Luận án tiến sĩ dáng điệu tiệm cận của các bao hàm thức vi phân có trễ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————— * ——————— NGUYỄN VĂN ĐẮC DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA CÁC BAO HÀM THỨC VI PHÂN CĨ TRỄ LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Hà Nội - 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————— * ——————— NGUYỄN VĂN ĐẮC DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA CÁC BAO HÀM THỨC VI PHÂN CĨ TRỄ Chun ngành: Phương trình vi phân tích phân Mã số: 62 46 01 03 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS Trần Đình Kế PGS TS Cung Thế Anh Hà Nội - 2017 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi hướng dẫn PGS TS Trần Đình Kế PGS TS Cung Thế Anh Các kết phát biểu luận án trung thực chưa cơng bố cơng trình tác giả khác Nghiên cứu sinh Nguyễn Văn Đắc LỜI CẢM ƠN Luận án thực Bộ môn Giải tích Khoa Tốn-Tin, trường Đại học sư phạm Hà Nội, hướng dẫn nghiêm khắc, tận tình, chu đáo PGS TS Trần Đình Kế PGS TS Cung Thế Anh Tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc hai Thầy, PGS.TS Trần Đình Kế người Thầy giảng dạy tác giả từ ngày học đại học sau dẫn dắt tác giả vào hướng nghiên cứu trình bày luận án này, PGS.TS Cung Thế Anh đem đến cho tác giả giảng chuẩn bị chu đáo, đầy cảm hứng phương pháp làm việc khoa học Những dẫn mặt khoa học, động viên lòng tin tưởng tập thể hướng dẫn dành cho tác giả động lực giúp tác giả khơng hồn thành luận án mà cịn có định hướng cho nghiên cứu Tác giả xin trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu, Phòng sau Đại học, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, đặc biệt thầy cô giáo Bộ mơn Giải tích ln giúp đỡ, động viên, tạo môi trường học tập nghiên cứu thuận lợi cho tác giả Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Giám hiệu trường Đại học Thủy lợi, đồng nghiệp cơng tác Bộ mơn Tốn, Khoa Công nghệ Thông tin, Trường Đại học Thủy lợi tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ động viên tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Lời cảm ơn sau cùng, tác giả xin dành cho gia đình, người ln u thương, chia sẻ, động viên tác giả vượt qua khó khăn để hoàn thành luận án Tác giả Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 16 1.1 CÁC KHÔNG GIAN HÀM 16 1.2 ĐỘ ĐO KHÔNG COMPACT VÀ CÁC ƯỚC LƯỢNG 18 1.3 LÍ THUYẾT NỬA NHĨM 21 1.4 GIẢI TÍCH ĐA TRỊ VÀ ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG 23 1.4.1 Một số vấn đề giải tích đa trị 23 1.4.2 Ánh xạ nén số định lí điểm bất động 26 1.5 TẬP HÚT LÙI CHO HỆ ĐỘNG LỰC KHÔNG Ô-TÔ-NÔM ĐA TRỊ 27 Chương TẬP HÚT LÙI CHO BAO HÀM THỨC VI PHÂN NỬA TUYẾN TÍNH VỚI TRỄ HỮU HẠN 30 2.1 ĐẶT BÀI TOÁN 30 2.2 SỰ TỒN TẠI NGHIỆM TÍCH PHÂN 30 2.3 SỰ TỒN TẠI TẬP HÚT LÙI 37 2.4 ÁP DỤNG 44 2.4.1 Phương trình vi phân đạo hàm riêng hàm dạng đa diện 44 2.4.2 Hệ phương trình vi phân lưới 45 Chương TẬP HÚT LÙI CHO BAO HÀM THỨC VI PHÂN NỬA TUYẾN TÍNH VỚI TRỄ VÔ HẠN 49 3.1 ĐẶT BÀI TOÁN 49 3.2 TIÊU CHUẨN TỒN TẠI TẬP HÚT LÙI 49 3.3 SỰ TỒN TẠI NGHIỆM TÍCH PHÂN 51 3.4 SỰ TỒN TẠI TẬP HÚT LÙI 55 3.5 ÁP DỤNG 61 Chương TÍNH ỔN ĐỊNH TIỆM CẬN YẾU CHO BAO HÀM THỨC VI PHÂN NỬA TUYẾN TÍNH VỚI TRỄ VƠ HẠN 66 4.1 ĐẶT BÀI TOÁN 66 4.2 SỰ TỒN TẠI NGHIỆM PHÂN RÃ VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH YẾU 66 4.2.1 Độ đo không compact BC(R+ τ , X) 67 4.2.2 Sự tồn nghiệm phân rã 68 4.2.3 Tính ổn định tiệm cận yếu nghiệm tầm thường 79 4.3 ÁP DỤNG 80 Chương TÍNH HÚT TRONG KHOẢNG THỜI GIAN HỮU HẠN CHO BAO HÀM THỨC VI PHÂN HÀM NỬA TUYẾN TÍNH 86 5.1 ĐẶT BÀI TOÁN 86 5.2 ĐIỀU KIỆN ĐỦ 87 5.3 TÍNH HÚT CỦA NGHIỆM TẦM THƯỜNG 87 5.3.1 Sự tồn nghiệm tích phân 87 5.3.2 Tính hút nghiệm tầm thường 90 5.4 ÁP DỤNG 92 DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 97 TÀI LIỆU THAM KHẢO 98 MỞ ĐẦU Tổng quan vấn đề nghiên cứu lí chọn đề tài Bao hàm thức tiến hóa mơ hình cho nhiều tốn khác Xét tốn sau lí thuyết điều khiển (xem [9]) x0 = f (x, u), u ∈ U u nhân tố điều khiển Khi đó, hệ điều khiển bao hàm thức [ x0 ∈ f (x, U) := f (x, u) u∈U có tập quĩ đạo Nếu tập nhân tố điều khiển phụ thuộc vào x, tức U = U(x), ta nhận bao hàm thức x0 ∈ f (x, U(x)) Sự tương đương hệ điều khiển bao hàm thức vi phân tương ứng yếu tố then chốt để chứng minh định lí tồn lí thuyết điều khiển tối ưu Ở hướng nghiên cứu khác, ta xét phương trình vi phân x0 (t) = f (x(t)), t ∈ [0, T ], với f : Rn → Rn hàm không liên tục Khi tốn Cauchy x0 (t) = f (x(t)), x(0) = x0 vơ nghiệm Chẳng hạn, xét toán Cauchy sau ( x0 (t) = 1, x x(t) = −t + c+ nghiệm Trong áp dụng, phương trình vi phân với vế phải khơng liên tục mơ hình cho số tốn vật lí, kỹ thuật, sinh học kinh tế Các toán dạng Filippov nghiên cứu [37], kỹ thuật quy hóa hàm phi tuyến vế phải dẫn đến bao hàm thức vi phân Ngoài ra, nghiên cứu bất