Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 49 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
tr ng đ i h c s ph m hà n i khoa toán - - lê th vân dung x p x đ u t t nh t KHÓA LU N T T NGHI P Chuyên ngành: Gi i tích Hà N i ậ 2010 IH C tr ng đ i h c s ph m hà n i khoa toán - - lê th vân dung x p x đ u t t nh t KHÓA LU N T T NGHI P IH C Chuyên ngành: Gi i tích Ng ih ng d n khoa h c TS Nguy n V n Hùng Hà N i - 2010 L ic m n Tr c h t, xin bày t lòng bi t n sâu s c đ n ti n s Nguy n V n Hùng ậ Khoa Tốn ậ Tr tình giúp đ , h ng i H c S Ph m Hà N i Th y t n ng d n su t q trình th c hi n hồn thành khoá lu n t t nghi p Nhân d p xin chân thành cám n ban giám hi u, ban ch nhi m khoa toán, th y giáo, cô giáo khoa t o u ki n thu n l i đ tơi hồn thành t t khố lu n Bên c nh đó, mu n g i l i cám n đ n gia đình, b n bè, b n sinh viên khoá K32 C Nhân Toán đ ng viên, t o u ki n giúp đ hồnh thành đ tài khố lu n t t nghi p Do h n ch v kinh nghi m th i gian nên khóa lu n cịn nhi u thi u sót Tơi kính mong nh n đ b n đ c đ khóa lu n c a tơi đ c s góp ý c a th y giáo, giáo c hồn ch nh h n Tôi xin chân thành cám n ! Hà N i, tháng n m 2010 Sinh viên Lê Th Vân Dung L i cam đoan tài c a tơi đ c hồn thành d i s h ng d n c a th y giáo Nguy n V n Hùng v i s c g ng c a b n thân Trong trình nghiên c u th c hi n đ tài tham kh o m t s tài li u (đã nêu ph n tài li u tham kh o) Tôi xin cam đoan nh ng k t qu đ tài k t qu nghiên c u c a riêng tôi, không trùng v i tác gi khác N u sai tơi xin ch u hồn tồn trách nhi m Hà N i, tháng n m 2010 Sinh viên Lê Th Vân Dung M cl c M đ u…………………………………………………………………… N i dung………………………………………………………………… Ch ng M t s khái ni m c b n………………………………… 1.1 Khơng gian n tính……………………………………………… 1.2 Không gian đ nh chu n……………………………………………… 1.3 Không gian Hilbert………………………………………………… 10 Ch ng X p x t t nh t khơng gian n tính đ nh chu n 13 2.1 X p x t t nh t khơng gian n tính đ nh chu n…………… 13 2.1.1 Bài toán……………………………………………………… 13 2.1.2 Các đ nh lý…………………………………………………… 13 2.2 X p x t t nh t khơng gian n tính đ nh chu n Ca ,b ……… 15 2.2.1 Bài toán……………………………………………………… 15 2.2.2 Các đ nh lý…………………………………………………… 15 2.3 M t s tr ng h p đ c bi t………………………………………… 19 2.3.1 X p x b ng đa th c b c không……………………………… 20 2.3.2 X p x b ng đa th c b c nh t………………………………… 20 2.4 Ví d ………………………………………………………………… 21 Ch 27 ng X p x t t nh t không gian Hilbert………………… 3.1 B t đ ng th c Bessel đ ng th c Parseval…………………… 27 3.2 X p x t t nh t không gian Hilbert…………………………… 29 3.2.1 Bài toán……………………………………………………… 29 3.2.2 Các đ nh lí…………………………………………………… 29 3.3 X p x t t nh t L2 a , b ……………………………………… 33 3.3.1 X p x b ng đa th c đ i s …………………………………… 33 3.3.2 X p x b ng đa th c tr c giao……………………………… 3.3.3 X p x trung bình ph 34 ng b ng h tr c giao hàm cho b ng b