Luận văn sư phạm Áp dụng biến đổi Mellin trong việc tính tổng chuỗi và tính tính phân phụ thuộc hàm

Lời cảm ơn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới ThS Phùng Đức Thắng, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để tơi hồn thành khóa luận Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới cán bộ, giảng viên khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ suốt trình học tập nghiên cứu Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè ln động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho q trình học tập hồn thành khóa luận Hà Nội, tháng năm 2013 Tác giả Hà Chí Ổn Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, hướng dẫn ThS Phùng Đức Thắng, khóa luận tốt nghiệp “Áp dụng phép biến đổi Mellin để tính tổng chuỗi tích phân phụ thuộc tham số” hoàn thành nhận thức thân tác giả Trong q trình làm khóa luận, tơi kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2013 Tác giả Hà Chí Ổn Mục lục Mở đầu Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm biến phức 1.1.1 Hàm liên tục 1.1.2 Hàm chỉnh hình 1.1.3 Tích phân phức 12 1.2 Lý thuyết thặng dư 15 1.2.1 Không điểm cực điểm 15 1.2.2 Thặng dư cách tính 17 1.3 Hàm Gamma 19 1.3.1 Định nghĩa 19 1.3.2 Một số tính chất hàm gamma 20 1.4 Hàm Beta 21 1.4.1 Định nghĩa 21 1.4.2 Một số tính chất 22 1.5 Hàm Zeta Riemann 24 1.5.1 Định nghĩa 24 1.5.2 Phương trình hàm hàm gamma hàm zeta-Riemann 24 Chương PHÉP BIẾN ĐỔI MELLIN 26 2.1 Định nghĩa ví dụ 26 2.2 Một số tính chất phép biến đổi Mellin 30 2.2.1 Tính chất tuyến tính 30 2.2.2 Tính chất tỉ lệ 31 2.2.3 Tính chất nâng 31 2.2.4 Tính chất dịch chuyển 32 2.2.5 Biến đổi Mellin đạo hàm 33 2.2.6 Biến đổi Mellin toán tử vi phân 34 2.2.7 Biến đổi Mellin tích phân 35 2.2.8 Biến đổi Mellin tích chập 35 2.2.9 Biến đổi Mellin tích 37 2.3 Mối quan hệ với biến đổi Laplace biến đổi Fourier 39 2.4 Biến đổi Mellin ngược 40 Chương ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI MELLIN 43 3.1 Tính tổng chuỗi số 43 3.2 Tính tích phân phụ thuộc tham số 46 Kết luận 49 Phụ lục 50 Tài liệu tham khảo 52 Mở đầu Lí chọn đề tài Các phép biến đổi tích phân phép tính tốn tử hình thành từ năm nửa cuối kỷ XIX Về mặt lịch sử, khái niệm biến đổi tích phân bắt nguồn từ nghiên cứu tiếng lý thuyết khai triển hàm số thành chuỗi hàm lượng giác Fourier sau phát triển tới tích phân Fourier hay biến đổi Fourier Ý nghĩa quan trọng phép biến đổi tích phân cung cấp phương pháp toán tử hiệu lực để giải toán với giá trị đầu toán biên phương trình phương trình vi phân tuyến tính phương trình tích phân Trong tốn học, phép biến đổi tích phân phép biến đổi T có dạng t2 (T f ) (s) = F (s) = K(t, s)f (t)dt t1 Đầu vào biến đổi tích phân hàm f , đầu hàm T f khác Trong hàm K(t, s) gọi nhân, hàm f gọi hàm gốc hàm F (s) gọi ảnh biến đổi tích phân Một số nhân có