Xấp xỉ đều tốt nhất

trường đại học sư phạm hà nội khoa toán - - lê thị vân dung xấp xỉ tốt KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích Hà Nội – 2010 trường đại học sư phạm hà nội khoa toán - - lê thị vân dung xấp xỉ tốt KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích Người hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Văn Hùng Hà Nội - 2010 Lời cảm ơn Trước hết, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng – Khoa Toán – Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội Thầy tận tình giúp đỡ, hướng dẫn suốt trình thực hoàn thành khoá luận tốt nghiệp Nhân dịp xin chân thành cám ơn ban giám hiệu, ban chủ nhiệm khoa toán, thầy giáo, cô giáo khoa tạo điều kiện thuận lợi để hoàn thành tốt khoá luận Bên cạnh đó, muốn gửi lời cám ơn đến gia đình, bạn bè, bạn sinh viên khoá K32 Cử Nhân Toán động viên, tạo điều kiện giúp đỡ hoành thành đề tài khoá luận tốt nghiệp Do hạn chế kinh nghiệm thời gian nên khóa luận nhiều thiếu sót Tôi kính mong nhận góp ý thầy giáo, cô giáo bạn đọc để khóa luận hoàn chỉnh Tôi xin chân thành cám ơn ! Hà Nội, tháng năm 2010 Sinh viên Lê Thị Vân Dung Lời cam đoan Đề tài hoàn thành hướng dẫn thầy giáo Nguyễn Văn Hùng với cố gắng thân Trong trình nghiên cứu thực đề tài tham khảo số tài liệu (đã nêu phần tài liệu tham khảo) Tôi xin cam đoan kết đề tài kết nghiên cứu riêng tôi, không trùng với tác giả khác Nếu sai xin chịu hoàn toàn trách nhiệm Hà Nội, tháng năm 2010 Sinh viên Lê Thị Vân Dung Mục lục Mở đầu…………………………………………………………………… Nội dung………………………………………………………………… Chương Một số khái niệm bản………………………………… 1.1 Không gian tuyến tính……………………………………………… 1.2 Không gian định chuẩn……………………………………………… 1.3 Không gian Hilbert………………………………………………… 10 Chương Xấp xỉ tốt không gian tuyến tính định chuẩn 13 2.1 Xấp xỉ tốt không gian tuyến tính định chuẩn…………… 13 2.1.1 Bài toán……………………………………………………… 13 2.1.2 Các định lý…………………………………………………… 13 2.2 Xấp xỉ tốt không gian tuyến tính định chuẩn Ca ,b ……… 15 2.2.1 Bài toán……………………………………………………… 15 2.2.2 Các định lý…………………………………………………… 15 2.3 Một số trường hợp đặc biệt………………………………………… 19 2.3.1 Xấp xỉ đa thức bậc không……………………………… 20 2.3.2 Xấp xỉ đa thức bậc nhất………………………………… 20 2.4 Ví dụ………………………………………………………………… 21 Chương Xấp xỉ tốt không gian Hilbert………………… 27 3.1 Bất đẳng thức Bessel đẳng thức Parseval…………………… 27 3.2 Xấp xỉ tốt không gian Hilbert…………………………… 29 3.2.1 Bài toán……………………………………………………… 29 3.2.2 Các định lí…………………………………………………… 29 3.3 Xấp xỉ tốt L2  a, b ……………………………………… 33 3.3.1 Xấp xỉ đa thức đại số…………………………………… 33 3.3.2 Xấp xỉ đa thức trực giao……………………………… 34 3.3.3 Xấp xỉ trung bình phương hệ trực giao hàm cho bảng……………………………………………………………………… 37 3.4 Ví dụ………………………………………………………………… 