Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phép biến đổi Radon

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phép biến đổi Radon đưa ra các kiến thức cần dùng, giới thiệu phép biến đổi Radon, biến đổi Radon và các tính chất cơ bản, biến đổi ngược của biến đổi Radon. Với các bạn chuyên ngành Toán học thì đây là tài liệu hữu ích.

BỘ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH -oOo - VŨ THỊ HỒNG HẠNH PHÉP BIẾN ĐỔI RADON LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH MÃ SỐ Thành phố Hồ Chí Minh Tháng 09 năm 2003 : TOÁN GIẢI TÍCH : 1.01.01 LỜI CẢM ƠN Lời luận văn này, xin kính gửi đến Thầy TS Nguyễn Cam–Khoa Toán Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh - người tận tình hướng dẫn, giúp đỡ hoàn thành luận văn, lòng biết ơn chân thành sâu sắc Chân thành cảm ơn Quý Thầy, Cô thuộc Khoa Toán,Khoa Tâm Lý–Giáo Dục, Khoa Triết, Khoa Pháp, Phòng Khoa học–Công Nghệ–Sau Đại Học thuộc Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh, Thầy thuộc Khoa Toán-Tin Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Thành Phố Hồ Chí Minh, tận tình truyền đạt kiến thức hỗ trợ tư liệu,thủ tục hành chánh cho suốt trình học tập làm việc Xin chân thành cảm ơn TS.Chu Đức Khánh-Trường Dự Bò Đại Học Tp.Hồ Chí Minh, TS.Đinh Ngọc Thanh-Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Tp.Hồ Chí Minh, đọc đóng góp nhiều ý kiến q báu cho luận văn hoàn chỉnh Xin cảm ơn bạn khóa Cao Học Giải Tích 11 Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh, bạn Tổ Toán trường THPT Bà Điểm Cô Nguyễn Lê Thúy Hoa, trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong, quan tâm, giúp đỡ suốt thời gian học tập làm luận văn Một lần xin kính gửi đến Quý Thầy, Cô Bạn Hữu lời cảm ơn chân thành,sâu sắc Thành Phố Hồ Chí Minh tháng 09 năm 2003 Vũ Thò Hồng Hạnh MỤC LỤC CHƯƠNG I: Các kiến thức cần dùng I.Những nhận xét sơ II.Các không gian hàm thử III.Sự hội tụ không gian hàm thử IV.Các phiếm hàm tuyến tính V.Sự phân bố VI.Đa thức Hermite Hl(x) VII.Biến đổi Fourier VIII.Công thức Courant Hilbert 1 1 2 6 CHƯƠNG II : Giới thiệu phép biến đổi Radon I.Giới thiệu II.Biến đổi Radon không gian Euclide hai chiều III.Biến đổi Radon không gian Euclide ba chiều IV.Vài ví dụ CHƯƠNG III : Biến đổi Radon tính chất I.Tính II.Tính tuyến tính III.Biến đổi Radon phép biến đổi tuyến tính IV.Biến đổi Radon đạo hàm V.Biến đổi Radon đa thức Hermite VI.