Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phép biến đổi Z và ứng dụng

Đề tài Phép biến đổi Z và ứng dụng nghiên cứu về định nghĩa, tính chất cơ bản của phép biến đổi Z, phép biến đổi Z ngược, mối quan hệ giữa phép biến đổi Z và một số phép biến đổi tích phân khác, đồng thời nghiên cứu ứng dụng của nó trong việc giải phương trình sai phân hữu hạn, tính tổng chuỗi.

Trang 1

DAI HOC DA NANG TRUONG DAI HOC SU PHAM

PHAM HUONG LAN

Trang 2

DAI HOC DA NANG TRUONG DAI HOC SU PHAM

PHAM HƯƠNG LAN

PHÉP BIẾN ĐỔI Z

VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Toán Giải Tích

Mã số: 84.60.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Phan Đức Tuấn

Trang 3

LOI CAM DOAN

Toi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi

Các số liệu, quả nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai

Trang 4

INFORMATION OF MASTER THESIS

Name of thesis: The Z - transform and Their Application Major: Mathematical analysis

Full name of Master student: Pham Huong Lan Supervisor: Dr Phan Due Tuan

Training institution: The University of Da Nang - University of Education Abstract:

L.The results:

Introduce some basic knowledge of geometric sequence, functions of one complex variable, complex integrals, power series and residue theory

Produce systematically The Z - transform: definition, the relation between The Z - transform and discrete Fourier transform aind its relation with Laplace transform Some basic properties of Z-transform and examples illustrate Introducing the one-sided Z-transform and the method for finding the inverse of the Z-transform,

Present the application of Z-transform in solving linear difference equations, Volterra difference equations and summing strings through specific examples

2 The new contributions of the thesis:

The topic has a theoretical and applied value The thesis can be used as a reference for math students and non-mathematicians who need math results to apply to their practical problems

in practice and subsequent research of the thesis:

Application of Z transformations to solve many real problems ý

Trang 5

‘Tén dé tai: Phép bién di Z va tmg dung

Ngành: Toán giải tích

Họ và tên học viên: Phạm Hương Lan

Người hướng dẫn khoa học: TS Phan Đức Tuấn

Cơ sở đào tạo: Trường Đại học Sư phạm — Đại học Đà Nẵng

Tom tắt:

1, Những kết quả chít

Hệ thống lại một số kiến thức cơ bản về lý thuyết chuỗi hình học, hàm biến phức, tích phân phức,

chuỗi lũy thừa và lý thuyết thặng dư

Trình bày một cách hệ thống về phép biến đổi Z: định nghĩa, mối liên hệ của phép biến đổi Z với phép biến đổi Laplace và phép biến đổi Fourier Một số tính chất cơ bản của phép biến đổi Z và ví dụ minh họa Giới thiệu về phép biến đổi Z một phía và phương pháp tìm phép biến đổi Z ngược

Trinh bay img dụng của phép biến đổi Z trong việc giải các bài toán về phương trình sai phân tuyến tính, phương trình sai phân Volterra và tính tổng chuỗi qua các ví dụ cụ thể

2 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn:

Đề tài có giá trị về mặt lý thuyết và ứng dụng Có thể sử dụng luận văn làm tài liệu tham khảo dành cho sinh viên ngành Toán và những người khơng chun tốn cần các kết quả của toán để ứng dụng

cho các bài toán thực tiến của mình

3 Hướng nghiên cứu tiếp theo của đề

Ứng dụng phép biến đổi Z để tuyết nhiều bài toán thực tế

'Từ khóa: Phép biến đổi Z, phép biến đổi Z ngược, tinh chất phép biến đổi Z, ứng dụng phép biến đổi Z

Xác nhận của người hướng dẫn Người thực hiện đề tài

Trang 6

LOI CAM GN

Lời đầu tiên em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Phan Đức Tuấn, người đã định hướng chọn đề tài, cung cấp tài liệu và tận tình hướng dẫn để em có thể hoàn thành luận văn của mình

Em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến tất cả các thầy, cô

giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích trường Đại học Sư phạm Đà

Nẵng đã giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập

Đồng thời, cũng xin gửi lời cảm ơn đến các bạn học trong lớp Toán Giải tích K34 - Đà Nẵng đã nhiệt tình giúp đỡ trong quá trình học tập, nghiên cứu tại lớp

