Áp dụng biến đổi Mellin trong việc tính tổng chuỗi và tính tính phân phụ thuộc hàm

Lài cám ơn Tơi xin bày tó lòng biet ơn sâu sac tói ThS Phùng ĐNc Thang, ngưòi đ%nh hưóng chon đe tài t¾n tình hưóng dan đe tơi có the hồn thành bán khóa lu¾n Tơi xin bày tó lòng biet ơn chân thành tói cán b®, giáng viên khoa Tốn trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i giúp đõ tơi suot q trình hoc t¾p nghiên cúu Nhân d%p tơi xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành tói gia đình, ban bè ln đ®ng viên, co vũ, tao moi đieu ki¾n thu¾n loi cho tơi q trình hoc t¾p hồn thành khóa lu¾n Hà N®i, tháng năm 2013 Tác giá Hà Chí On Lài cam đoan Tơi xin cam đoan, dưói sn hưóng dan cna ThS Phùng ĐNc Thang, khóa lu¾n tot nghi¾p “Áp dnng cúa phép bien đoi Mellin đe tính tong chuoi tích phân phn thu®c tham so” đưoc hồn thành bói nh¾n thúc cna bán thân tác giá Trong q trình làm khóa lu¾n, tơi ke thùa nhung thành tnu cna nhà khoa hoc vói sn trân biet ơn Hà N®i, tháng năm 2013 Tác giá Hà Chí On Mnc lnc Má đau Chương KIEN THÚC CHUAN B± .8 1.1 Hàm bien phúc 1.1.1 Hàm liên tuc 1.1.2 Hàm hình 1.1.3 Tích phân phúc 12 1.2 Lý thuyet th¾ng dư .15 1.2.1 Không điem cnc điem 15 1.2.2 Th¾ng dư cách tính 17 1.3 Hàm Gamma 19 1.3.1 Đ%nh nghĩa .19 1.3.2 M®t so tính chat cna hàm gamma 20 1.4 Hàm Beta 21 1.4.1 Đ%nh nghĩa .21 1.4.2 M®t so tính chat 22 1.5 Hàm Zeta Riemann 24 1.5.1 Đ%nh nghĩa .24 1.5.2 Phương trình hàm giua hàm gamma hàm zeta-Riemann .24 Chương PHÉP BIEN ĐOI MELLIN 26 2.1 Đ%nh nghĩa ví du .26 2.2 M®t so tính chat bán cna phép bien đoi Mellin 30 2.2.1 Tính chat tuyen tính 30 2.2.2 Tính chat tí l¾ 31 2.2.3 Tính chat nâng 31 2.2.4 Tính chat d%ch chuyen 32 2.2.5 Bien đoi Mellin cna đao hàm 33 2.2.6 Bien đoi Mellin cna toán tú vi phân .34 2.2.7 Bien đoi Mellin cna tích phân 35 2.2.8 Bien đoi Mellin cna tích ch¾p .35 2.2.9 Bien đoi Mellin cna tích 37 2.3 Moi quan h¾ vói bien đoi Laplace bien đoi Fourier 39 2.4 Bien đoi Mellin ngưoc .40 Chương ÚNG DUNG CÚA PHÉP BIEN ĐOI MELLIN 43 3.1 Tính tong chuoi so 43 3.2 Tính tích phân phu thu®c tham so 46 Ket lu¾n 49 Phn lnc 50 Tài li¾u tham kháo 52 Má đau Lí chon đe tài Các phép bien đoi tích phân m®t phép tính tốn tú đưoc hình thành tù nhung năm núa cuoi cna the ký XIX Ve m¾t l%ch sú, khái ni¾m bien đoi tích phân đưoc bat nguon tù nhung nghiên cúu rat noi tieng ve lý thuyet khai trien m®t hàm so thành chuoi hàm lưong giác cna Fourier sau đưoc phát trien tói tích phân Fourier hay bien đoi Fourier Ý nghĩa quan cna phép bien đoi tích phân đưoc cung cap nhung phương pháp tốn tú rat hi¾u lnc đe giái quyet nhung tốn vói giá tr% đau tốn biên cna phương trình phương trình vi phân tuyen tính phương trình tích phân Trong tốn hoc, m®t phép bien đoi tích phân phép bien đoi T có dang