nghịch đảo tương ứng K −1 (s, t), có nghĩa tồn phép biến đổi ngược u2 K −1 (s, t) (T f ) (s)ds f (t) = u1 Một lý cốt yếu xuất biến đổi tích phân phải kể đến nhiều lớp tốn mà nói khó giải chí nhiều khơng thể gải thân nội lĩnh vực Một biến đổi tích phân phép biến đổi mà ánh xạ hàm từ “miền gốc” (mà tốn đặt khó giải quyết) sang miền khác “miền ảnh” Việc giải toán miền ảnh thuận lợi nhiều so với việc thực miền gốc Sau đó, kết ánh xạ trở lại gốc ban dầu để ta nhận yêu cầu đặt (ta hình dung vấn đề góc độ sơ cấp, qua biến đổi hàm logarit phép tính nhân chuyển thành phép cộng) Hai phép biến đổi tích phân đánh giá quan trọng khơng Tốn học mà phải nói đến ảnh hưởng lớn đến lĩnh vực Vật lý học nhiều ngành khoa học kỹ thuật khác, biến đổi Fourier biến đổi Laplace Tuy nhiên, xét mặt mang tính cốt yếu phép biến đổi xuất từ việc đặt để giải vấn đề thuộc lĩnh vực nói đây, biến đổi Mellin xuất ngữ cảnh giải vấn đề có tính túy thuộc riêng lý thuyết Tốn học Có nhiều loại biến đổi tích phân, biến đổi khác tương ứng với lựa chọn hàm nhân K(t, s) Trong biến đổi Mellin, nhân phép biến đổi hàm K(t, s) = ts−1 biến đổi Mellin hàm gốc f (t) xác định trục thực dương < t < +∞ xác định +∞ M[f ; s] = F (s) = f (t)ts−t dt Sự xuất lần biến đổi Mellin, ta thấy thảo nhà Tốn học B Riemann năm 1876, ơng sử dụng phép biến đổi việc nghiên cứu hàm Zeta để giải toán phân bố số nguyên tố Đến năm 1894, E Cahen đưa số nghiên cứu rộng phép biến đổi (tham khảo vấn đề ta xem [1]) Điểm mấu chốt biến đổi, xuất vào năm 1896 - 1902 (vì lý đó, sau gắn với tên biến đổi Mellin), nhà tốn học người Phần Lan R H Mellin đưa trình bày cách rõ ràng có hệ thống chặt chẽ biến đổi tích phân phép biến đổi ngược Trong cơng trình nghiên cứu hàm đặc biệt “Special Functions”, ông trình bày ứng dụng việc giải phương trình vi phân siêu bội vấn đề đạo hàm khai triển tiệm cận Các đóng góp Mellin làm sáng tỏ ý nghĩa lý thuyết hàm giải tích xóa nghi cịn tồn trước Tốn học lý thuyết tích phân Cauchy lý thuyết thặng dư giải tích hàm biến phức Như đề cập đây, biến đổi Mellin biến đổi tích phân có ý nghĩa quan trọng Tốn học Với lý đó, định hướng người hướng dẫn, chọn đề tài “Áp dụng phép biến đổi Mellin tính tổng chuỗi tích phân phụ thuộc tham số” để hồn thành khóa luận tốt nghiệp bậc cử nhân Sư phạm chuyên ngành Tốn giải tích Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Khóa luận nghiên cứu khái niệm phép biến đổi Mellin; số tính chất phép biến đổi Mellin; mối quan hệ biến đổi Mellin với hai phép biến đổi Laplace biến đổi Fourier; số ứng dụng phép biến đổi túy thuộc lĩnh vực toán học Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu phép biến đổi Mellin, mối quan hệ biến đổi với số biến đổi tích phân khác đồng thời nghiên cứu số ứng dụng hai tốn tính tổng số chuỗi số tính tích phân phụ thuộc tham số Phương pháp nghiên cứu