Luận văn Thạc sĩ Toán học Biến đổi laplace

1 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Phép biến đổi Laplace phép biến đổi tích phân có vai trò quan trọng tốn học nói chung giải tích phức nói riêng Nó với phép biến đổi Fourier biến đổi Radon phép biến đổi hữu ích thường sử dụng việc giải toán phức tạp giải phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân, phương trình vi tích phân… Nghiên cứu sở phép biến đổi người ta biết sở phép tính tốn tử để đưa dạng phương trình dạng đơn giản Trong vật lý, phép biến đổi Laplace dùng để giải tốn phân tích mạch điện, xử lý số liệu, dao động điều hoà, hệ học Như phép biến đổi Laplace khơng có ý nghĩa lý thuyết tốn học mà có nhiều ứng dụng ngành khoa học khác Trên sở hướng dẫn Tiến sĩ Trần Văn Vuông, lựa chọn đề tài “Biến đổi Laplace” nhằm nghiên cứu sâu phép biến đổi số ứng dụng thực tiễn Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu hệ thống kiến thức phép biến đổi Laplace - Vận dụng phép biến đổi Laplace để giải số dạng toán liên quan Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu phép biến đổi Laplace số ứng dụng Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đề tài chủ yếu tập trung nghiên cứu phép biến đổi Laplace vài ứng dụng sở thao tác hàm biến số lượng nhỏ hàm hai biến để tìm biến đổi Laplace, biến đổi Laplace ngược số hàm số thông thường Vận dụng phép biến đổi Laplace để giải số phương trình vi phân, phương trình sai phân, phương trình tích phân, phương trình đạo hàm riêng PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lý thuyết - Phân tích đánh giá, tổng hợp kết Đóng góp đề tài Hiểu rõ chất phép biến đổi Laplace tìm vài ứng dụng phép biến đổi Laplace Chương BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC 1.1 Phép biến đổi Laplace 1.1.1 Định nghĩa phép biến đổi Laplace Cho  s t e f f (t) hàm số xác định nửa khoảng  0; Nếu tích phân suy rộng (trong s biến số phức) hội tụ gọi biến đổi Laplace (t)dt f (t) ký hiệu Lf (t) Biến đổi Laplace f (t) hàm biến phức, kí hiệu F (s) Công thức đầy đủ  F (s) L f (t)est f (t)dt Theo công thức trên, biến đổi Laplace f (t) tích phân suy rộng nên biến đổi Laplace f (t) viết dạng khai triển sau  T F (s) L f (t)  est f (t)dt lim  est f (t)dt T  0 Cận tích phân nên F (s) mang thông tin f (t) với t 0 Phép biến đổi Laplace biến hàm biến thực f (t) thành hàm biến phức  F (s) L f (t)est f (t)dt Ví dụ 1.1 Tìm biến đổi Laplace f (t) c, c ¡ Lời giải Với c 0 , ta có  T L f (t)L ccestdt c.lim  estdt T   c   est lim e lim T c     t T   T    0 s  s sT   Đặt s i, ta có  lim e sT lim e  T T  (cos T i sin T ) T  Do cos T i sin hàm số bị chặn biến T nên giới hạn nói T 0 không tồn 0 Nếu c = ta có Vậy L[c] L 0F (s) 0 L cF (s) với Re s 0 c  s Ví dụ 1.2 Tìm biến đổi Laplace f (t) t  Lời giải T Lf (t)L  t testdt lim  test dt T  0  test est T  lim     T  s s t 0     Te  s  sT  lim T  lim e s2 Đặt s i, ta có  lim e sT T  s lim e T  T  s  T (cos T i sin T ) T  Do cos T i sin hàm số bị chặn biến T