t2 ¸ (T f ) (s) = F (s) = K(t, s)f (t)dt t1 Đau vào cna moi bien đoi tích phân m®t hàm f , đau m®t hàm Tf khác Trong hàm K(t, s) đưoc goi nhân, hàm f đưoc goi hàm goc hàm F (s) đưoc goi ánh cna bien đoi tích phân M®t so nhân có ngh%ch đáo tương úng K−1(s, t), có nghĩa ton tai phép bien đoi ngưoc ¸u2 f (t) = K−1(s, t) (T f ) (s)ds u1 M®t nhung lý cot yeu ve sn xuat hi¾n cna bien đoi tích phân phái ke đen nhieu lóp tốn mà có the nói rat khó giái quyet ho¾c th¾m chí nhieu khơng the gái quyet đưoc bán thân n®i tai cna nhung lĩnh vnc M®t bien đoi tích phân m®t phép bien đoi mà ánh xa m®t hàm tù “mien goc” (mà tốn đ¾t rat khó giái quyet) sang mđt mien khỏc mien ỏnh Viắc giỏi bi toỏn mien ánh se thu¾n loi rat nhieu so vói vi¾c thnc hi¾n mien goc Sau đó, ket se đưoc ánh xa tró lai goc ban dau đe ta nh¾n đưoc u cau đ¾t (ta có the hình dung van đe dưói góc đ® sơ cap, qua bien đoi cna hàm logarit phép tính nhân đưoc chuyen thành phép c®ng) Hai phép bien đoi tích phân đưoc đánh giá rat quan khơng chí Tốn hoc mà phái nói đen sn ánh hưóng lón cna đen lĩnh vnc cna V¾t lý hoc nhieu ngành khoa hoc ky thu¾t khác, bien đoi Fourier bien đoi Laplace Tuy nhiên, xét ve m¾t mang tính cot yeu phép bien đoi đưoc xuat hi¾n tù vi¾c đ¾t đe giái quyet van đe thu®c lĩnh vnc nói đây, bien đoi Mellin đưoc xuat hi¾n ngu cánh giái quyet van đe có tính thuan túy thu®c riêng ve lý thuyet Tốn hoc Có nhieu loai bien đoi tích phân, moi bien đoi khác tương úng vói m®t sn lna chon cna m®t hàm nhân K(t, s) Trong bien đoi Mellin, nhân cna phép bien đoi hàm K(t, s) = ts−1 bien đoi Mellin cna m®t hàm goc f (t) xác đ%nh truc thnc dương < t < +∞ đưoc xác đ%nh bói +∞ M[f ; s] = F (s) = f (t)tstdt Sn xuat hiắn lan đau tiên cna bien đoi Mellin, ta có the thay đưoc m®t bán tháo cna nhà Tốn hoc B Riemann năm 1876, ó ơng sú dung phép bien đoi vi¾c nghiên cúu ve hàm Zeta đe giái quyet toán ve sn phân bo so nguyên to Đen năm 1894, E Cahen mói đưa đưoc m®t so nghiên cúu r®ng ve phép bien đoi (tham kháo van đe ta có the xem [1]) Điem mau chot cna bien đoi, đưoc xuat hi¾n vào nhung năm 1896 - 1902 (vì lý đó, sau đưoc gan vói tên bien đoi Mellin), nhà tốn hoc ngưòi Phan Lan R H Mellin đưa sn trình bày m®t cách rõ ràng có h¾ thong ch¾t che ve bien đoi tích phân phép bien đoi ngưoc cna Trong cơng trình nghiên cúu ve hàm đ¾c bi¾t “Special Functions”, ơng trình bày úng dung cna vi¾c giái phương trình vi phân siêu b®i van đe đao hàm cna khai trien ti¾m c¾n Các đóng góp cna Mellin làm sáng tó ý nghĩa cna lý thuyet hàm giái tích xóa sn nghi ho¾c van ton tai trưóc Tốn hoc ve lý thuyet tích phân Cauchy lý thuyet th¾ng dư giái tích hàm bien phúc Như đe c¾p đây, bien đoi Mellin m®t nhung bien đoi tích phân có ý nghĩa quan trong Tốn hoc Vói lý đó, đưoc sn đ%nh