Luận văn sư phạm Xấp xỉ đều tốt nhất

tr ng đ i h c s ph m hà n i khoa toán - - lê th vân dung x p x đ u t t nh t KHÓA LU N T T NGHI P Chuyên ngành: Gi i tích Hà N i ậ 2010 IH C tr ng đ i h c s ph m hà n i khoa toán - - lê th vân dung x p x đ u t t nh t KHÓA LU N T T NGHI P IH C Chuyên ngành: Gi i tích Ng ih ng d n khoa h c TS Nguy n V n Hùng Hà N i - 2010 L ic m n Tr c h t, xin bày t lòng bi t n sâu s c đ n ti n s Nguy n V n Hùng ậ Khoa Tốn ậ Tr tình giúp đ , h ng i H c S Ph m Hà N i Th y t n ng d n su t q trình th c hi n hồn thành khoá lu n t t nghi p Nhân d p xin chân thành cám n ban giám hi u, ban ch nhi m khoa toán, th y giáo, cô giáo khoa t o u ki n thu n l i đ tơi hồn thành t t khố lu n Bên c nh đó, mu n g i l i cám n đ n gia đình, b n bè, b n sinh viên khoá K32 C Nhân Toán đ ng viên, t o u ki n giúp đ hồnh thành đ tài khố lu n t t nghi p Do h n ch v kinh nghi m th i gian nên khóa lu n cịn nhi u thi u sót Tơi kính mong nh n đ b n đ c đ khóa lu n c a tơi đ c s góp ý c a th y giáo, giáo c hồn ch nh h n Tôi xin chân thành cám n ! Hà N i, tháng n m 2010 Sinh viên Lê Th Vân Dung L i cam đoan tài c a tơi đ c hồn thành d i s h ng d n c a th y giáo Nguy n V n Hùng v i s c g ng c a b n thân Trong trình nghiên c u th c hi n đ tài tham kh o m t s tài li u (đã nêu ph n tài li u tham kh o) Tôi xin cam đoan nh ng k t qu đ tài k t qu nghiên c u c a riêng tôi, không trùng v i tác gi khác N u sai tơi xin ch u hồn tồn trách nhi m Hà N i, tháng n m 2010 Sinh viên Lê Th Vân Dung M cl c M đ u…………………………………………………………………… N i dung………………………………………………………………… Ch ng M t s khái ni m c b n………………………………… 1.1 Khơng gian n tính……………………………………………… 1.2 Không gian đ nh chu n……………………………………………… 1.3 Không gian Hilbert………………………………………………… 10 Ch ng X p x t t nh t khơng gian n tính đ nh chu n 13 2.1 X p x t t nh t khơng gian n tính đ nh chu n…………… 13 2.1.1 Bài toán……………………………………………………… 13 2.1.2 Các đ nh lý…………………………………………………… 13 2.2 X p x t t nh t khơng gian n tính đ nh chu n Ca ,b ……… 15 2.2.1 Bài toán……………………………………………………… 15 2.2.2 Các đ nh lý…………………………………………………… 15 2.3 M t s tr ng h p đ c bi t………………………………………… 19 2.3.1 X p x b ng đa th c b c không……………………………… 20 2.3.2 X p x b ng đa th c b c nh t………………………………… 20 2.4 Ví d ………………………………………………………………… 21 Ch 27 ng X p x t t nh t không gian Hilbert………………… 3.1 B t đ ng th c Bessel đ ng th c Parseval…………………… 27 3.2 X p x t t nh t không gian Hilbert…………………………… 29 3.2.1 Bài toán……………………………………………………… 29 3.2.2 Các đ nh lí…………………………………………………… 29 3.3 X p x t t nh t L2  a , b ……………………………………… 33 3.3.1 X p x b ng đa th c đ i s …………………………………… 33 3.3.2 X p x b ng đa th c tr c giao……………………………… 3.3.3 X p x trung bình ph 34 ng b ng h tr c giao hàm cho b ng b ng……………………………………………………………………… 37 3.4 Ví d ………………………………………………………………… 40 K t lu n………………………………………………………………… 46 Tài li u tham kh o……………………………………………………… 47 M đ u Lý chon đ tài Gi i tích s hay g i ph ng pháp s , ph ng pháp tính, tốn h c tính tốn, m t khoa h c nghiên c u cách gi i g n