Xấp xỉ đều tốt nhất

Xấp xỉ tốt nhất trong không gian tuyến tính định chuẩn.... Lý do chon đề tài Giải tích số hay còn gọi là phương pháp số, phương pháp tính, toán học tính toán, là một khoa học nghiên cứu

trường đại học sư phạm hà nội 2

trường đại học sư phạm hà nội 2

Lời cảm ơn

Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến tiến sĩ Nguyễn Văn

Hùng – Khoa Toán – Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 Thầy đã tận

tình giúp đỡ, hướng dẫn tôi trong suốt quá trình thực hiện và hoàn thành khoá

luận tốt nghiệp

Nhân dịp này tôi xin chân thành cám ơn ban giám hiệu, ban chủ nhiệm khoa toán, các thầy giáo, cô giáo trong khoa đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành tốt khoá luận

Bên cạnh đó, tôi muốn gửi lời cám ơn đến gia đình, bạn bè, và các bạn sinh viên khoá K32 Cử Nhân Toán đã động viên, tạo điều kiện giúp đỡ tôi hoành thành đề tài khoá luận tốt nghiệp

Do còn hạn chế về kinh nghiệm và thời gian nên khóa luận còn nhiều thiếu sót Tôi kính mong nhận được sự góp ý của các thầy giáo, cô giáo và các bạn đọc để khóa luận của tôi được hoàn chỉnh hơn

Tôi xin chân thành cám ơn !

Hà Nội, tháng 5 năm 2010

Sinh viên

Lê Thị Vân Dung

Lời cam đoan

Đề tài của tôi được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy giáo

Nguyễn Văn Hùng cùng với sự cố gắng của bản thân Trong quá trình nghiên

cứu và thực hiện đề tài này tôi tham khảo một số tài liệu (đã nêu trong phần tài liệu tham khảo)

Tôi xin cam đoan những kết quả trong đề tài là kết quả nghiên cứu của riêng tôi, không trùng với tác giả nào khác Nếu sai tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm

Hà Nội, tháng 5 năm 2010

Sinh viên

Lê Thị Vân Dung

Mục lục

Mở đầu……… 5

Nội dung……… 7

Chương 1 Một số khái niệm cơ bản……… 7

1.1 Không gian tuyến tính……… 7

1.2 Không gian định chuẩn……… 8

1.3 Không gian Hilbert……… 10

Chương 2 Xấp xỉ tốt nhất trong không gian tuyến tính định chuẩn 13

2.1 Xấp xỉ tốt nhất trong không gian tuyến tính định chuẩn……… 13

2.1.1 Bài toán……… 13

2.1.2 Các định lý……… 13

2.2 Xấp xỉ tốt nhất trong không gian tuyến tính định chuẩn C a b, ……… 15

2.2.1 Bài toán……… 15

2.2.2 Các định lý……… 15

2.3 Một số trường hợp đặc biệt……… 19

2.3.1 Xấp xỉ bằng đa thức bậc không……… 20

2.3.2 Xấp xỉ bằng đa thức bậc nhất……… 20

2.4 Ví dụ……… 21

Chương 3 Xấp xỉ tốt nhất trong không gian Hilbert……… 27

3.1 Bất đẳng thức Bessel và đẳng thức Parseval……… 27

3.2 Xấp xỉ tốt nhất trong không gian Hilbert……… 29

3.2.1 Bài toán……… 29

3.2.2 Các định lí……… 29

3.3 Xấp xỉ tốt nhất trong L a b ……… 2 , 33 3.3.1 Xấp xỉ bằng đa thức đại số……… 33

3.3.2 Xấp xỉ bằng đa thức trực giao……… 34

3.3.3 Xấp xỉ trung bình phương bằng hệ trực giao hàm cho bằng bảng……… 37

3.4 Ví dụ……… 40

Kết luận……… 46

Tài liệu tham khảo……… 47

Mở đầu

1 Lý do chon đề tài

Giải tích số hay còn gọi là phương pháp số, phương pháp tính, toán học tính toán, là một khoa học nghiên cứu cách giải gần đúng, chủ yếu là giải số, giải phương trình, giải các bài toán xấp xỉ hàm số và các bài toán tối ưu

Các bài toán xấp xỉ hàm số là một trong những nhiệm vụ chính của giải tích số, bằng việc thay một hàm có dạng phức tạp hoặc một hàm dưới dạng bảng bằng những hàm số đơn giản hơn với sai số nhỏ

