Khóa luận Biên soạn hệ thống lý thuyết và bài tập phần đạo hàm và vi phân của hàm nhiều biến cho giáo trình giải tích 2

DANH MỤC BẢNG BIỂU Bảng 2.1 Các dạng tập kĩ thuật giải tương ứng S1 S2 63 Bảng 2.2 Số lượng tập S1 S2 63 DANH MỤC HÌNH ẢNH Hình 2.1 Giá trị số nhiệt [8] Hình 2.2 Mối liên hệ số gia y vi phân dy [8] 13 Hình 2.3 Mối liên hệ số gia z vi phân dz [8] 18 Hình 2.4 Sơ đồ [8] 25 Hình 2.5 Đường cong  ( x, y ) = [3] 50 Hình 2.6 Biểu đồ nhiệt độ Bang Hoa Kỳ [8] 30 Hình 2.7 Vector đơn vị u [8] 31 Hình 2.8 Mặt cong S cắt mặt phẳng thẳng đứng theo hướng vector u [8] 32 Hình 2.9 Đồ thị hàm số f có cực trị [8] 40 2 Hình 2.10 Đồ thị hàm số f ( x, y ) = x − y [8] 42 Hình 2.11 Dốc núi có hình n ngựa [8] 43 Hình 2.12 Các dạng tập hợp [8] 46 Hình 2.13 Đường đồng mức f ( x, y ) g ( x, y ) = k [8] 49 Hình 2.14 Giao tuyến C vector gradient P [8] 53 Hình 2.15 Mặt phẳng tiếp tuyến với S P vector gradient P [8] 57 Hình 2.16 Đường tiếp tuyến T1 T2 với mặt cong P [8] 59 Hình 2.17 Đồ thị hàm số z = x2 + y mặt phẳng tiếp tuyến (1,1,3) [8] 61 Hình 2.18 Đường đồng mức hàm số z = x + y [8] 61 2 Hình 3.1 Ý nghĩa đạo hàm riêng 74 Hình 3.2 Hình tam giác 75 Hình 3.3 Mặt phẳng tiếp tuyến gồm hai đường thẳng tiếp tuyến T1 T2 88 Hình 3.4 Đồ thị hàm số z = x + y + mặt pẳng tuyến tuyến điểm ( 2,1, ) 91 Hình 3.5 Đồ thị hàm số z = x2 + xy + y mặt phẳng tiếp tuyến điểm (1,0,1) 91 Hình 3.6 Đồ thi hàm số 96 Hình 3.7 Đồ thị thể mối liên hệ dy y 99 Hình 3.8 Sơ đồ mạch điện 103 Hình 3.9 Sơ đồ 115 Hình 3.10 Sơ đồ 118 Hình 3.11 Sơ đồ 119 Hình 3.12 Sơ đồ 120 Hình 3.13 Sơ đồ 121 Hình 3.14 Sơ đồ 123 Hình 3.15 Mặt phẳng tiếp tuyến P [8] 135 Hình 3.16 Vector đơn vị u = + bj 136 Hình 3.17 Vector gradient đường đồng mức 151 Hình 3.18 Đồ thị hàm số z = cos xy 160 Hình 3.19 Đồ thị hàm số f ( x, y ) = x + y − x − y + 160 Hình 3.20 Đồ thị hàm số f ( x, y ) = − x − y 160 Hình 3.21 Đồ thị hàm số f ( x, y ) = x − y 161 Hình 3.22 Đồ thị hàm số f ( x, y ) = 3x + xy + y − x + y 162 Hình 3.23 Đồ thị hàm số z = f ( x, y ) = x − x + y + xy 163 Hình 3.24 Đồ thị hàm số f ( x, y ) = x + xy + y 166 Hình 3.25 Đồ thị hàm số z = x5 + y3 + y − 5x2 166 Hình 3.26 Đồ thị hàm số z = xy + x − y 167 Hình 3.27 Ứng dụng khớp hàm 170 Hình 3.28 Miền xác định D 174 Hình 3.29 Khoảng cách từ gốc tọa đô 183 Hình 3.30 Khoảng cách từ gốc tọa độ 186 Hình 3.31 Các đường đồng mức 187 Hình 3.32 Giao tuyến g ( x, y, z ) = h ( x, y, z ) = 194 MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Khách thể đối tượng nghiên cứu Giải thiết khoa học Giới hạn nghiên cứu Cấu trúc luận văn Chương NHỮNG VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU TRỌNG TÂM 1.1 Giáo trình phân tích 1.2 Câu hỏi nghiên cứu 1.3 Nội dung Đề cương chi tiết học phần Giải tích 1.4 Cấu trúc nội dung Chương PHÂN TÍCH VÀ SO SÁNH PHẦN ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN 2.1 Phần lý thuyết 2.1.1 Cách tiếp cận khái niệm Đạo hàm Vi phân hàm nhiều biến 2.1.2 Định nghĩa tính chất Đạo hàm riêng Vi phân hàm nhiều biến 13 2.1.3 Các phương pháp tính đạo hàm riêng phân 21 2.1.4 Ứng dụng đạo hàm riêng 30 2.2 Phần tập 62 2.3 Một vài kết luận 64 Chương VIẾT MẪU PHẦN ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN 67 3.1 Đạo hàm riêng 68 3.1.1 Đạo hàm riêng cấp 71 3.1.1.1 Định nghĩa 71 3.1.1.2 Một số kí hiệu đạo hàm riêng 71 3.1.1.3 Quy tắc tìm đạo hàm riêng 72 3.1.1.4 Ý nghĩa đạo hàm riêng cấp 74 3.1.2 Đạo hàm riêng cấp hàm số nhiều hai biến 76 3.1.3 Đạo hàm cấp cao 77 3.1.3.1 Định nghĩa 78 3.1.3.2 Định lý Clairaut 81 3.1.4 Bài tập 84 3.2 Khả vi vi phân 87 3.2.1 Mặt phẳng tiếp tuyến phép tính gần tuyến tính 88 3.2.1.1 Mặt phẳng tiếp tuyến 88 3.2.1.2 Phép tính tuyến tính gần 92 3.2.2 Khả vi 96 3.2.2.1 Định nghĩa 97 3.2.2.2 Điều kiện đủ khả vi 98 3.2.2.3 Hệ hàm khả vi 99 3.2.3 Vi phân 99 3.2.3.1 Vi phân cấp 99 3.2.3.2 Vi phân cấp cao 104 3.2.4 Hàm ba biến nhiều ba biến 106 3.2.5 Bài tập 108 3.3 Quy tắc dây chuyền 113 3.3.1 Quy tắc dây chuyền (Đạo hàm riêng hàm hợp) 114 3.3.1.1 Đạo hàm riêng hàm hợp hai biến 114 3.3.1.2 Đạo hàm riêng hàm hợp tổng quát 119 3.3.2 Đạo hàm hàm ẩn 121 3.3.2.1 Đạo hàm hàm ẩn biến 121 3.3.2.2 Đạo hàm riêng hàm ẩn nhiều biến 123 3.3.2.3 Đạo hàm riêng hệ hàm ẩn 128 3.3.3 Bài tập 132 3.4 Đạo hàm có hướng vector gradient 135 3.4.1 Đạo hàm theo hướng 136 3.4.1.1 Định nghĩa 137 3.4.1.2 Định lý 139 3.4.2 Vector Gradient 143 3.4.2.1 Định nghĩa 143 3.4.2.2 Tính chất 145 3.4.2.3 Ứng dụng Gradient 146 3.4.2.4 Ý nghĩa hình học vector gradient 150 3.4.3 Đối với hàm ba biến 152 3.4.4 Bài tập 155 3.5 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ NHIỀU BIẾN 158 3.5.1 Cực trị hàm hai biến 159 3.5.1.1 Định nghĩa cực trị địa phương hàm hai biến 159 3.5.1.2 Điều kiện cần để có cực trị 161 3.5.1.3 Điều kiện đủ để có cực trị 163 3.5.2 Cực trị tuyệt đối cực trị tuyệt đối vùng đóng bị chặn 173 3.5.3 Cực trị hàm ba biến 176 3.5.4 Bài tập 179 3.6 Phương pháp nhân tử lagrange 182 3.6.1 Nhân tử Lagrange với ràng buộc 182 3.6.1.1 Phương pháp nhân tử Lagrange – Điều kiện cần cực trị có điều kiện 185 3.6.1.2 Điều kiện đủ cực trị có điều kiện 185 3.6.2 Nhân tử Lagrange với hai ràng buộc 192 3.6.3 Bài tập 196 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 199 TÀI LIỆU THAM KHẢO 200 PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Roger Bacon dành lời có cánh cho tốn học: “Nếu muốn đo tới tính xác thực hiển nhiên chân lý vô điều kiện khoa học khác, cần phải lấy tri thức từ toán học.” Thật vậy, từ thời cổ đại, toán học bắt đầu hình thành nhiều nơi giới tiêu biểu Hy Lạp cổ đại Ngày nay, khoa học kĩ thuật ngày phát triển, toán học trở nên quan trọng trở thành công cụ thiếu để giải vấn đề thực tiện Ở thời cổ đại, Pythagoras nghĩ định lý Pythagoras liên hệ cạnh tam giác vuông để giúp ta tìm cạnh tịa tháp Tương tự vậy, Newton suy nghĩ phép vi phân tích phân giúp ta đưa định nghĩa xác khái niệm vận tốc, gia tốc, Ở thời nay, toán học giúp tìm số liệu cách tối ưu để giải vấn đề, giúp xử lý vấn đề vật lý, hóa học, sinh học, Ở cấp độ trung học, học sinh tiếp cận giải tích hàm biến cách tổng quát tập trung mặt tốn học, đó, ta chưa hiểu thật Ở học kì 1, năm bậc đại học, học sinh tiếp tục học giải tích hàm biến cách chuyên sâu hơn, biết nhiều ứng dụng toán học vật lý Tuy nhiên, vấn đề sau giải khơng phải lúc có biến số mà đa số