đúng, ch y u gi i s , gi i ph ng trình, gi i toán x p x hàm s toán t i u Các toán x p x hàm s m t nh ng nhi m v c a gi i tích s , b ng vi c thay m t hàm có d ng ph c t p ho c m t hàm d i d ng b ng b ng nh ng hàm s đ n gi n h n v i sai s nh M t b ph n nh c a x p x hàm x p x đ u t t nh t có th áp d ng đ gi i m t s tốn tìm giá tr l n nh t nh nh t c a m t hàm s hay m t bi u th c th tr ng đ c p nh ng k thi n sinh vào ng đ i h c, cao đ ng, trung c p d y ngh D i s h ng d n c a th y giáo Nguy n V n Hùng nh n th c trên, xin m nh d n nghiên c u đ tài : “X PX C th U T T NH T” nghiên c u hai v n đ Nghiên c u x p x đ u t t nh t khơng gian n tính đ nh chu n Nghiên c u x p x đ u t t nh t không gian Hilbert ây đ tài có ph m vi quy mơ nh ngành gi i tích tốn h c V i hy v ng s làm sáng t thêm v lý thuy t x p x hàm Khoá lu n c a tơi g m ba ph n: L i nói đ u, n i dung, k t lu n Do th i gian n ng l c có h n nên khố lu n c a tơi khó tránh kh i nh ng thi u sót Vì v y r t mong nh n đ th y giáo, cô giáo b n sinh viên c ý ki n đóng góp c a M c đích nghiên c u tài nghiên c u “x p x đ u t t nh t” nh m tìm hi u tốn khơng gian đ nh chu n không gian Hilbert Nhi m v nghiên c u Tìm hi u tốn khơng gian đ nh chu n khơng gian Hilbert it ng ph m vi nghiên c u it ng ph m vi nghiên c u hàm không gian đ nh chu n không gian Hilbert Ph ng pháp nghiên c u c phân tích tài li u liên quan Ch ng M t s khái ni m c b n 1.1 khơng gian n tính nh ngh a 1.1.1 Trên t p X   , xác đ nh m t c u trúc n tính  n u v i m i x, y  X v i m i t  R (ho c t  C ) xác đ nh phép c ng x  y  X phép nhân tx  X th a mãn tính ch t sau: a x  y  y  x b  x  y   z  x   y  z  s  tx   st  x c  s  t  x  sx  tx t  x  y   tx  ty d   X : x    x,  x  X e   x  X : x    x  0, x  X f 1x  x x , y , z X ; s, t  R ( ho c s , t  C ) Khi  X ,   khơng gian n tính nh ngh a 1.1.2 Cho h n véct x1 , , xn không gian n tính X Xét đ ng th c véct 1 x1   x2    n xn  ng th c x y n u 1      n  h n véct đ c l p n tính ho c  b 1, , , n v i n  i 1 i  đ đ ng th c x y h n véct ph thu c n tính T p h p K X g i l i n u  x, y K đo n th ng n i x, y n m K 1.2 Không gian đ nh chu n 1.2.1 M t vài đ nh ngh a nh ngh a 1.2.1.1 Gi s X m t không gian n tính R ánh x  : X  R xác đ nh X l y giá tr t p s th c: x  R ,  x  X th a mãn u ki n: a x  0,  x  X x 0 x0 b x  y  x  y ,  x, y  X c  x   x ,    R, x  X c g i m t chu n X Khơng gian n tính X v i  đ c g i m t khơng gian n tính đ nh chu n nh ngh a 1.2.1.2 Hai  ,  xác đ nh khơng gian n tính X g i t ng đ ng, n u t n t i hai h ng s c1 , c2  cho:  x  X c1 x  x  c2 x1 nh ngh a 1.2.1.3 Cho X, Y hai không gian n tính đ nh chu n ánh x A: X  Y g i (gi i n i) b ch n n u t n t i h ng s M  cho: x  X Ax Y  M x X 1.2.2 M t vài đ nh lý ví d nh lý 1.2.2.1 N u X m t khơng gian n tính h u h n chi u m i chu n X t ng đ ng Ch ng minh Th t v y, gi s X có   hai chu n cho tr c G i S  x  X | x  1 Vì S đóng X có s chi u h u h n nên  đ t max S ký hi u M m t Xét x  ph n t b t kì X , 10 ng ng Th t v y, v i n  Ge1   e1 , e1  e1 Gi