đẳng thức vi biến phân, phương pháp hiệu chuyển chúng bao hàm thức vi phân (xem [63]) Có thể thấy rằng, bao hàm thức tiến hóa phát sinh từ tốn nhiều hướng nghiên cứu khác nhau, tiêu biểu tốn quy hóa phương trình vi phân với phần phi tuyến khơng liên tục, tốn điều khiển số bất đẳng thức vi biến phân Đối với hệ tiến hóa mơ tả tốn thực tế sinh học, hóa học, kỹ thuật, kinh tế, trễ thời gian thường xuất yếu tố tự nhiên, cho phép việc mơ tả q trình xác Vì vậy, bao hàm thức vi phân có trễ thu hút quan tâm nhiều nhà tốn học Trong luận án này, chúng tơi tập trung vào vấn đề trung tâm lí thuyết định tính hệ vi phân tiến hóa, dáng điệu nghiệm bao hàm thức vi phân khơng ơ-tơ-nơm có trễ, bao gồm tồn nghiệm tích phân, tồn tập hút lùi, tính ổn định tiệm cận yếu tính hút khoảng thời gian hữu hạn nghiệm Lí thuyết định tính hệ vi phân khơng gian hữu hạn chiều (phương trình vi phân thường) nghiên cứu từ đầu kỷ 20 thu thành tựu quan trọng dựa lí thuyết ổn định Lyapunov (xem [32, 44]), phương pháp hàm Lyapunov công cụ hiệu nhiều nhà nghiên cứu sử dụng Ngoài ra, phương pháp khác phương pháp điểm bất động (xem [17]), phương pháp so sánh (xem [61]) lựa chọn để phân tích dáng điệu tiệm cận nghiệm Với bao hàm thức tiến hóa hữu hạn chiều, chuyên khảo [9, 29] trình bày cách hệ thống kết tính giải được, cấu trúc tập nghiệm Tuy nhiên, tính chất khơng nghiệm tốn Cauchy cho bao hàm thức vi phân, lí thuyết Lyapunov gặp nhiều khó khăn việc nghiên cứu tính ổn định nghiệm Khi đó, khái niệm ổn định yếu Filippov đề xuất (xem [37]) phương pháp hàm Lyapunov cải tiến để chứng minh tính ổn định yếu xây dựng [1] Trong khoảng hai thập kỷ qua, bao hàm thức vi phân không gian Banach tổng quát ứng dụng thu hút quan tâm nhiều nhà toán học, trở thành chủ đề nghiên cứu có tính thời Có thể tìm thấy chuyên khảo tiêu biểu [48, 49, 51, 68] kết nghiên cứu có tính hệ thống Dựa vào lí thuyết nửa nhóm, kết tính giải bao hàm thức tiến hóa thiết lập nhiều điều kiện khác (xem [25, 38, 62]) Để nghiên cứu tính ổn định nghiệm, cơng cụ lí thuyết tập hút tồn cục hay lí thuyết ổn định Lyapunov đóng vai trị quan trọng Lí thuyết tập hút tồn cục xây dựng (xem [27, 67]) nhằm phân tích dáng điệu nghiệm hệ vi phân ơ-tơ-nơm (autonomous) góc nhìn hệ động lực, theo nghĩa có tồn hay khơng tập compact, bất biến hút quĩ đạo nghiệm Lí thuyết phát triển mạnh mẽ thu nhiều kết có tính hệ thống cho