nhiều yếu tố, nhiều biến số chi phối Do đó, học sinh cần tìm hiểu hàm nhiều biến số ứng dụng hàm nhiều biến số Có thể khẳng định giải tích môn học với ứng dụng chi phối toàn ngành khoa học – kĩ thuật kể kinh tế Tất ngành học khoa học tự nhiên gắn liền với giải tích Vì thế, giải tích mơn bắt buộc ngành khoa học tự nhiên Do vậy, nước ta nói riêng, nguồn tài liệu tham khảo mơn giải tích ngày nhiều, giáo trình đời với nhiều mục đích khác nhau, đa số tài liệu tập trung cung cấp cơng thức tốn học, phương pháp tính tốn, tập tốn học mà chưa có nhiều ứng dụng đến thực tiễn nói chung tập vật lý nói riêng Các giáo trình giải tích nước ngồi có nhiều ứng dụng giải tích vào nhiều lĩnh vực đặc biệt có nhiều ứng dụng vào vật lý Tuy nhiên, nhận thấy sinh viên khoa vật lý quan tâm đến tài liệu nước ngoài, hạn chế việc trao dồi ngoại ngữ trình học bậc đại học – 10 tín chiếm 7,4% chương trình học Trường Đại học Sư phạm Thành Phố Hồ Chí Minh Đồng thời tiếp nối đề tài nghiên cứu sinh viên Bùi Quốc Long – sinh viên khoa vật lý khóa 37 Trường Đại học Sư phạm Thành Phố Hồ Chí Minh – thực luận văn [6] để nghiên cứu giáo trình Giải tích ảnh hướng đến việc dạy học giảng viên sinh viên khoa vật lý – Trường Đại học Sư phạm Thành Phố Hồ Chí Minh Trong đó, luận văn [6] phân tích giáo trình giải tích trường đại học có ngành vật lý, [3] so sánh với giáo trình nước ngồi [8] để thấy điểm mạnh điểm yếu Từ đó, chúng tơi đưa cấu trúc để viết mẫu phần Đạo hàm hàm biến luận văn [6] để minh họa Để tiếp tục đến mục tiêu hoàn thiện giáo trình giải tích tiếng Việt với ngơn ngữ dễ hiểu có ví dụ ứng dụng Vật lý cụ thể nhằm tạo thêm tài liệu tham khảo cho sinh viên ngành Vật lý – trường Đại học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh nói riêng, định thực luận văn dựa cấu trúc có [5,6] để phân tích so sánh phần Đạo hàm Vi phân hàm nhiều biến giáo trình nước [3] [7] với giáo trình nước ngồi [8] cuối viết mẫu phần Đạo hàm Vi phân hàm nhiều biến dựa phân tích so sánh Đồng thời, chúng tơi đưa thêm tập ứng dụng vật lý cụ thể tham khảo từ tài liệu vật lý [1,2], [4] Mục đích nghiên cứu Đề tài nhằm hồn thiện ý tưởng giáo trình Giải tích tiếng Việt dùng làm tài liệu tham khảo cho sinh viên vật lý – Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Trong luận văn này, chúng tơi trọng đến khái niệm Đạo hàm Vi phân hàm nhiều biến số: định nghĩa ứng dụng Các kết cần đạt luận văn này: − Phân tích so sánh khái niệm Đạo hàm Vi phân hàm nhiều biến số giáo trình [3], [7] với [8] để rút điểm mạnh điểm yếu chúng − Cấu trúc lại để viết phần Đạo hàm Vi phân hàm nhiều biến số dựa phân tích so sánh Khách thể đối tượng nghiên cứu − Chương trình Giải tích Vật lý − Mối liên hệ ứng dụng toán học Vật lý Giả thiết khoa học Nếu luận văn hoàn thiện hỗ trợ cho sinh viên năm học giải tích hàm nhiều biến cách đầy đủ hơn, đồng thời thấy ứng dụng cụ thể toán học vật lý, đặc biệt khía cạnh giải tích Nhiệm vụ nghiên cứu − Tìm hiểu giáo trình sử dụng khoa vật lý số trường đại học có đào tạo ngành vật lý − Phân tích so sánh giáo trình với giáo trình nước ngồi [8] Từ đó, rút kết luận để đến việc viết phần Đạo hàm Vi phân cùa hàm số nhiều