Trang 7

co R3 Đ CC 9 0C 9 4.0 00 6.60 080016100 80 606010 0 8.0001 00 68/46/9.616.818 1 CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4 1.1 CHUỖI HÌNH HỌC ò2c2 222cc 4 1.2 HẦM BIẾN PHÚC cv 4 1/2.1 Hàm liên tục e ence eee ee eee en es 4 1.2.2 Hàm chỉnh hình .- 6

1.3 TÍCH PHÂN TRONG MIỄN PHÚC .-. : 6

144 CHUỒI LŨY THỪA c cà cà cà eee es 8

1.5 LÝ THUYET THANG DU

1.5.1 Dinh nghia thing dư 9

1.5.2 Phương pháp tính thặng dư 10

1.5.8 Định lý cơ bản của lý thuyết thăng dư "1

1.6 PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN cà 12

1.6.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1

CHƯƠNG 2 PHÉP BIẾN ĐỔI Z 15 2.1 ĐỊNH NGHĨ 17 2.2.1 Mối liên hệ với 2.2.2 Mối liên hệ

phép biến đổi Fourier 17

Trang 8

2.3.1,

2.3.2 Dịch chuyỂn .à 22v nhe 19 2.3.3 Phép nhân theo cấp số nhân - 20 3.3.4 Dão thời gian à con nhe 20 3.3.5 2.3.6 2.3.7 Phép chia 0 cccccccccseecseeeesseeesseeeereseees 2 2.3.8 Tich chập vn nhe 2 2.3.9 Dinh ly Parseval

2.3.10 Phép biến đổi Z của tích 2.3.11 Phép biến đổi Z của đạo hàm 2.3.12 Phép biến đổi Z của tích phân

2.3.13 Phép biến đổi Z qua giới hạn

2.4 MOT SO Vi DỤ VỀ TINH CHAT CUA PHÉP BIẾN DỒI Z

3.5 DỊNH NGHĨA VA TINH CHAT CUA PHÉP BIEN DOI Z MOT PHIA

2.5.1 Dinh ly gia tri ban dau

2.5.2 Dịnh lý giá trị cuối cùng,

3.6 PHÉP BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC

2.6.1 Phương pháp tích hợp

2.6.2 Phương pháp chuỗi lũy thừa

2.6.3 Phương pháp khai triển thành các phân thức

CHƯƠNG 3 ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI Z 43

3.1 PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH VỚI CAC HE SO KHONG DOI 43

3.2 PHUONG TRINH SAI PHAN VOLTERRA LOAI TICH CHAP .46

Trang 9

PHU LUC

Trang 10

MỞ ĐẦU

1 Tính cấp thiết của đề tài

Phép biến đổi là một cơng cụ tốn học rất quan trọng được sử dụng

xử lý các vấn đề toán học cũng như trong nhiều úng dụng

Sự xuất hiện đầu tiên của phép biến đổi Z là vào năm 1730 [5] khi De

Moivre đưa ra khái niệm về chức năng tạo ra cơ sở dữ liệu xác suất, sau

đó được Laplace mở rộng năm 1912 Tới năm 1947, Hurewicz giới thiệu

phép biến đổi Z trong việc phương trình sai phân tuyến tính hệ số

không đổi Ten gọi “phép biến đổi Z' được đưa ra bởi Ragazzini và Zadeh

trong nhóm kiểm soát dữ liệu mẫu tại Đại học Columbia năm 1952 Sau

này phép biến đổi Z được phát triển và phổ biến bởi E.I.Jury [6]

Ngày nay, phép biến đổi Z được sử dụng rộng rãi trong các lĩnh vực

ứng dụng toán học, xử lý tín hiệu kỹ thuật số, lý thuyết điều khiển, kinh

tế và một số lĩnh vực khác Phép biến đổi Z đóng vai trò quan trọng đối

với việc giải phương trình sai phân giống như tầm quan trọng của phép

biến đổi Laplace trong việc giải phương trình vi phân

Với những lý do trên, tôi chọn đề tài “Phép biến đổi Z và ứng dụng” 2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu về phép biến đổi Z và một số ứng dụng của nó trong việc

