Áp dụng thặng dư cauchy tính một số dạng tích phân

Nguyễn Văn Hào,khóa luận tốt nghiệp "Áp dụng của thặng dư Cauchy tính một số dạng tích phân" được hoàn thành, không trùng với bất kỳ khóaluận nào khác.. Áp dụng của thặng dư Cauchy tính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LỜI CẢM ƠN

Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy giáo, cô giáo tổ Giảitích khoa Toán và các bạn sinh viên Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết

ơn sâu sắc của mình tới TS Nguyễn Văn Hào đã tận tình giúp đỡ

em trong quá trình hoàn thành khóa luận tốt nghiệp

Lần đầu được thực hiện công tác nghiên cứu khoa học nên khoá luậnkhông tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót Tác giả xin chân thànhcảm ơn những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và các bạnsinh viên

Hà Nội, tháng 05 năm 2013

Tác giả

Cao Thị Liên

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Hào,khóa luận tốt nghiệp "Áp dụng của thặng dư Cauchy tính một

số dạng tích phân" được hoàn thành, không trùng với bất kỳ khóaluận nào khác

Trong quá trình làm khóa luận, tôi đã kế thừa những thành tựu của cácnhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 05 năm 2013

Tác giả

Cao Thị Liên

Mục lục

Mở đầu 3

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 6

1.1 Số phức và mặt phẳng phức 6

1.1.1 Khái niệm về số phức 6

1.1.2 Các phép toán trên tập hợp số phức 6

1.2 Hàm chỉnh hình 7

1.3 Chuỗi lũy thừa 11

1.4 Tích phân của hàm biến phức 16

1.5 Khai triển chuỗi lũy thừa của hàm chỉnh hình 22

1.6 Khai triển chuỗi lũy thừa của một số hàm sơ cấp 24

Chương 2 Lý thuyết chuỗi, lý thuyết thặng dư 25

2.1 Chuỗi Taylor 25

2.2 Chuỗi Laurentz 27

2.3 Lý thuyết thặng dư 31

2.3.1 Không điểm và cực điểm 31

2.3.2 Cách tính thặng dư 34

Chương 3 Áp dụng của thặng dư Cauchy tính một số dạng tích phân 38 3.1 Tích phân của các hàm lượng giác 38

3.2 Tích phân suy rộng của hàm hữu tỷ 41

3.3 Các tích phân có cực nằm trên trục thực 49

3.4 Tích phân của hàm rẽ nhánh 51Kết luận 55Tài liệu tham khảo 56

Những kết quả mang tính đột phá của lý thuyết tích phân hàm biếnphức được dựa trên một nguyên lý quan trọng có tính cốt yếu Đó là lýthuyết tích phân Cauchy Cũng từ lý thuyết này mà các nhà toán họcxây dựng nên một lý thuyết đẹp đẽ trong giải tích phức - lý thuyết thặng

dư Trên cơ sở đó mà chúng ta có được cách nhìn minh bạch về dángđiệu của một hàm tại các cực điểm của nó

Lý thuyết thặng dư là một công cụ quan trọng để nghiên cứu bản chấtcủa các điểm kỳ dị Những ứng dụng ban đầu của lý thuyết thặng dưdùng để tính một lớp khá rộng các tích phân mà đôi khi ta không thểgiải quyết được khi sử dụng các phương pháp thông thường, đặc biệtkhi mà hàm dưới dấu tích phân có dạng bất thường

Bởi tầm quan trọng của định lý thặng dư Cauchy và được sự hướng dẫncủa TS Nguyễn Văn Hào, em đã chọn đề tài "Áp dụng của thặng

dư Cauchy tính một số dạng tích phân" để hoàn thành khóa luậntốt nghiệp hệ đào tạo cử nhân chuyên ngành Toán học

Cấu trúc của đề tài được bố cục thành ba chương

Chương 1 Tác giả trình bày một số kiến thức căn bản về số phức vàmặt phẳng phức, hàm chỉnh hình, tích phân của hàm biến phức, khaitriển chuỗi lũy thừa của hàm chỉnh hình và khai triển chuỗi lũy thừacủa một số hàm sơ cấp

Chương 2 Chương này giành cho việc trình bày một số kiến thức quantrọng về lý thuyết thặng dư Cauchy Phần đầu chương, chúng tôi đưa ramột số khái niệm và các kết quả căn bản về các chuỗi Taylor và chuỗiLaurentz liên quan đến việc nghiên cứu thặng dư Qua đây, chúng ta sẽthấy được sự ảnh hưởng của các chuỗi tới đặc tính của một hàm Tiếptheo, chúng tôi trình bày khái niệm thặng dư và một số cách tính thặng

dư của một hàm Công thức thặng dư được đưa ra ở cuối chương nhằmphục vụ cho việc trình bày các ứng dụng của định lý thặng dư Cauchytrong chương 3

Chương 3 Chúng tôi trình bày một số ứng dụng của định lý thặng dưCauchy để tính: Tích phân của các hàm lượng giác; tích phân suy rộngcủa hàm hữu tỷ; các tích phân có cực nằm trên trục thực; tích phân củahàm rẽ nhánh

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu sự ảnh hưởng của các loại điểm kỳ dị cô lập tới đặc tínhcủa một hàm, vấn đề thặng dư Cauchy

- Nghiên cứu ứng dụng của định lý thặng dư Cauchy trong các vấn đềsau: Tính tích phân lượng giác; tính tích phân vô hạn của hàm hữu tỷ,hàm đa cực trên trục thực và một số hàm phức tạp hơn nữa

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Nghiên cứu về đặc trưng của điểm kỳ dị của hàm chỉnh hình

- Nghiên cứu lý thuyết thặng dư

- Nghiên cứu một số ứng dụng của định lý thuyết thặng dư Cauchy

4 Phương pháp nghiên cứu

Đọc tài liệu, phân tích, so sánh, tổng hợp

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị

1.1 Số phức và mặt phẳng phức

1.1.1 Khái niệm về số phức

Số phức là số có dạng z = x + iy; x, y ∈ R và i là đơn vị ảo mà i2 = −1

Ta gọi x là phần thực và y là phần ảo, kí hiệu

Một cách tự nhiên, người ta gọi Ox là trục thực, Oy là trục ảo

Phép cộng và phép nhân các số phức được thực hiện một cách thôngthường như các phép toán trên tập hợp số thực với lưu ý rằng i2 = −1

Ta có

z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2)và

z1.z2 = (x1+ iy1)(x2 + iy2) = x1x2 + ix1y2 + iy1x2 + i2y1y2

= (x1x2 − y1y2) + (x1y2 + y1x2)1.1.2 Các phép toán trên tập hợp số phức

+ Tính chất giao hoán

z1 + z2 = z2+ z1; z1.z2 = z2.z1

+ Tính chất kết hợp

(z1 + z2) + z3 = z1 + (z2+ z3); (z1.z2).z3 = z1.(z2.z3)

+ Tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng

z1.(z2 + z3) = z1.z2 + z1.z3.Với mỗi số thực z = x + iy, ta xác định modul của số phức z là

|z| = px2 + y2.Modul của các số phức có tính chất

Hàm f(z) gọi là chỉnh hình trên Ω nếu nó chỉnh hình tại mọi điểm của

Ω Nếu M là tập đóng của C, ta nói f là chỉnh hình trên M nếu f chỉnhhình trên một tập mở nào đó chứa M Hàm f chỉnh hình trên C đượcgọi là hàm nguyên

Ví dụ 1.1 Hàm f là chỉnh hình trên tập con mở bất kỳ trong C và

f (z0 + h) − f(z0) − a.h = h.ψ(h), (1.2)với ψ(h) là một hàm xác định khi h đủ nhỏ và lim

= f0g + f g0(iii) Nếu g(z0) 6= 0, thì f

g chỉnh hình tại z0 và

 fg

Thêm nữa, nếu f : Ω → U và g : U → C là các hàm chỉnh hình, thìhàm hợp g◦f : Ω → C cũng hàm chỉnh hình và thỏa mãn quy tắc dây xích

(g ◦ f)0(z) = g0(f (z)) f0(z)

Bây giờ chúng ta làm sáng tỏ mối quan hệ giữa đạo hàm thực và phức.Thực tế, ví dụ 1.3 đã cho ta thấy sự khác biệt đáng kể giữa khái niệmkhả vi phức và khái niệm khả vi thực của một hàm hai biến Thựcvậy, dưới dạng của các biến thực hàm f(z) = ¯z tương ứng với ánh xạ

F : (x, y) 7→ (x, −y) khả vi theo nghĩa của hàm hai biến thực Đạo hàmcủa nó tại một điểm là ánh xạ tuyến tính được cho bởi định thức Jaco-bian của nó, ma trận 2 × 2 các đạo hàm riêng của các hàm tọa độ Nhớlại rẳng hàm F (x, y) = (u(x, y), v(x, y)) được gọi là khả vi tại một điểm