biến số Giới hạn nghiên cứu Chúng nêu khác khái niệm Đạo hàm Vi phân hàm nhiều biến số giáo trình vào ngồi nước Đồng thời phân tích kiến thức phần Đạo hàm Vi phân hàm nhiều biến số giáo trình tiến hành viết mẫu chương Đạo hàm Vi phân hàm nhiều biến số theo mẫu có [5,6] Trong luận văn này, không viết Hàm nhiều biến Giới hạn Khai triển Taylor hàm nhiều biến Những đóng góp đề tài Trong luận văn này, viết phần Đạo hàm Vi phân hàm nhiều biến số với ngôn ngữ gần gũi dễ hiểu thông qua ví dụ giải thích cụ thể Chúng tơi ý đến nội dung, màu sắc, cách trình bày với hình ảnh làm cho nội dung thêm sinh động Những thay đổi đề cập chương luận văn – Viết mẫu phần Đạo hàm Vi phân hàm nhiều biến Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, cấu trúc luận văn gồm chương: ❖ Chương 1: Những vấn đề nghiên cứu trọng tâm Nhằm mục đích tìm hiểu vấn đề nghiên cứu cách có hệ thống, logic hiệu quả, chúng tơi đặt số câu hỏi trả lời câu hỏi sau phân tích phần Đạo hàm vi phân hàm nhiều biến Chương luận văn ❖ Chương 2: Phân tích so sánh phần Đạo hàm Vi phân hàm nhiều biến Chúng sử dụng phương pháp phân tích so sánh lý thuyết với phương pháp phân loại hệ thống hóa lý thuyết để tìm hiểu sâu sắc phần Đạo hàm 186 cực trị hàm số f ( x, y , z ) với ràng buộc g ( x, y, z ) = Do đó, theo phần 5, đưa điều kiện đủ cực trị có điều kiện trình bày bảng Điều kiện đủ để có cực trị Giả sử ( x0 , y0 , z0 ) điểm tới hạn f ( x, y, z ) với ràng buộc g ( x, y, z ) = Khi ( x0 , y0 , z0 ) điểm tới hạn L ( x, y, z ) khơng có điều kiện Trường hợp 1: Nếu d L ( x0 , y0 , z0 )  ( x0 , y0 , z0 ) cực tiểu địa phương L ( x, y, z ) Trường hợp 2: Nếu d L ( x0 , y0 , z0 )  ( x0 , y0 , z0 ) cực đại địa phương L ( x, y, z ) Trường hợp 3: Nếu d L ( x0 , y0 , z0 ) = ( x0 , y0 , z0 ) cực đại hay cực tiểu địa phương L ( x, y , z ) Ví dụ 1: Tìm cực trị có điều kiện Giải lại tốn đầu đầu phần Tìm khoảng cách ngắn từ gốc tọa độ đến bề mặt S : x2 − z + x + z − = GIẢI Khoảng cách từ điểm A ( x, y, z ) đến gốc tọa độ d = x2 + y + z , Để thu khoảng cách ngắn nhất, ta xét hàm số f ( x, y , z ) = x + y + z , với ràng buộc Hình 3.30 Khoảng cách từ gốc tọa độ g ( x, y, z ) = x − z + x + z − Hàm số Lagrange 187 8  L ( x, y , z ) = x + y + z +   x − z + x + z −  9  = x (1 +  ) + y + z (1 −  ) + x + z −  Theo phương pháp nhân tử Lagrange, giá trị x , y , z  thỏa phương trình  Lx ( x, y, z ) =   Ly ( x, y , z ) =   Lz ( x, y, z ) =  g x, y , z = )  ( 2 x (1 +  ) +  =  2 y =  2 z (1 −  ) +  =   x2 − z + x + z −  −   x = (  + 1)  y =   − z = 1−  ( )  =0  x − z + x + z − =  Thế x , y z g ( x, y, z ) = , thu phương trình 2 2   − − − − =0 2 (  + 1) (1 −  ) (  + 1) (1 −  ) 9   − 2 +  + =  = −      −1,519 Trường hợp 1:  = − Hình 3.31 Các đường đồng mức 1 nên x = , y = , z = 1 1 d L  ,0,  = dx + 2dy + 3dz  , 2 6 10 1 1 nên điểm  ,0,  cực tiểu địa phương d = 2 6 Trường hợp 2:   −1,519 nên x  −1, 46 , y = , z  0,302 188 d L ( −1, 46;0;0,302 ) nên điểm −1,038dx + 2dy − 5,038dz , ( −1, 46;0;0,302 ) cực trị địa phương 1 1 Vậy điểm  ,0,  nằm S : x − z + x + y − = 2 6 điểm gần gốc tọa độ khoảng cách nhỏ d = Ví dụ 2: 10 Tìm cực trị có điều kiện Tìm cực trị f ( x, y ) = x + y + xy , với ràng buộc x2 + y = GIẢI Ta có ràng buộc g ( x, y ) = x + y − = Hàm Lagrange L ( x, y, z ) = x + y + xy +  ( x + y − ) = x (1 +  ) + y (1 +  ) + xy − 2 Theo phương pháp nhân tử Lagrange, giá trị x , y , z  thỏa phương trình 2 x (1 +  ) + y =  x −  x (1 +  )(1 +  ) =    x + y (1 +  ) =   y = −2 x (1 +  )   2 x + y − = x + y − = Do ( 0,0 ) không thỏa ràng buộc g ( x, y ) = nên x − x (1 +  )(1 +  ) =  −4 − 8 − =  = −1   = −3 Trường hợp 1:  = −1 Ta có x = − y , vào ràng buộc ta 189 x = − y  2 x + y − = x = − y   x = 1 , x =  x = −1 v    y = −1 y =1 , nên ta có điểm (1, −1) ( −1,1) điểm tới hạn f ( x, y ) với ràng buộc g ( x, y ) = Bên cạnh đó, dg (1, −1) = 2dx − 2dy =  dx = dy dx2 + dy  nên d L (1, −1) = d ( −1,1) = dx + 2dxdy + dy = 4dy  , nên điểm (1, −1) ( −1,1) cực tiểu địa phương, giá trị cực tiểu fCT (1, −1) = fCT ( −1,1) = Trường hợp 2:  = −3 Ta có x = y , vào ràng buộc ta x = y  2 x + y − = x = y   x = 1 , x =  x = −1 v   y =1  y = −1 , nên ta có điểm (1,1) ( −1, −1) điểm tới hạn f ( x, y ) với ràng buộc g ( x, y ) = Bên cạnh dg (1,1) = 2dx + 2dy =  dx = −dy dx2 + dy  nên d L (1,1) = d 2 ( −1, −1) = −dx + 2dxdy − dy = −4dy  , nên điểm (1,1) ( −1, −1) cực đại địa phương, giá trị cực tiểu fCĐ (1,1) = fCĐ (1,1) = 190 Vậy f ( x, y ) với ràng buộc g ( x, y ) = có giá trị lớn (1,1) ( −1, −1) giá trị nhỏ (1, −1) Ví dụ 3: ( −1,1) Tìm cực trị nhiệt độ Nhiệt độ Celsius điểm ( x, y, z ) mặt cầu x2 + y + z = có dạng T ( x, y ) = 200 xyz , tìm nhiệt độ cao thấp mặt cầu này.[10] GIẢI Ta có ràng buộc g ( x, y , z ) = x + y + z − = Hàm Lagrange L ( x, y, z ) = 200 xyz +  ( x2 + y + z − 3) Theo phương pháp nhân tử Lagrange, giá trị x , y , z  thỏa phương trình sau  Lx ( x, y, z ) =  2 x + 200 yz =   2 y + 200 xz =  Ly ( x, y , z ) =     Lz ( x, y, z ) =  2 z + 200 xy = 2  g x, y , z =  x + y + z − = )  ( Nhận xét: x = , y = , z = nghiệm phương trình khơng thỏa g ( x, y, z ) = Với xyz  , ta dễ dàng nhận thấy x= y=z Thế x = y = z vào g ( x, y, z ) = ta x = y = z x = y = z  x = y = z = −1    2  x = 1 x = y = z = x + y + z − = nên điểm (1,1,1) ( −1, −1, −1) điểm tới hạn T với ràng buộc g ( x, y, z ) = Trường hợp 1: Điểm (1,1,1)  = −100 Ta có: dg (1,1,1) = 2dx + 2dy + 2dz = , nên ta thu 191 d L (1,1,1) = −200 ( dx + dy + dz − 2dx − 2dy − 2dz ) = −200 ( dx + dy + dz )  0, nên điểm (1,1,1) cực đại T với ràng buộc g ( x, y, z ) = giá trị cực đại TCÐ = 200 13 = 200 Trường hợp 2: Điểm ( −1, −1, −1)  = 100 Ta có dg ( −1, −1, −1) = −2dx − 2dy − 2dz = , nên ta thu d L (1,1,1) = 200 ( dx + dy + dz − 2dx − 2dy − 2dz ) = 200 ( dx + dy + dz )  0, nên điểm ( −1, −1, −1) cực tiểu T với ràng buộc g ( x, y , z ) = giá trị cực đại TCT = 200  ( −1) = −200 Ví dụ 4: Tìm cực trị có điều kiện Cho ba có tự nhiên x , y , z khác với x + y + z = 12 Hỏi f ( x, y , z ) = x yz lớn bao nhiêu? GIẢI Ta có ràng buộc g ( x, y, z ) = x + y + z − 12 = Hàm Lagrange L ( x, y, z ) = x yz −  ( x + y + z − 12 ) Theo phương pháp nhân tử Lagrange, giá trị x , y , z  thỏa phương trình sau 192  3x yz +  =  x3 z +  =    x yz +  = x + y + z − =   = − x z  = −3456  x = x = 3y    z = y y =  x + y + z − 12 =  