Luận văn sư phạm Áp dụng thặng dư cauchy tính một số dạng tích phân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI CAO THỊ LIÊN ÁP DỤNG CỦA THẶNG DƯ CAUCHY TÍNH MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Chun ngành: Tốn giải tích Hà Nội - 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI CAO THỊ LIÊN ÁP DỤNG CỦA THẶNG DƯ CAUCHY TÍNH MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Chun ngành: Tốn giải tích Người hướng dẫn khoa học TS NGUYỄN VĂN HÀO Hà Nội - 2013 LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn giúp đỡ thầy giáo, cô giáo tổ Giải tích khoa Tốn bạn sinh viên Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Hào tận tình giúp đỡ em q trình hồn thành khóa luận tốt nghiệp Lần đầu thực cơng tác nghiên cứu khoa học nên khố luận khơng tránh khỏi hạn chế thiếu sót Tác giả xin chân thành cảm ơn ý kiến đóng góp thầy giáo, cô giáo bạn sinh viên Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Tác giả Cao Thị Liên LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan, hướng dẫn TS Nguyễn Văn Hào, khóa luận tốt nghiệp "Áp dụng thặng dư Cauchy tính số dạng tích phân" hồn thành, khơng trùng với khóa luận khác Trong q trình làm khóa luận, kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Tác giả Cao Thị Liên Mục lục Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Số phức mặt phẳng phức 1.1.1 Khái niệm số phức 1.1.2 Các phép toán tập hợp số phức 1.2 Hàm chỉnh hình 1.3 Chuỗi lũy thừa 11 1.4 Tích phân hàm biến phức 16 1.5 Khai triển chuỗi lũy thừa hàm chỉnh hình 22 1.6 Khai triển chuỗi lũy thừa số hàm sơ cấp 24 Chương Lý thuyết chuỗi, lý thuyết thặng dư 25 2.1 Chuỗi Taylor 25 2.2 Chuỗi Laurentz 27 2.3 Lý thuyết thặng dư 31 2.3.1 Không điểm cực điểm 31 2.3.2 Cách tính thặng dư 34 Chương Áp dụng thặng dư Cauchy tính số dạng tích phân 38 3.1 Tích phân hàm lượng giác 38 3.2 Tích phân suy rộng hàm hữu tỷ 41 3.3 Các tích phân có cực nằm trục thực 49 3.4 Tích phân hàm rẽ nhánh 51 Kết luận 55 Tài liệu tham khảo 56 Mở đầu Lý chọn đề tài Giải tích phức ngành cổ điển toán học, lý thuyết bắt nguồn từ khoảng thể kỷ 19 chí sớm trước Một số nhà toán học tiếng nghiên cứu lĩnh vực phải kể đến Euler, Gauss, Riemann, Cauchy, Weierstrass, Tới kỷ 20 - 21, lĩnh vực phát triển mạnh tới việc nghiên cứu khơng gian vơ hạn chiều Ngồi xu hướng mở rộng đây, người ta qua tâm tới khía cạnh ứng dụng tốn học ngành khoa học khác ứng dụng thực tế Một ứng dụng có tính bật giai đoạn đương đại phải kể đến là: Lý thuyết ánh xạ bảo giác khí; Ứng dụng động lực phức fractal lý thuyết dây, Những kết mang tính đột phá lý thuyết