tài liệu uy tín được biên soạn bởi giảng viên đại học Bách Khoa TPHCM, thuận lợi cho qua trình tự học, nghiên cứu bổ sung kiến thức môn toán cao cấp 1, toán cao cấp hai, tích phân vi phân ôn thi học sinh giỏi, luyện thi đại học, ôn thi vào lớp 10, ôn thi trường chuyên môn toán, sắc xuất thống kê, các môn học tài chính, kế toán, ngân hàng, toán cao cấp, Tài liệu được kiểm duyệt bởi giảng viên, phòng đào tạo trường đại học bách khoa, lưu hành nội bộ
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TS Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, mơn Tốn ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn TP HCM — 2016 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TP HCM — 2016 1/1 NỘI DUNG TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TP HCM — 2016 2/1 Tính diện tích miền phẳng Miền phẳng xác định hàm hệ tọa độ Đề-các ĐỊNH LÝ 1.1 Cho f (x) khả tích [a, b] Khi diện tích miền phẳng giới hạn y = f (x), x = a, x = b, trục Ox b S= TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) a |f (x)|dx ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TP HCM — 2016 3/1 Tính diện tích miền phẳng Miền phẳng xác định hàm hệ tọa độ Đề-các ĐỊNH LÝ 1.2 Nếu miền phẳng D giới hạn y = f (x), y = g(x), x = a, x = b b S= TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) a |f (x) − g(x)|dx ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TP HCM — 2016 4/1 Tính diện tích miền phẳng TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) Miền phẳng xác định hàm hệ tọa độ Đề-các ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TP HCM — 2016 5/1 Tính diện tích miền phẳng Miền phẳng xác định hàm hệ tọa độ Đề-các Tính yếu tố diện tích dS Lấy tổng suy rộng dS Chia [a, b] thành n đoạn phân hoạch a = x0 < x1 < < xi−1 < xi < < xn = b Yếu tố diện tích Si = [f (ξi ) − g(ξi )].∆xi Diện tích hình phẳng n S = lim n→∞ n Si = lim i=1 n→∞ b = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) a [f (ξi ) − g(ξi )].∆xi i=1 b dS = a [f (x) − g(x)]dx ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TP HCM — 2016 6/1 Tính diện tích miền phẳng Miền phẳng xác định hàm hệ tọa độ Đề-các VÍ DỤ 1.1 Tính diện tích hình phẳng, giới hạn y = 4x − x2 trục Ox Phương trình hồnh độ giao điểm y = 4x − x2 trục Ox 4x − x2 = ⇔ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) x=0 x=4 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TP HCM — 2016 7/1 Tính diện tích miền phẳng S= Miền phẳng xác định hàm hệ tọa độ Đề-các (4x − x )dx = 2x − x3 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN = 32 TP HCM — 2016 8/1 Tính diện tích miền phẳng Miền phẳng xác định hàm hệ tọa độ Đề-các VÍ DỤ 1.2 Tìm diện tích hình phẳng giới hạn y2 y = (x − 1) x − = 2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TP HCM — 2016 9/1 Tính diện tích miền phẳng Miền phẳng xác định hàm hệ tọa độ Đề-các Phương trình hồnh độ giao điểm parabol hyperbol (x − 1)4 = ⇔ x4 − 4x3 + 4x2 − 4x + = x − x=1 ⇔ (x − 1)(x − 3)(x2 + 1) = ⇔ x=3 S= [ 2(x2 − 1) − (x − 1)2 ]dx = x x2 − − ln |x + x2 − 10 = − ln(3 + 8) = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) − (x − 1)3 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN = TP HCM — 2016 10 / Tính độ dài cung Cơng thức tính độ dài cung Chia đoạn [a, b] điểm A = M0 , M1 , , Mi−1 , Mi , , Mn = B Độ dài cung Mi−1Mi Li = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) (xi − xi−1 )2 + (yi − yi−1 )2 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TP HCM — 2016 20 / Tính độ dài cung Cơng thức tính độ dài cung Theo định lý Lagrange, ta có yi − yi−1 = f (ξi )(xi − xi−1 ) = f (ξi ).