hệ động lực đơn trị (xem [27, 42, 67]) hệ động lực đa trị (xem [59, 60, 70]) Nói riêng với hệ vi phân đa trị, lí thuyết tập hút phát triển với số lược đồ nghiên cứu, lược đồ nửa dòng suy rộng Ball [11, 12], nửa dòng đa trị Melnik Valero [59] Hai cách tiếp cận so sánh [23] Có thể tham khảo số kết dáng điệu nghiệm phương trình vi phân đạo hàm riêng đa trị thiết lập [3, 4, 52, 70] nhờ ứng dụng lược đồ Melnik Valero Ngoài ra, Chepyzov Vishik [26] phát triển lí thuyết tập hút quỹ đạo để nghiên cứu dáng diệu hệ vi phân không nghiệm Để nghiên cứu dáng điệu nghiệm hệ vi phân khơng ơ-tơ-nơm (nonautonomous), lí thuyết tập hút tập hút lùi xây dựng cho trường hợp đơn trị đa trị (xem [19, 20, 21, 60]) Trong đó, phải kể đến kết nghiên cứu quan trọng Caraballo, Kloeden cộng tập hút lùi cho hệ vi phân tất định hệ vi phân ngẫu nhiên với lược đồ thống Gần đây, [28], tác giả Zelati Kalita đưa cải tiến đáng ý lược đồ nghiên cứu tập hút lùi, giảm nhẹ tính liên tục (chỉ yêu cầu tính đóng) hệ động lực đưa tiêu chuẩn compact tiệm cận dựa độ đo không compact Trong lược đồ nghiên cứu tập hút, bước then chốt để chứng minh tồn tập hút tồn cục kiểm tra điều kiện tính compact tiệm cận hệ động lực sinh hệ Điều kiện thỏa mãn nửa nhóm sinh phần tuyến tính nửa nhóm compact Tuy nhiên, hệ vi phân đạo hàm riêng miền không bị chặn nói chung khơng thỏa mãn điều kiện này, tức nửa nhóm sinh phần tuyến tính khơng có tính chất compact Trong trường hợp không gian pha không Hilbert tách được, để kiểm tra điều kiện compact tiệm cận, ta kiểm tra điều kiện xấp xỉ hữu hạn chiều (flattening) (xem [28, 57, 75, 76]) Tuy nhiên, cách không khả thi cho trường hợp hệ đạo hàm riêng có trễ khơng gian pha tương ứng có cấu trúc phức tạp hơn, theo nghĩa ta khơng thể tìm sở khơng gian pha để áp dụng điều kiện xấp xỉ hữu hạn chiều Mục tiêu nghiên cứu luận án xây dựng số tiêu chuẩn để kiểm tra tính compact tiệm cận hệ động lực tình kể Đề cập đến khái niệm ổn định theo nghĩa Lyapunov cho bao hàm thức vi phân, thấy việc chứng minh tính ổn định theo phương pháp hàm Lyapunov khó áp dụng tính khơng nghiệm tốn Cauchy Do đó, kết tính ổn định cho bao hàm thức vi phân theo nghĩa Lyapunov hạn chế Mục tiêu sử dụng cách tiếp cận điểm bất động [17] (trong nghiên cứu tính ổn định nghiệm cho phương trình vi phân thường/vi phân hàm) để phân tích dáng điệu nghiệm bao hàm thức vi phân nửa tuyến tính