Tích phân suy rộng và tích phân phụ thuộc tham số

Tích phân phụ thuộc tham số với cận là hàm số của tham số .... Nguyễn Văn Hùng, cũng như mong muốn được tìm hiểu sâu hơn về tích phân suy rộng và tích phân phụ thuộc tham số nên em đã mạ

LỜI CẢM ƠN

Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy giáo, cô giáo trongkhoa Toán nói chung và trong tổ Giải tích nói riêng và các bạn sinh viên đãgiúp đỡ em trong quá trình hoàn thành khóa luận

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới thầy giáo TS Nguyễn Văn Hùng, người đã tận tâm giúp đỡ và chỉ bảo cho em trong suốt thời gian

nghiên cứu và hoàn thành khóa luận

Lần đầu thực hiện công tác nghiên cứu khoa học, hơn nữa do thời giannghiên cứu có hạn nên khóa luận không tránh khỏi những hạn chế và thiếusót Em xin chân thành cảm ơn những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, côgiáo và các bạn sinh viên

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 05 năm 2012

Sinh viên

Cao Thị Tung Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

Cao Thị Tung - K34 A - Khoa Toán

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy giáo

TS Nguyễn Văn Hùng, cùng với sự cố gắng của bản thân Trong quá trình

nghiên cứu và thực hiện khóa luận em có tham khảo một số tài liệu của một

số tác giả như đã nêu ở mục tài liệu tham khảo

Em xin cam đoan khóa luận này là kết quả nghiên cứu của riêng em.Trong quá trình làm khóa luận, em đã kế thừa những thành tựu của các nhàkhoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 05 năm 2012

Sinh viên

Cao Thị Tung

MỤC LỤC

Trang

LỜI MỞ ĐẦU 1

NỘI DUNG 3

CHƯƠNG 1: TÍCH PHÂN SUY RỘNG 3

1.1 Tích phân suy rộng loại 1 3

1.2 Tích phân suy rộng loại 2 22

Bài tập 34

CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ 58

2.1 Tích phân phụ thuộc tham số với cận là hằng số 58

2.2 Tích phân phụ thuộc tham số với cận là hàm số của tham số 61

2.3 Tích phân phụ thuộc tham số với cận ở vô tận 63

Bài tập 70

KẾT LUẬN 89

TÀI LIỆU THAM KHẢO 90

LỜI MỞ ĐẦU

Toán học là ngành khoa học cơ bản làm nền tảng cho nhiều ngành khoahọc khác Trong đó Giải tích là bộ phận chiếm vị trí quan trọng trong Toánhọc Đã có rất nhiều nhà khoa học đi nghiên cứu và phát triển ngành Toán họcnói chung và lĩnh vực Giải tích nói riêng Không chỉ có các nhà khoa họcmuốn nghiên cứu và tìm hiểu về Toán học mà còn rất nhiều sinh viên chuyênngành Toán cũng đam mê và ước muốn nghiên cứu Toán học

Bản thân em cũng mong ước được nghiên cứu tìm hiểu và bồi dưỡngthêm những tri thức liên quan đến Toán học nói chung và Giải tích nói riêng.Trên cơ sở những kiến thức đã học, cùng với sự giúp đỡ tận tình của thầy giáo

TS Nguyễn Văn Hùng, cũng như mong muốn được tìm hiểu sâu hơn về tích

phân suy rộng và tích phân phụ thuộc tham số nên em đã mạnh dạn chọn đề

tài “Tích phân suy rộng - Tích phân phụ thuộc tham số” nhằm nghiên cứu

một số kiến thức cơ bản như các tích chất, các dấu hiệu hội tụ của tích phânsuy rộng và các tính chất, các dấu hiệu hội tụ đều của tích phân phụ thuộctham số

Được sự giúp đỡ của các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán nói chung

và trong tổ Giải tích nói riêng và đặc biệt là được sự hướng dẫn và chỉ bảo tận

tình của thầy giáo TS Nguyễn Văn Hùng cùng với sự cố gắng tìm tòi và

nghiên cứu của mình em đã hoàn thành đề tài nghiên cứu này

Đề tài của em gồm ba phần: Lời mở đầu, nội dung, kết luận

Qua đây em cũng xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đến

thầy giáo TS Nguyễn Văn Hùng người đã trực tiếp hướng dẫn và tận tình chỉ

bảo cho em trong suốt thời gian nghiên cứu và hoàn thành khóa luận

Em xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo và các bạn sinh viêntrong khoa toán đã gúp đỡ và đóng góp ý kiến cho em trong suốt quá trìnhhoàn thành khóa luận của mình