ng……………………………………………………………………… 37 3.4 Ví d ………………………………………………………………… 40 K t lu n………………………………………………………………… 46 Tài li u tham kh o……………………………………………………… 47 M đ u Lý chon đ tài Gi i tích s hay g i ph ng pháp s , ph ng pháp tính, tốn h c tính tốn, m t khoa h c nghiên c u cách gi i g n đúng, ch y u gi i s , gi i ph ng trình, gi i toán x p x hàm s toán t i u Các toán x p x hàm s m t nh ng nhi m v c a gi i tích s , b ng vi c thay m t hàm có d ng ph c t p ho c m t hàm d i d ng b ng b ng nh ng hàm s đ n gi n h n v i sai s nh M t b ph n nh c a x p x hàm x p x đ u t t nh t có th áp d ng đ gi i m t s tốn tìm giá tr l n nh t nh nh t c a m t hàm s hay m t bi u th c th tr ng đ c p nh ng k thi n sinh vào ng đ i h c, cao đ ng, trung c p d y ngh D i s h ng d n c a th y giáo Nguy n V n Hùng nh n th c trên, xin m nh d n nghiên c u đ tài : “X PX C th U T T NH T” nghiên c u hai v n đ Nghiên c u x p x đ u t t nh t khơng gian n tính đ nh chu n Nghiên c u x p x đ u t t nh t không gian Hilbert ây đ tài có ph m vi quy mơ nh ngành gi i tích tốn h c V i hy v ng s làm sáng t thêm v lý thuy t x p x hàm Khoá lu n c a tơi g m ba ph n: L i nói đ u, n i dung, k t lu n Do th i gian n ng l c có h n nên khố lu n c a tơi khó tránh kh i nh ng thi u sót Vì v y r t mong nh n đ th y giáo, cô giáo b n sinh viên c ý ki n đóng góp c a M c đích nghiên c u tài nghiên c u “x p x đ u t t nh t” nh m tìm hi u tốn khơng gian đ nh chu n không gian Hilbert Nhi m v nghiên c u Tìm hi u tốn khơng gian đ nh chu n khơng gian Hilbert it ng ph m vi nghiên c u it ng ph m vi nghiên c u hàm không gian đ nh chu n không gian Hilbert Ph ng pháp nghiên c u c phân tích tài li u liên quan Ch ng M t s khái ni m c b n 1.1 khơng gian n tính nh ngh a 1.1.1 Trên t p X , xác đ nh m t c u trúc n tính n u v i m i x, y X v i m i t R (ho c t C ) xác đ nh phép c ng x y X phép nhân tx X th a mãn tính ch t sau: a x y y x b x y z x y z s tx st x c s t x sx tx t x y tx ty d X : x x, x X e x X : x x 0, x X f 1x x x , y , z X ; s, t R ( ho c s , t C ) Khi X , khơng gian n tính nh ngh a 1.1.2 Cho h n véct x1 , , xn không gian n tính X Xét đ ng th c véct 1 x1 x2 n xn ng th c x y n u 1 n h n véct đ c l p n tính ho c b 1, , , n v i n i 1 i đ đ ng th c x y h n véct ph thu c n tính T p h p K X g i l i n u x, y K đo n th ng n i x, y n m K 1.2 Không gian đ nh chu n 1.2.1 M t vài đ nh ngh a nh ngh a 1.2.1.1 Gi s X m t không gian n tính R ánh x : X R xác đ nh X l y giá tr t p s th c: x R , x X th a mãn u ki n: a x 0, x X x 0 x0 b x y x y , x, y X c x x , R, x X c g i m t chu n X Khơng gian n tính X v i đ c g i m t khơng gian n tính đ nh chu n nh ngh a 1.2.1.2 Hai , xác đ nh khơng gian n tính X g i t ng đ ng, n u t n t i hai h ng s c1 , c2 cho: x X c1 x x c2 x1 nh ngh a 1.2.1.3 Cho X, Y hai không gian n tính đ nh chu n ánh x A: X Y g i (gi i