Đạo hàm biến đổi Radon VII.Biến đổi tích chập VIII.Liên hệ biến đổi Radon biến đổi Fourier CHƯƠNG IV : Biến đổi ngược biến đổi Radon I.Giới thiệu II.Biến đổi ngược biến đổi Radon không gian Euclide hai chiều III.Sự thống liên hợp biến đổi Radon 7 11 14 17 17 20 20 22 29 35 42 43 45 45 45 biến đổi ngược không gian Euclide hai chiều IV.Biến đổi ngược biến đổi Radon không gian Euclide ba chiều V.Sự thống liên hợp biến đổi Radon biến đổi ngược không gian vectơ ba chiều VI.Sự liên hợp ℜ ℜ + 47 48 51 55 CHƯƠNG I:MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN DÙNG CHƯƠNG I: MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN DÙNG I.NHỮNG NHẬN XÉT SƠ BỘ: Cho X = (x1,x2,…,xn)∈ Rn.Tích vô hướng hai vectơ X,Y∈ Rn cho n công thức : X.Y = X, Y = ∑ x j y j j=1 Và độ lớn vectơ X X = X, X F(x1,x2,…,xn) hay F(X) hàm n biến số thực Trong hầu hết trường hợp, F(X) có giá trò thực Cho K bao đóng tập hợp điểm X∈ Rn cho F(X) ≠ 0,ta gọi K giá F Nếu giá K bò chặn, tập compact (theo đònh lí Heine-Borel không gian Euclide Rn,ta có : tính đóng bò chặn tập hợp tương đương với tính compact tập hợp đó) Giá hàm Rn tập đóng bé Rn,mà bên nó, hàm bò triệt tiêu Nếu F(X) khả vi vô hạn gọi thuộc lớp C∞ II.CÁC KHÔNG GIAN HÀM THỬ: 1)Không gian DK : Không gian hàm C∞ Rn với giá compact K⊂Rn kí hiệu DK 2)Không gian D: Không gian lớp hàm C∞ Rn với giá compact kí hiệu D 3)Không gian ϕ : Cho f: R ỈR gọi hàm giảm nhanh ∀m∈N lim D k f ( x ).x m = ,∀k x →∞ Không gian hàm C∞ giảm nhanh Rn kí hiệu ϕ III.SỰ HỘI TỤ TRONG KHÔNG GIAN CÁC HÀM THỬ: 1)Không gian DK : Cho { Fj} dãy hàm DK :Fj→F ∈ DK hay lim Fj = F j→ ∞ Nghóa : dãy {Fj-F} hội tụ tập compact K⊂ Rn CHƯƠNG I:MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN DÙNG Hơn nữa, dãy đạo hàm cấp Fj hội tụ K, tương ứng với đạo hàm cấp F, (DmFj – DmF) → ,với số cố đònh m ≥ 2)Không gian D: Sự hội tụ theo nghóa D đònh nghóa DK đặc biệt tất giá hàm số dãy {Fj } số tập compact cố đònh K⊂ Rn 3)Không gian ϕ : Cho {Fj} dãy hàm ϕ.Dãy hội tụ khi: i)Fj DmFj hội tụ tập hợp compact K Rn ii)Hằng số C(l,m) biểu thức⏐Xl Dm Fj⏐< C (l,m) độc lập j,∀j Dãy {Fj} gọi hội tụ F∈ϕ {Fj - F} hội tụ 0.Ta viết : Fj → F hay lim Fj = F ta gọi hội tụ theo nghóa ϕ j→ ∞ IV PHIẾM HÀM TUYẾN TÍNH: Một phiếm hàm tuyến tính T không gian tuyến tính L thoả mãn: = α + β với F1,F2 ∈ L số phức α,β Tập hợp phiếm hàm tuyến tính không gian tuyến tính L hình thành nên không gian tuyến tính gọi không gian đối ngẫu L’ Xét dãy hàm số {Fj} không gian tuyến tính L, phiếm hàm tuyến tính liên tục : lim < T,Fj > = < T, lim Fj > j→ ∞ j→ ∞ V.SỰ PHÂN BỐ: 1)Đònh nghóa 1: Một phiếm hàm tuyến tính liên tục không gian D gọi phân bố 2)Đònh nghóa 2: Không gian phân bố kí hiệu D’ 3)Đònh nghóa 3: Một phiếm hàm tuyến tính liên tục không gian ϕ gọi phân bố tempered 4)Đònh nghóa 4: Không gian phân bố tempered kí hiệu ϕ’ CHƯƠNG I:MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN DÙNG LƯU Ý : Đẳng thức, phép côïng, phép nhân vô hướng không gian L’ đònh nghóa sau: (i)T1∈L’ T2∈L’,ta coù: T1 = T2 ⇔ 〈T1,F〉 = 〈T2,F〉,∀F∈L (ii)(T1+T2)∈L’,ta coù: 〈T1+T2,F〉 = 〈T1,F〉 + 〈T2,F〉, ∀F∈L (iii)αT∈L’,α∈C,ta coù: 〈αT,F〉 = α*〈T,F〉, ∀F∈L Dãy hàm suy rộng {Tj}∈L’ gọi hội tụ hàm suy rộng T∈L’khi: lim Tj , F = T, F , ∀F ∈ L j→ ∞ Bây ta xét dãy hàm số sau : ⎧ ⎪0, x < ⎪ ⎪ ∀ k ∈ N , S k ( x ) = ⎨ k ,0 ≤ x ≤ k ⎪ ⎪ ⎪⎩0, x > k Rõ ràng, dãy {Sk} giới hạn xác đònh rõ (k→∞) phép tính giới hạn sơ cấp.Xét dạng tích phân sau : Sk , F = +∞ k −∞ ∫ Sk (x )F(x )dx = k ∫ F(x )dx với F hàm thuộc D j→ ∞ Cho dãy {Fj}⊂D cho : Fj → F ∈ D , ta coù: lim S k , Fj = S k , F j→∞ Vì 〈Sk,F〉 ∀F∈D phiếm hàm tuyến tính liên tục D Khi ta nói Sk phân bố phải hiểu đồng Sk với phiếm hàm tuyến tính liên tục: F Sk , F Với T(x) khả tích đoạn [a,b] T phân bố xác đònh : ∀F ∈ D : T, F = +∞ ∫ T(x )F(x )dx −∞ Các phân bố xác đònh ví dụ gọi phân bố qui Các phân bố không qui gọi phân bố kì dò CHƯƠNG I:MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN DÙNG Ta nhận thấy dãy {Sk} giới hạn theo nghóa thông thường Nhưng 〈Sk,F〉 ,với F∈D, có giới hạn Theo đònh lí giá trò trung bình: 1 S k , F = k F(η k ) = F(η k ), < η k < k k Vì : lim S k , F = lim F(η k ) = F(0) k →∞ k →∞ Xét phân bố δ xác đònh : δ, F = F(0 ) , ∀F∈D Và ta thường viết: δ, F = Lưu ý cách viết : +∞ +∞ ∫ δ(x )F(x )dx = F(0) −∞ ∫ δ(x )F(x )dx −∞ hoàn toàn mang tính hình thức mà thôi.Và ta xem phân bố δ xác đònh : δ = lim S k theo nghóa giới hạn phân bố k →∞ Đònh nghóa:Hàm Dirac δ viết với x∈R1 ,được xác đònh sau: +∞ δ(x ) = 0, ∀x ≠ 0, ∫ δ(x )dx = −∞ ⎧ ⎪0, x < a ⎪ ⎪ Đặt : Sk (x − a ) = ⎨k , a ≤ x ≤ a + k ⎪ ⎪ ⎪⎩0, x > a + k a+ k lim Sk , F = lim F(ηk ) = F(a ) ⇒ Như vậy: k 1 ( ) ( ) ( ) ( ) − = = η ≤ η ≤ + S x a F x dx k F x dx k F , a a k k k ∫ ∫ k k a a thì: Sk , F = k →∞ a+ k →∞ +∞ +∞ ∫ δ(x − a )F(x )dx = F(a ) −∞ ∫ F(x )δ(x − a )dx = F(a ) −∞ ***Haøm Dirac δ hàm số chẵn, nghóa δ(-x) = δ(x), ∀x∈R CHƯƠNG I:MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN DÙNG VI.ĐA THỨC HERMITE Hl(x) : a) Hàm số tổng quát: e xt − t ∞ H (x )t l l = l! l=0 ∑ b) Các giá trò đặc bieät: H l (x ) = (− 1)l H l (− x ) H 2l (0 ) = (− 1)l H 2l +1 (0 ) = (2l)! l! c) Công thức truy hồi đạo hàm: H l +1 = xH l − 2lH l −1 H 'l = 2lH l −1 H"l − xH 'l + 2lH l = d) Tính trực giao: +∞ ∫ H l (x )H m (x )e − x dx = π l l!