Quy tắc LHospital (ĐH Bách Khoa TPHCM)

QUY TẮC L’HOSPITALE PHÁT BIỂU ĐỊNH LÝ Định lý 1: Cho f khả vi (a, b) thỏa i lim− f ( x ) = 0, lim− g ( x ) = x →b x →b (Dạng vđ 0/0) ii g '( x ) ≠ 0, ∀x ∈ (a, b) f '( x ) iii lim− =A x →b g '( x ) f (x) f ′( x ) = lim = A Khi đó: xlim →b − g ( x ) x →b − g ′( x ) PHÁT BIỂU ĐỊNH LÝ Định lý 2: Cho f khả vi (a, b) thỏa i lim− f ( x ) = ∞, lim− g ( x ) = ∞ x →b x →b (Dạng vđ ∞/∞) ii g '( x ) ≠ 0, ∀x ∈ (a, b) f '( x ) iii lim− =A x →b g '( x ) Khi đó: f (x) f ′( x ) lim− = lim− =A x →b g ( x ) x →b g ′( x ) Lưu ý áp dụng quy tắc L’H 1.Quy tắc L’hopspitale áp dụng cho dạng vô định ∞ vaø ∞ 2.Các kết thay x→ a+, x→ x0, x→ ∞ f f′ 3.Nếu g′ giới hạn, không kết luận cho g 4.Kết hợp với VCL VCB kết nhanh Ví dụ x − tan x / lim x →0 x + x sin x 0  ÷ 0 x − tan x = lim x →0 2x 1 − (1 + tan x ) = lim x →0 3x 2 − tan x = lim =− 2 x →0 x ln(1 + x )   / lim  −  x →0  x ( x + 1) x  x − ( x + 1)ln(1 + x ) = lim x →0 x (1 + x ) x − ( x + 1)ln(1 + x ) = lim x →0 x − ln(1 + x ) − 1 = lim =− x →0 2x ( ∞ − ∞) 1  / lim  − ÷ x →0  sin x x  ( ∞ − ∞) x − sin x = lim 2 x →0 x sin x 2 ( x − sin x )( x + sin x ) = lim x →0 x4 ( x − sin x )2 x = lim x →0 x4 ( x − sin x )2 x = lim x →0 x4 x − sin x = 2lim x →0 x3 − cos x 1 = 2lim = 2× × = x →0 3 3x / lim+ x ln x x →0 ln x = lim+ x →0 x = lim+ x x →0 −1 x ( × ∞) = lim+ (− x ) = x →0 x sin x   / A = lim  ÷ x →0  x  (1 ) ∞  x2 sin x  = lim 1 + − 1÷ x →0  x  x  x2 sin x −  = lim 1 + ÷ x →0  x  x  x2 sin x −  A = lim 1 + ÷ x →0  x  sin x − x  x3 x  sin x − x sin x − x    = lim 1 + ÷ x →0  x     sin x − x lim x →0 x3 ⇒ A=e − cos x − 1 = lim =− x →0 3x ... '( x ) Khi đó: f (x) f ′( x ) lim− = lim− =A x →b g ( x ) x →b g ′( x ) Lưu ý áp dụng quy tắc L’H 1 .Quy tắc L’hopspitale áp dụng cho dạng vô định ∞ vaø ∞ 2.Các kết thay x→ a+, x→ x0, x→ ∞ f f′