40 Kết luận………………………………………………………………… 46 Tài liệu tham khảo……………………………………………………… 47 Mở đầu Lý chon đề tài Giải tích số hay gọi phương pháp số, phương pháp tính, toán học tính toán, khoa học nghiên cứu cách giải gần đúng, chủ yếu giải số, giải phương trình, giải toán xấp xỉ hàm số toán tối ưu Các toán xấp xỉ hàm số nhiệm vụ giải tích số, việc thay hàm có dạng phức tạp hàm dạng bảng hàm số đơn giản với sai số nhỏ Một phận nhỏ xấp xỉ hàm xấp xỉ tốt áp dụng để giải số toán tìm giá trị lớn nhỏ hàm số hay biểu thức thường đề cập kỳ thi tuyển sinh vào trường đại học, cao đẳng, trung cấp dạy nghề Dưới hướng dẫn thầy giáo Nguyễn Văn Hùng nhận thức trên, xin mạnh dạn nghiên cứu đề tài : “ XấP Xỉ ĐềU TốT NHấT” Cụ thể nghiên cứu hai vấn đề Nghiên cứu xấp xỉ tốt không gian tuyến tính định chuẩn Nghiên cứu xấp xỉ tốt không gian Hilbert Đây đề tài có phạm vi quy mô nhỏ ngành giải tích toán học Với hy vọng làm sáng tỏ thêm lý thuyết xấp xỉ hàm Khoá luận gồm ba phần: Lời nói đầu, nội dung, kết luận Do thời gian lực có hạn nên khoá luận khó tránh khỏi thiếu sót Vì mong nhận ý kiến đóng góp thầy giáo, cô giáo bạn sinh viên Mục đích nghiên cứu Đề tài nghiên cứu “xấp xỉ tốt nhất” nhằm tìm hiểu toán không gian định chuẩn không gian Hilbert Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu toán không gian định chuẩn không gian Hilbert Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu hàm không gian định chuẩn không gian Hilbert Phương pháp nghiên cứu Đọc phân tích tài liệu liên quan Chương Một số khái niệm 1.1 không gian tuyến tính Định nghĩa 1.1.1 Trên tập X   , xác định cấu trúc tuyến tính  với x, y  X với t  R (hoặc t  C ) xác định phép cộng x  y  X phép nhân tx  X thỏa mãn tính chất sau: a x  y  y  x b  x  y   z  x   y  z  s  tx    st  x c  s  t  x  sx  tx t  x  y   tx  ty d   X : x   x,  x X e   x   X : x    x   0, x  X f 1x  x x , y , z  X ; s, t  R ( s , t  C ) Khi  X ,   không gian tuyến tính Định nghĩa 1.1.2 Cho hệ n véctơ x1 , , xn không gian tuyến tính X Xét đẳng thức véctơ 1 x1   x2    n xn  Đẳng thức xảy 1      n  hệ n véctơ độc lập tuyến tính  1, , , n với n  i 1 i  để đẳng thức xảy hệ n véctơ phụ thuộc tuyến tính Tập hợp K X gọi lồi  x, y  K đoạn thẳng nối x, y nằm K 1.2 Không gian định chuẩn 1.2.1 Một vài định nghĩa Định nghĩa 1.2.1.1 Giả sử X không gian tuyến tính R ánh xạ  : X  R xác định X lấy giá trị tập số thực: x  R ,  x  X thỏa mãn điều kiện: a x  0,  x  X x 0 x0 b x  y  x  y ,  x, y  X c  x   x ,    R, x  X Được gọi chuẩn X Không gian tuyến tính X với  gọi không gian tuyến tính định chuẩn Định nghĩa 1.2.1.2 Hai  ,  xác định không gian tuyến tính X gọi tương đương, tồn hai số c1 , c2  cho:  x  X c1 x  x  c2 x1 Định nghĩa 1.2.1.3 Cho X , Y hai