P (x0, y0) nếu tồn tại phép biến đổi tuyến tính J : R2 → R2 sao cho

|F (P0 + H) − F (P0) − J(H)|

2

.Một cách tương đương, ta có thể viết

F (P0 + H) − F (P0) = J(H) + |H| ψ(H); (1.3)với |ψ(H)| → 0 khi |H| → 0 Phép biến đổi tuyến tính J là duy nhất vàgọi là đạo hàm của F tại P0 Nếu F khả vi thì các đạo hàm riêng của

(z0) Trong khi đó, đạo hàmtheo nghĩa thực là một ma trận Tuy nhiên, chúng có mối quan hệ đặcbiệt Để tìm được quan hệ đó, ta xét giới hạn trong (1) trong hai trườnghợp sau

+ Trước hết khi h là số thực, tức là h = h1 + ih2 mà h2 = 0, (hi ∈ R).Thế thì, nếu ta viết z = x + iy, z0 = x0 + iy0 và f(z) = f(x, y) thì ta

Viết f = u + iv và sau khi tách các phần thực và phần ảo đồng thời sửdụng bất đẳng thức 1

i = −i, chúng ta thấy rằng các đạo hàm riêng của

u, v tồn tại và chúng thỏa mãn các mối quan hệ không tầm thường

∂f

∂x =

1i

∂f

∂y ⇔ ∂u∂x + i∂v

∂x =

1i

Từ đó, ta nhận được phương trình Cauchy- Riemann

 ∂

∂x +

1i

2

Định lý 1.1 Giả sử f = u + iv là hàm phức xác định trên tập mở Ω.Nếu u và v là các hàm khả vi liên tục và thỏa mãn phương trình Cauchy-Riemann trên Ω, thì f chỉnh hình trên Ω và

f0(z) = ∂f

∂z.

1.3 Chuỗi lũy thừa

Ví dụ căn bản về chuỗi lũy thừa là hàm mũ phức được xác định bởi

znn1

≤ |z|

∞

X

m=0

zmm! = e

z

và như vậy đạo hàm của ez bằng chính nó Trái lại, chuỗi hình học P∞

n=0

znchỉ hội tụ tuyệt đối trong đĩa |z| < 1 và tổng của nó là hàm 1

1 − z chỉnhhình trong tập mở C \ {1} Đẳng thức này được chứng minh như khi z

và lưu ý rằng |z| < 1, ta phải có lim

Định lý 1.2 (Hadamard) Cho chuỗi lũy thừa P∞

n=0

anzn Khi đó tồn tại

số 0 ≤ R ≤ +∞ sao cho

(i) Nếu |z| < R thì chuỗi hội tụ tuyệt đối

(ii) Nếu |z| > R thì chuỗi phân kỳ

Hơn nữa„ nếu ta sử dụng quy ước 1

0 = ∞ và 1

∞ = 0 thì số R được tínhbởi công thức

Do đó, nếu |z| < R, thì ta có thể chọn được số ε > 0 đủ nhỏ sao cho

1

n − L

< εkhi h < δ

Hệ quả 1.1 Chuỗi lũy thừa khả vi vô hạn lần trong đĩa hội tụ của nó.Đạo hàm của chuỗi lũy thừa là một chuỗi lũy thừa thu được bằng cáchlấy đạo hàm của từng số hạng của nó

Một hàm f xác định một tập con mở Ω được gọi là giải tích ( hoặc có khaitriển lũy thừa) tại điểm z0 ∈ Ω nếu tồn tại chuỗi lũy thừa P∞

1.4 Tích phân của hàm biến phức

Một trong những công cụ quan trọng để nghiên cứu của các hàm chỉnhhình là tích phân của hàm dọc theo đường cong Trước tiên, chúng tatrình bày một số khái niệm đường cong và miền

Đường cong tham số là một hàm z(t) ánh xạ đoạn [a, b] ⊂ R vào mặtphẳng phức Đường cong được gọi là trơn nếu tồn tại đạo hàm z0

(t) liêntục trên [a, b] và z0

(t) 6= 0 với mọi t ∈ [a, b]