Do lần đầu tiên tiếp xúc với việc nghiên cứu khoa học, hơn nữa thờigian nghiên cứu có hạn, kinh nghiệm của bản thân còn hạn chế nên khóa luậnkhông tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót Em rất mong nhận được sựthông cảm của các thầy giáo, cô giáo cùng các bạn sinh viên

NỘI DUNG

CHƯƠNG 1: TÍCH PHÂN SUY RỘNG

1.1 Tích phân suy rộng loại 1

là hội tụ +∞

∫ f (x) dx

a

∫e− x dx =

(−e

− x b

+ Nếu giới hạn (2) tồn tại và hữu hạn thì tích phân

∫

và ∫

Ví dụ 4: Xét sự hội tụ của tích phân dx .

 Nếu α >

1 thì

b

1lim ∫

1

∫

1

∫

x5 3

1

x3 5

1

x5 3

1

x3 5

1.1.2 Cách tính tích phân suy rộng loại 1

Công thức Newton - Leibniz

F (x)

Chú ý: Các phương pháp tính tích phân xác định vẫn được sử dụng cho tích

phân suy rộng

1.1.3 Tiêu chuẩn hội tụ

Định lý 1.1.3.1 (Tiêu chuẩn hội tụ Cauchy)

Giả sử f (x) là hàm số xác định trong khoảng

[a,

+

∞)

∞

Vậy tích phân

+∞

∫ f (x) dx

A

tồn tại hữu hạn khi và chỉ khi

A→+∞ ∫b

f (x) dx

tồn tạiDo

∫

lim

hữu hạn nên tích phân

khoảng [a, +∞) ta có các dấu hiệu sau:

Định lý 1.1.4.1 (Dấu hiệu so sánh 1)

Giả sử f(x) và g(x) là những hàm xác định trong khoảng

[a,

+ ∞) , khả

tích trong mọi đoạn hữa hạn [a, A], A > a

Giả sử f(x) và g(x) là những hàm xác định và không âm trong khoảng

[a, + ∞) , khả tích trong mọi đoạn hữu hạn [a, A],

Nhận xét: Để xét sự hội tụ của tích phân

+∞

∫ f (x) dx

hai hàm tương đương ( f (x) □ g(x))

Muốn vậy, ta cần thay thế vô cùng bé (VCB) hoặc vô cùng lớn (VCL) khi

x → +∞ Tuy nhiên cần phải

trên

[a,

+ ∞) .Cần chú ý các đại lượng VCB tương đương sau:

sin x □ x, ln(1 + x) □ x, e x −1 □ x, 1 − cos2 x □ 1 x2 , (khi x

tích trong mọi đoạn hữu hạn [a, A] , ( A

f (x) g(x)

= lim

x

→ +

Ta thấy ln x là VCL (khi x

đương Do đó ta không dùng dấu hiệu so sánh 2 Ta dùng dấu hiệu so sánh 1,muốn vậy cần chặn hàm

2 ln x dx phân kì (Theo dấu hiệu so sánh 1).

≤ A ≤ + ∞

(ii)

∞)

Áp dụng định lý trung bình thứ hai đối với tích phân xác định ta có:

Theo (ii) thì lim

tồn tại số

A0

> a

sao cho:

và đơn điệu

bị chặn trong khoảng đó

Áp dụng định lý trung bình thứ hai đối với tích phân xác định ta có:

∫ f (x)g(x) dx < ε

A

+∞

xsin ax

Ví dụ 10: Xét sự hội tụ của tích phân ∫ k 2

+ x2 dx x

dx hội tụ (Theo dấu hiệu Đirichlet).

1.1.6 Sự hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ

Định lý 1.1.6.1

Tích phân suy rộng

+∞

∫ f (x) dx

a

hội tụ tuyệt đối thì hội tụ

Chứng minh:

+∞

Giả sử tích phân ∫a f (x) dx hội tụ.

Theo tiêu chuẩn Cauchy :

+∞ +∞

1Tích phân: ∫ g(x) dx

1

dx hội tụ tuyệt đối nên hội tụ.

Chú ý: Điều ngược lại của định lý 1.5.2 không đúng.