Đọc sách, nghiên cứu tài liệu, tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu Dự kiến đóng góp đề tài - Trình bày cách hệ thống lý thuyết phép biến đổi Mellin - Trình bày ứng dụng phép biến đổi Mellin để giải số vấn đề sau đây: Như ta biết nhiều việc kiểm tra tiêu chuẩn hội tụ chuỗi số hay hội tụ tích phân phụ thuộc tham số, ta dễ dàng khẳng định tính hội tụ phân kỳ chúng Tuy nhiên, chuỗi hay tích phân suy rộng khẳng định tính hội tụ vấn đề khơng mang tính tầm thường tính tổng chuỗi hay giá trị tích phân Trong thực tế, người ta phải dùng nhiều kỹ thuật khác với loại toán khác giải vấn đề Trong khóa luận chúng tơi, xin trình bày kỹ thuật sử dụng phép biến đổi Mellin để giải hai vấn đề nêu trên, + Tính tổng chuỗi vơ hạn + Tính tích phân phụ thuộc tham số Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm biến phức 1.1.1 Hàm liên tục Định nghĩa 1.1 Cho hàm f (z) xác định tập mở Ω ⊂ C Ta nói f (z) liên tục điểm z0 ∈ Ω thoả mãn hai điều kiện tương đương sau (i) Với ε > tồn δ > cho với z ∈ Ω mà |z − z0 | < δ |f (z) − f (z0 )| < ε (ii) Với dãy {zn } ⊂ Ω mà lim zn = z0 lim f (zn ) = f (z0 ) n→∞ n→∞ Hàm f (z) gọi liên tục Ω liên tục điểm Ω Ta dễ thấy tổng, hiệu, tích thương hàm liên tục hàm liên tục Định nghĩa 1.2 Hàm f (z) gọi liên tục Ω với ε > 0, tồn δ > cho với z, z ′ ∈ Ω mà |z − z ′ | < δ ta có |f (z) − f (z ′ )| < ε Nhận xét 1.1 Từ tính liên tục hàm f suy hàm f liên tục Tuy nhiên, điều ngược lại nói chung khơng Chứng minh Theo định nghĩa ta có +∞ M [f (t)g(t); s] = ts−1 f (t)g(t)dt = 2πi = = 2πi 2πi +∞ a+i∞ ts−1 g(t)dt a+i∞ a−i∞ +∞ ts−p−1 g(t)dt F (p)dp a−i∞ a+i∞ t−p F (p)dp F (p)G(s − p)dp a−i∞ Khi s = 1, ta nhận (2.29) Ví dụ 2.8 Xét hàm f (t) = H (t − t0 ) tz ; z ∈ C Theo kết Ví dụ 2.7 ta có biến đổi Mellin f tz+s M [f ; s] ≡ F (s) = − z+s Áp dụng công thức (2.19) với n = ta df t0z+s−1 M ; s = −(s − 1)F (s − 1) = (s − 1) dt z+s−1 viết lại M tz+s−1 df ; s = −z + t0z+s−1 dt z+s−1 38 2.3 Mối quan hệ với biến đổi Laplace biến đổi Fourier Biến đổi Mellin có quan hệ mật thiết với biến đổi Laplace Ta thực đổi biến sau t = e−x , dt = −e−x dx (2.30) Khi tích phân (2.1) trở thành +∞ f e−x e−sx dx F (s) = (2.31) −∞ Thay đổi hàm g(x) ≡ f e−x (2.32) lấy biến đổi Laplace hai vế (2.31) theo g ta +∞ g(x)e−sx dx L [g; s] = (2.33) −∞ Từ ta có M [f (t); s] = L f e−s ; s (2.34) Để thu biến đổi Fourier, ta thay s = a + 2πiξ vào (2.31) +∞ f e−x e−ax e−2πiξx dx F (s) = (2.35) −∞ Kết ta M [f (t); a + 2πiξ] = F f e−x e−ax ; ξ , 39 (2.36) F biến đổi Fourier xác định +∞ f (x)e−2πiξx dx F [f ; ξ] = (2.37) −∞ Do đó, với giá trị cho trước Re(s) = a thuộc dải xác định, biến đổi Mellin hàm biểu diễn biến đổi Fourier 2.4 Biến đổi Mellin ngược Công thức ngược biến đổi Mellin (2.1) suy từ phép biến đổi Fourier ngược Như ta biết, fˆ = F [f ; ξ] biến đổi Fourier (2.37) f , hàm