tích phân hàm biến phức dựa ngun lý quan trọng có tính cốt yếu Đó lý thuyết tích phân Cauchy Cũng từ lý thuyết mà nhà toán học xây dựng nên lý thuyết đẹp đẽ giải tích phức - lý thuyết thặng dư Trên sở mà có cách nhìn minh bạch dáng điệu hàm cực điểm Lý thuyết thặng dư công cụ quan trọng để nghiên cứu chất điểm kỳ dị Những ứng dụng ban đầu lý thuyết thặng dư dùng để tính lớp rộng tích phân mà ta giải sử dụng phương pháp thông thường, đặc biệt mà hàm dấu tích phân có dạng bất thường Bởi tầm quan trọng định lý thặng dư Cauchy hướng dẫn TS Nguyễn Văn Hào, em chọn đề tài "Áp dụng thặng dư Cauchy tính số dạng tích phân" để hồn thành khóa luận tốt nghiệp hệ đào tạo cử nhân chuyên ngành Toán học Cấu trúc đề tài bố cục thành ba chương Chương Tác giả trình bày số kiến thức số phức mặt phẳng phức, hàm chỉnh hình, tích phân hàm biến phức, khai triển chuỗi lũy thừa hàm chỉnh hình khai triển chuỗi lũy thừa số hàm sơ cấp Chương Chương giành cho việc trình bày số kiến thức quan trọng lý thuyết thặng dư Cauchy Phần đầu chương, đưa số khái niệm kết chuỗi Taylor chuỗi Laurentz liên quan đến việc nghiên cứu thặng dư Qua đây, thấy ảnh hưởng chuỗi tới đặc tính hàm Tiếp theo, chúng tơi trình bày khái niệm thặng dư số cách tính thặng dư hàm Công thức thặng dư đưa cuối chương nhằm phục vụ cho việc trình bày ứng dụng định lý thặng dư Cauchy chương Chương Chúng tơi trình bày số ứng dụng định lý thặng dư Cauchy để tính: Tích phân hàm lượng giác; tích phân suy rộng hàm hữu tỷ; tích phân có cực nằm trục thực; tích phân hàm rẽ nhánh Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu ảnh hưởng loại điểm kỳ dị lập tới đặc tính hàm, vấn đề thặng dư Cauchy - Nghiên cứu ứng dụng định lý thặng dư Cauchy vấn đề sau: Tính tích phân lượng giác; tính tích phân vơ hạn hàm hữu tỷ, hàm đa cực trục thực số hàm phức tạp Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Nghiên cứu đặc trưng điểm kỳ dị hàm chỉnh hình - Nghiên cứu lý thuyết thặng dư - Nghiên cứu số ứng dụng định lý thuyết thặng dư Cauchy 4 Phương pháp nghiên cứu Đọc tài liệu, phân tích, so sánh, tổng hợp Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Số phức mặt phẳng phức 1.1.1 Khái niệm số phức Số phức số có dạng z = x + iy; x, y ∈ R i đơn vị ảo mà i2 = −1 Ta gọi x phần thực y phần ảo, kí hiệu x = Rez, y = Imz Tập hợp số phức kí hiệu C Tập hợp số phức đồng với mặt phẳng R2 phép tương ứng C → R2 z = x + iy → (x, y) Một cách tự nhiên, người ta gọi Ox trục thực, Oy trục ảo Phép cộng phép nhân số phức thực cách thông thường phép toán tập hợp số thực với lưu ý i2 = −1 Ta có z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2 ) z1 z2 = (x1 + iy1 )(x2 + iy2) = x1x2 + ix1y2 + iy1x2 + i2y1 y2 = (x1x2 − y1 y2 ) + (x1y2 + y1 x2) 1.1.2 Các phép toán tập hợp số phức + Tính chất giao hốn z1 + z2 = z2 + z1 ; z1.z2 = z2 z1 với f (x) hàm hữu tỷ Có hai nghĩa mà tích phân gọi hội tụ (i) Nếu tồn giới hạn tích phân xác định R f (x)dx −r r R dần vô cách độc lập, tích phân gọi hội tụ theo nghĩa thơng thường Điều có nghĩa với ε > cho trước M > cho tích phân nhỏ ε r ≥ M R ≥ M Điều tương tự với hội tụ hai tích phân với cận vô tận ∞ f (x)dx f (x)dx −∞ (ii) Nếu tồn giới hạn tích phân đối xứng lim r r→∞ −r f (x)dx, tích phân gọi hội tụ theo nghĩa giá trị Sự hội tụ theo nghĩa giá trị yếu hội tụ theo nghĩa thơng thường Tích phân ∞ f (x)dx gọi hội tụ tuyệt đối tích phân ∞ −∞ −∞ |f (x)| dx hội tụ Dĩ nhiên, tích phân hội tụ tuyệt đối hội tụ Chúng ta có tiêu chuẩn so sánh hội tụ tích phân tương tự hội tụ chuỗi Định lý 3.1 Giả sử f g hàm liên tục đường thẳng R, với g(t) ≥ |f (t)| ≤ g(t) với t ∈ R Khi đó,sự hội tụ tích phân hàm g R kéo theo hội tụ tích phân hàm f R ∞ ∞ −∞ f (t)dt ≤ g(t)dt −∞ Chứng minh Chúng ta chứng minh tồn tích phân vơ tận ∞ 0 f (t)dt Sự tồn tích phân −∞ 42 f (t)dt lập luận hoàn toàn tương tự Cho {xk }∞ k=1 dãy tăng số dương hội tụ đến vô cùng, với x0 = Với k ≥ 1, đặt xk xk ak = f (t)dt; bk = xk−1 g(t)dt xk−1 Khi đó, theo giả thiết |f (t)| ≤ g(t), suy |ak | ≤ bk với k Hơn với số nguyên dương n xn xn ∞ f (t)dt = ak , k=1 ∞ g(t)dt = bk k=1 Điều suy ra, hội tụ tích phân vơ tận hàm g kéo theo n hội tụ chuỗi dương n bk Từ suy hội tụ tuyệt đối chuỗi k=1 ak bất đẳng thức k=1 n n k=1 bk ak ≤ Điều cho thấy h(xn ) = k=1 xn f (t)dt dãy {h(xn )} có giới hạn với dãy {xn} hội tụ tới vơ Do đó, tồn tích phân ∞ f (t)dt = L, ∞ −∞ f (t)dt ≤ |L| ≤ Thơng thường tích phân ∞ ∞ k=1 ∞ g(t)dt bk = −∞ g(x)dx hạn chế hàm chỉnh hình −∞ tập mở chứa nửa mặt phẳng đóng 43 {z : Im(z) ≥ 0} nửa mặt phẳng đóng {z : Im(z) ≤ 0} trừ số điểm kỳ dị Nếu hàm khơng có điểm kỳ dị trục thực giảm đủ nhanh z → ∞, tích phân xấp xỉ tích phân hàm f quanh chu tuyến nằm nửa mặt phẳng Các tích phân tính thặng dư Định lý 3.2 Cho H nửa mặt phẳng đóng Giả sử f hàm chỉnh hình tập hợp chứa H trừ điểm kỳ dị {z1 , z2, , zm} ⊂ H \ R Nếu tồn số dương R, C p > cho |f (z)| ≤ C |z|−p |z| > R, ∞ m res f, f (x)dx = σ(H).2πi j=1 −∞ z=zj σ(H) = H nửa mặt phẳng trên, σ(H) = −1 H nửa mặt phẳng Chứng minh Gọi γr chu tuyến đóng gồm đoạn [−r, r] trục thực nửa đường tròn {|z| = r} nằm nửa mặt phẳng Tích phân hàm f γr tính sau r f (z)dz = γr π f (reit)ireitdt f (x)dx + −r −r r Hình 3.1: Đường cong γr Vì |f (z)| ≤ C |z|−p |z| > R nên r > R f (reit)ireit ≤ Cr1−p 44 π f (reit)ireit dt ≤ πCr1−p Bởi p > 1, nên vế phải bất đẳng thức gần đến r → ∞ Từ đó, suy ∞ r r→∞ γr f (x)dx f (x)dx = f (z)dz = lim lim r→∞ −∞ −r Từ định lý thặng dư, nhận m res f f (z)dz = 2πi j=1 γr Vậy ∞ −∞ z=zj m f (x)dx = 2πi res f j=1 z=zj Đối với nửa mặt phẳng dưới, cách lập luận tương tự có ∞ −∞ m f (x)dx = −2πi res f j=1 z=zj Ví dụ 3.4 Tính tích phân ∞ x2 dx + x4 −∞ Lời giải Chúng ta áp dụng định lý 3.2 hàm z2 f (z) = = −4 z −2 z +1 z +1 Cố định R > 0, có |f (z)| ≤ |z|−2 |z| ≥ R −4 1−R 45 −1 Điều kiện định lý thỏa mãn với p = 2, C = − R−4 Hàm f (z) có cực điểm đơn bậc bốn −1 Các giá trị ζ4k = ei( +k ); k = 0, 2π π Trong cực điểm có ζ40 ζ41 nằm nửa mặt phẳng trên, có z + z − ζ40 2z z2 = lim res f = lim0 z − + z z→ζ40 4z z→ζ4 z=ζ40 z2 ζ43 = lim0 = = 4ζ4 z→ζ4 4z ζ40 Hoàn toàn tương tự, res0 f = lim1 z − ζ41 z→ζ4 z=ζ4 z2 ζ42 = = + z4 4ζ41 Tổng thặng dư Im(c)>0 √ ζ43 ζ42 − 2i i + = =− √ resf = z=c 4 2 Do đó, tích phân cần tính π −i I = −2πi √ = 2 Tùy theo trường hợp hàm dấu tích phân mà cần chọn chu tuyến γr thích hợp để có đánh giá mong muốn tích phân f (z)dz Để thấy rõ điều xét ví dụ sau γr Ví dụ 3.5 Chứng minh ∞ I= −∞ eax π dx = ; (0 < a < 1) + ex sin πa eax xét đường cong chứa hình chữ nhật nằm nửa Đặt f (z) = + ez mặt phẳng với cạnh nằm trục thực, cạnh nằm 46 2π −r O r Hình 3.2: Đường cong γr đường thẳng song song Imz = 2πi (như hình 3.2) Mẫu số biểu thức hàm f triệt tiêu điểm z = πi nằm hình chữ nhật γr Để tính thặng dư hàm điểm đó, lập luận sau Trước hết, lưu ý (z − πi)f (z) = eaz z − πi az z − πi = e + ez ez − eπi Chúng ta nhận thấy vế phải nghịch đảo thương vi phân thực tế ez − eπi ez−πieπi − eπi lim = lim z→πi z − πi z→πi z − πi ez−πi − = lim eπi z→πi z − πi = eπi = −1, hàm ez có đạo hàm Do đó, hàm f có cực điểm đơn πi với thặng dư res f = lim (z − πi)f (z) = −eaπi z=πi z→πi Như hệ quả, công thức thặng dư cho ta γr f (z)dz = −2πieaπi Bây giờ, nghiên cứu tích phân hàm f cạnh 47 hình chữ nhật Ký hiệu r f (x)dx, IR = −r I tích phân cần tính Chúng ta có Ir → I r → ∞ Tích phân hàm f cạnh z = x + 2πi; −r ≤ r hình chữ nhật r eaz dz = + ez −r r −r r = eax+2πai d(x + 2πi) + ex+2πi eax e2πai dx + ex e2πi −r = −e2πai.Ir Cuối cùng, ký hiệu Λr = {r + it : ≤ t ≤ 2π} phương trình cạnh thẳng đứng thẳng đứng bên phải ta có 2π f (z)dz ≤ Λr ea(r+it) dt + er+it 2π = e(a−1)r dt = 2πe(a−1)r Bởi a < 1, nên tích phân hội tụ đến r → ∞ Tương tự, tích phân cạnh thẳng đứng bên trái hàm f dần đến r → ∞, bị chặn Ce−ar a > Do đó, giới hạn r → ∞, đồng thức (3) mang lại từ suy I = −2πi I − e2πaiI = −2πieπai , 2πi π π eπai = = = − e2πai eπai − e−πai sin πa eπai − eπai 2i 48 3.3 Các tích phân có cực nằm trục thực Khi tính tích phân, cần ý đến điểm khoảng p(z) (−∞, ∞) Ở đó, hàm phức f (z) = khơng có cực điểm trục q(z) thực Ví dụ, tính tích phân ∞ f (x)dx thặng dư, f (z) có −∞ cực z = c, với c số thực, hình 3.3 minh họa Ký hiệu CR nửa đường trịn có tâm z = c có hướng theo chiều kim đồng hồ y CR −Cr c −R x R Hình 3.3: Định lý 3.3 Giả sử, f có cực điểm đơn z = c trục thực Nếu Cr đường tròn bao hàm z = c + reiθ , ≤ θ ≤ π, lim f (z)dz = πiRes (f (z), c) r→0 Cr Chứng minh Với f có cực điểm đơn z = c, theo chuỗi Laurent ta có f (z) = a−1 + g(z) z−c với a−1 = Res (f (z), c), g có vi phân c Sử dụng chuỗi Laurent tham số hóa Cr , ta có π f (z)dz = a−1 Cr π ireiθ dθ + ir reiθ g(c + reiθ )eiθ dθ = I1 + I2 49 (3.1) Trước hết, ta thấy π I1 = a−1 π ireiθ dθ = a−1 reiθ iθdθπia−1 = πiRes (f (z), c) 0 Tiếp theo, g có vi phân c, liên tục điểm giới hạn vùng lân cận điểm Do đó, tồn M > cho g(c + reiθ ≤ M Khi π |I2| = ir π g(c + reiθ )dθ ≤ r Mdθ = πrM Mà lim |I2| = 0, lim I2 = Suy r→0 r→0 I1 + I2 = πiRes (f (z), c) Ví dụ 3.6 Tính ∞ −∞ sin x dx x(x2 − 2x + 2) Chúng ta xét tích phân đường trịn C eiz dz z(z − 2z + 2) có cực z = z = + i nửa z(z − 2z + 2) mặt phẳng phức Đường cong C biểu diễn hình 3.4 lõm gốc Áp dụng, ta có Hàm f (z) = −r = C −Cr −∞ CR −R + −Cr = 2πiRes f (z)eiz , + i , + (3.2) r = − Nếu lấy giới hạn 3.2 R → ∞ với r → Ta có ∞ + R Cr eix dx = πiRes f (z)eiz , + 2πiRes f (z)eiz , + i x(x − 2x + 2) 50 y CR 1+i −Cr −R −r x r R Hình 3.4: Đường cong ví dụ Bây e−1+i iz Res f (z)e , = Res f (z)e , + i = − (1 + i) iz Khi đó, ∞ −∞ eix dx = πi x(x2 − 2x + 2) e−1+i (1 + i) + 2πi − Với e−1+i = e−1 (cos + i sin 1), đơn giản hóa, biến đổi tương đương, ta có ∞ π cos x dx = e−1 (sin + cos 1) x(x − 2x + 2) −∞ ∞ −∞ cos x π + e−1(sin − cos 1) dx = x(x − 2x + 2) 3.4 Tích phân hàm rẽ nhánh Chúng ta xem xét trường đặc biệt tích phân thực ∞ xα−1 dx x+1 51 (3.3) α số giới hạn khoảng < α < Khi α = thay x z, tích phân (3.3) trở thành hàm đa trị (3.4) z (z + 1) Tâm nằm nhánh (3.4) z có hai giá trị với z = Nếu quay vòng quanh điểm z = 0, điểm z = reiθ , r > 0, quay trở lại điểm bắt đầu z, θ tăng lên 2π Tương ứng, với giá √ iθ 1 trị z thay đổi từ z = re đến giá trị khác nhánh khác: √ i(θ+2π) √ iθ √ iθ z = re = re eiπ = − re Chúng ta cho z giá trị cụ thể cách hạn chế θ vài khoảng có độ dài 2π Từ (3.4), ta chọn x− dương trục thực nhánh cắt, trường hợp khác giới hạn θ từ < θ < 2π, √ nhận z = reiθ/2 Ví dụ 3.7 Tính ∞ √ dx x(x + 1) Trước hết ta nhận thấy khơng phải tích