1.2 Tích phân suy rộng loại 2

1.2.1 Định nghĩa

* Xét hàm số f (x) xác định trong khoảng [a, b), (−∞ < a

< b < +∞)

không bị chặn trong lân cận x = b

Giả sử với mọi η

n

suy rộng loại

2 của hàm

x

không bị chặn trong lân cận x = a , khả tích trong mọi

đoạn con [a + η, b], (0 < η ≤ b − a) , thì tích phân suy rộng

trên khoảng

∫

0+

d x



→

−∞)Vậy tích phân

∫

a

1

thì tích phân trên đưa về

→ +

0

dx

=(b x)

+ Nếu 0 < α < 1 thì 2 tích phân trên hội tụ

+ Nếu α ≥ 1 thì 2 tích phân trên phân kì

1.2.2 Cách tính tính phân suy rộng loại 2 Công

Ví dụ18: Xét sự hội tụ của tích phân 1

a

hội tụ khi và chỉ khi tồn

1.2.4 Dấu hiệu hội tụ đối với tích phân suy rộng của hàm không âm Các

dấu hiệu so sánh

Giả sử tích phân

b

∫ f (x) dx

a

của hàm f (x) xác định, không âm trong

khoảng [a, b), khả tích trong mọi đoạn con [a, b − η ], (0

[a, b), thỏa mãn điều kiện:

1x(x  1)

b

và ∫ f (x) dx

⇒ I = ∫ 4 hội tụ (Theo dấu hiệu so sánh 2).

0 1 − x

Nhận xét: Để xét sự hội tụ của tích phân suy rộng loại 2, bằng dấu hiệu so

sánh 2, ta cần xây dựng hàm g(x) sao cho lim f (x)

phân kì

1.2.5 Sự hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ

1.2.5.1 Định nghĩa

Nếu tích phân

b

∫ f (x) dx

a

hội tụ thì ta nói tích phân

b

∫ f (x) dx

a

hội tụ có điều kiện (hay bán hội tụ)

Giả sử

lân cận của điểm x = b, khả tích trong mọi đoạn con [a, b − η ],

[0 < η ≤ b − α ] của khoảng [a, b)

Khi đó tích phân

b

∫ f (x) dx

hội tụ tuyệt đối nên hội tụ.

∫ α

0

x

x

 2

3 x 1  x

x 1  x5  x10

BÀI TẬP

1 Tích phân suy rộng loại 1

Khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng loại 1.

+ Kiểm tra tích phân đã cho có phải là tích phân suy rộng loại 1 không(tính liên tục của hàm

f (x) dưới dấu tích phân).

+ Nếu f (x) liên tục, thử so sánh nó với hàm trong các tích phân cơ

bản (thường dùng dấu hiệu so sánh2, bằng phép thay các VCB hay VCL tương đương)

+ Nếu f (x) có vài điểm gián đoạn loại 1 hoăc thay đổi dấu trên một

đoạn nhỏ, ta có thể ngắt bỏ đoạn có chứa các điểm gián đoạn hoặc thay đổi dấu trên đoạn còn lại

1.1 Xét sự hội tụ của các tích phân sau:

Sử dụng định nghĩa và công thức Newton – Leibnitz.

tương đương nào để thay thế Do đó không thể xác định được hàm

tương đương nên ta không thể dùng dấu hiệu so sánh 2

hội tụ (Theo dấu hiệu so sánh 1).

→ +

lim

x

→ +

dx hội tụ (Theo dấu hiệu so sánh 2)

Cao Thị Tung - K34 A - Khoa Toán 81

Ta có:

lim

x

→ +

m n

∫ x

1.3 Xét sự hội tụ của các tích phân sau:

Sử dụng dấu hiệu Dirichlet hoặc Abel.

+∞

cos x 1.3.1 I1.1 = ∫

a

dx (a, α > 0)

∫ x

1.3.2 I=2

+∞ e− x sin 1

x dx

1 + x2Giải:

dx (Theo dấu hiệu Abel).

1.4 Xét sự hội tụ của các tích phân sau:

Sử dụng định lý hội tụ tuyệt đối của tích phân suy rộng.

+ ∞).

2

x

x 2x  1

x 2x  1

x 2x  1

2 Tích phân suy rộng loại 2

2.1 Xét sự hội tụ của các tích phân sau:

Sử dụng định nghĩa và công thức Newton – Leibnitz.

