên đường cong xa nhất với gốc toạ độ

44) Tìm hình chữ nhật có chu vi lớn nhất nội tiếp trong elíp

Lời giải.

Gọi M(x,y) là tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật nội tiếp trong khi đó

các cạnh của hình chữ nhật phải song song với các trục tọa độ.Ta phải tìm GTLN của

là các điểm trên mặt cong

Gọi x,y,z là kích thước hộp,diên tích xung quanh của hộp (không có một đáy) là

.Bài toán tìm GTNN của thỏa mãn

f (x, y,z) 2(x y)z yx= + + f (x, y,z) 2(x y)z yx= + +

47) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm trên đường cong là giao

, trong đó x là khối lượng len (theo pound) với giá p đô la

một pound và y là khối lượng bông với giá q đô la một pound, , K là hằng

số dương Nếu hãng có thể chi ra S đô la cho nguyên liệu, nên lấy bao nhiêu bông

và len để làm ra nhiều vải nhất?

Bài toán quy về tìm GTLN,GTNN của thỏa mãn điều kiện

.Xét trong hình cầu không kể biên

x +y +z ≤4

cùng các đạo hàm hỗn hợp triệt tiêu,nên không đủ điều kiện

để

xét cực trị địa phương tại nhưng

Xét bài toán tìm GTLN,GTNN của thỏa mãn điều kiện