không gian tuyến tính định chuẩn ánh xạ A : X  Y gọi (giới nội) bị chặn tồn số M  cho: x  X Ax Y  M x X 1.2.2 Một vài định lý ví dụ Định lý 1.2.2.1 Nếu X không gian tuyến tính hữu hạn chiều chuẩn X tương đương Chứng minh Thật vậy, giả sử X có   hai chuẩn cho trước Gọi S  x  X | x  1 Vì S đóng X có số chiều hữu hạn nên  đạt max S ký hiệu M m tương ứng Xét x  phần tử X , 10 Thật vậy, với n  Ge1   e1 , e1  e1 Giả sử Ge1 , e2 , , en   Khi    theo 3.5 ta có d en 1 , Span ei 1    n Ge1 , e2 , , en 1  Ge1 , e2 , , en   Vì d en 1 , Span ei 1  Ge1 , e2 , , en   theo giả thiết qui nạp, n Ge1 , e2 , , en 1   nên 3.3 xấp xỉ tốt L2 a, b Xét hàm bình phương khả tích với trọng p  x   a, b Hàm p  x  không âm  a, b mes x  a, b : p  x   0  Ta định nghĩa b f , g :  p  x  f  x  g  x  dx tích vô hướng a 3.3.1 Xấp xỉ đa thức đại số Cho hệ hàm x i 0 độc lập tuyến tính a, b Gọi Pn tập hợp tất    đa thức bậc không n Rõ ràng Pn  Span x i 0 Theo mệnh đề n 3.2.2.2 tồn đa thức p  Pn cho b  : f  p   p  x   f  x   p  x   dx  inf f  Q 2 n QPn a Đặt b b a a si :  px x i dx ; mi :  f x  px x i dx hệ 3.2  trở thành s0 c0  s1c1   sn cn  m0 s c  s c   s c  m 1 n 1 n   sn c0  sn 1c1   s2 n cn  mn 35 3.6 phương sai  n2 tính theo công thức s0 sn m0 s1 sn 1 m1 1 s0 sn  n2   s n s n mn m0 mn f sn s n Chú ý: Khi px   1; a  0, b  si   x i dx    i  0,2n i 1 n   Ma trận 3.6  ma trận Hilbert    i  j  i j 0 3.3.2 Xấp xỉ đa thức trực giao Trong không gian L2p  a, b hàm bình phương khả tích với trọng p  x  , ta có khẳng định sau Hai hệ đa thức trực giao khác thừa số số Số nghiệm thực đa thức trực giao Qn x  a, b n Nghiệm Qn 1 x  Qn x  xen kẽ lẫn Mỗi đa thức trực giao Qn x  thỏa mãn công thức truy hồi sau an , n 1Qn 1 x   an , n  x Qn  x   an 1, n Qn 1  x   3.3.2.1 Đa thức Legendre px   1; a  1; b  Công thức Rodrigue Ln  x   n  0 n dn  x 1  n n   n ! dx    Công thức truy hồi n  1L x  2n  1xL x  nL x  n 1 n 36 n 1 Phương trình vi phân d  dLn      nn  1Ln   x dx  dx  Chuẩn   Ln    L2n  x dx   2n   1  L0  x   ; L1  x   x ;   3x  ; x3  3x L3  x   L2  x   35 x  30 x  ; 63x5  70 x3  15 x L5  x   ; L4  x   Các đa thức Legendre thu trình trực giao hóa Schmidt đoạn  1,1 hệ sở đại số 1, x, x , , x n , Để giải toán 3.1 ta tìm đa thức xấp xỉ tốt pn x    ck Lk  x  với ck  n i 0  n2    f x   pn x  dx   f x dx   Phương sai  1 1 3.3.2.2 Đa thức Chebysev p  x  1  x2 ; a  1; b  Tn  x   cos  narc cos x, x  1,1 Công thức truy hồi Tn 1 x   xTn x   Tn 1 x  37  2k  1 f  x Lk  x dx k  0, n 1 ck2 k  2k  n Phương trình vi phân 1  x T x   xT x   n T x   2 n n n Chuẩn    T x    Tn    dx      1  x    2 n n0 n0 Đa thức xấp xỉ tốt pn x    ciTi x  n i 0 c0  ck      f  cos  d   f  cos  cos k. d  k  1   n 1 f  x 1 x dx    2c02  c12   cn2  3.3.2.3 Đa thức Hermitte p x   e  x ; a  ; b     d n x H n  x    1 e e dx n n x2 Công thức truy chứng H n 1 x   xH n x   2nH n 1 x   n  1 Phương trình vi phân H n  xH n  2nH n  Chuẩn     2 H n    e  x H n2 x dx   n n!     