giải quyết một số bài toán

Hy vọng luận văn có thể được sử dụng như một tài liệu tham khảo

bổ ích cho sinh viên các trường Đại học, Cao đẳng

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Trang 11

đổi tích phân khác, đồng thời nghiên cứu ứng dụng của nó trong việc giải

phương trình sai phân hữu hạn, tính tổng chuỗi

4 Phương pháp nghiên cứu

'Thu thập các tài liệu sưu tầm được, các bài báo khoa học, các sách

vở có liên quan đến đề tài luận văn, tìm hiểu chúng và trình bày các kết

quả về đề tài theo hiểu biết của mình ngắn ngọn, theo hệ thống khoa học với các chứng mình chỉ tiế Trình bày các các khái ệm về hàm biến phức: hàm liên tục và hàm chỉnh hình, tích phân phức, chuỗi lũy thừa, lý thuyết thặng dư: không,

điểm và cực điểm, thặng dư và cách tính

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Đề tài có giá trị về mặt lý thuyết và ứng dụng Có thể sử dụng luận

văn làm tài liệu tham khảo dành cho s

h viên ngành Toán và những người

khơng chun tốn cần các kết quả của toán để ứng dụng cho các bài toán

Trang 12

6 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn được trình

bày trong ba chương:

Chương 1 trình bày các các khái niệm về chuỗi hình học, hàm biến phức,

tích phân trong mặt phẳng phức, chuỗi lũy thừa, tích chập, lý thuyết thang

dư

Chương 2 trình bày về định nghĩa và tính chất của phép biến đổi Z, phép biến đổi Z một phía, phép biến đổi Z ngược, mối liên hệ với phép biến đổi

Laplace va phép biến đổi Fourier

Trang 13

KIEN THUC CHUAN BI

1.1 CHUOI HINH HOC

Định nghĩa 1.1.1 ({5]) Chuỗi phức a¿ được gọi là chuỗi hình học

nếu tồn tại hằng số a, s € C sao cho #H —sVE€N (1.1) a Khi đó a, = as! Một chuỗi hình học có dạng a+as+as2 + Chú ý rằng một chuỗi hình học hữu hạn là a(1— s"*1) Nếu |s| < 1 thì 1.2.HAM BIEN PHUC 1.2.1 Hàm liên tục

Định nghĩa 1.2.1 ((1]) Cho hàm ƒ(2) xác định trên tập mở D C C

Ham ƒ(z) được gọi là liên tục (hay C - liên tục) tại điểm zo € D nếu

ƒ(Œo) # < và lin ƒ() = ƒ(2o), z € D (12)

Nếu hàm f(z) liên tục tại mọi điểm 2 € D thi ham f(z) duge goi là liên

Trang 14

5 Định nghĩa (1.2.1) còn có thể được phát biểu đưới dạng tương đương sau đây Ham f(z) duge goi 1a liên tục tại diém 2 € D nếu Ve > 0, 3ổ(e, zụ) > 0: Vz € {|z — za| < 6(€, 20)} thì I/(z) — f(s)| < s- Định nghĩa 1.2.2 ([1]) Ham ƒ(z) được gọi là liên tục đều trên tập hợp D nếu Ve > 0,45 = ð(z) > 0: Wz,z' € D: d(z,z') < ð(e) =|ƒŒ)—ƒ(z2)|<£

Nhận xét 1.2.3 Từ tính liên tục đều của ƒ(z) suy ra rằng ƒ liên

tục Điều khẳng định ngược lại, nói chung là không đúng Điều đó chứng tổ bởi ví dụ sau đây

Ví dụ 1.2.4 Giả sử /(z) = : và D={2€C:0<|2| <1}

Ham ƒ(2) liên tục trong D nhưng không liên tục đều trong đó

That y, giả sử ngược lại: hàm f(z) lien tue déu trong D

Khi đó với e = 1, phải tồn tại sé 6 = 61 > 0 sao cho moi cap diém z' và 2" ta có 1 1 g~z|<*s 0<|#=z|<äi Từ dãy số = 2,3, ta sẽ chọn số ng sao cho 1 1 ——z—|<ài n 2no cao „1y 1 Khi đó, đặt z” = —, z” = z— ta thu được no 2no