phân thực với hai lý Nó gián đoạn x = vơ hàm dấu tích phân Hơn suy luận từ hàm dấu tích phân xấp xỉ x−1/2 gần gốc tọa độ gần x−3/2 x → ∞ suy tích phân hội tụ Chúng ta có cơng thức tích phân dz, với C đường cong 1/2 (z + 1) z C hình 3.5 bao gồm bốn thành phần: Cr CR phần đường tròn, AB ED hai đoạn thẳng song song chạy kéo dài vị trí đối diện nhánh cắt Hàm dấu tích phân f (x) đường viền tích phân có giá trị cụ thể phân tích C, ngoại trừ cực điểm z = −1 = eπi Tại đây, viết dz = 2πiRes (f (z), −1) z 1/2 (z + 1) C 52 y CR Cr A z = −1 B D x E Hình 3.5: Đường cong ví dụ + CR + ED + Cr (3.5) = 2πiRes (f (z), −1) AB Mặc dù thể hình 3.5, ta thấy AB ED nằm trục thực dương, xác AB nằm phía trục thực dương với θ = ED nằm phía trục thực dương với θ = 2π Trên AB, z = xe0i, ED, z = xe(0+2π)i, 1 r R r − − x x (xe2πi)− 2πi (xe dx) = − dx = dx (3.6) = xe2πi + x+1 x+1 ED r R R R = (xe0i) (xe0idx) = 0i xe + 1 x dx x+1 − (3.7) r r AB R − 21 Bây giờ, với z = re z = Re Cr CR , tương ứng, biểu diễn → r → → R → ∞ Do từ i0 i0 Cr (3.5), (3.6) (3.7) suy  lim  r→0 R→∞ C R + ED CR +  + Cr AB 53 = 2πiRes (f (z), −1) , hay ∞ √ dx = Res (f (z), −1) x(x + 1) Cuối cùng, ta có iπ Res (f (z), −1) = z − |z=eiπ = e− = −i kết hợp với (3.8) ta ∞ √ dx = π x(x + 1) 54 (3.8) Kết luận Trên tồn nội dung khóa luận “Áp dụng thặng dư Cauchy tính số dạng tích phân” Khóa luận giải vấn đề sau Hệ thống hóa kiến thức số phức, hàm chỉnh hình, hàm biến phức tích phân phức Trình bày chuỗi Taylor chuỗi Laurentz để đến khái niệm thặng dư cách tính thặng dư Đưa số ứng dụng thặng dư Cauchy để tính: Tích phân hàm lượng giác; tích phân suy rộng hàm hữu tỷ; tích phân có cực nằm trục thực; tích phân hàm rẽ nhánh Tài liệu tham khảo [1] L V Ahlfor (1979), Complex Analysis, McGraw - Hill, New York, third edition [2] Alias M Stein and Rami Sackarchi (2003), Complex Analysis, Princeton University Press [3] Dennis G Zill, Patrich D Shanahan (2003), Complex Analysis with Application, Printed in the United States of America 56 ... phép tính tích phân có dạng Trong chương này, trình bày số phương pháp áp dụng để tính tốn số dạng tích phân Riemann tích phân Riemann theo nghĩa suy rộng Các áp dụng chủ yếu nghiên cứu việc tính. .. Chương Áp dụng thặng dư Cauchy tính số dạng tích phân 38 3.1 Tích phân hàm lượng giác 38 3.2 Tích phân suy rộng hàm hữu tỷ 41 3.3 Các tích phân có... TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI CAO THỊ LIÊN ÁP DỤNG CỦA THẶNG DƯ CAUCHY TÍNH MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Chun ngành: Tốn giải tích Người hướng dẫn khoa học TS NGUYỄN VĂN HÀO Hà Nội