δ lm −∞ e) Công thức Rodrigues : l x2 ⎛ d ⎞ H l (x ) = (− 1) e l −x ⎜ ⎟ e ⎝ dx ⎠ m ⎛ d ⎞ −x2 −x2 ( ) − e H x = e H m + n (x ) ⎜ ⎟ n ⎝ dx ⎠ f) Vài giá trò công thức Rodrigues: H0 = H1 = x H = 4x − H = 8x − 12 x H = 16 x − 48x + 12 H = 32 x − 160 x + 120 x g) Moät số dạng khai triển: x = H0 x1 = H1 CHƯƠNG I:MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN DUØNG (2H0 + H ) x = (H + 6H1 ) x = (H + 12H + 12H ) 16 x = (H + 20H3 + 60H1 ) 32 x2 = VII.BIẾN ĐỔI FOURIER : Cho hàm thử F∈ϕ a)Biến đổi Fourier : ~ F(x ) = +∞ ∫e − 2iπxt F(t )dt −∞ b)Bieán đổi ngược biến đổi Fourier : F(t ) = +∞ ∫ ~ e i 2πxt F(x )dx −∞ VIII.COÂNG THỨC COURANT VÀ HILBERT : Xét X,Y ∈ Rn ,ξ vecto đơn vò, p vô hướng, ΔX toán tử Laplacian 1)n lẻ n ≥ 3: 4(2π) n −1 (− 1) n −1 f (X ) = n +1 Δ X2 ∫ dξ∫ dYf (Y ) ξ.(Y − X ) ξ =1 2)n chaün vaø n ≥ 2: (2π) (− 1) n n−2 f (X ) = n Δ2X ∫ dξ∫ dYf (Y )ln ξ.(Y − X ) ξ =1 CHƯƠNG III:BIẾN ĐỔI RADON VÀ CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN ⎛ ∂ ⎞ = ⎜⎜ − ⎟⎟ ⎝ ∂p ⎠ n ⎛ ∂ ⎞ = ⎜⎜ − ⎟⎟ ⎝ ∂p ⎠ n +1 ∫ − x f ( x , y) n +1 ∫x n +1 ∂ δ(p − ξ1x − ξ y)dxdy ∂p n +1 f ( x , y)δ(p − ξ1x − ξ y)dxdy { } ⎛ ∂ ⎞ = ⎜⎜ − ⎟⎟ ℜ x n +1f ( x, y) ⎝ ∂p ⎠ Theo nguyên lý qui nạp, ta coù (3.66) ∂ k +1 k +1 ∨ { } ⎛ ∂ ⎞ ii) k f (p, ξ) = ⎜⎜ − ⎟⎟ ℜ x k yf ( x , y) ∂ξ1 ∂ξ ⎝ ∂p ⎠ Dùng phương pháp sử dụng đònh nghóa đạo hàm ta có điều phải chứng minh ∂ k +1 k+l ∨ { } ⎛ ∂ ⎞ iii) k l f (p, ξ) = ⎜⎜ − ⎟⎟ ℜ x k y l f ( x , y) ∂ξ1 ∂ξ ⎝ ∂p ⎠ Sử dụng phương pháp qui nạp phần i) ta có (3.65) d)Ví dụ : Thử lại ví dụ với trường hợp đặc biệt : f(x,y) = x.e − x − y với k = l = 2 ∨ Ta coù : f (p, ξ) = π.ξ1p.e − p , ξ vectơ đơn vò ∨ ∂2 f ∂ ⎧ − x − y2 ⎫ = ℜ ⎨ x ye * ⎬ ⎭ ∂ξ1∂ξ ∂p ⎩ x = (2H ( x ) + H ( x ) ) y = H1 ( y) 2 2 ⇒ x ye− x − y = 2H ( x ).H1 ( y) + H ( x ).H1( y ) e − x − y 2 2 2 1 ℜ ⎧⎨ x ye− x − y ⎫⎬ = ℜ ⎧⎨ H ( x ).H1 ( y)e − x − y ⎫⎬ + ℜ ⎧⎨ H ( x ).H1 ( y)e − x − y ⎫⎬ ⎭ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎩ 2 1 = π sin φe − p H1 (p) + π cos φ sin φe − p H (p) 2 1 = π.e − p p sin φ + πe − p (8p − 12p) cos φ sin φ [ ] 41 CHƯƠNG III:BIẾN ĐỔI RADON VÀ CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN = 2 ∂ ⎧ −x −y ⎫ ℜ ⎨ x ye ⎬= ⎭ ∂p ⎩ = πe − p p sin φ + πξ e − p p + πξ e − p 2 πe − p (2p − 3p) cos φ sin φ 2 πξ12 ξ e − p (2p − 3p) 2 − π.ξ p e − p + πξ12 ξ e − p (6p − 3) − πξ12 ξ pe − p (2p − 3p) 2⎛1 ⎞ = πξ e − p ⎜ − p ⎟ + πξ12ξ 2e − p (−2p + 6p − ) ⎝2 ⎠ ⎧ − x 2− y ⎫ − p2 − p2 = π ξ ξ e ( p − 20 p + 15 p ) + π ξ e ( p − 3p) x ye ℜ ⎨ ⎬ 2 ∂p ⎩ ⎭ ∂2 ∨ 2 ∂2 f Vaäy: = πξ12 ξ e − p (4p − 20p + 15p) + πξ e − p (2p − 3p) ∂ξ1∂ξ VII.BIẾN ĐỔI CỦA TÍCH CHẬP ∨ ∨ Giả sử g = ℜg vaø h = ℜh Cho f laø tích chập hàm số g h; X, Y ∈ R n f(X) = g * h = ∫ g(Y)h (X − Y)dY Xét biến đổi Radon f: ∨ f (p, ξ) = ℜf = ℜ{g * h} = ∫ dX ∫ g(Y)h (X − Y)dYδ(p − ξ.X) = ∫ g(Y )dY ∫ h (X − Y )dYδ(p − ξ.X )dX Đặt Z = X − Y , ta coù: ∨ f (p, ξ ) = ∫ g (Y)dY ∫ h (Z)δ(p − ξ.Y − ξ.Z)dZ ∨ = ∫ g(Y )dY h (p − ξ.Y, ξ ) ∨ p dụng hàm Dirac ta có: h (p − ξ.Y, ξ ) = ∨ ⇒ f (p, ξ ) = ∫ g(Y )dY +∞ ∨ +∞ ∨ ∫ h (p − s, ξ)δ(s − ξ.Y )ds −∞ ∫ h (p − s, ξ)δ(s − ξ.Y )ds −∞ 42 CHƯƠNG III:BIẾN ĐỔI RADON VÀ CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN = +∞ ∨ ∫ h (p − s, ξ)ds ∫ g(Y )δ(s − ξ.Y )dY −∞ = +∞ ∨ ∫ ∨ g (s, ξ ).h (p − s, ξ )ds −∞ ∨ ∨ = g* h (theo đònh nghóa tích chập) ∨ ∨ Vậy ℜ{g * h} = g* h (3.67) VIII.LIÊN HỆ GIỮA BIẾN ĐỔI RADON VÀ BIẾN ĐỔI FOURIER: Ta xét không gian hai chiều (n=2) ba chieàu (n=3) Cho X = (x1,x2,…,xn) , K = (k1,k2,…kn) Biến đổi Fourier f(X) là: ~ f (K ) = Fn f = ∫ f ( x )e − i 2πK.X dX (3.68) ~ ~ −1 f (X ) = Fn f = f (K )ei 2πK.X dK (3.69) Biến đổi ngược biến đổi Fourier là: ∫ Sử dụng hàm Dirac δ cho biến đổi Fourier f(X), với t∈R, ta có: +∞ ~ f (K ) = ∫ f (X )dX ∫ e − i 2πt δ(t − K.X )dt = −∞ +∞ ∫ dt ∫ dXf (X )e − i 2πt δ(t − K.X ) −∞ Cho K=s.ξ , s∈R , ξ vectơ đơn vò , ξ∈Rn, ⎜ξ⎜=1, t=s.p Khi : ~ f (s.ξ ) = = = = +∞ ∫ s dp ∫ dX.f (X ).e −∞ +∞ ∫ dp∫ dX.f (X )e −∞ +∞ ∫ dp.e −∞ +∞ ∫ dp.e − i 2πs.p − i 2πs.p − i 2πs.p − i 2πs.p δ(s.p − s.ξ.X ) δ(p − ξ.X ) ∫ f (X )δ(p − ξ.X )dX ∨ f (p, ξ ) −∞ 43 CHƯƠNG III:BIẾN ĐỔI RADON VÀ CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN = +∞ ∨ − i 2πs.p dp ∫ f (p, ξ).e (*) −∞ ∨ = F1 f ~ ∨ Như vậy: f = F1 f = F1ℜf ℜ f ∨ f Fn F1 ~ f Fn f = F1ℜf Dùng đònh nghóa biến đổi ngược biến đổi Fourier với n=1 biến đổi (*), ta có : ∨ f (p, ξ ) = +∞ ~ i 2πs.p ds = F1−1Fn f ∫ f (s.ξ).e −∞ Nhö vaäy : ℜf = F1− 1Fn f ℜ f ∨ f F1-1 Fn ~ f 44 CHƯƠNG IV:BIẾN ĐỔI NGƯC CỦA BIẾN ĐỔI RADON CHƯƠNG IV: BIẾN ĐỔI NGƯC CỦA BIẾN ĐỔI RADON I.GIỚI THIỆU: Trong chương này, khảo sát biến đổi ngược biến đổi ∨ Radon, nghóa với f biết, phục hồi lại f Chúng ta xem xét hai trường hợp, phụ thuộc vào số chiều Rn,n = n=3 Chúng ta xây dựng công thức cho hai trường hợp Ở ∨ đây,ta giới hạn xét hàm f thỏa điều kiện cho trước: ⎛ ∨ ⎞ lim ⎜ p f p (p, ξ ) ⎟ = ⎟ p → ∞ ⎜⎝ ⎠ II.BIẾN ĐỔI NGƯC CỦA BIẾN ĐỔI RADON TRÊN KHÔNG GIAN EUCLIDE HAI CHIỀU : Theo Courant Hilbert (1962), ta có: 4π f (x ) = Δ X ∫ dξ∫ dYf (Y )ln ξ.(Y − X ) (4.1) ξ =1 Ta xét tích phân sau với X, Y∈ ℜ , ξ vectơ đơn vò, ξ = +∞ ∫ dYf (Y )ln ξ.