nên: T +) Khi Re s 0 lim s T  Tes li e 0 , T T m T  s s2 +) Khi Re s 0 , hai giới hạn nói không tồn Vậy L t F (s)  s2 với Re s 0 Ví dụ 1.3 Tìm biến đổi Laplace f (t) e at , a ¡  Lời giải T L f (t)L e at  e ate st dt lim  e ( sa )T dt T  e lim    T  ( s a )t  T    sa t sa 0 1 lim  T  ( s a )T e   Đặt s i, ta có lim lim e (a)T (cos T i sin T )   T  e ( s a )T T  Do hàm số cos T i sin T hàm số bị chặn biến T nên:   +) Khi Re s a lim e ( a )T (cos T i sin T ) 0 ( s a T  lim e )T T  , +) Khi Re s a , giới hạn nói khơng tồn Vậy L  eat F (s)  với Re s a s a Ví dụ 1.4 Tìm biến đổi Laplace Lời giải f (t) sin at, a ¡  Lf (t)Lsin at  e st sin atdt  a lim e sT (a cos aT s sin aT ) s a T s2 a2 với Re s 0 a  s a Hồn tồn tương tự, ta có L[cos at]  s s2 a với Re s 0 Ví dụ 1.5 Tìm biến đổi Laplace hàm Heaviside 1 (t)  t 0 0 t 0 Lời giải L(t)F (s)  e st  dt  với Re s 0 s    L t     Ví dụ 1.6 Tìm L t , n n 1, áp dụng kết tìm Lời giải Xét hàm  (t) xác định công thức (n) un1eu du Trước hết ta chứng minh (n 1) n! (n ¥ )  u Thật vậy, (n 1) n u  u e du du n x nên đặt  n1 u dy e dx nu du  u  y   e  u   (n 1)  u n e  u du  n u u e Lặp lại trình ta có (0) 1 nên   nun 1e u du n.(n), (n ¥ ) u 0 Mặt khác  (n 1) n(n 1)(n 1) 1(0) (n 1) n! Từ suy L t n F (s)    e st t n dt  e    s  Áp dụng kết ta có   L t        u  un du n s 1     2  s n1 n (n 1)  n! n1 s ,ở u e u du   n1 s 1        u eudu 2  0 s2  Đổi biến 1   u x  2  e x dx   2   Do   L t     1   2   s   (s 0)  s 1.1.2 Sự tồn biến đổi Laplace Định nghĩa 1.1 Hàm số f (t) gọi hàm gốc có hai tính chất sau: a) f (t) đo khoảng (0;) b) f (t) tăng không nhanh hàm mũ t  , nghĩa 0, M 0, f (t) |Met ,t 0 | Số 0  inf  với tất thoả mãn (b) gọi số tăng Định lý 1.1 Nếu f (t) hàm gốc có số tăng  có miền hội tụ Me  ta có T st t M e e dt  e biến đổi Laplace Re s  Chứng minh Với 0 , T f (t) t f (t)   Me t T st st t f (t)dt M  e e dt ,t 0 ,  Ly(t)   s e   s s(1 2e ) t  L 2 L1 e s s(1 es )    y(t) an 2n 1, n 0,1, 2, Ta kiểm tra lại kết toán sau an2 2n2 1 an1 , 2 a 3a 2a n2 n1 n (2 2 n1 n n 2 2.2 n 1 an 2 1, , 1) 3(2 3.2 n 1 Ví dụ 2.42 Giải phương trình n 1 3.2 1) 2(2n n1 2.2 n 2 1) n n 0 a 3a 2a 3n a0 , n2 0, n1 a1 1 n Lời giải Bằng cách làm hoàn tồn tương tự ví dụ ta tìm t  L    L y(t) L  e2 s 3es 2    t L 1  Lại có   t L     e s  s 2s s 3s e 3e s(1 3e ) e 3e s 2 2 e    1/2 1/2  s  s   s 1 e 3e  s 2e 1      L 1 L 2 t  L 3 t ,     Vậy nghiệm toán 1 a  3n  n , n 0,1, 2, 2.6 Giải phương trình đạo hàm riêng tuyến tính với hệ số số Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp khơng q hai có hệ số số phương trình có dạng u u u c d e a 2b u  x x t x t t 2 u u u(x,t) hàm cần tìm hai biến x, t cho trước fu g , a, b, c, d , f , g số e, Giả sử ta có hàm u u(x,t) , với Laplace hàm u u(x,t) hệ thức t biến thời gian Ta định nghĩa biến đổi 0 biến t hàm số U U (x, s) xác định  U (x, s) L  u(x,t)  e st u(x,t)dt Ở x gọi biến không  thay đổi Với  u nghĩa trên,  ta thừa nhận  số tính chấtsau  định i)L u(x,t)dt  