s Ge1 , e2 , , en   Khi    theo 3.5 ta có d en 1 , Span ei 1    n Ge1 , e2 , , en 1  Ge1 , e2 , , en   Vì d en 1 , Span ei 1  Ge1 , e2 , , en   theo gi thi t qui n p, n Ge1 , e2 , , en 1   nên 3.3 x p x t t nh t L2 a , b ng kh tích v i tr ng p  x  a , b Hàm Xét hàm bình ph p  x khơng âm  a , b mes x  a , b : p  x  0  Ta đ nh ngh a b tích vơ h f , g :  p  x f  x g  x dx ng a 3.3.1 X p x b ng đa th c đ i s Cho h hàm xi 0 đ c l p n tính a, b G i Pn t p h p t t c    đa th c b c không n Rõ ràng Pn  Span xi 0 Theo m nh đ n 3.2.2.2 t n t i nh t đa th c p  Pn cho b  : f  p   p  x  f  x  p  x  dx  inf f  Q 2 n QPn a t b b a a si :  pxxi dx ; mi :  f x pxxi dx h 3.2 tr thành s0 c0  s1c1   sn cn  m0 s c  s c   s c  m 1 n 1 n   sn c0  sn 1c1   s2 n cn  mn 35 3.6 ph ng sai  n2 tính theo cơng th c s0 sn m0 s1 sn 1 m1 1 s0 sn  n2   s n s n mn m0 mn f sn s n Chú ý: Khi px  1; a  0, b  si   xi dx    i  0,2n i 1 n   Ma tr n c a 3.6  ma tr n Hilbert    i  j  i j 0 3.3.2 X p x b ng đa th c tr c giao Trong không gian L2p  a , b hàm bình ph ng kh tích v i tr ng p  x , ta có kh ng đ nh sau Hai h đa th c tr c giao ch khác nh ng th a s h ng s S nghi m th c c a đa th c tr c giao Qn x a, b b ng n Nghi m c a Qn 1 x Qn x xen k l n M i đa th c tr c giao Qn x th a mãn công th c truy h i sau a n , n 1Qn 1 x  a n , n  xQn  x  a n 1, n Qn 1  x  3.3.2.1 a th c Legendre px  1; a  1; b  Công th c Rodrigue Ln  x  n  0 n dn  x 1  n n   n ! dx    Công th c truy h i n  1L x  2n  1xL x  nL x  n 1 n 36 n 1 Ph ng trình vi phân d  dLn      nn  1Ln   x dx  dx  Chu n   Ln    L2n  xdx   2n   1  L0  x  ; L1  x  x ;   3x2  ; x3  x L3  x  L2  x  35 x4  30 x2  ; 63x5  70 x3  15 x L5  x  ; L4  x  Các đa th c Legendre thu đ c b ng trình tr c giao hóa Schmidt đo n  1,1 h c s đ i s 1, x, x2 , , xn , gi i tốn 3.1 ta tìm đa th c x p x t t nh t pn x   ck Lk x v i ck  n i 0 Ph ng sai   n2    f x  pn x dx   f xdx   1 1 1 3.3.2.2 a th c Chebysev p  x  1  x2 ; a  1; b  Tn  x  cos  narc cos x, x  1,1 Công th c truy h i Tn 1 x  xTn x  Tn 1 x 37  2k  1 f  xLk  xdx k  0, n 1 ck2 k  2k  n Ph ng trình vi phân 1  x T x  xT x  n T x  2 n n n Chu n    T  x   dx    Tn     1  x    2 n n0 n0 a th c x p x t t nh t pn x   ciTi x n i 0 c0  ck      f  cos  d   f  cos  cos k. d  k  1   n 1 f  x 1 x dx    2c02  c12   cn2  3.3.2.3 a th c Hermitte p x  e  x ; a  ; b     d n x e H n  x   1 e dxn n x2 Công th c truy ch ng H n 1 x  xH n x  2nH n 1 x  Ph n  1 ng trình vi phân H n  xH n  2nH n  Chu n     2 H n    e  x H n2 xdx  n n!     a th c x p x t t nh t có d ng 38 pn x   ci H i x n i 0  1  i ci  3.3.2.4 a th c l e  2i i!  x2 f xH i xdx  ng giác p  x  1; a   ; b   H hàm l ng giác 1, cos x, sin x, , cos nx, sin nx,  tr c giao đ y đ H  L2   ,   Chu n    1dx  2    cos cos kx  2 kxdx   ;  k  1    sin sin kx  2 kxdx    a th c x p x t t nh t có d ng n pn  x  a    a k cos kx  bk sin kx k 1 v i  a0   f  x dx 2   a k   f  x cos kxdx    bk   f  x sin kxdx   (đây khai tri n Fourier theo ngh a h p) Ngoài ra,   f  pn