(Y − X ) = ∫ dYf (Y ) ∫ ln p δ(p − ξ(Y − X ))dp = = = +∞ −∞ ∫ dp ln p ∫ dYf (Y )δ(p − ξ(Y − X )) −∞ +∞ ∫ dp ln p ∫ dYf (Y )δ(p + ξ.X − ξ.Y ) −∞ +∞ ∨ ∫ dp ln p f (p + ξ.X, ξ) (4.2) −∞ Từ (4.1) (4.2) ,ta coù : 4π f (X ) = Δ X +∞ ∨ ∫ dξ ∫ dp ln p f (p + ξ.X, ξ) (4.3) ξ =1 − ∞ Đặt : I(X ) = +∞ ∫ ∨ ln p f (p + ξ.X, ξ )dp (4.4) −∞ 45 CHƯƠNG IV:BIẾN ĐỔI NGƯC CỦA BIẾN ĐỔI RADON Thực đổi biến : p = t − ξ.X +∞ I(X ) = ∫ ∨ ln t − ξ.X f (t , ξ )dt (4.5) −∞ ∨ ⎛ ∂2 ∂ ⎞⎟ ∨ ⎜ + f (p + ξ.X, ξ ) Ta coù: Δ X f (p + ξ.X, ξ ) = ⎜ ∂ x ∂x ⎟ ⎝ 2⎠ ∨ ⎛ ∂2 ∂ ⎞⎟ ⎜ = ξ1 + ξ2 f (t , ξ ) 2⎟ ⎜ ∂t ∂.t ⎠ ⎝ ( )∂.t ∨ 2 ∂ = ξ1 + ξ f (t , ξ ) =ξ ∨ Ta kí hiệu: f tt = ∨ ∂ f ∂t = ∂.t f (t , ξ ) ∨ , Δ X f (p + ξ.X, ξ ) = f tt (t , ξ ) +∞ ∫ −∞ +∞ ∫ ∨ ∨ Như vậy: Δ X I(X ) = Δ x = ∂ +∞ ∫ ∨ ln p f (p + ξ.X, ξ )dp −∞ ∨ ln p Δ X f (p + ξ.X, ξ )dp ∨ ln t − ξ.X f tt (t , ξ )dt −∞ Bằng cách thay đổi kí hiệu biến số ,ta có : Δ X I( X ) = ∨ +∞ ∫ ∨ ln p − ξ.X f pp (p, ξ)dp −∞ ∨ du = f pp (p, ξ)dp ⇒ u = f p (p, ξ) v = ln p − ξ.X ⇒ dv = dp p − ξ.X ∨ ⇒ Δ X I(X ) = f p (p, ξ) ln p − ξ.X +∞ − −∞ +∞ f ∫ −∞ ∨ p (p, ξ ) p − ξ.X dp ∨ ⎛ ∨ ⎞ ⎛ ⎞ Vì lim ⎜⎜ p f p (p, ξ) ⎟⎟ = ⇒ lim ⎜⎜ p − ξ.X f p (p, ξ) ⎟⎟ = p → ∞⎝ p → ∞⎝ ⎠ ⎠ 46 CHƯƠNG IV:BIẾN ĐỔI NGƯC CỦA BIẾN ĐỔI RADON ∨ ⎡ ⎤ Khi p → ∞ thi` ln p − ξ.X ≤ p − ξ.X neân lim ⎢ln p − ξ.X f p (p, ξ)⎥ = p→∞ ⎣ ⎦ Vaäy: Δ X I(X ) = − +∞ f ∫ ∨ p (p, ξ ) p − ξ.X −∞ (4.6) dp Thay (4.6) vào (4.3), ta có: ∨ +∞ 4π f (X ) = − ∫ dξ ∫ dp −∞ f p (p, ξ ) p − ξ.X ∨ +∞ (4.7) ∨ ∨ f p (p, ξ ) ∂f ( ) (p, ξ) f p , ξ = vớ i f (X ) = − d ξ dp p ∫ ∫ ∂p 4π ξ =1 − ∞ p − ξ.X (4.8) Cho X = (x, y), ξ = (cos φ, sin φ) ξX = x cos φ + y sin φ Khi (4.8) biểu diễn dạng : f (x , y ) = − f (x, y ) = − +∞ 2π f p (p, ξ ) ∫ dφ ∫ dp p − ξ.X 4π −∞ π +∞ −∞ π ∨ ∨ f p (p, ξ ) dφ ∫ dp 2∫ p − ξ X 2π hay f (x, y ) = − +∞ ∫ dφ ∫ dp 2π π − ∞ − (4.9) ∨ f p (p, ξ ) p − ξ X (4.10) III SỰ THỐNG NHẤT VÀ LIÊN HP GIỮA BIẾN ĐỔI RADON VÀ BIẾN ĐỔI NGƯC CỦA NÓ TRÊN KHÔNG GIAN EUCLIDE HAI CHIEÀU : Cho ξ, X ∈ ℜ , ξ = 1, cho hàm số tùy ý ξ p = ξ.X thỏa: ψ(p, ξ ) = ψ(− p,− ξ ) (4.11) Ta đònh nghóa toán tử tích phân ℜ + hàm số X phương ∧ trình: ψ(X ) = ℜ + ψ = ∫ ψ(ξ.X, ξ)dξ (4.12) ξ =1 47 CHƯƠNG IV:BIẾN ĐỔI NGƯC CỦA BIẾN ĐỔI RADON Chúng ta chứng tỏ ℜ + toán tử liên hợp phép biến đổi Radon Trước tiên, ta xét công thức (4.9): f (x , y ) = − +∞ ∨ f p (p, ξ ) ∫ dφ ∫ dp p − ξ.X 4π ξ =1 − ∞ Theo đònh nghóa phép biến đổi Hilbert (Bracewell (1978)), hàm g(p) biến đổi hàm theo t: g H (t ) = Hg = π +∞ ∫ −∞ g(p ) dp p−t Như vậy: f (X ) = − 4π (4.13) ⎡ ⎧∨ ⎫⎤ ( ) d ξ H f p , ξ ⎢ p ⎬⎥ (ξ.X, ξ ) ⎨ ∫ ⎢ ⎭⎥⎦ ξ =1 ⎣ ⎩ (4.14) Ta đònh nghóa toán tử Te tác động lên hàm g(p) sau: ⎫⎤ ⎡ ⎧∂ (4.15) g (t ) = Te g(p ) = − ⎢ H ⎨ g(p )⎬ ⎥ (t ) π ⎣ ⎩ ∂p ⎭⎦ Khi f(X) biểu diễn dạng: ∨ f (X ) = ∫ dξ f (ξ.X, ξ) ξ =1 ∨ = ℜ + f ( p, ξ ) ∨ = ℜ + Te f (p, ξ ) (4.16) ∨ ∨ ∨ ∧ ∨ Như vậy: f = ℜ + Te f ℜf = ℜ + Te f = ℜ + f = f (4.17) IV BIẾN ĐỔI NGƯC CỦA BIẾN ĐỔI RADON TRÊN KHÔNG GIAN EUCLIDE BA CHIỀU : Cũng theo