z = Nên điểm ( 6, 2, ) điểm tới hạn f ( x, y, z ) với ràng buộc g ( x, y, z ) = Vì chất vấn đề phải có giá trị lớn nên ( 6, 2, ) điểm cực đại f ( x, y, z ) với ràng buộc g ( x, y, z ) = Giá trị lớn 63   42 = 6912 3.6.2 Nhân tử Lagrange với hai ràng buộc Bây giờ, vấn đề đặt cho tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ f ( x, y, z ) không với ràng buộc mà đến hai ràng buộc g ( x, y , z ) = h ( x, y, z ) = Chúng sẽ tìm hiểu tiếp tục phương pháp tìm cực trị f ( x, y, z ) với hai ràng buộc Giả sử, muốn tìm giá trị cực đại cực tiểu hàm số f ( x, y, z ) với hai ràng buộc g ( x, y, z ) = h ( x, y, z ) = Gọi C đường cong giao điểm hai ràng buộc g ( x, y, z ) = h ( x, y, z ) = Ta giả sử điểm A ( x0 , y0 , z0 ) nằm C điểm cực trị f ( x, y, z ) Chúng ta chứng minh f ( x0 , y0 , z0 ) vng góc với vector tiếp tuyến r  ( t0 ) theo đường cong C Bên cạnh đó, g ( x0 , y0 , z0 ) h ( x0 , y0 , z0 ) đồng thời vng góc với vector tiếp tuyến r  ( t0 ) theo đường cong 193 C Điều chứng ba vector gradient f ( x0 , y0 , z0 ) , g ( x0 , y0 , z0 ) , h ( x0 , y0 , z0 ) nằm mặt phẳng Và g ( x0 , y0 , z0 ) h ( x0 , y0 , z0 ) khác khơng chúng khơng song song với nhau, biểu diễn f ( x0 , y0 , z0 ) theo hai vector lại A ( x0 , y0 , z0 ) f ( x0 , y0 , z0 ) = −g ( x0 , y0 , z0 ) − h ( x0 , y0 , z0 ) , với   nhân tử Lagrange Bằng cách lập luận mục 6.1, có phương pháp nhân tử Lagrange cho cực trị hàm số với hai ràng buộc tương tự trình bày 6.1 Lúc đó, giá trị x , y , z ,   thỏa  Lx ( x, y, z ) =  L ( x, y, z ) =  L y ( x, y , z ) =    g ( x, y, z ) =   Lz ( x, y, z ) =    h ( x, y , z ) =  g ( x, y , z ) =  h ( x, y , z ) =  với hàm Lagrange lúc L ( x, y, z ) = f ( x, y, z ) +  g ( x, y, z ) +  h ( x, y, z ) Ví dụ 5: Tìm cực trị có ràng buộc Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số f ( x, y, z ) = x + y + z , với hai ràng buộc x + y = x + z = GIẢI Ta có ràng buộc sau g ( x, y, z ) = x + y − = h ( x, y, z ) = x + z − = , Hàm Lagrange L ( x, y, z ) = x + y + z +  ( x + y − 1) +  ( x + z − 2) Theo phương pháp nhân tử Lagrange, giá trị x , y , z ,   thỏa phương trình sau 194 2 x + +  =  = −1   1 +  = 2 x =    2 z + = 2 z + = x + y −1 = x + y =    x + z − =  x + z =   x =  = −1   y =1 x =    x + y =  z =    = −1  = −  2z    x2 + z =  = 2   ( Nên 0,1, f ( x, y , z ) ) ( 0,1, − ) điểm tới hạn g ( x, y , z ) = với hai ràng buộc h ( x, y, z ) = ( ( ) ) Giá trị f 0,1, = + f 0,1, − = − Vì vậy, hàm số f ( x, y , z ) với hai ràng buộc g ( x, y, z ) = h ( x, y, z ) = có giá trị cực đại ( ) f ( 0,1, − ) = − f 0,1, = + Ví dụ 7: có giá trị cực tiểu Tìm giá trị cực tiểu Tìm khoảng cách ngắn từ gốc tọa độ đến đường cong giao tuyến x + z = x + y + z = GIẢI Khoảng cách từ gốc tọa độ đến điểm A ( x, y, z ) d = x2 + y + z , với điểm A ( x, y, z ) nằm giao tuyến hai mặt cong g ( x, y , z ) = x + z − = Hình 3.32 Giao tuyến g ( x, y, z ) = h ( x, y, z ) = h ( x, y, z ) = x + y + z − = 195 Để tìm khoảng cách ngắn từ gốc tọa độ đến điểm A ( x, y, z ) xét hàm số sau f ( x, y , z ) = x + y + z Xét hàm số Lagrange L ( x, y, z ) = x2 + y + z +  ( x2 + z − 2) +  ( x + y + z − 4) Theo phương pháp nhân tử Lagrange, giá