hưóng cna ngưòi hưóng dan, chon đe tài “Áp dnng cúa phép bien đoi Mellin tính tong cúa chuoi tích phân phn thuđc tham so e hon thnh khúa luắn tot nghiắp b¾c cú nhân Sư pham chun ngành Tốn giái tích Mnc đích nhi¾m nghiên cNu Khóa lu¾n nghiên cúu ve khái ni¾m phép bien đoi Mellin; m®t so tính chat bán cna phép bien đoi Mellin; moi quan h¾ cna bien đoi Mellin vói hai phép bien đoi Laplace bien đoi Fourier; m®t so úng dung cna phép bien đoi thuan túy thu®c lĩnh vnc toán hoc Đoi tưang pham vi nghiên cNu Nghiên cúu ve phép bien đoi Mellin, moi quan hắ cna bien oi ny vúi mđt so bien đoi tích phân khác đong thòi nghiên cúu m®t so úng dung cna hai tốn ve tính tong cna m®t so chuoi so tính tích phân phu thu®c tham so Phương pháp nghiên cNu Đoc sách, nghiên cúu tài li¾u, tong hop kien thúc, v¾n dung cho muc đích nghiên cúu DN kien đóng gúp cỳa e ti - Trỡnh by mđt cỏch hắ thong ve lý thuyet cna phép bien đoi Mellin - Trình bày úng dung cna phép bien đoi Mellin đe giái quyet m®t so van đe sau đây: Như ta biet nhieu vi¾c kiem tra bang tiêu chuan h®i tu cna chuoi so hay sn h®i tu cna tích phân phu thu®c tham so, ta de dàng khang đ%nh đưoc tính h®i tu phân kỳ cna chúng Tuy nhiên, m®t chuoi hay m®t tích phân suy r®ng đưoc khang đ%nh ve tính h®i tu m®t van đe khơng mang tính tam thưòng tính tong cna chuoi hay giá tr% cna tích phân Trong thnc te, ngưòi ta phái dùng nhieu ky thu¾t khác vói moi loai tốn khác mói giái quyet đưoc van đe Trong khóa lu¾n chúng tơi, xin trình bày ky thu¾t sú dung phép bien đoi Mellin đe giái quyet hai van đe nêu trên, + Tính tong chuoi vơ han + Tính tích phân phu thu®c tham so S = ∞ f (n + b) ¸ = n=0 2πi a−i∞ F (s)ξ (s, b) ds, (3.1) ξ (s, b) hàm Zeta Hurwitz đưoc xác đ%nh bói cơng thúc ∞ ξ (s, b) = n=0 ; ≤ b ≤ 1, Re(s) > (n + b)s é can lưu ý rang, phép lay tích phân tùng so hang cna chuoi hàm khơng thnc hi¾n đưoc, bieu dien (3.1) có the khơng cho lai chuoi xuat phát (xem [2], p 216) Tương tn, theo tính chat (2.14) ta có −1 f (nt) = M1 n −s a+i∞ F (s); t = ¸ 2πi Dó ta có ∞ = n=1 a+i∞ ¸ −s t= f (nt) a−i∞ t−sn−sF (s)ds a−i∞ F (s)ζ(s)ds M− [F (s)ζ(s); t] (3.2) 2πi Khi t = 1, ta nhắn oc a+i f (n) F (s)ζ(s)ds = n=1 2πi a−i∞ Ket thu đưoc tù (3.1) b = Ta minh hoa lắp luắn trờn õy qua mđt so vớ du sau (3.3) Ví dn 3.1 Tính tong ∞ n=1 sin bn < 2π ;n < b Ta có bien đoi Mellin cna hàm f (t) = +∞ M sin bt t ¸ sin bt ;s = t sin btdt t s =F Thay vào (3.3) ta đưoc ∞ − π s−2 2t ; s Γ(s = − 1) π − ¸ a + i ∞ bs− s co s Γ(s − ds = a 1) sin π −i bn ∞ s bs−1 n − n ζ(s) 2 cos πi Sú dung phương trình hàm (1.25) cna hàm Zeta Riemann ta nh¾n đưoc a+i∞ ¸ ζ(1 − s) s i n π b s n ∞ b = − n=1 n ds s−1 b a−i∞ ; 2< Re(s) < · π i Tích phân có hai cnc điem đơn tai s = s = vói th¾ng dư tương úng bang −π/b, tích phân phúc