Courant Hilbert (1962), ta coù: − 16π f (X ) = Δ2X ∫ dξ∫ dYf (Y ) ξ(Y − X ) (4.18) ξ =1 Ta xét tích phân sau với X, Y ∈ ℜ , ξ vectơ đơn vò, ξ = ξ12 + ξ 22 + ξ 32 = 48 CHƯƠNG IV:BIẾN ĐỔI NGƯC CỦA BIẾN ĐỔI RADON +∞ ∫ f (Y ) ξ(Y − X) dY = ∫ dYf (Y ) ∫ dp p δ[p − ξ(Y − X )] = −∞ +∞ ∫ dp p ∫ dYf (Y )δ[p − ξ(Y − X )] −∞ +∞ = ∫ dp p ∫ f (Y )δ[p + ξX − ξY ]dY −∞ +∞ ∨ ∫ dp p f (p + ξ.X, ξ) = (4.19) −∞ Từ (4.18) (4.19), ta coù: +∞ − 16π f (X ) = Δ2X ∨ ∫ dξ ∫ dp p f (p + ξ.X, ξ) (4.20) ξ =1 − ∞ Thực đổi biến : p = t − ξ.X , (4.19) biểu diễn thành : +∞ ∨ ∫ dp p f (p + ξ.X, ξ) = −∞ +∞ ∨ p f (p + ξ.X, ξ )dp ∫ −∞ +∞ = ∫ ∨ t − ξX f (t , ξ )dt −∞ ⎛ ∂2 ∂ ∂ ⎞⎟ ∨ ⎜ + + Δ X f (t , ξ ) = f (t , ξ ) ⎜ ∂ x ∂ x ∂x ⎟ 3⎠ ⎝ ⎛ ∂2 ∂2 ∂ ⎞⎟ ∨ f (t , ξ ) = ⎜ ξ12 + ξ 22 + ξ32 2⎟ ⎜ ∂t ∂t ∂t ⎠ ⎝ ∨ ( ) ∂2 ∨ = ξ12 + ξ 22 + ξ 32 f (t , ξ ) ∂t =ξ ∂ ∨ ∂t ∨ f (t , ξ ) Ta kí hiệu : f tt = ∨ ∨ ∂ f ∂t ∨ Thì: Δ X f (p + ξ.X, ξ ) = f tt (t , ξ ) Như vậy: 49 CHƯƠNG IV:BIẾN ĐỔI NGƯC CỦA BIẾN ĐỔI RADON ΔX +∞ ∫ ∨ p f (p + ξ.X, ξ )dp = −∞ = = +∞ ∫ −∞ +∞ ∫ ∨ dp p Δ X f (p + ξ.X, ξ ) ∨ t − ξ.X f tt (t , ξ )dt −∞ +∞ ξX ∨ ξX ∨ ∨ dv = f tt (t , ξ )dt ΔX ∫ −∞ −∞ ⇒ du = dt u = t − ξ.X +∞ ∨ ∫ (t − ξX ) f tt (t, ξ)dt − ∫ (t − ξX ) f tt (t, ξ)dt ⇒ v = f t (t , ξ ) + ∞ +∞ ∨ p f (p + ξ.X, ξ )dp = (t − ξ.X ) f t (t , ξ ) − ∫ f t (t , ξ )dt ξ.X ∨ ∨ ξ.X ∨ ξ.X − (t − ξ.X ) f t (t , ξ ) + −∞ ξ.X ∨ ∫ f t (t , ξ )dt −∞ ∨ ⎛ ⎞ Do lim ⎜⎜ p f p (p, ξ) ⎟⎟ = p→∞⎝ ⎠ ∨ ∨ ξ.X +∞ Neân: (t − ξ.X ) f t (t , ξ ) = vaø (t − ξ.X ) f t (t , ξ ) =0 ξ.X −∞ Thay đổi kí hiệu biến số ,ta có: ΔX +∞ ∫ −∞ ∨ ∨ ξ.X +∞ ∨ p f (p + ξ.X, ξ )dp = f (p, ξ ) + f (p, ξ ) ξ.X −∞ Như vậy: ΔX +∞ ∫ ∨ ∨ p f (p + ξ.X, ξ )dp = f (ξ.X, ξ ) (4.21) −∞ Thay (4.21) vaøo (4.20) ta coù: ∨ − 16π f (X ) = Δ X ∫ f (ξ.X, ξ)dξ ξ =1 ⇔ f (X ) = − f (X ) = − 8π 8π ΔX ∨ ∫ f (ξ.X, ξ)dξ ξ =1 ∨ ∫ Δ X f (ξ.X, ξ)dξ ξ =1 50 CHƯƠNG IV:BIẾN ĐỔI NGƯC CỦA BIẾN ĐỔI RADON ⎛ ∂2 ∂2 ∂ ⎞⎟ ∨ ⎜ = − ∫ ⎜ + + ⎟ f (ξ.X, ξ)dξ 8π ξ = ⎝ ∂x ∂ x ∂ x ⎠ Đặt: p = ξ.X Thì: f (X ) = − f (X ) = − f (X ) = − f (X ) = − 8π 8π (ξ ∫ 2 ξ =1 ∫ (4.22) (ξ.X, ξ )dξ ∨ (p, ξ)dξ ∨ 8π ξ =1 ∂p 2 (p, ξ)dξ ∂ f ∫ ) ∂p ∨ ∂ f 2 ξ = ∂p + ξ 22 + ξ32 ∨ ∂2 f ∫ f pp (ξ.X, ξ )dξ 8π ξ = (4.23) ∨ với f pp = ∨ ∂2 f ∂p (4.24) V SỰ THỐNG NHẤT VÀ LIÊN HP GIỮA BIẾN ĐỔI RADON VÀ BIẾN ĐỔI NGƯC CỦA NÓ TRÊN KHÔNG GIAN EUCLIDE BA CHIEÀU : Cho ξ, X ∈ ℜ , ξ = ξ12 + ξ 22 + ξ32 = Xét công thức (4.23): ∨ ∂2 f ∨ f (X ) = − f (ξ.X, ξ )dξ ∫ 8π ξ =1 ∂p Ta đònh nghóa toán tử T0 tác động lên hàm số biến số thực p, cho ta hàm g biến số thực t g (t ) = T0 g(p ) = − ∂2 g (p ) p=t 8π ∂p Khi f(X) biểu diễn sau: (4.25) f (X ) = (4.26) ∨ ∫ f (ξ.X, ξ)dξ ξ =1 Theo đònh