n i) b ch n n u t n t i h ng s M cho: x X Ax Y M x X 1.2.2 M t vài đ nh lý ví d nh lý 1.2.2.1 N u X m t khơng gian n tính h u h n chi u m i chu n X t ng đ ng Ch ng minh Th t v y, gi s X có hai chu n cho tr c G i S x X | x 1 Vì S đóng X có s chi u h u h n nên đ t max S ký hi u M m t Xét x ph n t b t kì X , 10 ng ng Th t v y, v i n Ge1 e1 , e1 e1 Gi s Ge1 , e2 , , en Khi theo 3.5 ta có d en 1 , Span ei 1 n Ge1 , e2 , , en 1 Ge1 , e2 , , en Vì d en 1 , Span ei 1 Ge1 , e2 , , en theo gi thi t qui n p, n Ge1 , e2 , , en 1 nên 3.3 x p x t t nh t L2 a , b ng kh tích v i tr ng p x a , b Hàm Xét hàm bình ph p x khơng âm a , b mes x a , b : p x 0 Ta đ nh ngh a b tích vơ h f , g : p x f x g x dx ng a 3.3.1 X p x b ng đa th c đ i s Cho h hàm xi 0 đ c l p n tính a, b G i Pn t p h p t t c đa th c b c không n Rõ ràng Pn Span xi 0 Theo m nh đ n 3.2.2.2 t n t i nh t đa th c p Pn cho b : f p p x f x p x dx inf f Q 2 n QPn a t b b a a si : pxxi dx ; mi : f x pxxi dx h 3.2 tr thành s0 c0 s1c1 sn cn m0 s c s c s c m 1 n 1 n sn c0 sn 1c1 s2 n cn mn 35 3.6 ph ng sai n2 tính theo cơng th c s0 sn m0 s1 sn 1 m1 1 s0 sn n2 s n s n mn m0 mn f sn s n Chú ý: Khi px 1; a 0, b si xi dx i 0,2n i 1 n Ma tr n c a 3.6 ma tr n Hilbert i j i j 0 3.3.2 X p x b ng đa th c tr c giao Trong không gian L2p a , b hàm bình ph ng kh tích v i tr ng p x , ta có kh ng đ nh sau Hai h đa th c tr c giao ch khác nh ng th a s h ng s S nghi m th c c a đa th c tr c giao Qn x a, b b ng n Nghi m c a Qn 1 x Qn x xen k l n M i đa th c tr c giao Qn x th a mãn công th c truy h i sau a n , n 1Qn 1 x a n , n xQn x a n 1, n Qn 1 x 3.3.2.1 a th c Legendre px 1; a 1; b Công th c Rodrigue Ln x n 0 n dn x 1 n n n ! dx Công th c truy h i n 1L x 2n 1xL x nL x n 1 n 36 n 1 Ph ng trình vi phân d dLn nn 1Ln x dx dx Chu n Ln L2n xdx 2n 1 L0 x ; L1 x x ; 3x2 ; x3 x L3 x L2 x 35 x4 30 x2 ; 63x5 70 x3 15 x L5 x ; L4 x Các đa th c Legendre thu đ c b ng trình tr c giao hóa Schmidt đo n 1,1 h c s đ i s 1, x, x2 , , xn , gi i tốn 3.1 ta tìm đa th c x p x t t nh t pn x ck Lk x v i ck n i 0 Ph ng sai n2 f x pn x dx f xdx 1 1 1 3.3.2.2 a th c Chebysev p x 1 x2 ; a 1; b Tn x cos narc cos x, x 1,1 Công th c truy h i Tn 1 x xTn x Tn 1 x 37 2k 1 f xLk xdx k 0, n 1 ck2 k 2k n Ph ng trình vi phân 1 x T x xT x n T x 2 n n n Chu n T x dx Tn 1 x 2 n n0 n0 a th c x p x t t nh t pn x ciTi x n i 0 c0 ck f cos d f cos cos k. d k 1 n 1 f x 1 x dx 2c02 c12 cn2 3.3.2.3 a th c Hermitte p x e x ; a ; b d n x e H n x 1 e dxn n x2 Công th c truy ch ng H n 1 x xH n x 2nH n 1 x Ph n 1 ng trình vi phân H n xH n 2nH n Chu n 2 H n e x H n2 xdx n n! a th c x p x t t nh t có d ng 38 pn x ci H i x n i 0 1 i ci 3.3.2.4 a th c l e 2i i! x2 f xH i xdx ng giác p x 1; a ; b H hàm l ng giác 1, cos x, sin x, , cos nx, sin nx, tr c giao đ y đ H L2 , Chu n 1dx 2 cos cos kx 2 kxdx ; k 1 sin sin kx 2 kxdx a th c x p x t t nh t có d ng n pn x a a k cos kx bk sin kx k 1 v i a0 f x dx 2 a k f x cos kxdx bk f x sin kxdx (đây khai tri n Fourier theo ngh a h p) Ngoài ra, f pn n 2a n a b f x dx k k k 1 39 Nh ta bi t, chu i Fourier h i t L2p a , b N u f C1a ,b , có th ch ng minh r ng chu i Fourier h i t đ u m i đo n h u h n thu c a, b ( a , b ) 3.3.3 X p x trung bình ph ng hàm cho b ng b ng Cho xi i0 : X a , b; a x0 x1 xn b G i H X t p h p n hàm xác đ nh X Ta nói hai hàm f g trùng t p X ký hi u f g n u i 0, n, f xi g xi X H m i 0 i i hàm i 0 H X đ m c g i đ c l p n tính X n u ch i 0, i 0, m Ta d a vào c u trúc n tính c u trúc chu n H X b ng cách đ t f g xi : f xi g xi f xi : f xi i 0, n f , g Gi s m i n : f xi g xi ; f : i 0 f, f h hàm đ c l p n tính X Ta tìm p Pm v i m 2 Pm j j : j R j , j 0, m t u ki n f p f Q QPm j 0 T 3.2 suy m p cii ci i 0, m nghi m c a h i 0 m i , j c j f , i j 0 i 0, m l ch nh nh t xác đ nh b i công th c 40 3.7 m f p f ci f ,i 2 m N uh h 3.7 ci i 0 tr c giao X , t c i , j i ij nghi m c a m i f ,i i ng sai m2 có d ng ph m f 2 m f ,i i 0 i c th ta cho i x xi i 0, m n xki i 0,2m si k 0 : xkj f xk j 0, m tj k 0 3.7 có d s j 0 3.8 ng m H n H i j c j ti i 0, m có th gi i b ng ph 3.8 ng pháp l p ho c ph ng pháp c n b c hai Tr ng h p m c n i suy cách đ u xi 1 xi h i 0, n 1 ta có th đ i bi n, đ a h 3.8 v d ng đ n gi n h n, h s si khơng ph thu c vào n Xét tr ng h p n ch n, n 2k u : i bi n x xk suy x xk hu h ta có x , x , , x k, k 1, , 0, , k 1, k 2k 41 G i đa th c c n tìm Qm x 1u mu m Ta đ m s j 0 i j j c t i i 0, m 2k si uvi i 0,2m v i 0, m uv k v v 0,2k 2k ti yvuvi v0 D th y s1 s3 s2 m1 Các h s s2i i 0, m ch ph thu c vào k tính tr cđ c N u n l , n 2k ta đ t u 2x xk 1 u 1h x Khi hay x k 1 h x0 , x1 , , x2k 1 2k 1, 2k 3, , 1,1, , 2k 3, 2k 1 H 3.8 tr m i tr ng h p c ng có s1 s3 s2 m1 Nh v y ng h p có th đ i bi n đ h s 3.8 si h có tính ch t s2i 1 i 0, m Các h s s2i ch ph thu c vào n Trong tr ng h p m n , đa th c bình ph ng t i thi u trùng v i đa th c n i suy Th t v y Gi s p đa th c n i suy, Q đa th c bình ph ng nh nh t a hàm f x t i m c phân bi t xi i deg p n ;deg Q n c n 2 n Q f p f f xi p xi i 0 V y f x Q x n i 0 i i hay Qxi f xi pxi i 0, n Suy Q P 3.4 Ví d 42 ng hàm f x x3 1,1 b ng đa Ví d X p x trung bình ph th c b c ba Gi i Cách Tìm đa th c x p x t t nh t d Tr i d ng Q3 x i xi i 0 c h t ta tính: 1 sk x dx k 1 1 k 1 k 0,6 k mi xi x dx i 0,3 1 thay vào h 3.6 ta đ c m0 2 2 m1 1 2 2 m2 3 2 m3 1 hay 3m0 7,2819 6 2 21 1,2 3m1 2,4739 3m2 2,7779 2 1,2 2,81 2 3m3 3,5366 T ph ng trình đ u ph ng trình th ta đ c 0,9944; 0,6576 T ph ng trình th ph ng trình cu i ta đ c 1 1,1000; 0,2335 Nh v y Q3 x 0,9944 1,1000x 0,6576x2 0,2335x3 43 Cách Tìm đa th c x p x t t nh t d i d ng Q3 x ci