có trễ vơ hạn khơng gian Banach tổng qt, tính ổn định tiệm cận yếu nghiệm tầm thường (nghiệm khơng) xem xét Theo góc nhìn khác, dáng điệu nghiệm hệ vi phân thời gian đủ lớn đóng vai trị quan trọng nhiều tốn thực tiễn, có lịch sử nghiên cứu lâu dài đạt kết có tính hệ thống, dáng điệu nghiệm khoảng thời gian hữu hạn lại có vai trị quan trọng tốn liên quan đến q trình sinh-hóa (biochemical networks), q trình chuyển đổi tín hiệu (signal transduction), q trình cần quan sát xảy khoảng thời gian ngắn Từ đó, hướng nghiên cứu hệ động lực thời gian hữu hạn thu hút quan tâm nhiều nhà toán học Một số kết tiêu biểu theo hướng nghiên cứu cho hệ vi phân thường tìm thấy cơng trình [14, 33, 34, 35, 39, 55] Sử dụng khái niệm hệ động lực thời gian hữu hạn [39], đặt vấn đề nghiên cứu tính hút thời gian hữu hạn bao hàm thức tiến hóa nửa tuyến tính có trễ khơng gian Banach, chúng tơi tìm kiếm điều kiện chấp nhận áp đặt lên phần tuyến tính phần phi tuyến để chứng minh số điều kiện đủ cho tính hút nghiệm tầm thường Sau đây, chúng tơi trình bày cách ngắn gọn nội dung nghiên cứu Sử dụng lược đồ tập hút lùi Caraballo Kloeden, nghiên cứu tồn tập hút lùi cho số lớp bao hàm thức vi phân hàm có trễ khơng gian Banach Cụ thể, trường hợp hệ có trễ hữu hạn, chúng tơi xét lớp tốn sau u0 (t) ∈ Au(t) + F (t, u(t), ut ), t ≥ τ, (1) kg(t, ·)kX = b(t, x) ν(θ, y)k(y)dydθ dx Rn kb(t, ·)k2X ≤ −∞ Ω Z0 Z h −∞ Ω Z0 Cν2 kb(t, ·)k2X ≤ h i2 |ν(θ, y)|ξ(y)|φ(θ, y)|dydθ) Z i2 ν0 θ e ξ(y)|φ(θ, y)|dydθ) , −∞ Ω nhờ vào giả thiết (G2) v (G3) S dng bt ng thc Hăolder v r chọn, ta h Z0 Z i2 ν0 θ e ξ(y)|φ(θ, y)|dydθ) ≤ kξk2L2 (Ω) −∞ Ω = kξk2L2 (Ω)  Z0 ν0 θ e kφ(θ, ·)kX dθ 2 −∞  Z0 ν0 θ e e ν0 θ kφ(θ, ·)kX dθ 2 −∞ ≤ kξk2L2 (Ω) ν0 Z0 eν0 θ kφ(θ, ·)k2X dθ −∞ = kξk2L2 (Ω) ν0  Z0 −r + Z−r  eν0 θ kφ(θ, ·)k2X dθ −∞ ≤ kξk2L2 (Ω) kφk2C([−r,0];X) + ν0  Z−r e ν0 θ kφ(θ, ·)k2X dθ  −∞ Vì kg(t, ·)kX ≤ √ Cν kξkL2 (Ω) kb(t, ·)kX |φ|B ν0 (4.28) Như (Fb)(3) thỏa mãn với m(t) = √ Cν kξkL2 (Ω) kb(t, ·)kX ν0 Tiếp theo, cho trước t φ, từ cách xác định F , ta thấy F (t, φ) tập bị chặn, đóng lồi khơng gian chiều span{b(t, ·)} 83 L2 (Rn ) Do F (t, φ) tập compact lồi X , tức F có giá trị lồi compact Với µ ∈ [0, 1], hàm Z0 Z   f (t, x) = b(t, x) ν(θ, y) µk1 (y, φ(θ, y))+(1−µ)k2 (y, φ(θ, y)) dydθ, −∞ Ω hàm chọn đo mạnh Vì vậy, ta khẳng định hàm F thỏa mãn (Fb)(1) Vì χ(F (t, V )) = với hầu khắp t ∈ R+ τ tập