ban đầu xác định công thức +∞ fˆ (ξ) e2πiξx dξ f (x) = (2.38) −∞ Áp dụng công thức vào (2.35) với s = a + i2πξ ta +∞ f e−x e−ax = F (s)e2πiξx dξ (2.39) −∞ Từ trở lại biến t s ta có +∞ f (t) = t−a F (s)t−2πiξ dξ (2.40) −∞ Do ta có cơng thức biến đổi Mellin ngược M−1 [F (s); t] = f (t) = 2πi a+i∞ F (s)t−s ds, (2.41) a−i∞ tích phân lấy dọc theo đường thẳng Re(s) = a Từ công thức xuất số vấn đề sau 40 Giá trị a đưa vào công thức? Điều xảy a thay đổi? Biến đổi ngược có xác định khơng? Trong trường hợp hàm f xác định với t? Rõ ràng hàm F chỉnh hình dải S (a1 , a2 ) triệt tiêu đủ nhanh Im(s) → ±∞, theo Định lý Cauchy, đường lấy tích phân dịch chuyển sang đường khác dải mà khơng ảnh hưởng đến kết tích phân Chính xác hơn, ta có định lý Định lý 2.1 Giả sử hàm F (s) chỉnh hình dải S (a1 , a2 ) thỏa mãn bất đẳng thức |F (s)| ≤ K|s|−2 (2.42) với số K Khi đó, hàm f (t) thu công thức (2.41) hàm liên tục theo biến t ∈ (0, +∞) biến đổi Mellin F (s) Chú ý kết đưa đây, cho ta điều kiện đủ để thu biến đổi Mellin ngược hàm liên tục Từ việc giải toán thực tế, ta cần lưu ý tính cơng thức ngược hàm F dải xác định đưa Ví dụ minh họa điều Ví dụ 2.9 Biến đổi Mellin hàm f (t) = (H (t − t0 ) − H(t)) tz 41 (2.43) xác định tz+s M [f ; s] = − z+s (2.44) với Re(s) > −Re(z) So sánh hai công thức (2.44) (2.13), ta thấy hai hàm F (s) xác định biểu thức, xét hai dải xác định khác biến đổi Mellin ngược cho tương ứng công thức (2.43) (2.12) khác 42 Chương ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI MELLIN 3.1 Tính tổng chuỗi số Trong nhiều trường hợp qua phép biến đổi Mellin, chuỗi hội tụ chậm trở thành số dạng tích phân tính xác giá trị thành chuỗi hội tụ nhanh Để thực toán này, trước hết ta xét chuỗi ∞ S= f (n + b) n=0 Giả sử M [f (t); s] = F (s) Khi đó, từ phép biến đổi Mellin ngược ta có f (n + b) = 2πi a+i∞ F (s)(n + b)−s ds a−i∞ Lấy tổng theo n ta ∞ f (n + b) = 2πi n=0 ∞ a+i∞ F (s)(n + b)−s ds n=0a−i∞ Giả sử lấy tích phân số hạng chuỗi hàm biểu diễn F (s) Khi đó, ta thu ∞ S= f (n + b) = 2πi n=0 43 a+i∞ F (s)ξ (s, b) ds, a−i∞ (3.1) ξ (s, b) hàm Zeta Hurwitz xác định công thức ∞ ξ (s, b) = ; ≤ b ≤ 1, Re(s) > (n + b)s n=0 Ở cần lưu ý rằng, phép lấy tích phân số hạng chuỗi hàm khơng thực được, biểu diễn (3.1) không cho lại chuỗi xuất phát (xem [2], p 216) Tương tự, theo tính chất (2.14) ta có f (nt) = M−1 n−s F (s); t = 2πi a+i∞ t−s n−s F (s)ds a−i∞ Dó ta có ∞ n=1 f (nt) = a+i∞ 2πi t−s F (s)ζ(s)ds = M−1 [F (s)ζ(s); t] (3.2) a−i∞ Khi t = 1, ta nhận ∞ f (n) = 2πi n=1 a+i∞ F (s)ζ(s)ds (3.3) a−i∞ Kết thu từ (3.1) b = Ta minh họa lập luận qua số ví dụ sau Ví dụ 3.1 Tính tổng ∞ n=1 sin bn ; < b < 2π n 44 Ta có biến đổi Mellin hàm f (t) = sin bt ;s = M t sin bt t +∞ ts−2 sin btdt π s−2 t ;s Γ(s − 1) πs = − s−1 cos b =F Thay vào (3.3) ta ∞ n=1 sin bn =− n 2πi a+i∞ πs Γ(s − 1) ζ(s) cos ds