Tích phân bất định (Tài liệu ôn ĐH hot)

30/12/2015 CHƯƠNG 4: TÍCH PHÂN Tích phân bất định Tích phân xác định Tích phân suy rộng Ứng dụng hình học tích phân Tích phân bất định Nguyên hàm: Hàm F(x) gọi nguyên hàm hàm f(x) khỏang (a,b) điểm x thuộc (a,b) ta có F’(x) = f(x) Từ định nghĩa nguyên hàm ta suy ra: Nếu F(x) nguyên hàm f(x) F(x)+C nguyên hàm hàm f(x) Mọi nguyên hàm f(x) có dạng F(x)+C Định lý: Mọi hàm liên tục [a,b] (liên tục x  (a, b) liên tục trái b, liên tục phải a) có nguyên hàm [a,b] 30/12/2015 Tích phân bất định Định nghĩa tích phân bất định : Nếu hàm F(x) nguyên hàm hàm f(x) F(x)+C (C: số) gọi tích phân bất định hàm f(x), kí hiệu  f ( x)dx  F ( x)  C Tính chất:  f ( x)dx  f ( x)  C d  f ( x)dx  f ( x) dx  a f ( x) dx  a. f ( x)dx   f ( x)  g ( x) dx   f ( x) dx   g ( x)dx Tích phân bất định Bảng tích phân hàm x 1  dx  tan x  C  x dx   C ,     cos x  1 1  dx   cot x  c  x dx  ln x  C sin x ax C ln a  sin xdx   cos x  C x  a dx   cos xdx  sin x  c dx x  sin x  ln tan  C  1 x dx  arctan C a a a2  x2  1 xa dx  ln C 2a x  a a2  x2 dx x    cos x  ln tan     C  30/12/2015 Tích phân bất định Bảng tích phân hàm   x dx  arcsin  c a a2  x2 1 x a dx  ln x  x  a  C a2 x x a2  x2 arcsin  C  a  x dx  a dx  thx  C  ch x  shxdx  chx  C dx  chxdx  chx  C   cthx  C sh x 2 Tích phân bất định Phương pháp đổi biến: Định lý: Nếu  f ( x)dx  F ( x)  C Thì:  f ( (t )) (t )dt  F ( (t ))  C Với φ(t) hàm khả vi Ta kiểm tra lại cách tính đạo hàm vế phải:  F ( (t ))  C   F ( (t )). (t )  f ( (t )). (t ) Ta hàm dấu tích phân vế trái tức định lý chứng minh Định lý sở cách đổi biến thường gặp sau 30/12/2015 Tích phân bất định Phương pháp đổi biến 1: Đặt x = φ(t), φ(t) hàm khả vi có hàm ngược t= φ-1(x) ta có  f ( x)dx   f ( (t )) (t )dt Nếu nguyên hàm f(φ(t))φ’(t) G(t) 1  f ( x)dx  G (t )  C  G ( ( x))  C Ví dụ: Tính tích phân I1    x dx Đặt x = sint dx  cos tdt    x  cos t t  arcsin x  sin2t  x  x I1   cos tdt  cos 2t 1 arcsin x x  x  dt  t  sin2t  C   C 2 4 Tích phân bất định Phương pháp đổi biến 2: Đặt u = φ(x), du=φ(x)dx giả sử  f ( x)dx   g ( ( x )) ( x)dx với  g ( x)dx  G ( x)  C Thì  f ( x)dx  G ( ( x))  C dx x2  a2 x Đặt u   du  dx  dx  adu a a adu 1 x  arctan u  C  arctan  C I2   a a a u 1 a Ví dụ: Tính I   30/12/2015 Tích phân bất định Ví dụ: Tính I   e x  e x dx Đặt u   e x  e x  u   e x dx  2udu  dx  2udu u2  2udu  u  C  (e x  4)3  C  2u du  3 u 4 dx Ví dụ: Tính I   2x  x dx  x  I4   x x   x  x 2 dx   dx  J (2  1) 2    du ln(2 x  1) x dx du x x  dx  J   x   Đặt u = +1 ln ln u ln 2 1 x ln(2  1)  I4  x  C ln I   (u  4)u Tích phân bất định Phương pháp tích phân phần: Định lý: Cho hàm u(x), v(x) khả vi u(x), v’(x) có nguyên hàm (a,b) Khi hàm u’(x), v(x) có nguyên