1 2

1 1

1



a  2

a  1

Đặt

3 2

xsin

1x

x 1xx

1x

xsin x1x

xsin

Ta sẽ tách tích phân I3 = ∫ thành hai tích phân:

sin x.cos xsin x.cos x

−x

 , (x

→ π

)2

2sin x.cos x

2.3 Xét sự hội tụ của các tích phân sau:

Dùng định lý về sự hội tụ tuyệt đối.

sin 3xe1x

+ x2

dx hội tụ tuyệt đối do đó hội tụ.

0

 3 

Ta có: xlim

→ +

CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ

2.1 Tích phân phụ thuộc tham số với cận là hằng số

2.1.1 Định nghĩa

Cho

tậphợp số thực Y nào đó, sao cho với mỗi y cố định thuộc Y hàm

I ( y) là hàm số xác định trên tập Y và được gọi là tích phân phụ thuộc

tham số của hàm f (x, y) trong đoạn [a, b]

Giả sử hàm f (x, y) xác định liên tục trong hình chữ nhật D thì tích

phân phụ thuộc tham số

là một hàm liên tục trong đoạn

Chú ý: Với giả thiết của định lý ta có:

hàm khả vi (hay có đạo hàm liên tục) trên [c, d ] và

Chú ý: Định lý trên nếu f (x, y) không liên tục thì công thức đổi thứ tự tích

phân không còn đúng nữa

0 0 0

Cao Thị Tung - K34 A - Khoa Toán 12

0

2.2 Tích phân phụ thuộc tham số với cận là hàm số của tham số

2.2.1 Định nghĩa

Trong mục (2.1) ta xét tích phân phụ thuộc tham số với các cận a, b lànhững hằng số Nếu xét tích phân phụ thuộc tham số với cận là những hàm số

Giả sử f (x, y) xác định trong hình chữ nhật D khả tích theo

x ∈[a, b]với y cố định trong đoạn [c, d ]

mỗi y cố định trong đoạn [c, d ] .

(ii) Hàm f (x, y) có đạo hàm riêng ∂f

( x, y ) , liên tục (theo cả hai biến)

liên tục trên D

+ α ( y) = y, β (

y) = cos y khả vi trên [0, 1].Vậy

2.3 Tích phân phụ thuộc tham số với cận ở vô tận

2.3.1 Định nghĩa

* Giả sử

f (x, y) là hàm số xác định với mọi x

∈[a,

a

là tích phân suy rộng

phụ thuộc tham số với cận +∞

* Tương tự như trên ta cũng có tích phân phụ thuộc tham số với cận là

Ta nói tích phân suy rộng phụ thuộc tham số

Y nếu nó hội tụ tại mọi điểm y ∈Y

+∞

∫ f (x, y) dx

2.3.2 Sự hội tụ đều và các tiêu chuẩn hội tụ đều

Khi nghiên cứu chuỗi hàm chúng ta đã gặp khái niệm hội tụ đều củachuỗi nhằm thiết lập các tính chất liên tục, khả vi,… của hàm tổng Khái niệmnày có thể mở rộng cho tích phân suy rộng phụ thuộc tham số với cận vô tậnnhư sau:

ta luôn có:

sup

∫ e−t dt

A− y −( x− y)2

⇒

I ( y) không hội tụ đều.

2.3.2.2 Các tiêu chuẩn hội tụ đều

Khái niệm hội tụ đều của tích phân suy rộng phụ thuộc tham số cơ bảngiống khái niệm hội tụ đều của chuỗi hàm Trong định nghĩa của nó thay cho

quả cơ bản về chuỗi hàm cũng được chuyển thành các kết quả tương ứng vềtích phân suy rộng phụ thuộc tham số với cách chứng minh tương tự.

Định lý 2.3.2.2.1 (Tiêu chuẩn Cauchy về sự hội đều)

hội tụ đều khi và chỉ khi:

∀ε > 0, ∃A0 = A0 (ε ) (không phụ thuộc y ) sao

cos xy

1  x2

Định lý 2.3.2.2.2 (Tiêu chuẩn Weirstrass)

Giả sử tồn tại hàm ϕ(x) ≥ 0 trong

dx hội tụ đều trên tập Y

Ví dụ 7: Chứng minh tích phân sau hội tụ đều

+

∞),

Giả sử rằng:

(i) Tích phân

b

∫ f (x, y) dx

a

bị chặn đều theo b và y , tức là tồn tại c > 0 :

b

∫ f (x, y) dx

hội tụ đều trên Y.

