Đang tải... (xem toàn văn)
tài liệu uy tín được biên soạn bởi giảng viên đại học Bách Khoa TPHCM, thuận lợi cho qua trình tự học, nghiên cứu bổ sung kiến thức môn toán cao cấp 1, toán cao cấp hai, tích phân vi phân ôn thi học sinh giỏi, luyện thi đại học, ôn thi vào lớp 10, ôn thi trường chuyên môn toán, sắc xuất thống kê, các môn học tài chính, kế toán, ngân hàng, toán cao cấp, Tài liệu được kiểm duyệt bởi giảng viên, phòng đào tạo trường đại học bách khoa, lưu hành nội bộ
TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH BÀI GIẢNG ĐIỆN TỬ TS Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, mơn Tốn ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn TP HCM — 2016 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH TP HCM — 2016 / 36 NỘI DUNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH TP HCM — 2016 / 36 Tích phân xác định Bài tốn thực tế BÀI TOÁN XÂY DỰNG Các kỹ sư xây dựng giao nhiệm vụ cổng chào thành phố, cao 630m, rộng 630m Phương trình cổng chào y = 630 − x2 ·Ý 157, tưởng kỹ sư xây dựng dàn giáo bên cổng chào để có làm nơi cổng chào Vấn đề quan tâm diện tích bên cổng chào bao nhiêu? TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH TP HCM — 2016 / 36 Tích phân xác định Bài tốn thực tế Diện tích bên cổng chào 315 −315 x2 630 − dx = 264600(m2 ) 157, TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH TP HCM — 2016 / 36 Tích phân xác định Khái niệm tích phân xác định KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Cho hàm số f (x) xác định đoạn [a, b](a < b) Chia đoạn [a, b] thành n phần nhỏ hữu hạn [xi−1, xi ](i = 1, , n) điểm x0 = a < x1 < x2 < < xi−1 < xi < < xn = b Trên phần nhỏ [xi−1, xi ] chọn điểm ξi ∈ [xi−1, xi ] thành lập tổng σ= n i=1 f (ξi )∆xi , với ∆xi = xi − xi−1 > Kí hiệu λ = max{∆xi , i = 1, , n} TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH TP HCM — 2016 / 36 Tích phân xác định Khái niệm tích phân xác định ĐỊNH NGHĨA 1.1 Tổng σ = n i=1 f (ξi )∆xi gọi tổng tích phân hàm số f (x) đoạn [a, b] Tổng gọi tổng Riemann TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH TP HCM — 2016 / 36 Tích phân xác định Khái niệm tích phân xác định ĐỊNH NGHĨA 1.2 Số hữu hạn I ∈ R gọi giới hạn tổng tích phân σ λ → 0(λ = max∆xi > 0), với ∀ε > 0, ∃δ = δ(ε) > cho đoạn [a, b] bị chia thành đoạn nhỏ với độ dài ∆xi < δ, có nghĩa λ < δ, ln có bất đẳng thức |σ − I| < ε, không phụ thuộc vào cách chia đoạn [a, b] thành đoạn nhỏ, cách chọn điểm ξi đoạn nhỏ [xi−1, xi ] Lúc ta viết lim σ = I λ→0 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH TP HCM — 2016 / 36 Tích phân xác định Khái niệm tích phân xác định ĐỊNH NGHĨA 1.3 Nếu tổng tích phân σ có giới hạn hữu hạn λ → có nghĩa lim σ = I I gọi λ→0 tích phân xác định hàm số f (x) khoảng [a, b] Trong trường hợp số a, b gọi cận cận tích phân Như b a f (x)dx = I = lim σ = lim TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) λ→0 n λ→0 i=1 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH f (ξi )∆xi TP HCM — 2016 / 36 Tích phân xác định Khái niệm tích phân xác định VÍ DỤ 1.1 Tính tích phân x2 dx định nghĩa f (x) = x2 , a = 0, b = Chia đoạn [0, 1] thành n b−a phần nhau, ∆xk = = Chọn n n ξk = xk , k = 1, , n Khi n−1 n x0 = 0, x1 = , , xn−1 = , xn = = n n n 2 n f (ξ1 ) = , f (ξ2 ) = , , f (ξn ) = n n n TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH TP HCM — 2016 / 36 Tích phân xác định k Vậy f (ξk )∆xk = n Khái niệm tích phân xác định , k = 1, n Từ suy n 12 + 22 + + n2 x dx = lim = n→∞ n3 n(n + 1)(2n + 1) 2n3 = lim = lim = n→∞ 6n n→∞ 6n3 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH TP HCM — 2016 10 / 36 Phương pháp tính tích phân xác định Cơng thức Newton-Leibniz CƠNG THỨC NEWTON-LEIBNITZ Tích phân xác định khơng phụ thuộc vào biến lấy tích phân, có nghĩa b a b f (t)dt = f (x)dx a ĐỊNH LÝ 2.2 Cho hàm f (x) liên tục đoạn [a, b] Khi đó, b a b f (x)dx = F(x) = F(b) − F(a), a với F(x) nguyên hàm hàm số f (x) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH TP HCM — 2016 38 / 36 Phương pháp tính tích phân xác định Cơng thức Newton-Leibniz VÍ DỤ 2.4 π/4 Tính tích phân I = I = tan x TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) π/4 π/6 π/6 = tan dx cos2 x π π − tan = − TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH TP HCM — 2016 39 / 36 Phương pháp tính tích phân xác định Cơng thức Newton-Leibniz VÍ DỤ 2.5 Tính tích phân I = 2|x|dx −1 I = x|x| TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) −1 = 1.