hàm (a,b) ta có  u( x)v( x)dx  u ( x)v( x)   u ( x)v( x)dx Đẳng thức tương đương với:   u( x)v( x)  u ( x)v( x)  dx  u ( x)v( x) Đẳng thức hiển nhiên theo công thức đạo hàm tích Ta viết CT dạng  udv  uv   vdu 30/12/2015 Tích phân bất định Ví dụ: Tính I   arcsin xdx Đặt u=arcsinx, dv=dx I   udv  uv   vdu  x arcsin x   xd (arcsin x) d (1  x )  x arcsin x    x arcsin x    x2  x2 xdx  x arcsin x   x  C Ví dụ: Tính I   x ln xdx Đặt x dx  dx3  du , v  ln x 3 x ln x x3 x3 ln x x2 x3 ln x x3 I6    d (ln x)    dx   C 3 3 Tích phân bất định Ví dụ: Tìm công thức truy hồi cho tích phân dx In   ( x  a )n In  x x 2nxdx  xd  x   2 n 2 n  (x  a ) (x  a ) ( x  a )n ( x  a ) n1 x ( x2  a2 )  a2   2n  dx ( x  a )n ( x  a )n 1 x   2nI n  2na I n1 n (x  a )   x Vậy: I n1    (2 n  1) I  n 2na  ( x  a ) n  30/12/2015 Tích phân bất định In    dx  x  I   (2 n  1) I  n 1 n  , n  1, 2, ( x  a )n 2na  ( x  a ) n  Với n=1: I1   Với n=2: I   dx x  arctan C a x2  a2 a dx  x x   arctan  C a ( x  a ) 2a  x  a a Tích phân bất định Tích phân phân thức đơn giản lọai 1: b M M d x a M dx   xb  k k  a a (ax  b) a 1 k xb a      1 k  C Tích phân phân thức đơn giản lọai 2: với ax2+bx+c tam thức bậc nghiệm thực  Mx  N dx (ax  bx  c) k  Thêm bới để tử số thành đạo hàm mẫu số cộng số M (2ax  b)dx   2a (ax  bx  c) k (N  Mb )dx a  b b2 b2  a x  x c  a 4a 4a   k k 30/12/2015 Tích phân bất định  M (2ax  b)dx   2a (ax  bx  c) k (N  Mb )dx a  b b2 b2  a x  x c  a 4a 4a   Thêm bớt để mẫu số có dạng u2+a2  k k M d (ax  bx  x)   2a (ax  bx  c) k (N  Mb  b  )d  x   a 2a   k  b  b2  k  a  x    c    2a  4a   du du Ta đựơc tổng dạng  k ,  u (u  a )k Tích phân bất định 2x  dx Ví dụ: Tính I   ( x  x  1)2 Tách tử số thành tổng đạo hàm mẫu số số để chia hàm thành tổng hàm với hàm thứ có mẫu số tách thành tổng bình phương nhị thức số d ( x  ) (2 x  1)dx I7    ( x  x  1)2  2  (x  )  ( )  2   1 1 2x 1 2x 1      arctan C  2( x  x  1) 3  x  x 1 30/12/2015 Tích phân bất định P ( x) Tích phân hàm hữu tỉ: f ( x)  n Qm ( x) Trường hợp 1: n ≥ m Ta chia đa thức : Pn ( x)  Qm ( x).Tk ( x)  Rl ( x), l  m Và được: Pn ( x) Rl ( x)  f ( x)dx   Q ( x) dx   Tk ( x)dx   Q ( x) dx m m Khi đó, hàm hữu tỉ cần tính tích phân phân thức thực tức bậc tử số nhỏ bậc mẫu số Ta chuyển sang trường hợp Tích phân bất định Trường hợp 2: n < m Bước 1: Giả sử Qm ( x)  (a1x  b1 )l1 ( ar x  br )lr (c1x  d1x  e1 ) k1 (cs x  d s x  es )ks Trong l1+l2+…+lr+k1+k2+…+ks=m tam thức bậc dạng - cx2+dx+e - nghiệm thực Bước 2: Ta giả sử hàm f(x) thành tổng phân thức M jx  N j đơn giản dạng Mi , (ai x  bi )li (c j x  d j x  e j ) k j Bước 3: Đồng hệ số vế để xác định cụ thể hệ số M, N, a, b, c, d, e Bước 4: Tính hàm đơn giản, cộng lại ta cần tính 30/12/2015 Tích