Đa thức xấp xỉ tốt có dạng 38 pn x    ci H i x  n i 0  1  i ci  e  2i i! x2 f x H i x dx  3.3.2.4 Đa thức lượng giác p  x   1; a   ; b   Hệ hàm lượng giác 1, cos x, sin x, , cos nx, sin nx,  trực giao đầy đủ H  L2   ,   Chuẩn    1dx  2    cos cos kx  2 kxdx   ;  k  1   sin kx  sin  kxdx    Đa thức xấp xỉ tốt có dạng n pn  x   a0    ak cos kx  bk sin kx  k 1 với  a0   f  x  dx 2   ak   f  x  cos kxdx    bk   f  x  sin kxdx   (đây khai triển Fourier theo nghĩa hẹp) Ngoài ra,   f  pn n   2a  n a  b    f x dx     k k    k 1   39 Như ta biết, chuỗi Fourier hội tụ L2p a, b Nếu f  C1a ,b  , chứng minh chuỗi Fourier hội tụ đoạn hữu hạn thuộc a, b  (ở a  , b   ) 3.3.3 Xấp xỉ trung bình phương hàm cho bảng Cho xi i0 : X   a, b; a  x0  x1   xn  b Gọi H  X  tập hợp n hàm xác định X Ta nói hai hàm f g trùng tập X ký hiệu f  g  i  0, n, f xi   g xi  X Hệ hàm  i 0  H  X  gọi độc lập tuyến tính X m m   i 0 i i   i  0, i  0, m Ta dựa vào cấu trúc tuyến tính cấu trúc chuẩn H  X  cách đặt  f  g   xi  : f  xi   g  xi    f   xi  :  f  xi   i  0, n   f , g n :  f  xi  g  xi  ; f : i 0 f,f Giả sử  i 0 hệ hàm độc lập tuyến tính X Ta tìm p  Pm với m m  2 Pm   j j :  j  R j , j  0, m  từ điều kiện f  p  f  Q QPm  j 0    Từ 3.2  suy p   cii ci i  0, m nghiệm hệ m i 0 m  i ,  j  c j   f , i   j 0  i  0, m Độ lệch nhỏ xác định công thức 40 3.7    f p  f 2 m m   ci  f ,i  i 0 m Nếu hệ  i 0 trực giao X , tức i , j   i  ij nghiệm hệ 3.7  ci   f ,i  i phương sai  m2 có dạng   f 2 m m   f ,i  i 0 i Để cụ thể ta cho  i  x   xi i  0, m   n   xki i  0,2m si k 0   n :  xkj f  xk  j  0, m tj k 0  Hệ 3.7  có dạng m s j 0 i j  c j  ti i  0, m   3.8 Hệ 3.8 giải phương pháp lặp phương pháp bậc hai Trường hợp mốc nội suy cách xi 1  xi  h  i  0, n  1 ta đổi biến, đưa hệ  3.8 dạng đơn giản hơn, hệ số si không phụ thuộc vào n Xét trường hợp n chẵn, n  2k Đổi biến u : x  xk suy x  xk  hu h ta có x , x , , x    k ,  k  1, , 0, , k  1, k 2k 41 Gọi đa thức cần tìm Qm x     1u    m u m Ta m s  j 0 i j j   t i i  0, m  2k si   uvi i  0,2m v 0     i  0, m   uv  k  v v  0,2k 2k ti   yvuvi v 0   Dễ thấy s1  s3   s2 m1  Các hệ số s2i i  0, m phụ thuộc vào k tính trước Nếu n lẻ, n  2k  ta đặt u  2x  xk 1  u  1h  x Khi  hay x  k 1 h  x0 , x1 , , x2k 1  2k  1,  2k  3, ,  1,1, , 2k  3, 2k  1 Hệ 3.8 trường hợp có s1  s3   s2 m1  Như trường hợp đổi biến để hệ số si hệ 3.8 có tính   chất s2i 1  i  0, m Các hệ số s2i phụ thuộc vào n Trong trường hợp m  n , đa thức bình phương tối thiểu trùng với đa thức nội suy