Biên soạn hệ thống lý thuyết và bài tập phần đạo hàm và vi phân của hàm nhiều biến cho giáo trình giải tích 2​

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÝ NGUYỄN VĂN DŨNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP BIÊN SOẠN HỆ THỐNG LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP PHẦN ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN CHO GIÁO TRÌNH GIẢI TÍCH Chuyên ngành: Sư phạm Vật lý TP Hồ Chí Minh, năm 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÝ BIÊN SOẠN HỆ THỐNG LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP PHẦN ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN CHO GIÁO TRÌNH GIẢI TÍCH Người thực hiện: Nguyễn Văn Dũng Người hướng dẫn khoa học: ThS Nguyễn Lê Anh TP Hồ Chí Minh, năm 2019 LỜI CẢM ƠN Từ ngày đầu thực đến hồn thành khóa luận tốt nghiệp, q trình cố gắng học tập trưởng thành lên ngày thân em Tuy nhiên thực tế khơng có thành công mà không gắn liền với hỗ trợ, giúp đỡ, dù hay nhiều, dù gián tiếp hay trực tiếp người khác Vì vậy, xin cho phép em bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến: − Quý thầy cô giảng viên khoa Vật Lý trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh dạy dỗ, truyền đạt kiến thức, kinh nghiệm, nhiệt huyết với nghề cho em suốt trình học tập trường − Thầy ThS Nguyễn Lê Anh, giảng viên trực tiếp hướng dẫn, hỗ trợ, dìu dắt em thực khóa luận tốt nghiệp Thầy - với kinh nghiệm, nhiệt huyết lòng yêu nghề - tận tình hướng dẫn, bảo, giúp đỡ động viên lúc em khó khăn; tạo điều kiện thuận lợi cho em nghiên cứu phát triển Hơn hết, em cảm nhận quan tâm, dạy dỗ ân cần tận tâm từ thầy Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè sát cánh, giúp đỡ, động viên em suốt q trình học tập hồn thành khóa luận tốt nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 29 tháng 04 năm 2019 Sinh viên Nguyễn Văn Dũng DANH MỤC BẢNG BIỂU Bảng 2.1 Các dạng tập kĩ thuật giải tương ứng S1 S2 63 Bảng 2.2 Số lượng tập S1 S2 63 DANH MỤC HÌNH ẢNH Hình 2.1 Giá trị số nhiệt [8] Hình 2.2 Mối liên hệ số Hình 2.3 Mối liên hệ số gia Hình 2.4 Sơ đồ [8] Hình 2.5 Đường cong (x, y) = Hình 2.6 Biểu đồ nhiệt độ Bang Hoa Kỳ [8] Hình 2.7 Vector đơn vị u [8] Hình 2.8 Mặt cong S cắt mặt phẳng thẳng đứng theo hướng vector u [8] Hình 2.9 Đồ thị hàm số f có cực trị [8] Hình 2.10 Đồ thị hàm số Hình 2.11 Dốc núi có hình n ngựa [8] Hình 2.12 Các dạng tập hợp [8] Hình 2.13 Đường đồng mức Hình 2.14 Giao tuyến C vector gradient P [8] Hình 2.15 Mặt phẳng tiếp tuyến với Hình 2.16 Đường tiếp tuyến Hình 2.17 Đồ thị hàm số Hình 2.18 Đường đồng mức hàm số Hình 3.1 Ý nghĩa đạo hàm riêng Hình 3.2 Hình tam giác Hình 3.3 Mặt phẳng tiếp tuyến gồm hai đường thẳng tiếp tuyến T1 Hình 3.4 Đồ thị hàm số z = x + 3y2 + mặt pẳng tuyến tuyến điểm (2,1, 4) 91 Hình 3.5 Đồ thị hàm số z = x + xy + 4y2 mặt phẳng tiếp tuyến điểm (1,0,1) 91 Hình 3.6 Đồ thi hàm số 96 Hình 3.7 Đồ thị thể mối liên hệ dy y 99 Hình 3.8 Sơ đồ mạch điện Hình 3.9 Sơ đồ Hình 3.10 Sơ đồ Hình 3.11 Sơ đồ Hình 3.12 Sơ đồ Hình 3.13 Sơ đồ Hình 3.14 Sơ đồ Hình 3.15 Mặt phẳng tiếp tuyến P [8] Hình 3.16 Vector đơn vị Hình 3.17 Vector gradient đường đồng mức Hình 3.18 Đồ thị hàm số Hình 3.19 Đồ thị hàm số Hình 3.20 Đồ thị hàm số Hình 3.21 Đồ thị hàm số Hình 3.22 Đồ thị hàm số Hình 