bị chặn V ⊂ B , ta có F (t, ·) compact địa phương Lưu ý B không gian Frétchet, nên để kiểm tra giả thiết (Fb)(2), ta phải F (t, ·) đóng theo dãy Lấy {φn } dãy B hội tụ đến φ∗ ξn ∈ F (t, φn ) dãy cho ξn → ξ ∗ Ta có Z0 Z   ν(θ, y) µn k1 (y, φn (θ, y)) + (1 − µn )k2 (y, φn (θ, y)) dydθ, ξn (x) = b(t, x) −∞ Ω {µn } ⊂ [0; 1] Do hàm k1 k2 liên tục hàm dấu tích phân bị chặn tích phân, nên Z0 Z  ∗  ∗ ∗ ∗ ∗ ν(θ, y) µ k1 (y, φ (θ, y)) + (1 − µ )k2 (y, φ (θ, y)) dydθ ξ (x) = b(t, x) −∞ Ω với µ∗ = lim µn Do F (t, ·) đóng Theo Mệnh đề 1.1, F (t, ·) nửa n→∞ liên tục Từ (Fb)(2) kiểm chứng Như vậy, giả thiết (Fb) thỏa mãn Đối với không gian pha B = CL2g , r = − ν10 ln(1 − ν0 ) g(s) = eν0 s , ta thấy (1.2)-(1.3) thỏa mãn G(s) = g(s) Do B có tính chất (B1)-(B3) với ( 1, 1+ K(t) = ( M (t) = max{e √ ν0 − 12 ν0 t √ e−ν0 r − e−ν0 t , ,1 + q e−ν0 r (1 ν0 ≤ t ≤ r, t > r, − e−ν0 t )}, e− ν t , t > r, theo công thức cho K M (1.4) (1.5) Về tốc độ phân rã, ta chọn ( h(t) = ≤ t ≤ r, tη t ≥ 1 t < , η > 84 Khi h thỏa mãn (H1)-(H2) (Bb) với β ∈ (0, 1) < γ < Cuối cùng, ta đề cập đến giả thiết Bổ đề 4.2 Bổ đề 4.3 Do k ≡ 0, giả thiết Bổ đề 4.3 thỏa mãn Dựa vào công thức xác định K , ta thấy K(t) < + 1, α = λ m(t) = √1ν0 Cν kξkL2 (Ω) kb(t, ·)kX , ta có Zt N √ rν ν0 e Với N = e−α(t−s) m(s)K(s − τ )ds τ < 1+ √ < 1+ √ Hơn h2∗ = , βη N h2∗ sup ν0 erν0
Cν kξkL2 (Ω) ν0 erν0
Cν kξkL2 (Ω) √ √ Zt ν0 e−λ(t−s) kb(s, ·)kX ds τ Zt sup ν0 e−λ(t−s) kb(s, ·)kX ds t≥τ τ nên suy Zt e−α(t−s) m(s)K(s − βs)ds t≥T βt < 1 √ + βη ν0 erν0 < 1+ √ ν0 erν0
Cν kξkL2 (Ω) √ ν0
Cν kξkL2 (Ω) β √ η ν0 Zt sup e−λ(t−s) kb(s, ·)kX ds t≥T βt Zt sup e−λ(t−s) kb(s, ·)kX ds t≥τ τ Vì vậy,
Cν kξkL2 (Ω) + √ rν0 sup √ η ν0 e β ν0 t≥τ Zt e−λ(t−s) kb(s, ·)kX ds < τ (4.12) (4.13) thỏa mãn Khi đó, ta có định lí sau Định lí 4.3 Giả sử giả thiết (G1)-(G3) thỏa mãn 1+ √ ν0 erν0
Cν kξkL2 (Ω) β √ η ν0 Zt sup t≥τ τ e−λ(t−s) kb(s, ·)kX ds < 85 Khi hệ (4.25)-(4.27) có nghiệm tích phân u (−∞, +∞) với tính chất tη ku(t, ·)kX = O(1) t → +∞ Hơn nữa, nghiệm tầm thường hệ ổn định tiệm cận yếu Kết luận Chương Trong chương này, chúng tơi nghiên cứu tính ổn định tiệm cận yếu điểm cân cho lớp bao hàm thức vi phân nửa tuyến tính có trễ vô hạn Các kết đạt bao gồm: 1) Chứng minh tồn nghiệm phân rã nửa trục tốn (4.1)-(5.1) (Định lí 4.1); 2) Chứng minh tính ổn định tiệm cận yếu nghiệm tầm thường cho tốn (4.1)-(5.1) (Định lí 