Một bộ phận nhỏ của xấp xỉ hàm là xấp xỉ đều tốt nhất có thể áp dụng

để giải một số bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một hàm số hay một biểu thức nào đó thường đề cập trong những kỳ thi tuyển sinh vào các trường đại học, cao đẳng, trung cấp dạy nghề

Dưới sự hướng dẫn của thầy giáo Nguyễn Văn Hùng và nhận thức

trên, tôi xin mạnh dạn nghiên cứu đề tài :

“ XấP Xỉ ĐềU TốT NHấT”

Cụ thể ở đây tôi nghiên cứu hai vấn đề

1 Nghiên cứu xấp xỉ đều tốt nhất trong không gian tuyến tính định chuẩn

2 Nghiên cứu xấp xỉ đều tốt nhất trong không gian Hilbert

Đây là đề tài có phạm vi quy mô nhỏ trong ngành giải tích toán học Với hy vọng sẽ làm sáng tỏ thêm về lý thuyết xấp xỉ hàm Khoá luận của tôi gồm ba phần: Lời nói đầu, nội dung, kết luận

Do thời gian và năng lực có hạn nên khoá luận của tôi khó tránh khỏi những thiếu sót Vì vậy tôi rất mong nhận được các ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và các bạn sinh viên

2 Mục đích nghiên cứu

Đề tài nghiên cứu “xấp xỉ đều tốt nhất” nhằm tìm hiểu các bài toán

trong không gian định chuẩn và không gian Hilbert

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu các bài toán trong không gian định chuẩn và không gian Hilbert

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu là các hàm trong không gian định chuẩn và không gian Hilbert

5 Phương pháp nghiên cứu

Đọc và phân tích tài liệu liên quan

Chương 1 Một số khái niệm cơ bản 1.1 không gian tuyến tính

Định nghĩa 1.1.1 Trên tập X , xác định một cấu trúc tuyến tính nếu với mọi x,yX với mọi tR (hoặc tC) xác định phép cộng

Khi đó X, là không gian tuyến tính

Định nghĩa 1.1.2 Cho hệ n véctơ x , ,1 x n trong không gian tuyến tính

X Xét đẳng thức véctơ 1x12x2  n x n 0 Đẳng thức trên xảy ra

nếu 1 2  n 0 thì hệ n véctơ đó độc lập tuyến tính hoặc  bộ

 để đẳng thức trên xảy ra thì hệ n véctơ đó phụ

Định nghĩa 1.2.1.1 Giả sử X là một không gian tuyến tính trên R ánh

xạ  : X R xác định trên X lấy giá trị trên tập số thực: x R,xX

thỏa mãn các điều kiện:

Được gọi là một chuẩn trên X

Không gian tuyến tính X cùng với  được gọi là một không gian tuyến tính định chuẩn

Định nghĩa 1.2.1.2 Hai 1,  2cùng xác định trong không gian tuyến tính X gọi là tương đương, nếu tồn tại hai hằng số c1,c2 0 sao cho:

x X c x x c x

   

Định nghĩa 1.2.1.3 Cho X , là hai không gian tuyến tính định Y

chuẩn ánh xạ A:X Y gọi là (giới nội) bị chặn nếu tồn tại hằng số M 0sao cho:

Thật vậy, giả sử trên X có 1và  2là hai chuẩn cho trước

Gọi S xX | x 1 1 Vì S đóng và X có số chiều hữu hạn nên  2

đạt max và min trên S ký hiệu là M và m tương ứng

Xét x0 là phần tử bất kì trong X ,

khi đó

2 1 1 2

1 1

x

x x x

x x

1 1

, do

đó m x 1  x 2 M x 1

Vậy hai chuẩn là tương đương

Định lý 1.2.2.2 Toán tử tuyến tính A:X Y là bị chặn khi và chỉ khi

1 1

  Khi đó  là một chuẩn trên L p 0,1

1.3 không gian hilbert

1.3.1 Các định nghĩa

Định nghĩa 1.3.1.1 Hàm số , đưa mọi cặp x, trong không gian y

tuyến tính H vào R gọi là tích vô hướng của x, , kí hiệu là y x, y nếu nó thỏa mãn các tính chất sau:

Không gian Hilbert là không gian tiền Hilbert đủ

Mọi không gian có tích vô hướng là không gian định chuẩn, với chuẩn

2

, x x

x 

Định nghĩa 1.3.1.2 ChoH là không gian Hilbert Hệ các phần tử  e i i I

của H Gọi là

Trực giao nếu: e n,e m 0 nmTrực chuẩn nếu: e n,e m n,m

n c e S

1

với c i  x,e i Ta nói chuỗi Fourier hội tụ đến x nếu S n x 0n

i y x y

    

b

a

dt t x t

Trong đó p t là hàm trọng (p t thường được chọn thoả mãn các điều kiện xác định và khả tích trên  a, b , p t 0 trên  a, b và p t 0 chỉ trên một tập có đọ đo 0) Ta trang bị trên L2 a,b một tích vô hướng bằng cách đặt

với x   t ,y t L2 a,b thì  b      

a

dt t y t x t p y

x

x e



tdt e

x nên y2 x2 t,t 1,1

Vậy

3

23

1

2 1

1

3 2

1 1

y e y

Quá trình cứ tiếp tục như vậy, ta sẽ được một hệ trực chuẩn  e Tuy i

nhiên do ta chỉ quan tâm đến tính trực giao của hệ nên có thể nhân mỗi e với i

một hằng số thích hợp để được một véctơ mới, vẫn kí hiệu là e nhưng với i

dạng đơn giản hơn, như sau

2.1 Xấp xỉ tốt nhất trong không gian tuyến tính định chuẩn

2.1.1 Bài toán

Cho X là không gian tuyến tính định chuẩn, X là không gian con hữu 0

hạn chiều của X và xX là một phần tử cố định Tìm phần tử x0X0 sao cho

Định lý 2.1.2.1 Bài toán xấp xỉ tốt nhất trong không gian tuyến tính

định chuẩn luôn có nghiệm

Chứng minh

Đặt   v X0: v 2 x

Nếu vX0  thì v x v  x  x  x  Do đó v không là phần tử tốt nhất của phần tử x

Như vậy có thể giới hạn việc tìm phần tử tốt nhất trong 

Ta nhận thấy  là tập đóng và bị chặn trong X nên 0  là tập compact Xét hàm  v : x v Ta có v v,  thì

   v v x v x v v v

           , suy ra  là hàm liên tục trên tập compact  trong không gian hữu hạn chiều

Trong không gian tuyến tính định chuẩn lồi thực sự thì xấp xỉ tốt nhất tồn tại và duy nhất

Chú ý: Không gian định chuẩn X gọi là lồi thực sự nếu x y, 

x y  x  y suy ra yx  0

2.2 XấP Xỉ ĐềU TốT NHấT TRONG KHÔNG GIAN tuyến tính ĐịNH CHUẩN C ,b

Như vậy đa thức Q P P n đổi dấu n2 lần nên có ít nhất n1nghiệm, suy ra Q P

hay P x i  f x i iQ x i  f x i  với i  1

Ta có 1i  Q x i  f x  i  1 i  E n f 2E n f hay i 1 từ đây suy ra P x i Q x i i0,n1 hay PQ

Định lý 2.2.2.4 Đa thức xấp xỉ đều tốt nhất PP n của một hàm

cũng là đa thức xấp xỉ đều tốt nhất của f

Do tính duy nhất của xấp xỉ đều tốt nhất, ta được

   ,  1,1

P  x P x   x Vậy P cũng là hàm chẵn

   

 

  1      1

2 1 ,

sup

n n

sup

n n

là đa thức nội suy của hàm f với các mốc nội suy   1

  1     1

Nối hai điểm A a f a ,   ;B b f b  ,   

Đường cần tìm là đường trung bình

của hai đoạn thẳng AB và CD:

15

a f b f c a c f a f a

0

53

212

115

152

12

53

Tìm C c f c , 1   trong đó   1

01

2

  trở lại biến x ta được

2

1ln1



Ví dụ 3 Tìm đa thức bậc nhất xấp xỉ đều tốt nhất   3

x x

f  trên  1,1

Giải

Vì   3

x x

f  là hàm lẻ nên đa thức xấp xỉ đều tốt nhất bậc nhất và bậc hai trùng nhau Đa thức xấp xỉ tốt nhất bậc nhất của f là

f  và P là tập hợp các đa thức sinh bởi hai phần tử 1

 1,x Ta phải tìm đa thức bậc nhất Q x axb sao cho

  x ax b f x Q x f

f  là hàm chẵn nên Q x là hàm chẵn suy ra a0 Đặt min   0; max   1

Vậy   2

x x

f  có đa thức xấp xỉ đều tốt nhất bậc không trên  1,1 là

Giải

2 3

,,1

;P x x x

Như vậy bài toán được hiểu là tìm xấp xỉ đều tốt nhất Q x P2 của hàm số   3

x x

f  Vì rằng   3

x x

f  là hàm số lẻ, nên Q x là lẻ vậy 0

trong đó T  x 1;T x x;T  x 2x 1;T  x 4x3 3x

3 2

2 1

Do vậy  

4

3x x

Ví dụ 6 Tìm ,a b sao cho

, 0,1

 

f x

x suy ra   1

12

c suy ra

14

f x x x, Q x  a bài toán trở thành tìm đa thức xấp xỉ

đều tốt nhất bậc không của f x trên   1,2

Ví dụ 8 Tìm đa thức bậc không quá 4 xấp xỉ đều tốt nhất hàm

Chương 3 Xấp xỉ tốt nhất trong không gian hilbert 3.1 Bất Đẳng thức besSel và đẳng thức parseval

Cho  

 1

i i

e là hệ trực chuẩn và đầy đủ trong không gian Hilbert H Tức

là e i,e j ij i, jN và Span e i H Với mỗi xH ta thành lập tổng

Fourier 



 n

i i i

n

S x N

n

1

2 2

2 2

2

,20

N n x

i e c

n k

k k

e S

Khi nk, ta có xS e, k  c k SS e n, k  c k S nS e, k

i e c S

i

i x c

S x

1

2 2

Mệnh đề 3.1.2 Hệ véctơ  n

i i

e 1 độc lập tuyến tính khi và chỉ khi định

e 1 phụ thuộc tuyến tính thì tìm được i i 1,n không

đồng thời bằng không sao cho  



n i i

2 Ngược lại, nếu G e e 1, , ,2 e n0 thì hệ phương trình

minF F 0 x h

R Nên hàm F  đạt min tại  0

Theo bổ đề Fecma thì F 0 0 nhưng   2

e 1 là cơ sở của H Khi đó 0 



 n

i i

i e c h

e

n i

j i

e 1 độc lập tuyến tính nên Ge1,e2, ,e n0, suy ra phương trình đại số tuyến tính có nghiệm duy nhất c i i1,n

Như vậy để tìm xấp xỉ tốt nhất 



 n

i i

i e c h

h x

e 1 trực giao

ij i j

e

e x

Còn phương sai ntính theo công thức

2 0 2 0

2

h h

x

x    h0H0;xh0 H0

x c Do đó cho n  thì  n 0Suy ra n 0n 

2 Trường hợp hệ  n

i i

e 1 là cơ sở bất kỳ của H 0

2 2

x e e e G

, ,,

,, ,,

2 1

2 1

2 

  3.5

Nói riêng, nếu hệ  n

i i

e 1 độc lập tuyến tính thì Ge1,e2, ,e n0

Thật vậy, với n1   2

1 1 1

i n

e e e G

e e e G e

Span e

d

, ,,

, ,,,

2 1

1 2

1 1

d và Ge1,e2, ,e n0 theo giả thiết qui nạp, nên Ge1,e2, ,e n10

x độc lập tuyến tính trên  a, b Gọi P là tập hợp tất cả n

các đa thức bậc không quá n Rõ ràng là    i n

n Span x

P  0 Theo mệnh đề 3.2.2.2 tồn tại duy nhất đa thức pP n sao cho





        Đặt

n

n n

n n

m c s c

s c s

m c s c

s c s

m c

s c

s c s

2 1

1 0

1 1

1 2 0 1

0 1

1 0 0

2 0

2

1 1 1

0 0

n

n

n n n

n n

n

s s

s s

f m m

m s s

m s s

m s s

1 Hai hệ đa thức trực giao chỉ khác nhau những thừa số hằng số

2 Số nghiệm thực của đa thức trực giao Q n x trên  a, b đúng bằng n

3 Nghiệm của Q n 1  x và Q n x xen kẽ lẫn nhau

4 Mỗi đa thức trực giao Q n x thỏa mãn công thức truy hồi sau

   ,    1, 1  0

1 1 , Q  x  a x Q x a  Q  x 

Chuẩn

 