phân bất định 2x  Ví dụ: Tính I8   dx x  5x2  x 2x  a b c Giả sử :    x  5x  x x x  x   x   a( x  2)( x  3)  bx( x  3)  cx( x  2) Ta chọn giá trị đặc biệt x  :  2b  b  1 x  : 3  6a  a  1 2 x  :  3c  c   dx dx dx I8     2x 2( x  2) x 3  1 1 ln x  ln x   ln x   C 2 Tích phân bất định x3  x  Ví dụ: Tính I   dx x2  5x  22 x  19   I9    x    dx x  5x    22 xxx19 3b69 22 19 19 x  xa  14  Giả sử: 22 ab      a b ((xx(x1)( 4)1) x  4) x  x334 Cho x = -1, bỏ (x+1) mẫu số VT giữ hệ số 1/(x+1) VP, ta a = - Cho x = -4, bỏ (x+4) mẫu số VT giữ hệ số c 1/(x+4) VP, ta b=23 1 23 I   ( x  5)dx   dx   dx x 1 x4 x   x  ln x   23ln x   C 10 30/12/2015 Tích phân suy rộng loại  dx Ví dụ: Khảo sát HT I   x e  cos x Tp vừa suy rộng lọai 1, vừa suy rộng  dx dx   x x e  cos x e  cos x  dx 1  1 Khi x   : f ( x )   ,  = = HT x x e e e e x  cos x e x 1 loại I7   Khi x  0 : f ( x)  e x  cos x  (e x  1)  (1  cos x)  , x dx PK x  Như vậy, I7 tổng HT PK nên I7 PK Tích phân suy rộng loại  Ví dụ: Tính I8   ln(sin x)dx (1) Đặt t   x  I8   ln(sin(  t ))( dt )   ln(cos t )dt (2)  Cộng vế (1) (2):    2 I8   ln(sin t )dt   ln(cos t )dt   ln 0   2   ln(sin 2t )dt   ln 2dt sin 2t dt Đặt u  2t 27 30/12/2015 Tích phân suy rộng loại 2 I8  1   ln(sin u )du  ln 20      ln(sin u )du   ln(sin u )du  ln 2 2 Đặt x  u   2   2 I8  I8  ln   ln(sin( x   ))dx 2 2     I8  ln   ln(cos x)dx  I8  ln 2 2  Vậy:  I8   ln(sin x)dx   ln 2 Tích phân suy rộng loại x  ln(1  x ) dx Ví dụ: Tìm α để sau HT I9    x Ta tính x→0   2 x  ln(1  x) x  x  x  O ( x ) f ( x)       g ( x)   x x 2x 1 dx HT  2 2x Tp I9 HT  g ( x ) dx   Vậy I9 HT   1   28 30/12/2015 Tích phân suy rộng loại  Ví dụ: Tìm α để sau HT I10    x4  ln(1  x2 ) x5 dx  I10   f ( x)dx   f ( x)dx, f ( x)  Khi x  0 : f ( x)  x5  1 x   ln(1  x ) x5 1  1    f ( x)dx HT   <   0 3     f ( x ) dx HT    Khi x   : f ( x)      1 x5  HT+PK -3/5 -1/5 HT+PK  3 1  Rõ ràng, với    ,  I10 HT  5  Tích phân suy rộng - Phụ lục Tính  dx I1   x  x2   dx I2   x 1  dx I3   x 1  arctan x I4   dx 3/2 (1  x )  I   xe  x dx I6   I7   x2 dx 2 x dx ( x  1) x  x  dx x  2x  x   dx I9   ,t  1 2 x (1  x )  x  dx I10   2 ( x  1) x  I8    I11   x3 arcsin xdx |1  x | 1 x dx I12   (1  x )  x  dx I13   x  2x  x 1 I14   3 x dx  x2 29 30/12/2015 Tích phân suy rộng - Phụ lục Tìm α để sau HT  dx I1     x sin x x dx I2   ( x  1)( x  2)  I6   2x  4  x      1  dx x 1 3 x  x  I7   dx 5 x dx ,   0,min    x  1   x (1  x )(1  x ) I8   dx  x  I4   dx   x  x2 I   e x x 1dx  dx I5    x dx  x 1 x2  I10   1 x  I3     30 30/12/2015 Ứng dụng tích phân – Diện tích miền phẳng Trong mp cho miền D giới hạn a  x  b   f1( x)  y  f ( x) y=f2(x) Từ định nghĩa xác định ta suy b a b S ( D )    f ( x)  f1( x)  dx y=f1(x) a Hoặc chưa