U (x, s)a st e u(x,t)dt es t   x    x 0 x (Điều có nghĩa x biến đổi Laplace đạo hàm đạo hàm biến đổi) Trong công thức trên, để thuận lợi ta viết  U (x, s)  x d dx U (x, s)  dU , dx 2  u  d U Theo tính chất biến đổi Laplace hàm biến ta suy L  x x2  L u  sL  u(x,t) u(x, ) sU (x, s) u(x,0 )  t    ii)   st lim  e u(x,t)dt  xx 0   st e u(x0 , t)dt u Ví dụ 2.43 Giải phương trình có limU (x, s) U (x0 , s)  u xx0 x t Lời giải Lấy biến đổi Laplace hai vế phương trình cho, ta  u  u d L L    t  dx  x       Do u(x,0 ) x Lại có Cho u(0,t) t  U (x, s) sU (x, s) u(x, ) x nên U (x, s) cesx   s s2 suy U (0, s) L u(0,t)L  t  s2 x c 0 U (x, s)  u(x,t) x t  s s2 Vậy nghiệm toán u(x,t) x t Bài tập minh hoạ cho kỹ thuật việc sử dụng biến đổi Laplace để giải phương trình đạo hàm riêng Tuy nhiên để dạng tập phong phú ta thừa nhận số kết sau a s   e  a  1 L  Erf   (a 0) s t     a L1 e a s  a    4t e t 1 a s e L     s a  (a 0) (a 0) et 4t  u u   x au bx2 , x 0, Ví dụ 2.44 Giải phương trình với u(0,t) 0, số x t 0, a, b t  u(x, ) 0 Lời giải Đặt L u(x,t) U (x, s) , lấy biến đổi Laplace hai vế phương   trình cho ta có bx2 xU (x, s) sU (x, s) u(x,0 ) aU (x, s)  , x s điều có nghĩa  dU  (s a)U bx x dx s Nghiệm phương trình có dạng , hay dU  bx  dx (s a) x (s 0) U s U (x, s)  bx cx( s a  (x 0, s a) ) s(s a 2) Lấy biến đổi Laplace điều kiện biên u(0,t) 0 , ta có U (0, s) L u(0,t)0 bx Cho c 0 U (x, s) s(s a  2) , từ suy u(x,t)  bx a 2 1 e ( a2)t  u(x,t)  bx Vậy nghiệm tốn a 2 u Ví dụ 2.45 Giải phương trình u x2 x 0 ,  i)u(x,0 ) 1,  1 e ( a2)t , x 0,  thoả mãn t 0 t t 0 , ii)u(0,t) 0, iii) limu(x,t) 1 x Lời giải Lấy biến đổi Laplace hai vế phương trình cho ta có d 2U dx Sử dụng giả thiết  sU u(x,0 ) sU 1 ii) iii) ta có U (0, s) L u(0,t)0, limU (x, s) lim L  u(x,t) L  limu(x,t)  x x x sx Nghiệm phương trình U (x, s) c1e Chuyển qua giới hạn ta có với c1  0, U (0, s) 0  sx c2e s  s limU (x, s)  , x s  e sx U (x, s)  s s Sử dụng kết phần trước ta suy Vậy nghiệm toán u x t  x  u(x,t) Erf  x /2 t  e u du  Erf  xt 2 t   x /2     e u du Ví dụ 2.46 Giải phương trình  ii)u(0,t)  f (t), t 0 ,  2 t  2u u  , x 0, x2 i)u(x,0 ) 0 ,  t  t 0 thoả mãn iii) lim u(x,t) 0 x Lời giải Lấy biến đổi Laplace hai vế phương trình cho ta có d 2U dx sU 0 Nghiệm phương trình U (x, s) c2  e sx (Giả thiết iii) ) Theo ii) ta có U (0, s) L f (t) F (s) ,   sx c2 F U (x, s) F  t (s) (s)e x /4 x ı  Sử dụng tính chất tích chập ta suy u(x,t)  f (t ı)dı e3 ı Đặt  x / 4ı, u(x,t)  e  2 2 t Vậy nghiệm toán x  d f t   x u(x,t)     42   e    x  f t  t   x  d 42  2.7 Giải phương trình vi tích phân Ví dụ 2.47 Tìm nghiệm tốn sau  t x ''(t) x(t) sin t   sin(t ı )  x(ı )dı  x(0) 0, x '(0) 1  (2.9) (2.10) Lời giải Đặt L x(t) X (s) , lấy biến đổi Laplace hai vế phương trình   (2.9) ta có t L  x ''(t)L  x(t) Lsin t L  0 s L  x(t)  sx(0) x '(0) L  x(t)   sin(t ı) x(ı )dı K h v đ ki  (2.10) ta suy s2 1   Lsin t L  x(t)  s2 L  x(t)  1 1 s 1  L  x(t)  s2 1 L  x(t)   x(t) t 1 s 1 s2 1 s 1  Vậy