Thật Giả sử p đa thức nội suy, Q đa thức bình phương nhỏ  deg p  n ;deg Q  n  hàm f x  mốc phân biệt x  n i i 0 2  n  Q  f  p  f    f  xi   p  xi     i 0  Vậy  f  x   Q x  n i 0 i i    hay Qxi   f xi   pxi  i  0, n Suy Q  P 3.4 Ví dụ 42 Ví dụ Xấp xỉ trung bình phương hàm f  x   x  1,1 đa thức bậc ba Giải Cách Tìm đa thức xấp xỉ tốt dạng Q3 x    i x i i 0 Trước hết ta tính:   1 sk   x dx  k 1 1 k 1 k  0,6 k mi   x i x dx i  0,3 1 thay vào hệ 3.6  ta   m0 2    2  1    m1   2  2  m2 3  2  1    m3  hay  3m0  7,2819 6  2  21  1,2  3m1  2,4739    3m2  2,7779 2  1,2  2,81  2  3m3  3,5366 Từ phương trình đầu phương trình thứ ta   0,9944;  0,6576 Từ phương trình thứ phương trình cuối ta 1  1,1000;   0,2335 Như Q3 x   0,9944  1,1000x  0,6576x  0,2335x 43 Cách Tìm đa thức xấp xỉ tốt dạng Q3 x    ci Li x  i 0 L0  x   L1  x   x 3x  L2  x   x  3x L3  x   ; Lk  ck  2k  k  0,3 2k  1 x Lk  x dx 1 k  0,3 c0  1,2137; c1  1,2371; c2  0,4284; c3  0,09345 Q3  x   0,9945  1,0968x  0,6576x  0,2336x Nhận xét Sử dụng đa thức đại số thường dẫn đến hệ đại số tuyến tính với điều kiện xấu, nghiệm không ổn định với sai số làm tròn Tính toán với đa thức trực giao ổn định Đặc biệt, thêm số hạng, dùng đa thức trực giao tính lại từ đầu Ví dụ Xấp xỉ trung bình phương hàm f x   x đoạn  1,1 đa thức bậc Giải Vì f x  hàm chẵn nên f x Li x  hàm chẵn (lẻ) i chẵn (lẻ), 44 4k  1       f x L x dx  k  2k 0 xL2 k x dx 1 4k   f x L2 k 1 x dx  1 c2 k  c2 k 1 Ta có 1 3x  c0   xdx  ; c2  5 x dx  2 0 1 c4   x 35x  30 x  3 dx   16 3x  35x  30 x  15  x  14x  1   Vậy Q5  x    16 128  17 x  Ví dụ Tìm đa thức xấp xỉ hàm f  x   ln   với độ  16  xác   0,0005 đoạn  1,1 Giải Do f C11,1 , nên chuỗi Fourier hàm f theo đa thức Chebysev hội tụ Để có khai triển Fourier theo đa thức Chebysev hàm f x  , trước hết ta chứng minh công thức  an ln 1  2a cos  a   2 cos n a  n1 n 3.9   az  z : cos  i sin  ; f  x  :  n n 1 n   ~ a ~  an n 1 Dễ thấy Re f   cos n mặt khác f  z   a  az   Do  az n 1 n 1 n ~ ~ ~ f  z    ln1  az  c f 0   c nên f  z    ln1  az  Nếu  az  rei r   az  1  2a cos  a 45  2 ~ f  z    lnre i    ln r  i Như  ~ an Re f   ln r   ln1  2a cos  a    cos n từ suy n 1 n công thức 3.9  Đặt x  cos ; a  từ 3.9  suy   17 x  f  x   ln     2 n cos  n arccos    16  n 1 n   2 n Tn  x   Sn  Rn n 1 n  1 S n  2 k Tk k  Rn  2  k Tk  x  k 1 k k  n 1 k n Ta có  Rn   k n1 Tk  x    2 k      0,0005  k k k n  k n1 3 n  1 4n k n1 k với n  1 1 T4  T5 Như f  S5   T1  T2  T3  16 96 512 2560 31 241 13 x x5   x x  x   512 512 64 384 64 160 Ta làm tốt kết sau ta xấp xỉ f  S6 với sai số f  x   s6  x    0, 00002   46 T6  x  2  25   x  Vì S6  x   2   46  46 46 Ta nhận thấy T6 x  T6 x  1 , Sai số mắc phải    25 32 25 32x  48x  18x  1  nên 25 x6  x4  x2   