xác định đường nằm trên, b S ( D )   | f ( x )  f1 ( x ) | dx a Ứng dụng tích phân – Diện tích miền phẳng Ví dụ: Tính dt miền D giới hạn y=x y=5x-x2 Ta tìm giao điểm đường cong để có cận tích phân x  5x  x  x  x   x  0, x  Vậy   S ( D)   (5 x  x )  x dx  32 30/12/2015 Ứng dụng tích phân – Diện tích miền phẳng Ví dụ: Tính dt miền D giới hạn y2=2x 2y=x2 x2 x4 Giao điểm 2x   x   8x  x4  x  0, x  Vậy x2  S ( D)    x   dx   0 2  Ứng dụng tích phân – Diện tích miền phẳng Ví dụ: Tính dt miền D giới hạn x2+y2=8, 2x=y2, x>0 Giao điểm y2  2x   x2  x  2, x  4 Ta loại nghiệm x=-4 x>0 Từ hình vẽ suy S ( D )   xdx    x dx Hoặc tính theo y y2  S ( D)     y   dy  2    2  2 2 30/12/2015 Ứng dụng tích phân – Thể tích vật thể tròn xoay Cho vật thể V giới hạn mặt cong kín bị chặn mặt phẳng x=a, x=b Chia V thành n phần mặt phẳng x=xi: a=x0[...]... x2 2 2  2 Tích phân xác định Lưu ý 1: Trong MatLab, để tính tích phân bất định hàm f(x), ta có thể dùng lệnh int(f,x) hoặc int(f) Và để tính tích phân xác định của hàm f trên [a,b] ta dùng lệnh int(f,a,b) Tuy nhiên, có những hàm ta sẽ không thể dùng lệnh int để tính tp bất định cũng như tp xác định (Hàm f trong ví dụ trên) Khi đó, ta chỉ có thể tính được trong MatLab các tích phân xác định bằng cách... và khi x→0 Ta gọi những tích phân như vậy là tích phân suy rộng Có 2 loại tích phân suy rộng: Tích phân với cận vô tận (tp suy rộng loại 1) và tích phân của hàm không bị chặn (tp suy rộng loại 2) 12 30/12/2015 Tích phân suy rộng lọai 1 Định nghĩa tích phân suy rộng lọai 1: Cho hàm f(x) khả tích trên [a,b] , b  a b  Tích phân  f ( x)dx  lim  f ( x)dx b  a a Được gọi là tp suy rộng lọai 1 của... đến một giới hạn hữu hạn mà không phụ thuộc cách chia [a,b] và cách lấy điểm Mk thì giới hạn đó được gọi là diện tích của hình thang cong D n 1 S ( D)  lim  f ( M k ).xk n  k 0 max xk 0 Tích phân xác định 2 30/12/2015 Tích phân xác định Định nghĩa tích phân xác định: Cho hàm f(x) xác định trên [a,b] Chia [a,b] thành n-phần tùy ý bởi các điểm chia (ta gọi là một phân hoạch của đoạn [a,b]) a... hàm không bị chặn hay là tp suy rộng lọai 2  11 30/12/2015 Tích phân suy rộng lọai 1 Cho đường cong 1 y x Giả sử ta cần tính diện tích phần mặt phẳng giới hạn bởi đường cong trên và 2 nửa dương 2 trục Ox, Oy Khi đó, theo phần trên ta có  1 S ( D)   0 x dx Tích phân suy rộng lọai 1 Để có diện tích miền D, ta sẽ phải tính tích phân khi x→∞ và khi x→0 Ta gọi những tích phân như vậy là tích phân suy... 30/12/2015 Tích phân xác định Tính chất của tích phân xác định Định lý 1: Hàm liên tục trên [a,b] thì khả tích trên [a,b] Định lý 2: Hàm có hữu hạn điểm gián đoạn trên [a,b] thì khả tích trên [a,b] Trong các tính chất dưới đây, đều có f(x), g(x) là các hàm