4.2) 3) Áp dụng kết tính ổn định tiệm cận yếu cho toán điều khiển (Mục 4.3) Theo khảo sát chúng tơi, chưa có kết tốc độ phân rã nghiệm bao hàm thức tiến hóa cấp nửa tuyến tính với trễ vơ hạn xét không gian pha tổng quát Chúng xây dựng hệ điều kiện để tốc độ phân rã nghiệm đặc trưng lớp hàm thỏa mãn (H1)-(H2) Về phương diện kỹ thuật, việc tồn tập BhR (ρ) tương đối khó đóng vai trị định phép chứng minh 86 Chương TÍNH HÚT TRONG KHOẢNG THỜI GIAN HỮU HẠN CHO BAO HÀM THỨC VI PHÂN HÀM NỬA TUYẾN TÍNH Trong chương này, chúng tơi mở rộng khái niệm tính hút hút mũ khoảng thời gian hữu hạn Giesl Rasmussen đề xuất [39] xét tính chất nghiệm tầm thường lớp bao hàm thức vi phân hàm nửa tuyến tính Nội dung chương dựa báo số Danh mục công trình khoa học tác giả liên quan đến luận án 5.1 ĐẶT BÀI TOÁN Cho (X, k · k) khơng gian Banach, xét tốn sau u0 (t) ∈ Au(t) + F (t, ut ), t ∈ [0, T ], (5.1) u(s) = ϕ(s), s ∈ [−h, 0], (5.2) hàm trạng thái u lấy giá trị X , A toán tử tuyến tính sinh C0 -nửa nhóm {S(t)}t≥0 X , F hàm đa trị xác định [0, T ] × Ch ut hàm trễ u tính đến thời điểm t Hàm ϕ ∈ C([−h; 0], X) đóng vai trị kiện đầu tốn Trong mơ hình trên, ta giả thiết T > h Dựa khái niệm tính hút khoảng thời gian hữu hạn nghiệm hệ khơng ơ-tơ-nơm khơng có trễ đề xuất cơng trình [39], chúng tơi đưa khái niệm tương ứng cho hệ vi phân có trễ Sau chứng minh điều kiện đủ cho tính hút mũ hệ có trễ, chúng tơi sử dụng điều kiện cho tốn xét Cuối cùng, chúng tơi đưa ví dụ minh họa cho kết lí thuyết Ký hiệu S(ξ) tập nghiệm hệ với kiện đầu ξ Định nghĩa 5.1 (Hút khoảng thời gian hữu hạn) Cho µ : [−h, T ] → X nghiệm hệ (5.1)-(5.2) ứng với kiện ban đầu ϕ (µ ∈ S(ϕ)) 87 (i) µ gọi hút [0, T ] tồn số η > cho kuT − µT kCh < kξ − ϕkCh với ξ ∈ Bη (ϕ) \ {ϕ} ⊂ Ch u ∈ S(ξ) (ii) µ gọi nghiệm hút mũ [0, T ] sup sup kuT − µT kCh < lim sup η η&0 ξ∈Bη (ϕ) u∈S(ξ) Từ định nghĩa, ta suy nghiệm có tính hút mũ có tính hút 5.2 ĐIỀU KIỆN ĐỦ Sau điều kiện đủ cho tính hút mũ nghiệm Bổ đề 5.1 Cho µ ∈ S(ϕ) nghiệm (5.1)-(5.2) Khi µ hút mũ [0, T ] kuT − µT kCh < kξk u∈S(ϕ+ξ) Ch lim sup sup kξkCh →0 (5.3) Chứng minh Ta có sup sup kuT − µT kCh η ξ∈Bη (ϕ) u∈S(ξ) kuT − µT kCh kξkCh = sup sup kξkCh η kξkCh (F*) Hàm phi tuyến F thỏa mãn (F) với Ψ hàm Lipschitz cục ta có Ψ(r) = βr + o(r) r → với β số không âm Nhận xét 5.3 Từ (F*), ta có F (t, 0) = Tức hệ có nghiệm tầm thường Trước tiên ta chứng minh