3.23 Đồ thị hàm số Hình 3.24 Đồ thị hàm số Hình 3.25 Đồ thị hàm số z = x + y + y − 5x2 Hình 3.26 Đồ thị hàm số Hình 3.27 Ứng dụng khớp hàm Hình 3.28 Miền xác định D Hình 3.29 Khoảng cách từ gốc tọa Hình 3.30 Khoảng cách từ gốc tọa độ Hình 3.31 Các đường đồng mức Hình 3.32 Giao tuyến g (x , y , z ) = MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Khách thể đối tượng nghiên cứu Giải thiết khoa học Giới hạn nghiên cứu Cấu trúc luận văn Chương Chương NHỮNG VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU TRỌNG TÂM 1.1 Giáo trình phân tích 1.2 Câu hỏi nghiên cứu 1.3 Nội dung Đề cư 1.4 Cấu trúc nội dung PHÂN TÍCH VÀ SO SÁNH PHẦN ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN 2.1.Phần lý thuyết 2.1.1 Cách tiếp cận khái niệm Đạo hàm Vi phân hàm nhiều biến 2.1.2 Định nghĩa tính chất Đạo hàm riêng Vi phân hàm nhiều biến 2.1.3 Các phương pháp tính đạo hàm riêng phân 2.1.4 Ứng dụng đạo hàm riêng 2.2.Phần tập 2.3.Một vài kết luận Chương VIẾT MẪU PHẦN ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN 3.1 Đạo hàm riêng 3.1.1 Đạo hàm riêng cấp 71 3.1.1.1 Định nghĩa 71 3.1.1.2 Một số kí hiệu đạo hàm riêng 71 3.1.1.3 Quy tắc tìm đạo hàm riêng 72 3.1.1.4 Ý nghĩa đạo hàm riêng cấp 74 3.1.2 Đạo hàm riêng cấp hàm số nhiều hai biến 76 3.1.3 Đạo hàm cấp cao 77 3.1.3.1 Định nghĩa 78 3.1.3.2 Định lý Clairaut 81 3.1.4 Bài tập 84 3.2 Khả vi vi phân 87 3.2.1 Mặt phẳng tiếp tuyến phép tính gần tuyến tính 88 3.2.1.1 Mặt phẳng tiếp tuyến 88 3.2.1.2 Phép tính tuyến tính gần 92 3.2.2 Khả vi 96 3.2.2.1 Định nghĩa 97 3.2.2.2 Điều kiện đủ khả vi 98 3.2.2.3 Hệ hàm khả vi 99 3.2.3 Vi phân 99 3.2.3.1 Vi phân cấp 99 3.2.3.2 Vi phân cấp cao 104 3.2.4 Hàm ba biến nhiều ba biến 106 3.2.5 Bài tập 108 3.3 Quy tắc dây chuyền 113 3.3.1 Quy tắc dây chuyền (Đạo hàm riêng hàm hợp) 114 3.3.1.1 Đạo hàm riêng hàm hợp hai biến 114 3.3.1.2 Đạo hàm riêng hàm hợp tổng quát 119 3.3.2 Đạo hàm hàm ẩn 121 3.3.2.1 Đạo hàm hàm ẩn biến 121 3.3.2.2 Đạo hàm riêng hàm ẩn nhiều biến 123 3.3.2.3 Đạo hàm riêng hệ hàm ẩn 128 3.3.3 Bài tập 132 3.4 Đạo hàm có hướng vector gradient 135 3.4.1 Đạo hàm theo hướng 136 3.4.1.1 Định nghĩa 137 3.4.1.2 Định lý 139 3.4.2 Vector Gradient 143 3.4.2.1 Định nghĩa 143 3.4.2.2 Tính chất 145 3.4.2.3 Ứng dụng Gradient 146 3.4.2.4 Ý nghĩa hình học vector gradient 150 3.4.3 Đối với hàm ba biến 152 3.4.4 Bài tập 155 3.5 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ NHIỀU BIẾN 158 3.5.1 Cực trị hàm hai biến 159 3.5.1.1 Định nghĩa cực trị địa phương hàm hai biến 159 3.5.1.2 Điều kiện cần để có cực trị 161 3.5.1.3 Điều kiện đủ để có cực trị 163 3.5.2 Cực trị tuyệt đối cực trị tuyệt đối vùng đóng bị chặn 173 3.5.3 Cực trị hàm ba biến 176 = −x x = 3y =0 =0 =0 =0 =0 Nên điểm (6, 2, 4) điểm tới hạn f (x , y , z ) với ràng g (x , y , z ) = buộc trị lớn nên với ràng buộc = 6912 3.6.2 Nhân tử Lagrange với hai ràng buộc Bây giờ, vấn đề đặt cho tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ buộc h ( x, y , z pháp tìm cực trị Giả sử, muốn tìm giá trị cực đại cực tiểu hàm số f (x , y , z ) với hai ràng buộc g (x , y , z ) = h (x, y , z ) = Gọi C đường cong giao điểm hai ràng buộc g (x , y , z ) = A (x0 , y , z0 ) nằm C điểm cực trị Chúng ta chứng minh f (x0 , y , z0 ) với vector tiếp tuyến cạnh