s−1 b a−i∞ Sử dụng phương trình hàm (1.25) hàm Zeta Riemann ta nhận ∞ n=1 b sin bn =− · n 2πi a+i∞ 2π b s a−i∞ ζ(1 − s) ds s−1 Tích phân có hai cực điểm đơn s = s = với thặng dư tương ứng −π/b, tích phân phức đánh giá cách tính thặng dư cực điểm Do đó, tổng chuỗi cho ∞ n=1 sin bn = (π − b) n Ví dụ 3.2 Tính tổng S(y) = ∞ n=1 cos ny n2 Từ bảng biến đổi Mellin (xem phụ lục) tính chất (2.14), (2.16) ta có M cos ty πs 2−s ; s = −y Γ(s − 2) cos ; < Re(s) < t2 45 Do đó, theo (3.3) ta a+i∞ S=− 2πi y 2−s Γ(s − 2) cos πs ζ(s)ds, (3.4) a−i∞ ta hốn đổi thứ tự lấy tổng tích hội tụ tuyệt đối chuỗi Sử dụng phương trình hàm (1.25) ta thu a+i∞ S=− 2πi y 2−s 2s−1 π s a−i∞ ζ(1 − s) ds (s − 1)(s − 2) Ta dễ dàng tính tích phân phương pháp thặng dư Hàm ζ(s) giải tích khắp nơi trừ cực điểm đơn s = có thặng dư Do đó, ta nhận y πy π S= − + 3.2 Tính tích phân phụ thuộc tham số Kỹ thuật chủ yếu liên quan đến việc tính tích phân phụ thuộc tham số đưa dạng +∞ K(x) = K0 (t)K1 x dt ; t t x > (3.5) Một tích phân tính theo bước sau Lấy biến đổi Mellin hàm K0 K1 ta M [K0 ; s] M [K1 ; s] Khi theo tính chất biến đổi Mellin tích chập (2.25) ta có M [K; s] ≡ M [K0 ; s] M [K1 ; s] 46 Sử dụng bảng tìm biến đổi Mellin ngược Nhìn chung ta thu tổ hợp chuỗi siêu bội tổng quát Ta mở rộng phương pháp để tính tích phân có dạng +∞ K (x1 , x2 , , xN ) = N K0 (t) Ki i=1 xi t dt , t (3.6) x1 , x2 , , xN biến dương Chúng ta kiểm tra biến đổi Mellin bội xác định +∞ M [K; s1 , , sN ] = +∞ K (x1 , , xN ) x1s1 −1 xsNN −1 dx1 dxN 0 (3.7) Khi (3.6) trở thành N M [K; s1 , s2 , , sN ] = M [K0 ; s1 + s2 + · · · + sN ] i=1 M [Ki ; si ] (3.8) Tương tự, đưa tích phân phụ thuộc tham số dạng +∞ K(x) = K0 (t)K1 (xt) dt Khi theo (2.26) ta có M [K; s] ≡ M [K0 ; − s] M [K1 ; s] Ví dụ 3.3 Xét hàm +∞ g (γ) = 2π 1/2 γ 3/2 47 e−γk kdk eπ/k − Lấy biến đổi Mellin ta +∞ G(s) = 2π 1/2 +∞ γ +∞ = 2π 1/2 s+1/2 dγ e−γk kdk eπ/k − (s + 1/2)!k −2s−2 dk eπ/k − = 2π −2s−1/2 (s + 1/2)!(2s)!ζ(2s + 1), Re(s) > Sử dụng biến đổi Mellin ngược ta nhận 2g (γ) = − (πγ) 1/2 + ∞ n=0 (−1)n (n/2)!ζ(n + 2)γ n/2+1 n! 48 Kết luận Trên tồn nội dung khóa luận “Áp dụng phép biến đổi Mellin để tính tổng chuỗi tích phân phụ thuộc tham số” Khóa luận tốt nghiệp trình bày vấn đề sau Hệ thống số kiến thức hàm biến phức; giới thiệu khái niệm tính chất quan trọng số hàm đặc biệt liên quan đến phép biến đổi tích phân là: hàm Gamma, hàm Beta, hàm Zeta Riemann Trình bày cách hệ thống lý thuyết phép biến đổi Mellin: khái niệm, tích chất bản, phép biến đổi Mellin ngược Thêm nữa, chúng tơi trình bày mối quan hệ phép biến đổi Mellin với hai phép biến đổi tích phân quan trọng biến đổi Laplace biến đổi Fourier Trình bày ứng dụng biến đổi Mellin giải hai tốn: tính tổng chuỗi; tính tích phân phụ thuộc tham số 49 Phụ lục Bảng biến đổi Mellin +∞ f (t) e F (s) = M [f ; s] = −pt