Luận văn sư phạm Xấp xỉ biến đổi Laplace ngược và công thức cầu phương nội suy

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TPHCM LÊ DUY THỨC Chuyên Ngành Mã Số : : Toán Giải Tích 604601 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN CAM Thành Phố Hồ Chí Minh – Năm 2006 LỜI MỞ ĐẦU Phép biến đổi Laplace có nhiều áp dụng quan trọng khoa học kỹ thuật Bài toán khôi phục hàm gốc từ hàm ảnh phép biến đổi Laplace nhiều nhà Toán học quan tâm khảo cứu đến có nhiều phương pháp đưa Trong luận văn này, khảo sát số phương pháp tính xấp xỉ biến đổi Laplace ngược thông qua công thức cầu phương nội suy Trong chứng minh hội tụ công thức nội suy, tính ổn định nghiệm xấp xỉ thu được, minh hoạ việc giải số máy tính thông qua ví dụ cụ thể Luận văn chia làm chương sau : Chương : Trình bày kiến thức chuẩn bị cho việc tính toán tích phân Mellin Chương : Khảo sát số phương pháp tính tích phân Mellin công thức cầu phương nội suy Sau định lý hội tụ trình nội suy tính ổn định nghiệm xấp xỉ Chương : Đưa công thức cầu phương nội suy với độ xác cao Chương : Xây dựng công thức tính toán cho công thức cầu phương nội suy với hệ số cân Cuối ví dụ giải số máy tính LỜI CẢM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Nguyễn Cam, người Thầy dạy dỗ, dìu dắt từ năm đầu đại học Xin chân thành cảm ơn PGS.TS Lê Hoàn Hóa, PGS.TS Nguyễn Bích Huy, TS Nguyễn Thành Long, người Thầy quan tâm, giúp đỡ truyền đạt cho kiến thức tảng thời gian học đại học cao học Xin cảm ơn Thầy hội đồng chấm luận văn cho nhận xét quý báu, Thầy- Cô truyền đạt kiến thức học phần Cảm ơn BGH Trường PTTH Mạc Đónh Chi TPHCM, đồng nghiệp tạo điều kiện, động viên để hoàn thành khoá học Cảm ơn gia đình, bạn bè người thân hỗ trợ, giúp đỡ nhiều mặt Xin cảm ơn bạn Thúy Trang, University of Western Australia, động viên cung cấp nhiều tài liệu bổ ích trình làm luận văn MỤC LỤC Lời mở đầu Hình 4.1 Hình 4.2 Hình 4.3 CHƯƠNG I : MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 79 80 81 CHƯƠNG : MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN MELLIN BẰNG CÔNG THỨC CẦU PHƯƠNG NỘI SUY 2.1 Lý Thuyết Tổng Quát Về Các Phương Pháp Nội Suy 13 2.2 Phương Pháp Nội Suy Với Mốc Nội Suy Cách Đều 16 2.3 Phương Pháp Nội Suy Với Mốc Nội Suy Không Cách Đều 17 2.4 Phương Pháp Nội Suy Sử Dụng Chuỗi Taylor Chặt cụt 23 2.5 Sự Hội Tụ Của Quá Trình Nội Suy Công Thức (2.3.7) 24 2.6 Sự Hội Tụ Của Quá Trình Nội Suy Của (2.1.6) 31 CHƯƠNG : PHƯƠNG PHÁP SỐ CỦA BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯC THÔNG QUA CÔNG THỨC CẦU PHƯƠNG VỚI ĐỘ CHÍNH XÁC CAO NHẤT 3.1 Lý thuyết công thức cầu phương 34 3.2 Các Đa Thức Trực Giao Liên Hệ Với Công Thức Cầu Phương 43 3.3 Phương Pháp Tính Các Hệ Số Và Các Điểm Của Công Thức Cầu Phương 64 CHƯƠNG : CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯC THÔNG QUA CÔNG THỨC CẦU PHƯƠNG VỚI HỆ SỐ CÂN BẰNG 4.1 Xây Dựng Công Thức Tính Toán 72 4.2 Một Ví Dụ Về Lời Giải Số 76 Kết luận Tài liệu tham khảo CHƯƠNG I : MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Định nghóa Cho f (t ) với t ≥ , f (t ) khả tích đoạn [a,b], (0 ≤ a < b) với số phức p = σ + iτ , ta định nghóa F ( p ) = +∞ ∫e − pt f (t )dt (1) F(p) gọi biến đổi Laplace f (t ) 1.2 Định lý Nếu F(p) xác định p0 = σ0 + iτ0 F(p) xác định p = σ + iτ thoaû Re( p − p0 ) = σ − σ0 ≥ Chứng minh t Đặt ϕ(t ) = ∫ f (u )e − p0 u du (t ≥ 0) Vì F ( p0 ) = +∞ ∫e − p0 t f (t )dt xác định nên lim ϕ(t ) tồn Suy tồn số Q t →∞ cho: ϕ(t ) ≤ Q, ∀t ≥ Xeùt Re( p − p0 ) = σ − σ0 ≥ c (với c >0), a>0, b>0 Ta có : a +b ∫ f (t )e − pt dt = a +b a ∫ e− ( p − p0 )t d ϕ(t ) a =e − ( p − p0 )t ϕ(t ) a +b a − a +b ∫ ( p0 − p )e− ( p − p0 )t ϕ(t )dt a (tích phân phần) ≤ ϕ(a + b).e − ( p − p0 )( a + b ) − ϕ(a ).e − ( p − p0 ) a + p − p0 a +b ∫ e− ( p − p0 )t ϕ(t ) dt a ≤ Q e − ( p − p0 )( a + b ) +Q e − ( p − p0 ) a + Q p − p0 a +b ∫ e− ( σ−σ0 )t dt a ≤ Q.e − c ( a + b ) + Qe− ca + Q p − p0 a +b ∫ e− ct dt a ≤ Q.e − ca + Q.e − ca e− ct + Q p − p0 −c a +b a Q p − p0 (e− ca − e − c ( a + b ) ) c Q ≤ 2Qe− ca + p − p0 e− ca c p − p0 − ca ≤ Q(2 + ).e < ε c ≤ 2Qe− ca + (khi a đủ lớn) Vậy theo điều kiện Cauchy +∞ ∫e Re p ≥ Re p0 − pt f (t )dt hội tụ nên F(p) xác định p với 1.3 Định lý Cho F(p) xác định p0 = σ0 + iτ0 F(p) hàm quy nửa mặt phẳng Rep> σ0 Chứng minh Xét p = σ + iτ với σ > σ0 Lấy miền D đóng bị chặn chứa nửa mặt phẳng Rep > σ0 , p ∈ D Khi ⎧ Re( p − p0 ) ≥ 2c ⎩ p − p0 ≤ M , ∀p ∈ D Tồn c >0, M >0, thỏa : ⎨ n Xét dãy Fn ( p ) = ∫ e − pt f (t ) dt , p ∈ D, n = 1,2,3 Ta có Fn hàm giải tích D vì: Fn ( p + h) − Fn ( p) n − ( p + h )t = lim ∫ (e − e − pt ) f (t )dt lim h h→0 h→0 h n − ( p + h )t = lim ∫ h→0 e − e − pt h n = lim ∫ e− pt f (t )t h→0 f (t )dt e− ht − dt ht n = − ∫ e − pt f (t )tdt Với m, n > 0, m < n ta coù : n Fn ( p ) − Fm ( p ) = ∫ e − pt m f (t )dt − ∫ e − pt n f (t )dt = ∫ e − pt f (t )dt Theo chứng minh định lý mục 1.2 ta có: m n ∫e − pt f (t )dt ≤ Q(2 + m M − cm )e c Fn ( p ) − Fm ( p ) < ε, ∀p ∈ D , m đủ lớn