khả tích trên [a,b] b b 1/  dx  b  a b 2 /  c f ( x) dx  c  f ( x)dx a a b b b a a a a 3 /   f ( x)  g ( x)  dx   f ( x)dx   g ( x)dx Tích phân. .. Lấy điểm bất kỳ M k   xk , xk 1  , lập tổng tích phân n 1 S n   f ( M k ).xk , xk  xk 1  xk (Tổng Riemann) k 0 Ta cho max xk  0 , nếu Sn tiến đến một giới hạn hữu hạn mà không phụ thuộc cách chia [a,b] và cách lấy điểm Mk thì giới hạn đó được gọi là tích phân xác định của hàm f(x) trên [a,b] và kí hiệu là b  f ( x)dx Khi ấy, ta nói hàm f(x) khả tích trên [a,b] a Tích phân xác định 1 Ví... và vòng lặp để tính tp I 10 30/12/2015 Tích phân xác định for n = 2:solan k=2^(n-2) h=(b-a)/(2*k) x = a + h; sum = 0; for i = 1:k fx = subs(f, x); sum = sum + fx; x = x + (b-a)/k; end I=(I/2)+h*sum end Tích phân xác định Lưu ý 2: Các tích phân không áp dụng được công thức Newton – Leibnitz e dx  e x e  ln | x | e  0 Cách tính này sai vì hàm dưới dấu tp không liên tục trên [-e,e] Để tính đúng tp... double(int(f,a,b)) Tức là ta chỉ có thể dùng MatLab để tính gần đúng các tích phân xác định như vậy 9 30/12/2015 Tích phân xác định Để tính gần đúng tích phân xác định, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp đơn giản nhất là phương pháp hình thang như sau: Ta sẽ chia [a,b] thành lần lượt thành 2 phần, 4 phần, 8 phần, …, 2n phần bằng nhau và áp dụng công thức tính trong các trường hợp trên là n 2 1 ba2 2i  1  ... mẫu số của p n 15 30/12/2015 Tích phân bất định dx Ví dụ: Tính I18   x ( 4 x  1)10 Ta viết lại hàm dưới dấu tp về dạng 1  1  10 1 1 x 2 1  x 4  , m  , n  , p  10 2   Đặt x = t4 → dx = 4t3dt I18    4t 3dt t 2 (1  t )10 4 9(1  4 x )9  4  dt (1  t )9 4  4 4 8(1  4 x )8 dt 4 4   C (1  t )10 9(1  t )9 8(1  t )8 C Tích phân bất định 4 Tích phân hàm lượng giác  f (cos... 30/12/2015 Tích phân xác định Bài toán diện tích hình thang cong: Cho hàm f(x) liên tục và không âm trên [a,b] Miền D giới hạn bởi đừơng cong y=f(x), 3 đường thẳng x=a, x=b, y=0 được gọi là hình thang cong Yêu cầu đặt ra là tính diện tích hình thang Chia đoạn [a,b] thành nphần tùy ý bởi các điểm a  x0  x1   xn  b y=f(x) S1 S2 S3 a x1 x2 x3 Sn-1 Sn xn-1 xn Tích phân xác định Ta tính diện tích hình ... dx Tích phân suy rộng lọai Để có diện tích miền D, ta phải tính tích phân x→∞ x→0 Ta gọi tích phân tích phân suy rộng Có loại tích phân suy rộng: Tích phân với cận vô tận (tp suy rộng loại 1) tích. ..30/12/2015 Tích phân bất định Định nghĩa tích phân bất định : Nếu hàm F(x) nguyên hàm hàm f(x) F(x)+C (C: số) gọi tích phân bất định hàm f(x), kí hiệu  f ( x)dx  F...  ln n 30/12/2015 Tích phân xác định Theo định nghĩa, tích phân I1 cho ta diện tích phần mặt phẳng giới hạn trục Ox, Oy, đt x=1 đường S ( D)  cong y=2x ln Tích phân xác định Ta tính cách dùng