|1| − (−1.| − 1|) = TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH TP HCM — 2016 40 / 36 Phương pháp tính tích phân xác định Cơng thức Newton-Leibniz VÍ DỤ 2.6 Tính tích phân I = e−|x| dx −1 Ta có e−|x| dx = ex + C, x < −e−x + + C, x Cho C = ta nguyên hàm F(x) = I = F(x) −1 = −e−x + ex , x < −e−x + 2, x x=1 − ex x=−1 = −e−1 + − e−1 = = − 2e−1 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH TP HCM — 2016 41 / 36 Phương pháp tính tích phân xác định Tích phân phần CƠNG THỨC TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN b b b udv = uv − vdu, a a a với u = u(x), v = v(x) hàm khả vi liên tục đoạn [a, b] TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH TP HCM — 2016 42 / 36 Phương pháp tính tích phân xác định Tích phân phần VÍ DỤ 2.7 Tính tích phân I = xe−x dx Đặt u = x, dv = e−x dx ⇒ du = dx, v = −e−x Áp dụng cơng thức tích phân phần ta có I = −xe −x 1 −x e dx = −e + −1 −e −x = = −2e−1 + TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH TP HCM — 2016 43 / 36 Phương pháp tính tích phân xác định Cơng thức đổi biến CƠNG THỨC ĐỔI BIẾN b β f (ϕ(x)).ϕ (x)dx = a α f (t)dt, t = ϕ(x) hàm số liên tục với đạo hàm ϕ (x) đoạn [a, b], α = ϕ(a), β = ϕ(b), f (t) hàm số liên tục đoạn [α, β] TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH TP HCM — 2016 44 / 36 Phương pháp tính tích phân xác định Cơng thức đổi biến CƠNG THỨC ĐỔI BIẾN b β f (x)dx = a α f [ϕ(t)]ϕ (t)dt, x = ϕ(t) hàm số liên tục với đạo hàm ϕ (t) đoạn [α, β], a = ϕ(α), b = ϕ(β), f [ϕ(t)] hàm số liên tục đoạn [a, b] TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH TP HCM — 2016 45 / 36 Phương pháp tính tích phân xác định Cơng thức đổi biến VÍ DỤ 2.8 e Tính tích phân I = Đặt t = ln x ⇒ dt = I= TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ln2 x dx x dx x e Khi t x t3 t dt = 1 = (13 − 03 ) = 3 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH TP HCM — 2016 46 / 36 Phương pháp tính tích phân xác định Cơng thức đổi biến VÍ DỤ 2.9 − x2 dx Tính tích phân I = Đặt x = sin t ⇒ dx = cos tdt Khi π/2 I= π/2 x t π2 − sin2 t.2 cos tdt = = cos tdt = π/2 sin 2t = t + = π π/2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) (1 + cos 2t)dt = TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH TP HCM — 2016 47 / 36 Phương pháp tính tích phân xác định Tính chất hàm chẵn, hàm lẻ Nếu f (x) hàm lẻ: f (−x) = −f (x) a f (x)dx = −a Nếu f (x) hàm chẵn: f (−x) = f (x) a a f (x)dx = −a TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) f (x)dx TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH TP HCM — 2016 48 / 36 Phương pháp tính tích phân xác định Tính chất hàm chẵn, hàm lẻ VÍ DỤ 2.10 π/3 Tính tích phân I = x sin x dx −π/3 cos x Hàm dấu tích phân f (x) = chẵn [−π/3, π/3] nên x sin x hàm cos2 x π/3 I =2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) x sin x dx cos2 x TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH TP HCM — 2016 49 / 36 Phương pháp tính tích phân xác định Tính chất hàm chẵn, hàm lẻ sin xdx Khi du = dx, v = Từ Đặt u = x, dv = cos2 x cos x suy x I = 2 cos x =2 π/3 π/3 − dx = cos x π x π − ln tan + cos(π/3) 5π 2π =2 − ln tan 12 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH π/3 = TP HCM — 2016 50 / 36 Phương pháp tính tích phân xác định Tính chất hàm chẵn, hàm lẻ VÍ DỤ 2.11 Tính tích phân I = −1 x2 arctan x + x2 dx Hàm số dấu tích phân f (x) = hàm lẻ [−1, 1] nên I = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH x2 arctan x + x2 TP HCM — 2016 51 / 36 Phương pháp tính tích phân xác định Tính chất hàm chẵn, hàm lẻ CÁM ƠN CÁC EM ĐÃ CHÚ Ý LẮNG NGHE TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH TP HCM — 2016 52 / 36