Vậy Fn(p) hội tụ F(p) Fn(p) giải tích, F ( p ) giải tích D Hay F(p) quy nửa mặt phẳng Re p > σ0 1.4 Nhận xét ∞ Đặt E = { σ ∈ R / ∫ e− pt f (t )dt hội tụ } ( P = σ + iτ ) Vaø γ = inf E + Neáu γ = +∞ : E = ∅ ⇒ F ( p ) không xác định p + Neáu γ = −∞ : E = R ⇒ F ( p ) xác định với p + Nếu γ ∈ R : - Với σ < γ F(p) không xác định - Với σ > γ F(p) xác định F(p) hàm qui 1.5 Định nghóa f(t) gọi hàm gốc thỏa: 1) f(t) xác định với ∀t ∈ R , f(t) = với ∀t < 2) f (t ) khả tích đoạn hữu hạn 3) F ( p ) = +∞ ∫e − pt f (t )dt xác định p Lúc ta gọi F(p) hàm ảnh biến đổi Laplace f 1.6 Định lyù Cho M ≥ 0, α ∈ R cho : f (t ) ≤ Me −αt , ∀t ≥ ø, ta có : γ ≤ α ( γ định nghóa 1.4) Chứng minh Đặt Re p = σ giả sử σ > α thì: ∞ ∫ e − pt f (t ) dt = ∞ ∫ f (t ) e − σt dt ∞ ≤ ∫ M eαt e −σt dt ∞ ≤ M ∫ e(α −σ)t dt < ∞ ⇒ F ( p ) xác định với Re p = σ > α Vậy γ ≤ α 1.7 Định lý Cho F(p) xác định p0 = σ0 + iτ0 lim F ( p ) = p →∞ ( nửa mặt phẳng Re p ≥ σ0 ) Chứng minh Vì F(p) xác định p0 nên F(p) xác định p có Re p ≥ σ0 Xét A>0, ta có : F ( p) = +∞ ∫e − pt A f (t )dt = ∫ e − pt f (t )dt + +∞ ∫e A − pt f (t )dt ≡ M1 + M với M = +∞ ∫e − pt f (t )dt = +∞ ∫e A ≤ +∞ ∫ − p0 t f (t ).e ( p0 − p )t dt ≤ A +∞ ∫ e− p0 t f (t ) e(σ0 − σ)t dt A e− p0 t f (t ) dt (vì e(σ0 −σ)t ≤ 1) A Vì F ( p0 ) xác định nên với A đủ lớn M < ε Ta có f (t ) khả tích đoạn [0,A] nên tồn hàm g(t) khả vi liên tục thỏa : A ∫ f (t ) − g (t ) e−σ0 t dt < ε A A A 0 Do M1 = ∫ e − pt f (t )dt = ∫ e − pt [ f (t ) − g (t )]dt + ∫ e − pt g (t ) dt ≡ M + M A Trong M ≤ ∫ e −σt A f (t ) − g (t ) dt ≤ ∫ e −σ0 t f (t ) − g (t ) dt < ε A M4 = ∫ e − pt g (t )dt = − g (t )e − pt p A A A − pt + ∫ e g '(t )dt p0 1 = g (0) − g ( A).e − pA + ∫ e− pt g '(t )dt p p p0 suy M ≤ p ≤ với p > A ⎛ −σ0 A + ∫ e −σ0 t g '(t ) dt ⎜⎜ g (0) + g ( A).e ⎝ ⎞ ⎟⎟ ⎠ L (L phụ thuộc A) p L M < ε F ( p ) < 3ε Vaäy lim F ( p ) = p →∞ ε 69 Điều gặp hai khó khăn : thứ với giá trị tham số s ta phải xác định hệ số Pn( s ) ( x) thông qua công thức truy hồi Thứ hai việc tính toán nghiệm đa thức Pn( s ) ( x) nhờ công thức Newton làm giảm độ xác n có giá trị lớn Để tránh điều ta sử dụng phương pháp khác để tìm điểm công thức cầu phương Với nghiệm xk đa thức Pn( s ) ( x) ta xây dựng hệ phương trình đại số chứa xk tham số s Xét phương trình vi phân có nghiệm đa thức Pn( s ) ( x) : x Pn( s ) '' ( x) + ( sx − 1) Pn( s ) ' ( x) − n(n + s − 1) Pn( s ) ( x) = (3.3.9) Ta có nhận xét xk2 Pn( s ) ' ( xk ) ≠ Thật từ (3.2.1) số hạng tự Pn( s ) ( x) khác