P4 x  16 32   25  25 x    P4  x   Như S  x    46  46  25 1    0,00008 Với sai số 6  46 Nhưng T6 x   25 P4  x   46 Vậy ta thay f  x     Mắc phải sai số 0,00008  0,00002  0,0001 Ta tìm đa thức bậc xấp xỉ f xác gấp lần đa thức S Ví dụ Tìm đa thức xấp xỉ hàm f  x   10  x đoạn  1,1 101  20 x với độ xác   105 Giải Đặt  z  cos  i sin  ; f  z    a n z n  n0 Ta có  az   a cos  Re f  Re an zn   2a cos  a n0 ; x  cos ta 10 n    10  x  1 1   n 1 Tn  x   S N  RN RN   k 1   10 N 1 101  20 x n  10 k  N 1 10 Cho a   Với N  ta lấy f  S   k 0 47  1 T x  k 10 k 1 k Kết luận Đề tài “xấp xỉ tốt nhất” tìm hiểu toán xấp xỉ không gian tuyến tính định chuẩn không gian Hilbert, đồng thời đưa số ví dụ áp dụng xấp xỉ tốt cho toán tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số Tuy nhiên thời gian lực có hạn nên không tránh khỏi thiếu sót Tôi mong nhận đóng góp bạn đọc để đề tài hoàn thiện 48 Tài liệu tham khảo Phạm Kỳ Anh  2005 , Giải tích số, NXB Hà Nội Trần Anh Bảo, Nguyễn Văn Khải, Phạm Văn Kiều  2003 , Giải tích số, NXB ĐHSP Nguyễn Minh Chương (chủ biên), Nguyễn Văn Khải, Nguyễn Văn Tuấn (2001), Giải tích số, NXB Giáo Dục 49 [...]...  1x 2  e  e  1lne  1 2 Vậy đa thức xấp xỉ đều tốt nhất bậc ba của f  x   e x trên đoạn  1,1 2 là y  e  1x 2  e  e  1lne  1 2 24 Ví dụ 3 Tìm đa thức bậc nhất xấp xỉ đều tốt nhất f  x   x 3 trên  1,1 Giải Vì f  x   x 3 là hàm lẻ nên đa thức xấp xỉ đều tốt nhất bậc nhất và bậc hai trùng nhau Đa thức xấp xỉ tốt nhất bậc nhất của f là 23 1 3 Q  x1   Q2  x   x... thức xấp xỉ đều tốt nhất của f  Ca,b là tồn tại  n  2 điểm luân phiên Chebysev   a  x0  x1   xn1  b sao cho f  xi   P  xi     1 f  P , i  0, n  1 i trong đó   1 Định lý 2.2.2.3 Đa thức xấp xỉ đều tốt nhất của f  Ca,b là duy nhất Chứng minh Giả sử P, Q  Pn là hai đa thức xấp xỉ đều tốt nhất của f trên đoạn  a, b Khi đó PQ  Pn cũng là đa thức xấp xỉ đều tốt nhất, ... là hai điểm Chebysev Vậy Q  x   M m là đa thức xấp xỉ đều tốt nhất của f 2 2.3.2 Xấp xỉ bằng đa thức bậc nhất Cho f  x  là hàm lồi trên đoạn  a, b Nếu f  x  là hàm tuyến tính thì đa thức xấp xỉ đều tốt nhất bậc nhất là Q  x   f  x  Bây giờ giả sử f  x  không phải hàm tuyến tính Khi đó Q  x   a0  a1x là đa thức xấp xỉ đều tốt nhất của f  x  trên  a, b , ta có f  x    a0... sao v cho vX 0 x  x0  inf x  v vX 0 Định lý 2.1.2.2 (Tính duy nhất nghiệm của bài toán xấp xỉ tốt nhất) 15 Trong không gian tuyến tính định chuẩn lồi thực sự thì xấp xỉ tốt nhất tồn tại và duy nhất Chứng minh Sự tồn tại Sự tồn tại xấp xỉ tốt nhất được suy ra từ định lý 2.1.2.1 Sự duy nhất Giả sử x1, x2 là các xấp xỉ tốt nhất của phần tử x , nghĩa là x  x1  d  x, X 0   d x  x2  d  x,...  