trị x , y , z , ,   thỏa phương trình sau 2 x (  + 1) +  =  2 y + 2 =  2 z (  + 1) +  =  2 x + z − =  x + y + z − =  x = z = −  (  + 1)   y = −  2 x + z = x + y + z =  x = z =  x = z = −1 y =1 y =    v    = −1   = −3  = −3  = Nên (1, 2,1) ( −1,6, −1) điểm tới hạn L ( x, y, z ) Khi có giá trị d d= d= f (1,1,1) = 12 + 12 + 12 = , f ( −1,3, −1) = ( −1) + 32 + ( −1) = 11 Vậy khoảng cách ngắn từ gốc tọa độ đến giao tuyến hai mặt cong x + z = x + y + z = Lưu ý: Có tồn khơng cần kiểm tra vi phân cấp hai để đưa nhận xét điểm tới hạn phải điểm cực trị hay khơng Tóm tắt Phương pháp nhân tử Lagrange 196 Giả sử f ( x, y, z ) g ( x, y, z ) khả vi g ( x, y, z )  bề mặt g ( x, y, z ) = , Trường hợp 1: Để tìm cực trị hàm số f ( x, y, z ) bị ràng buộc g ( x, y, z ) = − Bước 1: Xác định hàm Largange L ( x, y, z ) = f ( x, y, z ) +  g ( x, y, z ) − Bước 2: Tìm giá trị x , y , z  thỏa phương trình sau  Lx ( x, y, z ) =   Ly ( x, y , z ) =   Lz ( x, y, z ) =  g x, y , z = )  ( − Bước 3: Kiểm tra vi phân cấp hai d L ( x, y , z ) với g x dx + g y dy + g z dz = Lưu ý: Với hàm số hai biến độc lập, điều kiện tương tự khơng có biến z Trường hợp 2: Để tìm cực trị hàm số f ( x, y, z ) bị ràng buộc g ( x, y, z ) = h ( x, y, z ) = − Bước 1: Xác định hàm Lagrange L ( x, y, z ) = f ( x, y, z ) +  g ( x, y, z ) +  h ( x, y, z ) − Bước 2: Tìm giá trị x , y , z ,  ,  thỏa phương trình sau L ( x, y, z ) =   g ( x, y , z ) =   h ( x, y , z ) = 3.6.3 Bài tập Bài 1: Tìm cực trị hàm số với ràng buộc a) f ( x, y ) = x + y , với x2 + y = b) f ( x, y ) = x + y , với x2 + y = c) f ( x, y ) = x − y + y , với x3 + y3 = d) f ( x, y , z ) = x + y + z , với x + 3 z 17 y +z + = 12 e) f ( x, y, z ) = x + y + z − xz , với x + y + z2 − z = 197 f) f ( x, y, z ) = xyz , với với xy + yz + zy = 12 g) f ( x, y, z ) = x + y + z , với x2 + y + z = h) f ( x, y, z ) = xy , với x2 + y = 10 Bài 2: Tìm cực trị hàm số với hai ràng buộc a) f ( x, y , z ) = x + y + z , với x2 + y = , x − y + z = b) f ( x, y, z ) = xyz , với x + y + z = , x + y + z = c) f ( x, y, z ) = xz + yz , với xy = , y + z = d) f ( x, y, z ) = x + y + z , với y + z = , x + y = Bài 3: Tìm khoảng cách nhỏ từ gốc tọa độ đến bề mặt x2 − y = z Bài 4: Tìm điểm gần với góc tọa độ nằm đường giao tuyến x + y2 =z x − y + z = Bài 5: Cho ba số tự nhiên khác lớn không, ta có tổng ba số 12 Hỏi giá trị lớn f ( x, y , z ) = xy z bao nhiêu? Bài 6: Cho ba số tự nhiên khác không, dùng phương pháp nhân tử Lagrange chứng minh bất đẳng thức Cauchy x+ y+z  xyz (Gợi ý: xyz = a  ) Bài 7: Một học sinh có bìa cứng với diện tích bìa 16 m Học sinh dự định cắt bìa thành năm hình chữ nhật để ghép lại thành hình hộp chữ nhật hở nắp Hỏi học sinh muốn hình hộp chữ nhật tích lớn chiều dài x , chiều rộng y chiều cao z hình hộp bao nhiêu? Bài 8: Cho hai số tự nhiên x y khác không với x + y = c ( c  ) Tìm giá trị lớn hàm số f ( x, y ) = ax + by , với a b số nguyên dương khác Từ suy bất đẳng thức (a + b )( x + y )  ( ax + by ) Bài 9: Một tàu thăm dị vũ trụ có hình dạng ellipsoid x2 + y + z = 16 , vào bầu khí Trái Đất bề mặt bắt đầu nóng lên Sau giờ, nhiệt độ điểm ( x, y, z ) bề mặt tàu thăm dò 