∆xi , ξ ∈ (xi−1 , xi ) Khi độ dài cung AB n Li = lim L = lim n→∞ n n→∞ i=1 + (f (ξi ))2 ∆xi = i=1 b = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) a + f (x)dx ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TP HCM — 2016 21 / Tính độ dài cung Cơng thức tính độ dài cung VÍ DỤ 3.1 x2 ln x Tính độ dài cung y = − ,1 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN x TP HCM — 2016 22 / Tính độ dài cung Ta có f (x) = y = x − L= 1 4x dx = 1+ x− 4x = Cơng thức tính độ dài cung x2 + 4x2 + x2 dx = − ln |x| 4x TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 1 + dx 16x2 = + ln TP HCM — 2016 23 / Tính diện tích mặt tròn xoay Cơng thức tính diện tích mặt tròn xoay ĐỊNH LÝ 4.1 Diện tích mặt tròn xoay tạo quay cung tròn y = f (x), a x b quanh trục Ox b S = 2π TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) a |f (x)| + f (x)dx ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TP HCM — 2016 24 / Tính diện tích mặt tròn xoay Cơng thức tính diện tích mặt tròn xoay Yếu tố diện tích dS = 2π|f (x)|d = 2π|f (x)| + f (x)dx Diện tích mặt tròn xoay b S= a TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) b dS = 2π a |f (x)| ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN + f (x)dx TP HCM — 2016 25 / Tính diện tích mặt tròn xoay Cơng thức tính diện tích mặt tròn xoay VÍ DỤ 4.1 Tính diện tích bề mặt tròn xoay tạo π quay cung y = sin 2x, x quanh trục Ox TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TP HCM — 2016 26 / Tính diện tích mặt tròn xoay Cơng thức tính diện tích mặt tròn xoay y = cos 2x Khi π/2 S = 2π sin 2x + cos2 2xdx Đặt t = cos 2x ⇒ dt = −4 sin 2xdx ⇒ sin 2xdx = x π2 − dt, t −2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TP HCM — 2016 27 / Tính diện tích mặt tròn xoay Cơng thức tính diện tích mặt tròn xoay Vậy −2 + t2 − S = 2π π = π t = 2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) dt = + t dt = −2 + t2 + ln(t + 2 + t 2) π = [2 + ln(2 + 5)] ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN = −2 TP HCM — 2016 28 / Bài tập Bài tập diện tích hình phẳng BÀI Tính diện tích miền phẳng giới hạn y = x − x2 , y = x − x ĐS TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 10 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TP HCM — 2016 29 / Bài tập Bài tập thể tích vật thể tròn xoay BÀI Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo nên quay miền phẳng giới hạn y = x2 , y = 0, x + y = quanh trục Ox ĐS 8π 15 BÀI Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo nên quay miền phẳng giới hạn y = ln x, y = 0, x = 1, x = quanh trục Ox ĐS Vx = 2π ln2 − 4π ln + 2π TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TP HCM — 2016 30 / Bài tập Bài tập thể tích vật thể tròn xoay BÀI Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo nên quay miền phẳng giới hạn y = x + arctan x, y = x − arctan x, x = 0, x = quanh trục Ox ĐS Vx = π2 − 2π TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TP HCM — 2016 31 / Bài tập Bài tập tính độ dài cung BÀI x3 Tính độ dài cung y = + , 12 x x ĐS BÀI Tính độ dài cung y = ln(1 − x2), − ln − TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN x ĐS TP HCM — 2016 32 / Bài tập Bài tập diện tích bề mặt tròn xoay BÀI Tính diện tích bề mặt tròn xoay quay cung y = x2 + 4, x quanh trục Ox ĐS π + ln TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 1+ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TP HCM — 2016 33 / Bài tập Bài tập diện tích bề mặt tròn xoay CÁM ƠN CÁC EM ĐÃ CHÚ Ý LẮNG NGHE TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TP HCM — 2016 34 /