1  1  5 1 1 2 5    1    2  2  5   1 2  3  6 D A C x Vậy đa thức xấp xỉ đều tốt nhất bậc nhất của hàm f x   x trên đoạn  1,5 là 23 y 2 5 x 3 6 Ví dụ 2 Tìm đa thức xấp xỉ đều tốt nhất bậc ba của hàm f  x   e x 2 trên đoạn  1,1 Giải Vì f là hàm chẵn nên đa thức xấp xỉ đều tốt nhất bậc ba của hàm f là Q3  x   a3 x 3  a2 x 2  a1 x  a0 cũng là hàm chẵn Do đó a3... lý 2.2.2.4 Đa thức xấp xỉ đều tốt nhất P  Pn của một hàm f  C1,1 chẵn (lẻ) cũng là hàm chẵn (lẻ) Chứng minh Giả sử f là hàm chẵn Với mọi x  1,1 ta có f  x   P  x   f  P  En  f  Thay x :  x thì f   x   P   x   f  x   P   x   En  f  , x  1,1 Suy ra P   x  cũng là đa thức xấp xỉ đều tốt nhất của f Do tính duy nhất của xấp xỉ đều tốt nhất, ta được P  ... giao Legendre Chương 2 Xấp xỉ tốt nhất trong không gian định chuẩn 14 2.1 Xấp xỉ tốt nhất trong không gian tuyến tính định chuẩn 2.1.1 Bài toán Cho X là không gian tuyến tính định chuẩn, X 0 là không gian con hữu hạn chiều của X và x  X là một phần tử cố định Tìm phần tử x0  X 0 sao cho x  x0  d  x, X 0  : inf x  v vX 0 2.1.2 Các định lý Định lý 2.1.2.1 Bài toán xấp xỉ tốt nhất trong không gian... đường trung bình của hai đoạn thẳng AB và CD: y  a1x  a0 trong đó a0  f  a   f  c  a  c f b   f  a   2 2 ba 2.4 Ví dụ Ví dụ 1 Tìm đa thức xấp xỉ đều tốt nhất của hàm f x   x trên đoạn  1,5 Giải Đa thức xấp xỉ đều tốt nhất bậc nhất của hàm f x   x trên đoạn  1,5 có dạng y  a1 x  a0 áp dụng 2.3.2 ta có : a1  5 1 2  5   1 3 y Hàm f x   x đạt cực trị tại x  0 B... 1, x Ta phải tìm đa thức bậc nhất Qx  ax  b sao cho max f  x    ax  b   max f  x   Q x  x 1 x 1 Như vậy bài toán trở thành Tìm Qx  là xấp xỉ đều tốt nhất của f x  trên  1,1 Vì rằng f  x   x 2 là hàm chẵn nên Qx  là hàm chẵn suy ra a  0 Đặt m  min f x   0; M  max f x   1 x 1 x 1 Vậy f  x   x 2 có đa thức xấp xỉ đều tốt nhất bậc không trên  1,1 là... x2 x  x1    suy ra   1 tương đương với 2 2 2 2 Vậy ta có x  x2 x  x1  suy ra x1  x2 2 2 Vậy xấp xỉ tốt nhất trong không gian định chuẩn lồi thực sự là duy nhất Chú ý: Không gian định chuẩn X gọi là lồi thực sự nếu x, y   x  y  x  y suy ra y   x    0  16 2.2 XấP Xỉ ĐềU TốT NHấT TRONG KHÔNG GIAN tuyến tính ĐịNH CHUẩN Ca ,b  2.2.1 Bài toán Cho không gian định chuẩn X  Ca,b ... nghiệm toán xấp xỉ tốt nhất) 15 Trong không gian tuyến tính định chuẩn lồi thực xấp xỉ tốt tồn Chứng minh Sự tồn Sự tồn xấp xỉ tốt suy từ định lý 2.1.2.1 Sự Giả sử x1, x2 xấp xỉ tốt phần tử x... xin mạnh dạn nghiên cứu đề tài : “ XấP Xỉ ĐềU TốT NHấT Cụ thể nghiên cứu hai vấn đề Nghiên cứu xấp xỉ tốt không gian tuyến tính định chuẩn Nghiên cứu xấp xỉ tốt không gian Hilbert Đây đề tài... giải toán xấp xỉ hàm số toán tối ưu Các toán xấp xỉ hàm số nhiệm vụ giải tích số, việc thay hàm có dạng phức tạp hàm dạng bảng hàm số đơn giản với sai số nhỏ Một phận nhỏ xấp xỉ hàm xấp xỉ tốt áp