đưoc đánh giá bang cách tính th¾ng dư tai cnc điem Do đó, tong cna chuoi cho sin bn n = n=1 ∞ (π − b) Ví dn 3.2 Tính tong ∞ S(y) = n=1 n cos ny Tù báng bien đoi Mellin (xem phu luc) tính chat (2.14), (2.16) ta c =2−s o s t t− y y ; có M Γ( s − 2) co s π s Do đó, theo (3.3) ta đưoc S= − a+i∞ 2− ¸ s y a−i∞ π s Γ(s − 2) cos ζ(s)ds, (3.4) 2πi ó ta có the hốn đoi thú tn lay tong tớch sn hđi tu tuyắt oi cna chuoi Sỳ dung phương trình hàm (1.25) ta thu đưoc a+i∞ 2− ¸ s S= − y a−i∞ 2s−1 s π ζ (1 s) ds (s − 1)(s − 2) 2πi Ta de dàng tính đưoc tích phân bang phương pháp th¾ng dư Hàm ζ(s) giái tích khap nơi trù tai cnc điem đơn s = có th¾ng dư bang Do đó, ta nh¾n đưoc S= π2 y −πy + 3.2 Tính tích phõn phn thuđc tham so Ky thuắt chn yeu liờn quan en viắc tớnh tớch phõn phu thuđc tham so đưa ve dang +∞ ¸ K(x) = x dt K0(t)K1 t t ; x > (3.5) M®t tích phân có the đưoc tính theo bưóc sau Lay bien đoi Mellin hàm K0 K1 ta đưoc M [K0; s] M [K1; s] Khi theo tính chat bien đoi Mellin cna tích ch¾p (2.25) ta có M [K; s] ≡ M [K0; s] M [K1; s] Sú dung báng tìm bien đoi Mellin ngưoc Nhìn chung ta se thu đưoc m®t to hop chuoi siêu b®i tong qt Ta có the mó r®ng phương pháp đe tính tích phân có dang N +∞ xi d t ¸ K (x1, x2, , xN ) = K0(t ) Y Ki t i=1 t , (3.6) x1, x2, , xN bien dương Chúng ta có the kiem tra đưoc rang bien đoi Mellin b®i xác đ%nh bói M [K; s1, , sN ¸+∞ ¸+∞ s −1 s −1 K (x1, , xN ) x x N dx1 ]= dxN N (3.7) Khi (3.6) tró thành N M [K; s1, s2, , sN ] = M [K0; s1 + s2 + · · · + sN ] Y [Ki; si] M (3.8) i=1 Tương tn, có the đưa tích phân phu thuđc tham so ve dang + K(x) = K0(t)K1 (xt) dt Khi theo (2.26) ta có M [K; s] ≡ M [K0; − s] M [K1; s] Ví dn 3.3 Xét hàm + g (γ) = 2π ¸ 1/2 3/2 ∞ γ e−γk kdk eπ/k − Lay bien đoi Mellin ta đưoc +∞ ¸ ¸+∞ e−γk G γs+ eπ kdk ( 1/2 /k s dγ − ) = π / ¸ + ∞ (s + 1/2)!k−2s−2 = 2π1/2 dk eπ/k − = 2π−2s−1/2 (s + 1/2)! (2s)!ζ(2s + 1), Re(s) > Sú dung bien đoi Mellin ngưoc ta nh¾n đưoc ∞ − ( 1) n 2g (γ) = (n/2)!ζ(n + 2)γn/2+1 1/2 (πγ) + − n! n=0 Ket lu¾n Trờn õy l ton bđ nđi dung khúa luắn p dnng cúa phép bien đoi Mellin đe tính tong cúa chuoi tích phân phn thu®c tham so” Khóa lu¾n tot nghi¾p trình bày van đe sau Hắ thong mđt so kien thỳc cn bỏn ve hàm bien phúc; giói thi¾u ve khái ni¾m tớnh chat quan cna mđt so hm ắc biắt liên quan đen phép bien đoi tích phân là: hàm Gamma, hàm Beta, hàm Zeta Riemann Trình bày mđt cỏch hắ thong ve lý thuyet cna phộp bien đoi Mellin: khái ni¾m, tích chat bán, phép bien đoi Mellin ngưoc Thêm nua, ó chúng tơi trình bày moi quan h¾ cna phép bien đoi Mellin vói hai phép bien đoi tích phân quan bien đoi Laplace bien đoi Fourier Trình bày úng dung bán cna bien đoi Mellin giái quyet hai tốn: tính tong chuoi; tính tích phân phu thu®c tham so Phn lnc Báng bien đoi