Định lý 2.3.2.2.4 (Tiêu chuẩn Abel về sự hội tụ đều)

Giả sử rằng:

(i) Tích phân

+∞

∫ f (x, y) dx

a

hội tụ đều trên Y

(ii) ϕ(x, y) bị chặn đều, tức là tồn tại c > 0 :

hội tụ đều trên Y

Ví dụ 8: Xét sự hội tụ đều của tích phân I ( y) = ∫ e− xy

+ Hơn nữa với

theo hai biến (x, y) trong miền

[a,

+

∞)

× [

c,

d

].Hơ

n nữa:

hội tụ với mọi

hội tụ đều theo y trong đoạn [c, d ]

Khi đó tích phân phụ thuộc tham số

Cao Thị Tung - K34 A - Khoa Toán 13

8

x

 n



Do đó ta có thể chuyển qua giới hạn dưới dấu tích phân như sau:

Cao Thị Tung - K34 A - Khoa Toán 13

9

n

1.3 Tính đạo hàm theo tham số tích phân sau:

 dx = a +π ln ln 

1

−

1 sin2 x 

Thay (2) vào (1) ta được: x = I 1 0∫

I

=

∫d y

lim

y

→

0

co s

+ Hàm

f (x, y)

=

11

D

= [

a

0

=

πli

∫

hội tụ trên khoảng

[a, + ∞)nhưng không hội tụ đều trên

+ Với y = 0 tích phân bằng 0, với mọi b

+ Với y > 0 , đổi biến:

Với ε > 0 cho trước, tồn

sin xy a2  x2

lna xxx

3.5 Xét sự hội tụ đều của tích phân sau:

lna x

10 x

xx 41 lnxxx 10 4 x1

lna x

x x

sin xyx

1x

+∞

Do đó tích phân ∫1 dx hội tụ đều (Tiêu chuẩn Weirstrass).

3.7 Xét sự hội tụ đều của tích phân

Do đó I (x) hội tụ đều ∀x ≥ x0 > 0 (Tiêu chuẩn Weirstrass).

3.8 Xét sự hội tụ đều của tích phân sau:

y0

1x

sin xyx

<

x2

dx hội tụ x

I ( y)

= ∫0

x dx

Vây I ( y)

=∫0

x dx

x y

liên tục trên khoảng (−∞, 2)

3.12 Dùng phương pháp đạo hàm dưới dấu tích phân để tính tích phân sau:

e− pt thỏa mãn điều kiện định lý 2.3.3.3

Do đó ta lấy đạo hàm hai vế

lnm t lnm

t 1  2 m m 1 Do

Vậy đạo hàm theo tham số n

KẾT LUẬN

Toán học rất đa dạng và phong phú, mỗi một vấn đề đều có thể đi sâu

và nghiên cứu từng khía cạnh nhỏ Kiến thức liên quan đến tích phân suy rộng

và tích phân phụ thuộc tham còn rất nhiều điều lý thú và mới mẻ cần đượcnghiên cứu Tuy nhiên do điều kiện thời gian có hạn và năng lực của bản thâncòn hạn chế nên khóa luận này chỉ tập trung nghiên cứu một số vấn đề cơ bảnsau:

1 Các tính chất, các dấu hiệu hội tụ của tích phân suy rộng.Tương ứng lýthuyết là các bài tập áp dụng xét sự hội tụ của tích phân suy rộng bằng cáchtính tích phân hoặc sử dụng các dấu hiệu hội tụ

2 Các tính chất, các dấu hiệu hội tụ đều của tích phân phụ thuộc thamsố.Tương ứng lý thuyết là các bài tập áp dụng sử dụng các tính chất liên tục,khả vi, khả tích của tích phân phụ thuộc tham số và các bài toán xét sự hội tụđều của tích phân phụ thuộc tham số dựa vào các dấu hiệu hội tụ đều

Mặc dù rất cố gắng nhưng do kinh nghiệm của bản thân em còn hạnchế nên khóa luận khó tránh khỏi những thiếu sót Em rất mong nhận đượcnhững đóng góp ý kiến các thầy giáo, cô giáo cùng các bạn sinh viên để khóaluận được hoàn thiện

Em xin chân thành cảm ơn!