1

2 1

3 3

1

3 1 ; 2

n x c L x p

1

2 2

2

12

2

n k

k n

k dx

x f dx x p x f

Phương trình vi phân

1x2T n x x T n x n2T n x 0 Chuẩn

2 1 1

2

n

n dx

x

x T

n x c T x p

2 1

21

n x n n

x

e dx

d e x

H

b a

e x p

1 2

!22



n dx

x H e

n x c H x p

i

i i

2

!2

k k n

1

2 2 2

0 2

2 2

Như ta đã biết, chuỗi Fourier hội tụ trong L2p a,b Nếu  1

,b

a

C

f  , có thể chứng minh rằng chuỗi Fourier hội tụ đều trên mỗi đoạn con hữu hạn thuộc

Độ lệch nhỏ nhất xác định bởi công thức

2 0

,

m

i m

n i

k n j

: suy ra xx khu

ta có

x ,x, ,x   k,k1, ,0, ,k1,k

m j

i j j

i v

v k i

Trong trường hợp mn, đa thức bình phương tối thiểu trùng với đa thức nội suy Thật vậy

Giả sử p là đa thức nội suy, Q là đa thức bình phương nhỏ nhất

degpn;degQn của hàm  f x tại các mốc phân biệt  n

i i

x 0 khi đó

   

1 2 2 0

f hay Q x i  f   x i  p x i i0,n Suy ra Q P

3.4 Ví dụ

Ví dụ 1 Xấp xỉ trung bình phương hàm   3

x x

f  trên  1,1 bằng đa thức bậc ba

i

i

i x x

Trước hết ta tính:

 0,33

6,01

11

1

1

1 1

k k

dx x s

x i i

k k

28

,2

7779,23

2,12

4739,23

2,12

2819,73

26

3 3

1

2 2

0

1 3

1

0 2

0

m m m m

;9944,

;1000,

Cách 2 Tìm đa thức xấp xỉ tốt nhất dưới dạng     



 3

0 3

i i

i L x c x

3 3

1 0

2336,06576,00968,19945,0

09345,

0

;4284,0

;2371,1

;2137,1

x x

x x

Q

c c

c c

Ví dụ 2 Xấp xỉ trung bình phương hàm f x  x trên đoạn  1,1 bằng

đa thức bậc 5

Giải

Vì f x là hàm chẵn nên f   x L i x là hàm chẵn (lẻ) nếu i chẵn (lẻ), do

đó

       

    02

24

142

14

1

1

1 2 1

2

1

0 2 1

1

2 2

k c

dx x xL k

dx x L x f

k c

k k

k k

k

Ta có

8

52

135

;2

0

2 2

330

359

1

0

2 4

33035

16

32

138

52

2 4



C

f nên chuỗi Fourier của hàm f theo đa thức Chebysev hội

tụ đều Để có khai triển Fourier theo đa thức Chebysev của hàm f x , trước hết ta chứng minh công thức

n

n

n n

a

az

a az

a z f

cos21

    

i r re

z

f ln i ln 

~

Như vậy

21ln2

1ln

~Re

n

n

n n

a a

a r

n n

n n

n k

k k

32

116

92



46

22

46

22

4 6

5 6

6 5

43

12

146

22

6 5

2 2

6 4

f x    P x  Mắc phải sai số 0,000080,000020,0001 Ta tìm được đa thức bậc 5 xấp xỉ đều f chính xác gấp 5 lần đa thức S 5

Ví dụ 4 Tìm đa thức xấp xỉ đều hàm  

x

x x

f

20101

n

n n

az z

a z

f i

cos1

n

n n z a f

a a

n

n

R S x T x

101

Kết luận

Đề tài “xấp xỉ đều tốt nhất” đã tìm hiểu các bài toán xấp xỉ trong

không gian tuyến tính định chuẩn và không gian Hilbert, đồng thời đưa ra được một số ví dụ áp dụng xấp xỉ đều tốt nhất cho các bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Tuy nhiên do thời gian và năng lực có hạn nên tôi không tránh khỏi những thiếu sót Tôi rất mong nhận được sự đóng góp của các bạn đọc để đề tài được hoàn thiện hơn