Mellin f (t) ¸+∞ F (s) = M [f ; s] = (t)dt e−pt e−at2 , a > p−sΓ(s), Re(s) > 1a−s/2Γ , Re(s) > 2 (et − 1) −1 t−1e−t −1 ts−1f Γ(s)ζ(s), Re(s) > Γ(1 − s), ∞ < Re(s) < iπs a−sΓ(s)e , < Re(s) < e −1 s−1 (a + t) , |arga| < πa , < Re(s) < sin(πs) π −1 πas−1 cot(πs), < Re(s) < (a − t) Γ(s)Γ(a − s) −a , < Re(s) < (1 + t) , Re(a) > Re(a) Γ ( s/a ) Γ (p − s/a) a −p (1 + t ) aΓ (p) s− −1 π a · a2 + t2 sin πs Γ(s)Γ(n − s) −n (1 + at) , < Re(s) < n s a Γ(n) −b Γ(a + s)Γ(b − a − ta (1 + t) s) πs −s a Γ(s) cos , < Re(s) < cos (at) πs 1−s a Γ(s) sin sin (at) , < Re(s) < 1 s πs α Γ cos cos (t ) α α 2α Γ sin sin (tα) α απ 2α −1 tan (t) − πs , −1 < Re(s) < 2s cos iat π 2s cos πs , < Re(s) < cot−1(t) ln (1 + at) , |arga| < π t−1 ln(1 + t) 1+t ln − t e−t (ln t)n e−atH(t − b) tb H(t − a), a > tb [H(t − a) − H(t)] (1 − t)a−1H(1 − t), Re(a) > a−s π s · sin (πs), −1 < Re(s) < π , < Re(s) < (1 − s) sin (πs) π πs tan, −1 < Re(s) < s2 dn dsn Γ(s), Re(s) > a−sΓ(s, ab) ab+s , Re(s) < −Re(b) −b + s ab+s , Re(s) > −Re(b) − b+s Γ(a)Γ(s) (t − 1)−a H(t − 1) + t2 −1−α H(t − 1) Pn (t)H(1 − t) sin (a ln t) H(t − 1) sin (−a ln t) H(1 − t) p ln t [H(t) − H(t − p)] , p > (1 + t)−mPm +∞ ¸ cos t t dt − x ¸ x sin t t dt −1 − t 1+t , Re(s) > Γ(a + s) Γ(a − s)Γ(1 − a) , Re(s) < Re(a) < Γ(1 − s) Γ s Γ α + − s 2 2Γ (α + 1) Γ s Γ s + 2 s n1 sn 2Γ−+Γ++ 222 22 a s2 + a2 , a Re(s) < − |Im(a)| Re(s) > |Im(a)| s2 + a2 , ps s2 , Re(s) > Γ(s) [Γ(m − s)]2 Γ(1 − s) [Γ(m)]2 πs −s− Γ(s) cos, < Re(s) < πs −s−1Γ(s) sin, −1 < Re(s) < Tài li¾u tham kháo [1] E Cahen (1894), Sur la fonction ζ(s) de Riemann et sur des func- tions analogues, Ann de l’Ec Norm [2] B Davies (1984), Integral Tranforms and Their Applications, Sec- ond Edition, Springer-Verlag, New York [3] B Davies (2001), Integral Tranforms and Their Applications, Third Edition, Springer [4] L Debnath and D Bhatta (2007), Integral Tranforms and Their Applications, Second Edition, Chapman and Hall/CRC [5] D Naylor (1963), On a Mellin type integral transform, J Math Mech [6] A D Poularikas (Editor, 2000), The Transforms and Applications Handbook, Second Edition, Boca Raton CRC Press LLC [7] E C Titchmarsh (1975), Introduction to the Theory of Fourier In- tegrals, Clarendon Press, Oxford ... vi phân tuyen tính phương trình tích phân Trong tốn hoc, m®t phép bien đoi tích phân phép bien đoi T có dang t2 ¸ (T f ) (s) = F (s) = K(t, s)f (t)dt t1 Đau vào cna moi bien đoi tích phân m®t hàm. .. 32 2.2.5 Bien đoi Mellin cna đao hàm 33 2.2.6 Bien đoi Mellin cna toán tú vi phân .34 2.2.7 Bien đoi Mellin cna tích phân 35 2.2.8 Bien đoi Mellin cna tích ch¾p... .26 2.2 M®t so tính chat bán cna phép bien đoi Mellin 30 2.2.1 Tính chat tuyen tính 30 2.2.2 Tính chat tí l¾ 31 2.2.3 Tính chat nâng 31 2.2.4 Tính chat d%ch