nên xk ≠ Hơn nữa, từ (3.3.9) Pn( s ) ' ( xk ) = Pn( s ) '' ( xk ) = Đạo hàm phương trình (3.3.9) n lần ta có : Pn( s ) ''' ( xk ) = 0, Pn( s ) (4) ( xk ) = 0, , Pn( s ) Điều vô lý Pn( s ) (n) (n) ( xk ) = ( xk ) ≠ Trong (3.3.9) lấy x = xk chia hai veá cho xk2 Pn( s ) ' ( xk ) ≠ ta : Pn( s ) ' ( xk ) Pn( s ) '' ( xk ) + s − =0 xk x (k ) Ta viết Pn( s ) ( x) dạng : n Pns ( x) = a ( x − x1 ( x − x2 ) ( x − xn ) = a ∏ ( x − xm ) m =1 : (3.3.10) 70 n n Pn( s ) ' ( x) = a ∑ ∏ ( x − xm ) i =1 m =1 m≠i n Pn( s ) ' ( xk ) = a ∏ ( xk − xm ) m =1 m≠k Pn( s ) '' ( x) n = a∑ n n ∑ ∏ j =1 i =1 m =1 i ≠ j m ≠ i, j n n Pn( s ) '' ( xk ) = 2a ∑ ∏ n n j =1 m =1 j ≠ k m ≠ j, k ( x − xm ) ( xk − xm ) Suy : 2a ∑ Pn( s ) '' ( xk ) Pn( s ) ' ( xk ) ∏ j =1 m =1 j ≠ k m ≠ j, k n = ( xk − xm ) a ∏ ( xk − xm ) m =1 m≠k = n ∑ (x j =1 j≠k k − xj) Phương trình (3.3.10) viết lại sau : n ∑ (x j =1 j≠k Thay xk k s + − =0 − x j ) xk xk (3.3.11) ta : pk (3.3.11) 71 n pk p j ∑ (p j =1 j≠k ⇔ n ∑ (p j =1 j≠k ⇔ − Pk ) j 2pj j n − Pk ) ∑ 2(1 + j =1 j≠k n ∑ (p j =1 j≠k ⇔ ∑ (p j =1 j≠k k + s − pk = pk ) + s − pk = p j − pk ⇔ 2(n − 1) + n + spk − pk2 = pk + s − pk = 0, P ) − j k 2n + s − +1− =0 − Pj ) pk (3.3.12) Từ (3.3.12) thay k = 1,2, , n ta có hệ phương trình xác định điểm pk cho công thức cầu phương 72 CHƯƠNG CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯC THÔNG QUA CÔNG THỨC CẦU PHƯƠNG VỚI HỆ SỐ CÂN BẰNG 4.1 Xây Dựng Công Thức Tính Toán Giả sử toán tính biến đổi Laplace ngược quy toán tính tích phân : c + i∞ p − s ∫ e p ϕ( p)dp 2πi c − i∞ (4.1.1) Ta xây dựng công thức cầu phương với hệ số cân : n c + i∞ p − s ( ) e p ϕ p dp ≈ C ϕ( pk ) ∑ n ∫ 2πi c − i∞ k =1 (4.1.2) Các đại lượng chưa biết (4.1.2) số Cn pk ( k = 1,2 , n ) Ta chọn chúng cho (4.1.2) xác theo đa thức bậc n theo biến đương với công thức (4.1.2) xác theo hàm ϕ( p ) = pk Yêu cầu tương p (k = 0,1,2 , n) Nhân tử Cn xác định từ điều kiện mà (4.1.2) xác với ϕ( p ) ≡ : ε + i∞ p − s ∫ e p dp = nCn 2πi ε − i∞ 73 1 ε + i∞ p − s Cn = e p dp = ∫ n 2πi ε − i∞ nΓ( s) neân : (4.1.3) Với giá trị Cn vừa tìm (4.1.2) trở thaønh : ε + i∞ p − s n ∫ e p ϕ( p)dp ≈ nΓ( s) ∑ ϕ( pk ) 2πi ε − i∞ k =1 Chuyeån từ biến p sang biến x = (4.1.4) 1 đặt xk = ta có hệ phương trình sau : pk p nΓ( s ) ε + i∞ p − s −1 nΓ( s ) ⎫ x1 + x2 + xn = e p p dp = ⎪ ∫ 2πi ε − i∞ Γ( s + 1) ⎪ nΓ( s ) ε + i∞ p − s −2 nΓ( s ) ⎪⎪ 2 x1 + x2 + xn = ∫ e p p dp = Γ( s + 2) ⎪ 2πi ε − i∞ ⎬ ⎪⎪ nΓ( s ) ε + i∞ p − s − n nΓ( s ) ⎪ n n n x1 + x2 + xn = e p p dp = ⎪ 2πi ε −∫i∞ Γ( s + n) ⎪⎭ (4.1.5) Từ hệ ta nhận giá trị xk nên nhận pk Nhưng hệ phi tuyến nên gặp khó khăn việc tìm nghiệm Chúng cố gắng tìm phương pháp khác để tính xk Ta giới thiệu hàm ωn ( x) mà nghiệm số xk : ωn ( x) = ( x − x1 )( x − x2 ) ( x − xn ) Khai triển đa thức theo biến x : 74 ωn ( x) = x n + A1 x n −1 + A2 x n − + + An −1 x + An Để ý hệ số Ak hàm đối xứng nghiệm Cộng phương trình (4.1.5) theo vế ta có : Si = n ∑ xik k =1 = nΓ( s ) (i = 1,2, n) Γ(i + s ) (4.1.6) Từ tính chất đa thức ta có quan hệ sau gọi quan hệ Newton : S1 + A1 = ⎫ ⎪ S2 + A1S1 + A2 = ⎪⎪ S3 + A1S2 + A2 S1 + A3 = ⎬ ⎪ ⎪ Sn + A1Sn −1 + A2 Sn − + + nAn = ⎪⎭ (4.1.7) Thay (4.1.6) vào (4.1.7) ta : 1 ⎫ + A1 = ⎪ Γ( S + 1) nΓ( s ) ⎪ 1 ⎪ + A1 + A2 = ⎪ Γ( s + 2) Γ( s + 1) nΓ( s ) ⎪ 1 ⎪ + A1 + A2 + A3 = ⎪ Γ( s + 3) Γ( s + 2) Γ( s + 1) nΓ( s ) ⎬ ⎪ ⎪ 1 ⎪ + A1 + A2 + + ⎪ Γ( s + n) Γ( s + n − 1) Γ( s + n − 2) ⎪ n ⎪ An −1 + An = ⎪ Γ( s + 1) nΓ( s ) ⎭ (4.1.8) 75 Các giá trị Ak tìm từ hệ Vì ma trận hệ số có dạng tam giác n k [Γ( s )]k nên có định thức : k nên Ak = − Δ , : k! n [Γ( s)]k k! nΓ( s ) Γ( s + 1) Δ = Γ( s + 2) Γ( s + k − 2) Γ( s + k − 1) nΓ( s ) Γ( s + 1) Γ( s + k − 3) Γ( s + k − 2) 0 nΓ( s ) k −1 Γ( s + k − 4) nΓ( s ) 1 Γ( s + k − 3) Γ( s + 1) Γ( s + 1) Γ( s + 2) Γ( s + 3) Γ( s + k − 1) Γ( s + k ) n s Với ≤ k ≤ n A1 = − Tìm tất Ak ta xây dựng đa thức ωn ( x) Sau tìm nghiệm xk nó, ta xác định tất điểm pk = cho công thức cầu phương (4.1.4) xk 76 4.2 Một Ví Dụ Về Lời Giải Số Trong phần này, sử dụng MATLAB để xây dựng chương trình tính xấp xỉ f(t) công thức cầu phương nội suy với mốc nội suy cách (1.2.1) Chương trình cho phép tính hệ số đa thức xấp xỉ hàm f(t) (hàm gốc) biết F(p) (hàm ảnh) số khoảng nội suy Sau vẽ đồ thị đa thức xấp xỉ Để minh họa, chương trình sau lấy F ( p ) = cho bảng f (t ) = e −t %tinh xap xi f(t) clc disp('chuong trinh tinh xap xi f(t)') disp('nhap vao so khoang noi suy'); n = input(' so khoang noi suy n =' ); %khoi phuc da thuc tu so lk(1/p) % vong lap tinh akj Z=zeros(1,(n+1)); for k=0:n %tinh k giai thua if (k==0) kgt=1; else mà hàm gốc p +1 77 kgt =1; for l=1:k kgt=kgt*l; end end % tinh (n-k) giai thua if ((n-k)==0) nkgt=1; else nkgt =1; for m=1:(n-k) nkgt=nkgt*m; end end A=[1:(n+1)] A(:,(k+1))=[] B=poly(A) E=(((-1)^(n-k))*(k+1)^n)/((kgt)*(nkgt)) M=B*E X=((k+1)/(k+2))*M Z=Z+X end heso=[]; % ϕ( p + 1) = ( p + 1) /( p + 2) 78 for j=0:n % tinh j giai thua if (j==0) jgt=1; else jgt =1; for w=1:j