Đường cong tham số được gọi là trơn từng khúc nếu z(t) liên tục trênđoạn [a, b] và tồn tại các điểm

a = a0 < a1 < < an = b,sao cho z(t) là trơn trên mỗi đoạn [ak, ak−1] Hai đường cong tham số

z : [a, b] → C và z : [c, d] → Cđược gọi là tương đương nếu tồn tại song ánh khả vi liên tục s → t(s)

từ [c, d] vào [a, b] sao cho t0

(s) > 0 và z(s) = z(t(s)) Điều kiện t0(s) > 0đảm bảo hướng của đường cong được xác định khi s chạy từ c đến d thì tchạy từ a đến b Họ tất cả các đường cong tham số tương đương với z(t)xác định một đường cong γ ⊂ C được gọi là ảnh của đoạn [a, b] qua z vớihướng cho bởi z khi t chạy từ a đến b Chúng ta có thể xác định đườngcong γ− thu được từ đường cong γ bằng việc đổi ngược hướng Như mộtdạng tham số hóa đặc biệt đối với γ−, chúng ta có thể lấy z : [a, b] → R2

xác định bởi

z(t) = z(b + a − t)

Các điểm z(a) và z(b) được gọi là các điểm đầu mút của đường cong.Bởi vì γ được định hướng bởi phương trình tham số z : [a, b] → C với tchạy từ a đến b, nên một cách tự nhiên gọi z(a) là điểm đầu và z(b) làđiểm cuối của đường cong

Một đường cong trơn hoặc trơn từng khúc được gọi là đóng nếu z(a) =z(b) với tham số hóa bất kỳ của nó

Một đường cong trơn hoặc trơn từng khúc được gọi là đơn nếu nó không

có điểm tự cắt, nghĩa là z(s) 6= z(t) trừ khi s = t Đường cong đơn, đónggọi là chu tuyến.

Tập D ⊂ C được gọi là một miền nếu thỏa mãn hai điều kiện sau đây(i) D là tập mở

(ii) Với mọi a, b ∈ D tồn tại đường cong liên tục L ⊂ D nối a và b.Miền giới hạn bởi chu tuyến γ được ký hiệu là Dγ Miền D được gọi

là miền đơn liên nếu với mọi chu tuyến γ ⊂ D thì ta đều có Dγ ⊂ D.Mền thu được từ miền đơn liên D sau khi bỏ đi n miền Dγ1, Dγ 2, , Dγ n

không giao nhau nằm trong D được gọi là miền (n + 1)- liên (khi khôngcần phân biệt rõ, chúng ta gọi chung là miền đa liên)

Quy ước Gọi chiều dương của biên của miền D là chiều đi dọc theobiên thì miền được xét nắm về phía tay trái, chiều có hướng ngược lại

là chiều âm Đối với miền D được xét người ta thường ký hiệu ∂D cũng

là biên của nó lấy theo chiều dương, ∂D− là biên lấy theo hướng âm.Định nghĩa 1.1 Cho đường cong trơn γ trong C được tham số hóa bởiphương trình z : [a, b] → C và hàm f liên tục trên γ Tích phân của hàm

f dọc theo γ được cho bởi công thức

Nếu viết f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) thì

b

Z

a

hu(x(t), y(t))y0(t)dt + v(x(t), y(t))x0(t)dti

v(x, y)dx + u(x, y)dy

Từ công thức trên đây cho ta thấy tích phân của hàm biến phức trênđường cong γ được hiểu như tổng của hai tích phân đường Từ tính chấtcủa tích phân đường, chúng ta dễ dàng nhận được các tính chất sau củatích phân hàm biến phức

Mệnh đề 1.3 Tích phân của hàm liên tục trên một đường cong có cáctính chất sau

γ

f (z)dz

≤ sup

z∈γ |f(z)| độ dàiγ

Ví dụ 1.5 Giả sử γ là đường cong trơn tùy ý có phương trình tham số

z = z(t); z ∈ [a, b] với các điểm đầu mút z(a) và z(b) Khi đó chúng tacó

Định lý 1.4 (Cauchy- Goursat) Giả sử D là một miền n- liên trong

C với biên ∂D gồm các chu tuyến trơn hoặc trơn từng khúc và f là hàm

chỉnh hình trên D liên tục trên D = D ∪ ∂D Khi đó, ta có công thức

Tương tự, tích phân của phần ảo của f(z) trên ∂D cũng bằng 0

Định lý 1.5 (Công thức tích phân Cauchy) Nếu f là một hàmchỉnh hình trong một miền D và z0 ∈ D Khi đó, với mọi chu tuyến bất

kỳ γ ⊂ D mà z0 ∈ Dγ ⊂ D thì

f (z0) = 1

2πiZ

∂D

f (ζ)

ζ − zdζ.