nghiệm toán L x(t)  s2 2  (s 1)2 1 L t s  x(t) t Ví dụ 2.48 Tìm nghiệm tốn  t x '(t)   x(t ı cos  t )dı x(0) 0  (2.11) (2.12) Lời giải Đặt L[x(t)] X (s) , lấy biến đổi Laplace hai vế phương trình (2.11) ta có L  x '(t)L  0 sL  x(t)  x(0) L  x(t) .L 1 t  x(t ı)dı   Lcos t  , s s 1 Kết hợp với điều kiện (2.12) ta   s s  L  x(t)    s s 1   s2 L  x(t)  2 (s 1) 1 1  L  x(t)   L[sin t] L (sin t t cos t)   2   s 1 (s 1) 1 x(t) sin t  (sin t t cost)  (sin t t cost) 2 x(t)  (sin t t cos t) Vậy nghiệm toán KẾT LUẬN Với mục đích nghiên cứu đặt từ ban đầu, qua trình nghiên cứu hoàn thiện luận văn “Biến đổi Laplace”, luận văn đạt số kết thể nội dung sau: Chương 1: Xây dựng lý thuyết phép biến đổi Laplace (Định nghĩa tính chất), sở đề cập đến biến đổi Laplace ngược mối liên hệ hai loại biến đổi Chương 2: Nghiên cứu số ứng dụng phép biến đổi Laplace như: - Tìm biến đổi Laplace, biến đổi Laplace ngược số hàm số - Sử dụng biến đổi Laplace để giải số phương trình vi phân với hệ số số, phương trình tích phân, phương trình sai phân, phương trình đạo hàm riêng, phương trình vi tích phân, số tốn Vật lý Thơng qua ví dụ trình bày luận văn, nhận thấy giải phương pháp sử dụng biến đổi Laplace tốn có số ưu điểm sau: - Khi giải phương trình hệ phương trình vi phân có bậc vi phân lớn ta phải giải phương trình bậc với X (s) - Giải loại phương trình khác cách dùng biến đổi Laplace lời giải thường ngắn gọn dễ hiểu - Dùng biến đổi Laplace ta giải lớp tốn có phạm vi tương đối rộng Mặc dù biến đổi Laplace có nhiều ứng dụng song thời gian điều kiện thân nên chưa nghiên cứu đầy đủ phép biến đổi Tôi hy vọng luận văn tiếp tục nghiên cứu mức độ lý thuyết cao ứng dụng sâu sắc hơn, có ý nghĩa thực tế TÀI LIỆU THAM KHẢO [A] TÀI LIỆU TIẾNG VIỆT [1] Đặng Đình Áng, Trần Lưu Cường, Huỳnh Bá Lân, Nguyễn Văn Nhân (2001), Biến đổi tích phân, Nhà xuất Giáo dục, Thành phố Hồ Chí Minh [2] Đậu Thế Cấp (2003), Bài tập hàm biến phức, Nhà xuất Giáo dục, Thành phố Hồ Chí Minh [3] Nguyễn Phụ Hy (2006), Bài tập hàm số biến số phức, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội [4] Nguyễn Phụ Hy (2006), Giải tích hàm, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội [5] Nguyễn Xuân Liêm (2000), Giải tích hàm, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội [B] TÀI LIỆU TIẾNG ANH [6] Joel L Schiff (1988), The Laplace - Transform Theory and Application, Springer - Verlag, NewYork ... rõ chất phép biến đổi Laplace tìm vài ứng dụng phép biến đổi Laplace Chương BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC 1.1 Phép biến đổi Laplace 1.1.1 Định nghĩa phép biến đổi Laplace Cho ... mang thông tin f (t) với t 0 Phép biến đổi Laplace biến hàm biến thực f (t) thành hàm biến phức  F (s) L f (t)est f (t)dt Ví dụ 1.1 Tìm biến đổi Laplace f (t) c, c ¡ Lời giải... 1.1.3 Tính chất biến đổi Laplace Định lý 1.3 Cho fk (t) hàm gốc có biến đổi Laplace Fk (s) , số tăng tương ứng , k 1, 2, , n k Nếu n f (t)  c k fk (t), ck ¡ số , biến đổi Laplace f (t)