jgt=jgt*w; end end a=(1/jgt)*Z((j+1)) heso=[heso,a] end hsdt=heso(:,(n+1):-1:1) t=[0:0.1:n+1]; y=exp(-t); plot(t,polyval(hsdt,t),t,y,'r-') axis equal legend('hamxapxi','y=exp(-t)') Đồ thị đa thức xấp xỉ hàm gốc sau cho thấy hội tụ phương pháp : KẾT LUẬN Cho đến nay, toán tính biến đổi Laplace ngược toán mở Ngoài phương pháp nhận nhiều quan tâm nghiên cứu sử dụng tính giải tích hàm ảnh, khai triển hàm gốc dựa vào đa thức trực giao…thì phương pháp số để tính tích phân Mellin có nhiều áp dụng thực tiễn Trong chương thu công thức xấp xỉ hàm gốc sau: n ⎤ c + i∞ pt − s ⎡ n ⎛ ⎞ ϕ + ( ) ( ) f (t ) = e p l p r p dp ≈ ∑ Ak (t )ϕ( pk ) ⎢∑ k⎜ ⎟ ⎥ k n ∫ 2πi c −i∞ p k =0 ⎣k =0 ⎝ ⎠ ⎦ : f (t ) ≈ Ak (t ) = n ak j t s + j −1 j =0 Γ( s + j ) ∑ n ∑ Ak ϕ( pk ) k =1 : (−1)n −1 (n − 1)!(2n + s − 2) Ak = Γ(n + s − 1) Pn ( xk ) P 'n ( xk ) Cuối ví dụ cụ thể giải số chương TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Anh Krylov V.I and Skoblya N.S (1985), A handbook of Methods of Approximate Fourier Transfomation and Inversion of The Laplace Transformation, Mir publisher, Moscow Krylov V.I (1962), Approximate Calculation of Integrals, the Macmillan Company, New York Krylov V.I., Skoblya N.S., Handbook of Numerical Inversion of Laplace Transforms, IPST Press, Jerusalem Smirnov V.I., and Lebedev, N.A (1964), A Constructive Theory of functions of a Complex Variable, Nauka, Moscow Sveshnikov A.G., Tikhonov N.A (1978), The Theory of Functions of a Complex Variable, Mir publisher, Moscow Tiếng Việt 1.Đặng Đình ng, Trần Lưu Cường, Huỳnh Bá Lân, Nguyễn văn Nhân (2001), Biến Đổi Tích Phân, NXB Giáo Dục so khoang noi suy n = hamxapxi y=exp(−t) 1.5 y 0.5 −0.5 0.5 1.5 t 2.5 so khoang noi suy n = hamxapxi y=exp(−t) 1.5 y 0.5 −0.5 −1 0.5 1.5 t 2.5 3.5 so khoang noi suy n= hamxapxi y=exp(−t) 1.5 y 0.5 −0.5 −1 −1.5 0.5 1.5 2.5 t 3.5 4.5 ... Trong luận văn này, khảo sát số phương pháp tính xấp xỉ biến đổi Laplace ngược thông qua công thức cầu phương nội suy Trong chứng minh hội tụ công thức nội suy, tính ổn định nghiệm xấp xỉ thu... lý hội tụ trình nội suy tính ổn định nghiệm xấp xỉ Chương : Đưa công thức cầu phương nội suy với độ xác cao Chương : Xây dựng công thức tính toán cho công thức cầu phương nội suy với hệ số cân... thuyết công thức cầu phương 34 3.2 Các Đa Thức Trực Giao Liên Hệ Với Công Thức Cầu Phương 43 3.3 Phương Pháp Tính Các Hệ Số Và Các Điểm Của Công Thức Cầu Phương 64 CHƯƠNG : CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH BIẾN