nghóa ℜ + (4.12), ta có: 51 CHƯƠNG IV:BIẾN ĐỔI NGƯC CỦA BIẾN ĐỔI RADON ∨ ∨ f (X ) = ℜ + f (ξ.X, ξ ) = ℜ + T0 f (p, ξ ) ∧ ∨ ∨ Như vậy: f = ℜ + T0ℜf = ℜ + f = f ∧ ∨ Từ (4.27) (4.28), ta có: f = f Mặt khác ta gọi chung Te T0 T, ta có : (4.27) (4.28) (4.29) ∨ f ( X ) = ℜ + T f ( p, ξ ) ∨ ∨ ∨ Maø : T f = f vaø f = ℜf Do : f = ℜ + Tℜf Vậy: ℜ + Tℜ = I (4.30) VI SỰ LIÊN HP GIỮA ℜ VÀ ℜ + : Cho f(X) h(X) hàm số thuộc lớp C ∞ ℜ n (n = 2; 3) , , tích ℜ n (n = 2;3) [.,.] tích ℜ1 × Sn −1 (n = 2;3) Ta chứng minh ℜ + toán tử liên hợp theo đònh nghóa sau: h , ℜ + ψ = [ℜh , ψ ] với ψ(p, ξ ) = ℜf (X ) Chứng minh: ∧ h, ℜ + ψ = ∫ h (X )ψ(X )dX = ∫ h (X )dX = ∫ h (X )dX = ∫ ψ(ξ.X, ξ)dξ ξ =1 +∞ ∫ dξ ∫ dpψ(p, ξ)δ(p − ξ.X ) ξ =1 − ∞ +∞ ∫ dξ ∫ dp ∫ dXh (X )δ(p − ξ.X )ψ(p, ξ) ξ =1 − ∞ = +∞ ∨ ∫ dξ ∫ dp h (p, ξ)ψ(p, ξ) ξ =1 − ∞ = [ℜh , ψ ] Như vậy: h, ℜ + ψ = [ℜh, ψ ] (4.31) 52 CHƯƠNG IV:BIẾN ĐỔI NGƯC CỦA BIẾN ĐỔI RADON ∧ ⎡∨ ⎤ Hay h, ψ = ⎢ h, ψ ⎥ ⎣ ⎦ ∧ Ta coù: ψ (X ) = ℜ + ψ ℜ + ψ = Iℜ + ψ = ℜ + Tℜℜ + ψ (theo 4.30) ⇒ ψ = Tℜℜ + ψ Do đó: Tℜℜ + = I (4.32) 53 KẾT LUẬN Trong luận văn cố gắng tìm hiểu đònh nghóa chứng minh chi tiết công thức phép biến đổi Radon chương II, bên cạnh làm sáng tỏ số tính chất phép biến đổi Radon chương III Và chương IV giới thiệu lại cách tiếp cận với biến đổi ngược biến đổi ∨ Radon, giới hạn xét hàm f thỏa điều kiện ⎛ ∨ ⎞ lim ⎜ p f p (p, ξ ) ⎟ = , nhiên chưa phải cách tiếp cận tiêu ⎟ p → ∞⎜⎝ ⎠ biểu có nhiều ưu điểm nhất, thời gian tới cố gắng nghiên cứu làm sáng tỏ phương pháp tiếp cận khác TÀI LIỆU THAM KHẢO 1.The Radon Transform and Some of Its Applications Stanley R Deans Department of Physics University of South Florida 2.Tài liệu học phần “BÀI TOÁN NGƯC” – Cao học Giải Tích 11 TS Nguyễn Cam Khoa Toán – ĐHSP Tp Hồ Chí Minh 3.Phép tính vi tích phân không gian hữu hạn chiều TS Lê Hoàn Hóa Khoa Toán – ĐHSP Tp Hồ Chí Minh 4.Chuyên đề Giải Tích Số – Cao học Giải Tích TS Nguyễn Thành Long Khoa Toán – Tin – ĐH Khoa Học Tự Nhiên Tp Hồ Chí Minh ... : Biến đổi Radon tính chất I.Tính II.Tính tuyến tính III .Biến đổi Radon phép biến đổi tuyến tính IV .Biến đổi Radon đạo hàm V .Biến đổi Radon đa thức Hermite VI.Đạo hàm biến đổi Radon VII .Biến đổi. .. c1.ℜf + c ℜg Vậy :Biến đổi Radon biến đổi tuyến tính III.BIẾN ĐỔI RADON CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH: Bây giờ, cách đổi biến lấy tích phân, ta có biến đổi Radon hàm phép biến đổi tuyến tính toạ... VIII.Liên hệ biến đổi Radon biến đổi Fourier CHƯƠNG IV : Biến đổi ngược biến đổi Radon I.Giới thiệu II .Biến đổi ngược biến đổi Radon không gian Euclide hai chiều III.Sự thống liên hợp biến đổi Radon