Chương III - Bài 3: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Chúc em có buổi học tốt Câu hỏi r r rr Câu 1: Trong không gian cho a, b = 60 , a = 5, b = ⇒ a.b = ? ( ) a 10 c 20 r r r r b 10 r r a.b =| a | | b | cos a,b = 5.4.cos600 = 10 r r r r r r Câu 2: a ≠ 0; b ≠ ⇒ a ⊥rb r r r rr r r r r C a.b =| b |2 | A a.b =| a | |rb | B a.b =| a r r r r r r r a.b =| a | | b | cos a,b =| a | | b | cos90 = ( ) ( ) d 15 rr D a.b = Câu 3: Các khẳng định sau hay sai a Trong khơng gian hai đường thẳng vng góc với cắt b Trong khơng gian hai đường thẳng vng góc với chéo c Trong khơng gian hai đường thẳng vng góc với góc chúng 900 d Trong không gian hai đường thẳng vng góc với hai vectơ phương chúng vng góc với § Đường thẳng vng góc với mặt phẳng Định nghĩa đường thẳng vng góc với mặt phẳng Bài tốn 1: Cho hai đường thẳng cắt b c nằm mặt phẳng (P) Chứng minh đường thẳng a vng góc với b c vng góc với đường thẳng nằm (P) a u r rru r Kí hiệu u,v,w, r ba vectơ phương ba đường thẳng a, b, c, d, d đường thẳng nằm (P) u r rr ru Giả thiết: u.v = u.w = b rr Chứng tỏrrằng: u.r = u r r u c Có r, v, w nằm (P) u u r P r r ⇒ ∃m, n : r = m.v +u n.w u r u r rr r r rr ru ⇒ u.r = u m.v + n.w = m.u.v + n.u.w = r r ⇒u⊥ r⇒a⊥d ( ) r u u u r w r v r r d § Đường thẳng vng góc với mặt phẳng Định nghĩa đường thẳng vng góc với mặt phẳng Định nghĩa1: Một đường thẳng gọi vng góc với mặt phẳng vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng - Đường thẳng a vng góc với mặt phẳng (P), ta cịn nói mặt phẳng (P) vng góc với a a (P) vng góc với nhau, kí hiệu: a ⊥ (P) (P) ⊥ a Định lý 1: Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt a b nằm mặt phẳng (P) đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (P) § Đường thẳng vng góc với mặt phẳng Định nghĩa đường thẳng vng góc với mặt phẳng Bài tập 2: Chứng tỏ đường thẳng vng góc với hai cạnh tam giác vng A góc với cạnh thứ ba, tức là: a ⊥ AB   ⇒ a ⊥ BC a ⊥ AC  Chứng minh a ⊥ AB   ⇒ a ⊥ ( ABC ) ⇒ a ⊥ BC a ⊥ AC  B a C § Đường thẳng vng góc với mặt phẳng Định nghĩa đường thẳng vng góc với mặt phẳng Ví dụ: Cho hình tứ diện SABC có tam giác ABC vng B; SA ⊥ (ABC) a) Chứng minh: BC ⊥ (SAB) b) Gọi AH đường cao tam giác SAB Chứng minh: AH ⊥ SC S Giải a) Chứng minh: BC ⊥ (SAB) Nêu phương pháp chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng? Chứng minh đường thẳng vng góc với hai đường thẳng cắt nằm mặt phẳng A B C § Đường thẳng vng góc với mặt phẳng Định nghĩa đường thẳng vng góc với mặt phẳng Ví dụ: Cho hình tứ diện SABC có tam giác ABC vuông B; SA ⊥ (ABC) a) Chứng minh: BC ⊥ (SAB) b) Gọi AH đường cao tam giác SAB Chứng minh: AH ⊥ SC S Giải a) Chứng minh: BC ⊥ (SAB) Có BC ⊥ SB ⇒ BC ⊥ (SAB) SA ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ BC A C B § Đường thẳng vng góc với mặt phẳng Định nghĩa đường thẳng vng góc với mặt phẳng Ví dụ: Cho hình tứ diện SABC có tam giác ABC vng B; SA ⊥ (ABC) a) Chứng minh: BC ⊥ (SAB) b) Gọi AH đường cao tam giác SAB Chứng minh: AH ⊥ SC S Giải a) Chứng minh: BC ⊥ (SAB) Có BC ⊥ SB ⇒ BC ⊥ (SAB) H SA ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ BC b) Chứng minh: AH ⊥ SC Hãy nêu phương pháp chứng minh hai đường A thẳng vng góc với khơng gian? Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng chứa đường thẳng Nếu hai đường thẳng cắt áp dụng phương pháp chứng minh vng góc hình học phẳng B C § Đường thẳng vng góc với mặt phẳng Định nghĩa đường thẳng vng góc với mặt phẳng Ví dụ: Cho hình tứ diện SABC có tam giác ABC vng B; SA ⊥ (ABC) a) Chứng minh: BC ⊥ (SAB) b) Gọi AH đường cao tam giác SAB Chứng minh: AH ⊥ SC S Giải a) Chứng minh: BC ⊥ (SAB) Có BC ⊥ SB ⇒ BC ⊥ (SAB) H SA ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ BC b) Chứng minh: AH ⊥ SC AH ⊥ SB ⇒ AH ⊥ (SBC) A BC ⊥ (SAB)⇒BC ⊥ AH ⇒ AH ⊥ SC B C § Đường thẳng vng góc với mặt phẳng Định nghĩa đường thẳng vng góc với mặt phẳng Các tính chất Tính chất 1: Có mặt phẳng (P) qua điểm O cho trước vng góc với đường thẳng a cho trước Tính chất 2: Có đường thẳng Δ qua điểm O cho trước vng góc với mặt phẳng (P) cho trước § Đường thẳng vng góc với mặt phẳng Góc đường thẳng mặt phẳng Cho đường thẳng a mặt phẳng (P) Ta có định nghĩa sau (hình.106) a a β P a’ P a) b) Định nghĩa 2: Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) ta nói góc đường thẳng a mặt phẳng (P) 900 Nếu đường thẳng a khơng vng góc với mặt phẳng (P) góc a hình chiếu a’ (P) gọi góc đường thẳng a mặt phẳng (P) § Đường thẳng vng góc với mặt phẳng Góc đường thẳng mặt phẳng Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a; SA ⊥ mp(ABCD) Gọi M N hình chiếu điểm A đường thẳng SB, SD a Chứng minh MN//BD SC ⊥ (AMN) b Gọi K giao điểm SC với mp(AMN) Chứng minh tứ giác AMKN có hai đường chéo vng góc Tính góc đường thẳng SC mặt phẳng (ABCD) SA = a 2, AB = a § Đường thẳng vng góc với mặt phẳng Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a; SA ⊥ mp(ABCD) Gọi M N hình chiếu điểm A đường thẳng SB, SD a Chứng minh MN//BD SC ⊥ (AMN) Giải a) • MN // BD S ?1: Hai tam giácΔSAB = ΔSAD? ?2: AM = AN?; SB = SD? ?3: SM = SN? SM SN ?4: So sánh tỉ số N SB SD M D A B C § Đường thẳng vng góc với mặt phẳng Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a; SA ⊥ mp(ABCD) Gọi M N hình chiếu điểm A đường thẳng SB, SD a Chứng minh MN//BD SC ⊥ (AMN) Giải a) • MN // BD S SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ AB;SA ⊥ AD   ⇒ ∆SAB = ∆SAD AB = AD  AM = AN AM, AN đường cao tương ứng từ đỉnh A; SB = SD N SM SN ⇒ SM = SN ⇒ = ⇒ MN // BD SB SD • SC ⊥ (AMN) BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ (SAB) BC ⊥ SA ⇒AM ⊥ BC ⇒AM ⊥ (SBC) ⇒ SC⊥AM (1) AM ⊥ SB Tương tự, AN ⊥ (SCD) ⇒ SC ⊥ AN (2) Từ (1) (2) ⇒ SC ⊥ (AMN) M D A B C § Đường thẳng vng góc với mặt phẳng Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a; SA ⊥ mp(ABCD) Gọi M N hình chiếu điểm A đường thẳng SB, SD a Chứng minh MN//BD SC ⊥ (AMN) b Gọi K giao điểm SC với mp(AMN) Chứng minh tứ giác AMKN có hai đường chéo vng góc S Giải b) • AK ⊥ MN K N M D A O B C § Đường thẳng vng góc với mặt phẳng Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a; SA ⊥ mp(ABCD) Gọi M N hình chiếu điểm A đường thẳng SB, SD a Chứng minh MN//BD SC ⊥ (AMN) b Gọi K giao điểm SC với mp(AMN) Chứng minh tứ giác AMKN có hai đường chéo vng góc S Giải b) • AK ⊥ MN ABCD hình vng ⇒BD ⊥ AC ⇒BD ⊥ (SAC) N SA ⊥ (ABCD) ⇒ BD ⊥ SA K MN//BD theo chứng minh câu a ⇒ MN ⊥ (SAC) ⇒ MN ⊥ AC M D A O B C § Đường thẳng vng góc với mặt phẳng Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a; SA ⊥ mp(ABCD) Gọi M N hình chiếu điểm A đường thẳng SB, SD Tính góc đường thẳng SC mặt phẳng (ABCD) SA = a 2, AB = a Giải Tính góc SC (ABCD) S AC hình chiếu SC lên mặt phẳng (ABCD) AC = a 2,SA = a · ΔSAC vuông cân A ⇒ SCA = 45 N K Vậy góc SC (ABCD) 450 M D A O B C Tóm tắt học – Một đường thẳng gọi vng góc với mặt phẳng vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng – Nếu đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng cắt a b nằm mặt phẳng (P) đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (P) – Có mặt phẳng (P) qua điểm O cho trước vng góc với đường thẳng a cho trước – Có đường thẳng Δ qua điểm O cho trước vng góc với mặt phẳng (P) cho trước – Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng mặt phẳng qua trung điểm đoạn thẳng vng góc với đoạn thẳng – Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng tập hợp điểm cách hai đầu mút đoạn thẳng Tóm tắt học ga // b   ⇒ (P) ⊥ b; (P) ⊥ a  g(P) //(Q)   ⇒ a ⊥ (Q); a ⊥ (P)  ga //(P)   ⇒ b ⊥ a; b ⊥ (P)  ga ⊥ (P)   b ⊥ (P)  ⇒ a // b a≠b   g(P) ⊥ a   (Q) ⊥ a  ⇒ (P) //(Q) (P) ≡ (Q)   ga ⊄ (P)   a ⊥ b  ⇒ a //(P) (P) ⊥ b   – Cho đường thẳng a khơng vng góc với mặt phẳng (P) đường thẳng b nằm (P) Khi đó, điều kiện cần đủ để b vng góc với a b vng góc với hình chiếu a’ a (P) –Phép chiếu song song lên mặt phẳng (P) theo phương l vng góc với mặt phẳng (P) gọi Phép chiếu vng góc lên mặt phẳng (P) –Nếu đường thẳng a khơng vng góc với mặt phẳng (P) góc a hình chiếu a’ (P) gọi góc đường thẳng a mặt phẳng (P) Bài tập củng cố Câu 1: Cho hai đường thẳng a, b hai mặt phẳng (P), (Q) Mệnh đề sau đúng? a // b  A (P) ⊥ a  ⇒ (P) ⊥ b  a⊥b  B b //(P)  ⇒ (P) ⊥ a  a // b  C  ⇒ (P) // a b ⊥ (P)  a ⊥ (P)  D  ⇒ (P) //(Q) b ⊥ (Q)  Bài tập củng cố Câu 2: Cho hai đường thẳng a, b hai mặt phẳng (P), (Q) Mệnh đề sau đúng? a ⊥ (P)  a ⊥ (P)   A B b ⊥ (P)  ⇒ a // b  ⇒ a // b b ⊥ (P)  a≠b   (P) //(Q)  C  ⇒ a //(Q) a ⊥ (P)  D a //(P)   ⇒ a //(Q) (P) ⊥ (Q)  Bài tập củng cố Câu 3: Cho hình vng ABCD Gọi H, K trung điểm AB AD; SH ⊥ (ABCD) H Mệnh đề sau đúng? a AC ⊥ HK S b AC ⊥ (SHK) c CK ⊥ SD ⇒ΔKID vuông I ⇒ CK ⊥ HD SH ⊥ (ABCD) ⇒SH ⊥ CK ⇒ CK ⊥ SH D I H d Cả a, b, c · · ΔHAD = ΔKDC ⇒ AHD = DKC · · · · AHB + HDA = 900 ⇒ DKC + HDA = 90 K A B ⇒ CK ⊥ (SHD) ⇒ CK ⊥ SD C Bài tập củng cố Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O S SB = SD Khẳng định sau đúng? A (SAC) mặt phẳng trung trực BD B (SBD) mặt phẳng trung trực AC A C SO ⊥ (ABCD) D SO ⊥ AC D O B C Bài tập nhà Làm tập 16, 17, 18, 19 trang 103 sách giáo khoa Chúc em nhà làm tốt tập See you again ... r d § Đường thẳng vng góc với mặt phẳng Định nghĩa đường thẳng vng góc với mặt phẳng Định nghĩa1: Một đường thẳng gọi vng góc với mặt phẳng vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng - Đường thẳng. .. đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (P) § Đường thẳng vng góc với mặt phẳng Định nghĩa đường thẳng vng góc với mặt phẳng Bài tập 2: Chứng tỏ đường thẳng vng góc với hai cạnh tam giác vng A góc. .. Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) ta nói góc đường thẳng a mặt phẳng (P) 900 Nếu đường thẳng a khơng vng góc với mặt phẳng (P) góc a hình chiếu a’ (P) gọi góc đường thẳng a mặt phẳng