Chứng minh Giả sử γ là chu tuyến tùy ý vây quanh điểm z0 sao cho

Dγ ⊂ D Chọn ρ đủ bé sao cho đĩa đóng S(z0, ρ) tâm z0 bán kính ρ chứatrong Dγ Ký hiệu Cρ là biên của đĩa S(z0, ρ) và Dγ,ρ = Dγ \ S(z0, ρ)

Bởi vì f(ζ)/ζ −z0 là hàm chỉnh hình với mọi z ∈ Dγ\ S(z0, ρ) nên chúng

ta có

Z

γ+C − ρ

Trường hợp f liên tục trên D và f chỉnh hình trên D thì ta có thể thay

∂D cho γ trong chứng minh trên và nhận được kết quả mong muốn.Định lý 1.6 (Công thức tích phân Cauchy đối với đạo hàm) Nếu

f là hàm chỉnh hình trong một miền D thì f khả vi vô hạn lần trong D.Hơn nữa, nếu γ là chu tuyến nằm trong D, thì

dz

Bây giờ với h đủ nhỏ sao cho z0 + h ∈ Dγ, thương vi phân đối với hàm

f(n−1), được cho bởi công thức



1(ζ − z0 − h)n − 1

(ζ − z0)n−1]dζ = n!

2πiZ

γ

f (z)(z − z0)n+1dz

1.5 Khai triển chuỗi lũy thừa của hàm chỉnh hình

Định nghĩa 1.2 Giả sử hàm f khả vi vô hạn lần tại điểm z0 Khi đó,

ta gọi

Chứng minh Cố định z ∈ S(z0, ρ) và gọi Cρ là biên của đĩa S(z0, ρ).Theo công thức tích phân Cauchy, chúng ta có

f (z) = 1

2πiZ

C ρ

f (ξ)dξ

ξ − z .Chúng ta viết

z − z0

ξ − z0

số hạng của chuỗi và thu được

C ρ

f (ξ)(ξ − z0)n+1dξ

ta có

f(n)(z0) = n!

2πiZ

C ρ

f (ξ)(ξ − z0)n+1dξ

Do đó,

an = f

(n)(z0)n! ; n ≥ 0

1.6 Khai triển chuỗi lũy thừa của một số hàm sơ cấp

z2n(2n)! +

hội tụ trong đường tròn |z − z0| < R về hàm f(z) Khi đó, đạo hàm của

f (z) được tính bởi công thức

f(k)(z) = n (n − 1) (n − k + 1) cn(z − z0)n−k; k = 0, 1, 2, (2.2)Thay z = z0 vào đẳng thức(2.2) ta nhận được

f (z0) = c0, f0(z0) = c1, , fn(z0) = n!cn, (2.3)Như vậy các hệ số của chuỗi (2.1) được tính theo công thức

cn = f

(n)(z0)n! ; n = 0, 1, 2, (2.4)Bây giờ, ta giả sử hàm f khả vi vô hạn lần tại điểm z0, tại chuỗi

là chuỗi Taylor của hàm f(z) theo lũy thừa của z − z0 Khi z0 = 0 thìchuỗi (2.5) được gọi là chuỗi Maclaurin

Chứng minh Lấy z tùy ý thỏa mãn |z − z0| < R Ta chọn số r > 0 saocho:

|z − z0| < r < R Theo công thức tích phân Cauchy, ta có:

f (z) = 1

2πiZ

1(η − z0)

z − z0

η − z0

... thấy tích phân hàm biến phức trênđường cong γ hiểu tổng hai tích phân đường Từ tính chấtcủa tích phân đường, dễ dàng nhận tính chất sau củatích phân hàm biến phức

Mệnh đề 1.3 Tích phân. .. data-page="20">

1.4 Tích phân hàm biến phức

Một công cụ quan trọng để nghiên cứu hàm chỉnhhình tích phân hàm dọc theo đường cong Trước tiên, chúng tatrình bày số khái niệm đường cong... biên lấy theo chiều dư? ?ng, ∂D− biên lấy theo hướng âm.Định nghĩa 1.1 Cho đường cong trơn γ C tham số hóa bởiphương trình z : [a, b] → C hàm f liên tục γ Tích phân hàm

f dọc