bổ đề sau Bổ đề 5.2 Với giả thiết (A*) (F*), ta có lim sup kut kCh = 0, ∀t ∈ (0, T ] kϕkCh →0 u∈S(ϕ) Chứng minh Trước tiên ta ý v nghiệm tích phân tốn Cauchy v (t) = p(t)Ψ(v(t)), t ∈ (0, T ], v(0) = 0, p ∈ L1 (J; R+ ), tức Z t p(s)Ψ(v(s))ds, ∀ t ∈ [0, T ] v(t) = 91 v nghiệm tầm thường giả thiết Ψ có tính chất Lipschitz cục Từ theo nguyên lý so sánh, v ∈ C(J; R+ ) thỏa mãn Z t ≤ v(t) ≤ p(s)Ψ(v(s))ds, ∀t ∈ [0, T ], v ≡ Bây với u ∈ S(ϕ), theo giả thiết ta có đánh giá sau Z t ku(t)k ≤ M kϕ(0)k + M m(s)Ψ(kus kCh )ds ≤ M kϕ(0)k + M t Z m(s)Ψ(kϕkCh + sup ku(τ )k)ds τ ∈[0,s] Do biểu thức cuối hàm tăng theo biến t nên ta có Z t sup ku(τ )k ≤ M kϕ(0)k + M τ ∈[0,t] m(s)Ψ(kϕkCh + sup ku(τ )k)ds, τ ∈[0,s] với u ∈ S(ϕ) Qua giới hạn kϕkCh → 0, ta có Z t v(t) ≤ M m(s)Ψ(v(s))ds, với v(t) = lim sup sup ku(τ )k Từ đây, ta suy kết luận bổ kϕkCh →0 u∈S(ϕ) τ ∈[0,t] đề Kết chương trình bày định lí sau Định lí 5.3 Giả sử (A*) (F*) thỏa mãn Khi nghiệm không (5.1)-(5.2) hút mũ đoạn [0, T ] ta có ln M + αh + M βeαh kmkL1 (J) < αT (5.5) Chứng minh Theo giả thiết (F*) hàm Ψ, với  > bất kỳ, tồn δ > cho Ψ(r) ≤ (β + )r, ∀r ∈ (0, δ) (5.6) Theo Bổ đề 5.2, tồn η > cho với kϕkCh < η u ∈ S(ϕ) ta có kut kCh < δ Kết hợp với (5.6), ta có Ψ(kut kCh ) ≤ (β + )kut kCh , ∀t ∈ (0, T ], kϕkCh < η Do vậy, với θ ∈ [−h, 0], ta có đánh giá Z T +θ ku(T + θ)k ≤ M e−α(T +θ) kϕ(0)k + M e−α(T +θ−s) m(s)Ψ(kus kCh )ds 92 Z ≤ M eαh e−αT kϕ(0)k + ! T e−α(T −s) m(s)Ψ(kus kCh )ds Từ suy eαT kuT kCh ≤ M eαh kϕ(0)k + Z ! T m(s)(β + )eαs kus kCh ds , kϕkCh < η Áp dụng bất đẳng thức Gronwall, ta thu eαT kuT kCh ≤ M eαh kϕ(0)keM e αh (β+)kmkL1 (J) (5.7) ln M + αh + M (β + )eαh kmkL1 (J) < αT (5.8) Từ điều kiện (5.5), ta chọn  > cho Khi đó, bất đẳng thức (5.7) cho ta kuT kCh < kϕkCh , ∀u ∈ S(ϕ), ∀ϕ ∈ Bη (0) Hơn nữa, cố định  cho (5.8) thỏa mãn, từ (5.7) ta có αh kuT kCh ≤ M e−αT +αh+M e (β+)kmkL1 (J) kϕkCh , ∀u ∈ S(ϕ), ∀ϕ ∈ Bη (0) Do kuT kCh < kϕk u∈S(ϕ) Ch lim sup sup kϕkCh →0 Định lí chứng minh 5.4 ÁP DỤNG Cho Ω ⊂ Rn miền bị chặn với biên trơn ∂Ω Ta xét toán sau: ∂u (t, x) = ∆u(t, x) + f (t, x), x ∈ Ω, t ∈ [0, T ], (5.9) ∂t n o f (t, x) ∈ co f˜i (t, u(t − h, x)) : i = 1, 2, , m , (5.10) u(t, x) = 0, x ∈ ∂Ω, t > 0, (5.11) u(s, x) = ϕ(x, s), x ∈ Ω, s ∈ [−h, 0], (5.12) f˜i : J × R → R, i = 1, 2, , m, hàm liên tục, ( m ) n o X co f˜1 , f˜2 , , f˜m = ηi f˜i : ηi ≥ 0, η1 + η2 + + ηm = i=1