n   2a  n a  b    f x dx     k k   k 1    39 Nh ta bi t, chu i Fourier h i t L2p a , b N u f  C1a ,b  , có th ch ng minh r ng chu i Fourier h i t đ u m i đo n h u h n thu c a, b  ( a  , b   ) 3.3.3 X p x trung bình ph ng hàm cho b ng b ng Cho xi i0 : X   a , b; a  x0  x1   xn  b G i H  X  t p h p n hàm xác đ nh X Ta nói hai hàm f g trùng t p X ký hi u f  g n u  i  0, n, f xi   g xi  X H m   i 0 i i hàm  i 0  H  X  đ m c g i đ c l p n tính X n u  ch  i  0, i  0, m Ta d a vào c u trúc n tính c u trúc chu n H  X  b ng cách đ t  f  g   xi  : f  xi   g  xi    f   xi  :  f  xi   i  0, n   f , g Gi s   m i n :  f  xi  g  xi  ; f : i 0  f, f h hàm đ c l p n tính X Ta tìm p  Pm v i m  2 Pm   j j :  j  R j , j  0, m t u ki n f  p  f  Q QPm  j 0  T 3.2 suy m   p   cii ci i  0, m nghi m c a h i 0 m  i ,  j  c j   f , i   j 0  i  0, m l ch nh nh t xác đ nh b i công th c 40 3.7  m   f  p  f   ci  f ,i  2 m N uh h   3.7  ci   i 0 tr c giao X , t c i , j   i  ij nghi m c a m i f ,i  i ng sai  m2 có d ng ph m   f  2 m  f ,i  i 0 i c th ta cho  i  x  xi i  0, m  n   xki i  0,2m si k 0 :  xkj f  xk  j  0, m tj k 0 3.7  có d s j 0 3.8  ng m H   n H  i j  c j  ti i  0, m có th gi i b ng ph   3.8 ng pháp l p ho c ph ng pháp c n b c hai Tr ng h p m c n i suy cách đ u xi 1  xi  h  i  0, n  1 ta có th đ i bi n, đ a h  3.8 v d ng đ n gi n h n, h s si khơng ph thu c vào n Xét tr ng h p n ch n, n  2k u : i bi n x  xk suy x  xk  hu h ta có x , x , , x    k,  k  1, , 0, , k  1, k 2k 41 G i đa th c c n tìm Qm x    1u    mu m Ta đ m s  j 0 i j j  c   t i i  0, m  2k  si   uvi i  0,2m v   i  0, m   uv  k  v v  0,2k 2k ti   yvuvi v0   D th y s1  s3   s2 m1  Các h s s2i i  0, m ch ph thu c vào k tính tr cđ c N u n l , n  2k  ta đ t u  2x  xk 1  u  1h  x Khi  hay x  k 1 h  x0 , x1 , , x2k 1  2k  1,  2k  3, ,  1,1, , 2k  3, 2k  1 H 3.8 tr m i tr ng h p c ng có s1  s3   s2 m1  Nh v y ng h p có th đ i bi n đ h s  3.8 si h có tính  ch t s2i 1  i  0, m Các h s s2i ch ph thu c vào n Trong tr ng h p m  n , đa th c bình ph ng t i thi u trùng v i đa th c n i suy Th t v y Gi s p đa th c n i suy, Q đa th c bình ph ng nh nh t a hàm f x t i m c phân bi t xi i   deg p  n ;deg Q  n  c n 2  n  Q  f  p  f    f  xi   p  xi     i 0  V y  f  x   Q x  n i 0 i i    hay Qxi   f xi   pxi  i  0, n Suy Q  P 3.4 Ví d 42 ng hàm f  x  x3  1,1 b ng đa Ví d X p x trung bình ph th c b c ba Gi i Cách Tìm đa th c x p x t t nh t d Tr i d ng Q3 x   i xi i 0 c h t ta tính:   1 sk   x dx  k 1 1 k 1 k  0,6 k mi   xi x dx i  0,3 1 thay vào h 3.6 ta đ c   m0 2    2     m1 1   2  2  m2 3  2     m3 1  hay  3m0  7,2819 6  2  21  1,2  3m1  2,4739    3m2  2,7779 2  1,2  2,81  2  3m3  3,5366 T ph ng trình đ u ph ng trình th ta đ c   0,9944;  0,6576 T ph ng trình th ph ng trình cu i ta đ c 1  1,1000;   0,2335 Nh v y Q3 x  0,9944  1,1000x  0,6576x2  0,2335x3 43 Cách Tìm đa th c x p x t t nh t d i d ng Q3 x   ci Li x i 0 L0  x  L1  x  x 3x2  L2  x  x  3x ; L3  x  Lk  ck  2k  k  0,3 2k  1 x Lk  xdx 1 k  0,3 