đó, g (x vng góc với vector tiếp tuyến r (t0 ) 193 C Điều chứng ba vector gradient f (x0 , y , z0 ) , g (x Và chúng không song song với nhau, biểu diễn f (x0 , y , z0 ) theo hai vector lại f (x − g (x0 , h (x0 , y Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số f (x, y , z ) = x + y + z , với hai ràng buộc x + y = x GIẢI Ta có ràng buộc sau g (x, y , z ) Hàm Lagrange L ), , z 194 x+1+ =0 1+ =0 = −1 =− Nên (0,1, )và (0,1, − f (x , y , z ) với ) điểm tới hạn buộc hai ràng g (x , y , z ) = h (x, y , z ) = ( Giá trị f 0,1, Vì vậy, g (x , y , z ) = ( f (0,1, − f 0,1, Ví dụ 7: y,z) )=0 có Tìm giá trị cực tiểu Tìm khoảng cách ngắn nh ất từ gốc tọa độ đến đường cong giao tuyến GIẢI Khoảng cách từ gốc tọa độ đến điểm d= A (x , y , z ) với điểm A (x , y , z ) nằm giao tuyến hai mặt cong Hình 3.32 Giao tuyến h (x, y , z ) = g (x, y , z ) = 0và 195 Để tìm khoảng cách ngắn từ gốc tọa độ đến điểm A (x , y , z ) xét hàm số sau Xét hàm số Lagrange L (x, y , z ) = x Theo phương pháp nhân tử Lagrange, giá trị x , y , z, , thỏa phương trình sau x ( + 1) + = 2y+2 =0 z ( + 1) + x x+2y+z− x=z=− y=− x x+2y+z=4 x=z=1 y=1 điểm tới hạn của Nên L (x , y , z ) Khi có giá trị d d= = , d= Vậy khoảng cách ngắn từ gốc tọa độ đến giao tuyến hai mặt cong Lưu ý: Có tồn không cần kiểm tra vi phân cấp hai để đưa nhận xét điểm tới hạn phải điểm cực trị hay khơng Tóm tắt Phương pháp nhân tử Lagrange 196 Giả sử f (x , y , z ) g (x, y , z ) khả vi g (x, y , z ) bề mặt g (x , y , z ) = , Trường hợp 1: Để tìm cực trị hàm số f (x , y , z ) bị ràng buộc g (x , y , z ) = − Bước 1: Xác định hàm Largange L (x, y , z ) = f (x, y , z ) + − Bước 2: Tìm giá trị x , y , z g (x , y , z ) thỏa phương trình sau L = = = = = − Bước 3: Kiểm tra vi phân d cấp hai kiện tương tự khơng có biến z Lưu ý: Với hàm số hai biến độc lập, điều Trường hợp 2: Để tìm cực trị hàm số f (x , y , z ) bị ràng buộc g (x , y , z ) = h (x, y , z ) = − Bước 1: Xác định hàm Lagrange L (x, y , z ) = f (x , y , z ) + g (x , y , z ) + h (x , y , z ) , z, ,z x , y ,) = − Bước 2: Tìm giá trị x , y L( thỏa phương trình sau x , y ,z ) = x , y ,z ) = 3.6.3 Bài tập Bài 1: Tìm cực trị hàm số với a) f (x , y ) = x + y , b) f (x , y ) = x + y3 , c) y, f (x , y ) = x − y + d) f (x , y , z)=x +y2 +z2, r n g b u ộ c v x + y2 = i với x + y2 =9 với x + y3 =9 với 12 = y e) f (x , y , z ) = x + y + z − 2xz , với x + + z − z = 197 f) (x , y , z ) = xyz g) (x, y , z ) = x + y + z , h) (x , y , z ) = xy Bài 2: Tìm cực trị hàm số với hai ràng buộc a) (x , y , z ) = x z = y + 2z = b) c) (x , y , z ) = xyz , d) (x, y , z ) = xz + yz , Bài 3: Tìm (x , y , z ) = x khoảng cách nhỏ từ gốc tọa độ đến bề mặt = z y Bài 4: Tìm điểm gần với góc tọa độ nằm đường giao tuyến x + = z4 Bài 5: Cho ba số tự nhiên khác lớn khơng, ta có tổng ba số 12 Hỏi giá trị lớn Bài 6: Cho ba số tự nhiên khác không, dùng phương pháp nhân tử Lagrange chứng minh bất đẳng thức Cauchy Bài 7: Một học sinh có bìa cứng với diện tích bìa 16 m sinh dự định cắt bìa thành năm hình chữ nhật để ghép lại thành hình hộp chữ nhật hở nắp Hỏi học sinh muốn hình hộp chữ nhật tích lớn chiều dài x , chiều rộng Bài 8: Cho hai số tự nhiên lớn hàm số với a b số nguyên dương khác Từ suy bất đẳng thức (a + b )(x + y ) ( ax + by )2 Bài 9: Một tàu thăm dị vũ trụ có hình dạng ellipsoid 4x + y + 4z2 =16 , vào bầu khí Trái Đất bề mặt bắt đầu nóng lên Sau giờ, nhiệt độ điểm (x, y , z ) bề mặt tàu thăm dò 198 T (x , y , z ) = x Tìm điểm nóng bề mặt tàu thăm dị [10] Bài 10: Diện tích hình tam giác có cạnh x , y Heron S= đó, p chu vi hình tam giác, biết chu vi hình tam giác a Tìm độ dài ba cạnh tam giác để diện tích chúng lớn cho biết tam giác tam giác gì? Bài 11: Một người muốn xây hồ cá hình hộp chữ nhật kính cường lực, mặt hồ để hở Thể tích hồ a) Tính kích thước cạnh hồ cá cho tổng diện tích mặt kính nhỏ b) Chi phí thấp để người mua kính cường lượng để làm hồ cá Biết 199 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Từ kết so sánh, phân tích kết hợp với kết thu đối chiếu với mục đích đặt ra, chúng tơi giải vấn đề lý luận thực tiễn sau: − So sánh phân tích phần Đạo hàm Vi phân hàm nhiều biến giáo trình Giải tích nước [3] [7] với giáo trình giải tích ngồi nước [8] để nhận thấy ưu điểm nhược điểm giáo trình Giải tích Từ đó, chúng tơi làm rõ ưu điểm nhược điểm tác động đến trình học Đạo hàm Vi phân hàm nhiều biến − Dựa so sánh, viết phần Đạo hàm Vi phân hàm nhiều biến phù hợp với sinh viên khoa Vật lý – Trường Đại học Sư phạm Thành Phố Hồ Chí Minh Do thời gian có hạn, chúng tơi chưa viết khái niệm hàm nhiều biến giới hạn hàm nhiều biến Bên cạnh đó, chúng tơi dự định tiếp tục so sánh phân tích phần Tích phân bội để hồn thiện dần giáo trình Giải tích dành riêng cho khoa Vật lý – Trường Đại học Sư phạm Thành Phố Hồ Chí Minh 200 TÀI LIỆU THAM KHẢO Việt Nam [1] Lưu Duyên Bình (2010), Giáo trình Vật lý đại cương, NXB Giáo Dục [2] Đỗ Xuân Hội (2009), Vật lý thống kê Nhiệt động lực thống kê, NXB Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh [3] Đỗ Cơng Khanh (2010), Tốn cao cấp – Giải tích hàm nhiều biến, phương trình vi phân, NXB Đại Học Quốc Gia TP Hồ Chí Minh [4] Đặng Thế Khôi (2009), Sách giáo khoa Vật lý 10, 11,12, NXB Giáo Dục [5] Bùi Quốc Long (2016), Xây dựng lý thuyết hệ thống tập Tích phân cho giáo trình Giải tích 1, Luận văn tốt nghiệp, Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh [6] Bùi Quốc Long (2015), Cấu trúc lại phần Đạo hàm – Tích phân viết mẫu phần Đạo hàm cho giáo trình Giải tích 1, Luận văn tốt nghiệp, Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh [7] Nguyễn Đình Trí (2006), Tốn học cao cấp – Tập 3, NXB Giáo dục Tiếng Anh [8] Jame Stewart, “Partial Derivatives”, Calculus, Canada [9] Ron Larson and Bruce Edward, “Functions of Several Variables”, Calculus, Hoa Kì [10] Thomas and Finney, “Multivariable Functions and Partial Derivatives”, Calculus, Hoa Kỳ ...BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÝ BIÊN SOẠN HỆ THỐNG LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP PHẦN ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN CHO GIÁO TRÌNH GIẢI TÍCH Người... Chương PHÂN TÍCH VÀ SO SÁNH PHẦN ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN 2.1 Phần lý thuyết Giáo trình S1 2.1.1 Cách tiếp cận khái niệm Đạo hàm Vi phân hàm nhiều biến Cách tiếp cận khái niệm Đạo hàm. .. Đạo hàm Vi phân hàm nhiều biến sau: Chương 1: Hàm nhiều biến 1.1 Đạo hàm riêng 1.2 Khả vi vi phân, ứng dụng tính gần 1.3 Đạo hàm, vi phân hàm hợp 1.4 Đạo hàm riêng vi phân hàm ẩn 1.5 Đạo hàm có