198 T ( x, y, z ) = x + yz − 16 z + 600 Tìm điểm nóng bề mặt tàu thăm dị [10] Bài 10: Diện tích hình tam giác có cạnh x , y z tích theo cơng thức Heron p ( p − x )( p − y )( p − z ) , đó, p chu vi hình tam giác, biết chu vi hình tam giác a Tìm S= độ dài ba cạnh tam giác để diện tích chúng lớn cho biết tam giác tam giác gì? Bài 11: Một người muốn xây hồ cá hình hộp chữ nhật kính cường lực, mặt hồ để hở Thể tích hồ m3 a) Tính kích thước cạnh hồ cá cho tổng diện tích mặt kính nhỏ b) Chi phí thấp để người mua kính cường lượng để làm hồ cá Biết m kính cường lực có giá 400000 VNĐ 199 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Từ kết so sánh, phân tích kết hợp với kết thu đối chiếu với mục đích đặt ra, giải vấn đề lý luận thực tiễn sau: − So sánh phân tích phần Đạo hàm Vi phân hàm nhiều biến giáo trình Giải tích nước [3] [7] với giáo trình giải tích nước [8] để nhận thấy ưu điểm nhược điểm giáo trình Giải tích Từ đó, chúng tơi làm rõ ưu điểm nhược điểm tác động đến trình học Đạo hàm Vi phân hàm nhiều biến − Dựa so sánh, viết phần Đạo hàm Vi phân hàm nhiều biến phù hợp với sinh viên khoa Vật lý – Trường Đại học Sư phạm Thành Phố Hồ Chí Minh Do thời gian có hạn, chưa viết khái niệm hàm nhiều biến giới hạn hàm nhiều biến Bên cạnh đó, dự định tiếp tục so sánh phân tích phần Tích phân bội để hồn thiện dần giáo trình Giải tích dành riêng cho khoa Vật lý – Trường Đại học Sư phạm Thành Phố Hồ Chí Minh 200 TÀI LIỆU THAM KHẢO Việt Nam [1] Lưu Duyên Bình (2010), Giáo trình Vật lý đại cương, NXB Giáo Dục [2] Đỗ Xuân Hội (2009), Vật lý thống kê Nhiệt động lực thống kê, NXB Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh [3] Đỗ Cơng Khanh (2010), Tốn cao cấp – Giải tích hàm nhiều biến, phương trình vi phân, NXB Đại Học Quốc Gia TP Hồ Chí Minh [4] Đặng Thế Khơi (2009), Sách giáo khoa Vật lý 10, 11,12, NXB Giáo Dục [5] Bùi Quốc Long (2016), Xây dựng lý thuyết hệ thống tập Tích phân cho giáo trình Giải tích 1, Luận văn tốt nghiệp, Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh [6] Bùi Quốc Long (2015), Cấu trúc lại phần Đạo hàm – Tích phân viết mẫu phần Đạo hàm cho giáo trình Giải tích 1, Luận văn tốt nghiệp, Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh [7] Nguyễn Đình Trí (2006), Toán học cao cấp – Tập 3, NXB Giáo dục Tiếng Anh [8] Jame Stewart, “Partial Derivatives”, Calculus, Canada [9] Ron Larson and Bruce Edward, “Functions of Several Variables”, Calculus, Hoa Kì [10] Thomas and Finney, “Multivariable Functions and Partial Derivatives”, Calculus, Hoa Kỳ ... ứng 8 Chương PHÂN TÍCH VÀ SO SÁNH PHẦN ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN 2. 1 Phần lý thuyết Giáo trình S1 Giáo trình S2 2. 1.1 Cách tiếp cận khái niệm Đạo hàm Vi phân hàm nhiều biến Cách tiếp... niệm Đạo hàm Vi phân hàm nhiều biến số giáo trình vào ngồi nước Đồng thời phân tích kiến thức phần Đạo hàm Vi phân hàm nhiều biến số giáo trình tiến hành vi? ??t mẫu chương Đạo hàm Vi phân hàm nhiều. .. Chương PHÂN TÍCH VÀ SO SÁNH PHẦN ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN 2. 1 Phần lý thuyết 2. 1.1 Cách tiếp cận khái niệm Đạo hàm Vi phân hàm nhiều biến 2. 1 .2 Định nghĩa