Li x i 0 L0 x L1 x x 3x2 L2 x x 3x ; L3 x Lk ck 2k k 0,3 2k 1 x Lk xdx 1 k 0,3 c0 1,2137; c1 1,2371; c2 0,4284; c3 0,09345 Q3 x 0,9945 1,0968x 0,6576x2 0,2336x3 Nh n xét S d ng đa th c đ i s th ng d n đ n h đ i s n tính v i u ki n x u, nghi m không n đ nh v i sai s làm tròn Tính tốn v i đa th c tr c giao n đ nh h n c bi t, n u thêm s h ng, dùng đa th c tr c giao khơng ph i tính l i t đ u Ví d X p x trung bình ph ng hàm f x x đo n 1,1 b ng đa th c b c Gi i Vì f x hàm ch n nên f xLi x hàm ch n (l ) n u i ch n (l ), 44 4k 1 f x L x dx k 2k 0 xL2 k xdx 1 4k f xL2 k 1 xdx 1 c2 k c2 k 1 Ta có 1 x2 c0 xdx ; c2 5 x dx 2 0 1 c4 x 35x4 30 x2 3 dx 16 3x2 35x4 30 x2 15 x4 14x2 1 V y Q5 x 16 128 17 x Ví d Tìm đa th c x p x đ u hàm f x ln v i đ 16 xác 0,0005 đo n 1,1 Gi i Do f C11,1 , nên chu i Fourier c a hàm f theo đa th c Chebysev h i t đ u có khai tri n Fourier theo đa th c Chebysev c a hàm f x , tr c h t ta ch ng minh công th c an ln 1 2a cos a 2 cos n a n1 n 3.9 az z : cos i sin ; f x : n n 1 n ~ a ~ an n 1 Do D th y Re f cos n m t khác f z a az az n 1 n 1 n ~ ~ ~ f z ln1 az c f 0 c nên f z ln1 az N u az rei r az 1 2a cos a 45 2 ~ f z lnre i ln r i Nh v y ~ an Re f ln r ln1 2a cos a cos n t suy n 1 n công th c 3.9 t x cos ; a t 3.9 suy 17 x f x ln 2 n cos n arccos 16 n 1 n 2 n Tn x Sn Rn n 1 n 1 Sn 2 k Tk k Rn 2 k Tk x k n 1 k k 1 k n Ta có Rn k n1 Tk x 2 k 0,0005 k k n kn1 3 n 1 4n k k n1 k v i m i n 1 1 T4 T5 Nh v y f S5 T1 T2 T3 16 96 512 2560 31 241 13 x4 x5 x x x 512 512 64 384 64 160 Ta có th làm t t k t qu nh sau ta x p x f S6 v i sai s f x s6 x 0, 00002 46 T6 x 2 25 x Vì S6 x 2 46 46 46 Ta nh n th y T6 x T6 x 1 , Sai s m c ph i 25 32 25 32x6 48x4 18x2 1 nên 25 x6 x x P4 x 16 32 25 25 x P4 x Nh v y S6 x 46 46 25 1 0,00008 V i sai s 6 46 Nh ng T6 x 25 P4 x 46 V y ta thay f x M c ph i sai s 0,00008 0,00002 0,0001 Ta tìm đ c đa th c b c x p x đ u f xác g p l n đa th c S5 Ví d Tìm đa th c x p x đ u hàm f x 10 x đo n 1,1 101 20 x v i đ xác 105 Gi i t z cos i sin ; f z a n z n n0 Ta có az a cos Re Re f a n zn 2a cos a n0 ; x cos ta đ c 10 n 10 x 1 1 n 1 Tn x SN RN RN k 1 10 N 1 101 20 x n 10 k N 1 10 Cho a V i N ta có th l y f S4 k 0 47 1 T x k 10 k 1 k K t lu n tài “x p x đ u t t nh t” tìm hi u tốn x p x khơng gian n tính đ nh chu n không gian Hilbert, đ ng th i đ a đ c m t s ví d áp d ng x p x đ u t t nh t cho tốn tìm giá tr l n nh t giá tr nh nh t c a hàm s Tuy nhiên th i gian n ng l c có h n nên không tránh kh i nh ng thi u sót Tơi r t mong nh n đ tài đ c s đóng góp c a b n đ c đ đ c hoàn thi n h n 48 Tài li u tham kh o Ph m K Anh 2005 , Gi i tích s , NXB Hà N i Tr n Anh B o, Nguy n V n Kh i, Ph m V n Ki u 2003 , Gi i tích s , NXB HSP Nguy n Minh Ch ng (ch biên), Nguy n V n Kh i, Nguy n V n Tu n (2001), Gi i tích s , NXB Giáo D c 49