ts−1 f (t)dt −s e−at , a > (et − 1) t−1 e−t −1 −1 p Γ(s), Re(s) > 1 −s/2 a Γ , Re(s) > 2 Γ(s)ζ(s), Re(s) > Γ(1 − s), ∞ < Re(s) < iπs eiat a−s Γ(s)e , < Re(s) < πas−1 −1 , < Re(s) < (a + t) , |arga| < π sin(πs) (a − t)−1 πas−1 cot(πs), < Re(s) < Γ(s)Γ(a − s) , < Re(s) < Re(a) (1 + t)−a , Re(a) > Γ(a) Γ (s/a) Γ (p − s/a) (1 + ta )−p aΓ (p) s−2 π a −1 a2 + t2 · sin πs Γ(s)Γ(n − s) −n , < Re(s) < n (1 + at) as Γ(n) Γ(a + s)Γ(b − a − s) ta (1 + t)−b Γ(b) πs cos (at) a−s Γ(s) cos , < Re(s) < πs −s sin (at) a Γ(s) sin , < Re(s) < s πs cos (tα ) Γ cos α α 2α πs s Γ sin (tα ) sin α α 2α π −1 tan (t) − πs , −1 < Re(s) < 2s cos 50 π cot−1 (t) πs , < Re(s) < 2s cos π a−s · , −1 < Re(s) < ln (1 + at) , |arga| < π s sin (πs) π , < Re(s) < t−1 ln(1 + t) (1 − s) sin (πs) 1+t π πs ln tan , −1 < Re(s) < 1−t s n d Γ(s), Re(s) > e−t (ln t)n dsn e−at H(t − b) a−s Γ(s, ab) ab+s b , Re(s) < −Re(b) t H(t − a), a > − b+s ab+s b t [H(t − a) − H(t)] − , Re(s) > −Re(b) b+s Γ(a)Γ(s) , Re(s) > (1 − t)a−1 H(1 − t), Re(a) > Γ(a + s) Γ(a − s)Γ(1 − a) , Re(s) < Re(a) < (t − 1)−a H(t − 1) Γ(1 − s) Γ 2s Γ α + − 2s −1−α 1+t H(t − 1) 2Γ (α + 1) Γ 2s Γ 2s + 21 Pn (t)H(1 − t) 2Γ 2s − n2 + 21 Γ 2s + n2 + a , Re(s) < − |Im(a)| sin (a ln t) H(t − 1) s + a2 a , Re(s) > |Im(a)| sin (−a ln t) H(1 − t) s2s + a2 p p ln [H(t) − H(t − p)] , p > , Re(s) > t s Γ(s) [Γ(m − s)]2 1−t −m (1 + t) Pm−1 1+t Γ(1 − s) [Γ(m)]2 +∞ − x cos t dt t x sin t dt t −s−1 Γ(s) cos πs , < Re(s) < −s−1 Γ(s) sin πs , −1 < Re(s) < 51 Tài liệu tham khảo [1] E Cahen (1894), Sur la fonction ζ(s) de Riemann et sur des functions analogues, Ann de l’Ec Norm [2] B Davies (1984), Integral Tranforms and Their Applications, Second Edition, Springer-Verlag, New York [3] B Davies (2001), Integral Tranforms and Their Applications, Third Edition, Springer [4] L Debnath and D Bhatta (2007), Integral Tranforms and Their Applications, Second Edition, Chapman and Hall/CRC [5] D Naylor (1963), On a Mellin type integral transform, J Math Mech [6] A D Poularikas (Editor, 2000), The Transforms and Applications Handbook, Second Edition, Boca Raton CRC Press LLC [7] E C Titchmarsh (1975), Introduction to the Theory of Fourier Integrals, Clarendon Press, Oxford 52 ... hệ phép biến đổi Mellin với hai phép biến đổi tích phân quan trọng biến đổi Laplace biến đổi Fourier Trình bày ứng dụng biến đổi Mellin giải hai tốn: tính tổng chuỗi; tính tích phân phụ thuộc tham... cứu phép biến đổi Mellin, mối quan hệ biến đổi với số biến đổi tích phân khác đồng thời nghiên cứu số ứng dụng hai tốn tính tổng số chuỗi số tính tích phân phụ thuộc tham số Phương pháp nghiên... túy thuộc riêng lý thuyết Tốn học Có nhiều loại biến đổi tích phân, biến đổi khác tương ứng với lựa chọn hàm nhân K(t, s) Trong biến đổi Mellin, nhân phép biến đổi hàm K(t, s) = ts−1 biến đổi Mellin