c0  1,2137; c1  1,2371; c2  0,4284; c3  0,09345 Q3  x  0,9945  1,0968x  0,6576x2  0,2336x3 Nh n xét S d ng đa th c đ i s th ng d n đ n h đ i s n tính v i u ki n x u, nghi m không n đ nh v i sai s làm tròn Tính tốn v i đa th c tr c giao n đ nh h n c bi t, n u thêm s h ng, dùng đa th c tr c giao khơng ph i tính l i t đ u Ví d X p x trung bình ph ng hàm f x  x đo n  1,1 b ng đa th c b c Gi i Vì f x hàm ch n nên f xLi x hàm ch n (l ) n u i ch n (l ), 44 4k  1         f x L x dx k 2k 0 xL2 k xdx 1 4k   f xL2 k 1 xdx  1 c2 k  c2 k 1 Ta có 1 x2  c0   xdx  ; c2  5 x dx  2 0 1 c4   x 35x4  30 x2  3 dx   16 3x2  35x4  30 x2  15  x4  14x2  1   V y Q5  x   16 128  17 x  Ví d Tìm đa th c x p x đ u hàm f  x  ln   v i đ  16  xác   0,0005 đo n  1,1 Gi i Do f C11,1 , nên chu i Fourier c a hàm f theo đa th c Chebysev h i t đ u có khai tri n Fourier theo đa th c Chebysev c a hàm f x , tr c h t ta ch ng minh công th c  an ln 1  2a cos  a   2 cos n a  n1 n 3.9   az z : cos  i sin  ; f  x :  n n 1 n   ~ a ~  an n 1 Do D th y Re f   cos n m t khác f  z  a  az   az n 1 n 1 n ~ ~ ~ f  z   ln1  az  c f 0   c nên f  z   ln1  az N u  az  rei r   az  1  2a cos  a 45  2 ~ f  z   lnre i    ln r  i Nh v y  ~ an Re f   ln r   ln1  2a cos  a    cos n t suy n 1 n công th c 3.9  t x  cos ; a  t 3.9 suy   17 x  f  x  ln     2 n cos  n arccos    16  n 1 n   2 n Tn  x  Sn  Rn n 1 n  1 Sn  2 k Tk k  Rn  2  k Tk  x k  n 1 k k 1 k n Ta có  Rn   k n1 Tk  x   2 k      0,0005  k k n  kn1 3 n  1 4n k k n1 k v i m i n  1 1 T4  T5 Nh v y f  S5   T1  T2  T3  16 96 512 2560 31 241 13 x4 x5   x x  x   512 512 64 384 64 160 Ta có th làm t t k t qu nh sau ta x p x f  S6 v i sai s f  x  s6  x   0, 00002   46 T6  x 2  25   x  Vì S6  x  2   46  46 46 Ta nh n th y T6 x T6 x 1 , Sai s m c ph i    25 32 25 32x6  48x4  18x2  1  nên 25 x6  x  x   P4 x 16 32  25   25    x P4  x  Nh v y S6  x   46  46  25 1    0,00008 V i sai s 6  46 Nh ng T6 x  25 P4  x  46 V y ta thay f  x    M c ph i sai s 0,00008  0,00002  0,0001 Ta tìm đ c đa th c b c x p x đ u f xác g p l n đa th c S5 Ví d Tìm đa th c x p x đ u hàm f  x  10  x đo n  1,1 101  20 x v i đ xác   105 Gi i t  z  cos  i sin  ; f  z   a n z n  n0 Ta có  az   a cos   Re Re f a n zn   2a cos  a n0 ; x  cos ta đ c 10 n    10  x  1 1   n 1 Tn  x  SN  RN RN   k 1   10 N 1 101  20 x n  10 k  N 1 10 Cho a   V i N  ta có th l y f  S4   k 0 47  1 T x k 10 k 1 k K t lu n tài “x p x đ u t t nh t” tìm hi u tốn x p x khơng gian n tính đ nh chu n không gian Hilbert, đ ng th i đ a đ c m t s ví d áp d ng x p x đ u t t nh t cho tốn tìm giá tr l n nh t giá tr nh nh t c a hàm s Tuy nhiên th i gian n ng l c có h n nên không tránh kh i nh ng thi u sót Tơi r t mong nh n đ tài đ c s đóng góp c a b n đ c đ đ c hoàn thi n h n 48 Tài li u tham kh o Ph m K Anh  2005 , Gi i tích s , NXB Hà N i Tr n Anh B o, Nguy n V n Kh i, Ph m V n Ki u  2003 , Gi i tích s , NXB HSP Nguy n Minh Ch ng (ch biên), Nguy n V n Kh i, Nguy n V n Tu n (2001), Gi i tích s , NXB Giáo D c 49