Đó là điều mâu thuẫn

Trang 15

Định nghĩa 1.2.5 ((1]) Hàm ƒ được g zạ nếu nó là C - kha vi tai một lân cận nào đó của điểm zụ Hàm ƒ được là hàm chỉnh hình tại điểm

gọi là chỉnh hình trong miền D nếu nó chỉnh hình tại mọi điểm của miền

ấy Tập hợp mọi hàm chỉnh hình trong miền D được ký hiệu là ?(D) Định lý 1 „ Giả sử miền D C C va H(D) tap hop moi ham chink hành trong miền D Khi đó (i) H(D) la mét vanh;

(ii) Nếu f € H(D) và ƒ(z) # 0,Ýz € D thi 7 € H(D);

(iii) Néu f € H(D) va f chỉ nhận giá trị thực thi f là hằng số

Định lý 1.2.2 (Vé hàm hợp) Nếu f(w) la ham chỉnh hành trong DẺ tà nếu g : D —š D* là hàm chỉnh hình trong D thà hàm hợp ƒ[g(2)} chỉnh hình trong D

1.3 TICH PHAN TRONG MIEN PHUC

cho tuyến trơn + = +(/) : I > C,I = [a,b] C R va gid sit cho ánh xạ liên tục five Khi d6 ham f{>(¢)] 1A mot ham lien tue tren J Ta có định nghĩa sau da Định nghĩa 1.3.1 ((1]) Tích phân b J = f flo’ oa (1.3) được gọi là tích phân của hàm ƒ theo tuyến + và được ký hiệu là [fo

Trang 16

7

Cũng có thể tính tích phân đường theo tuyến trơn từng khúc Trong trường hợp này sẽ chọn phép phân hoạch

a=ty<t< <t,=b

sao cho hạn chế +¡ của tuyến + trên đoạn [t;,t;41] là tuyến trơn với ¿ bất

kỳ, 0 < ¡ < m— 1 Và theo định nghĩa

[tou = lim f(e)de (1.4)

Có thể chứng mình rằng giá trị của về phải (1.4) không phụ thuộc vào việc

chọn phép phân hoạch và trong trường hợp khi + là tuyến trơn thì định

Trang 17

(i) Tinh chất tuyến tính

Nếu ƒ¿(2),k = 1,3, là những hàm liên tục được cho trên + và œ¿(k = 1,2, ,n) là những hằng số cho trước thì:

[ (Sane) dz Soe [ lees

J WŒ m4

(ii) Tính chất cộng tính

Giả sử cho hai tuyến trơn

mult): Ja,e] — C, ^s(f) : [e,b] —> C sao cho ule) = %2(©)- Xét tuyến trơn từng khúc là hợp của hai tuyén 7, 72 u(t), t € [ae y(t) = lad a(t), t € [c, b] Tit dinh nghia suy ra ring | fG)d = [ f2): + [ fe)4 ane

(iii) Tính bắt biến đổi uới phép biến đổi tham số

Định lý 1.3.1 Tích phân (1.3) là một bắt biến đối uới phép thay tham số Nói cách khác nếu + +* thì [fou = [ fou 1.4 CHUOI LŨY THỪA Chuỗi hàm dạng Sứ —z)*, (1.8) 30

trong d6 29, ax, k = 0, 1,2, là những số phức cho trước, được gọi là chuỗi

thừa Số zo được gọi là tâm của chuỗi, œ¿, = 0,1,2, được gọi là

Trang 18

9

Nếu đặt z = £ — 2 thì có thể viết chuỗi (1.8) dưới dang

(1.9)

Dinh ly 1.4.1 Néu chuỗi liy thita (1.8) hoi tu tai diém 2» £0 thi nó hội tụ tuyệt đối trong hành tròn {|z| < |za|}

Định lý 1.4.2 Nếu chuỗi (1.8)phân kỳ tại điểm z = z\ thì nó cũng

phân kỳ tại mọi điểm z mà |z| > |z\|

Định lý 1.4.3 Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa (1.8) là hành tròn

8={zeC:|z|< R}

sới bán kính R xác định, phụ thuộc uào các hệ số của chuỗi Số R gọi là bán kính hội tụ của chuỗi

Định lý 1.4.4, (Cauchy - Hadamard) Bán kính hội tụ lì của

chuỗi lũy thừa (1.8) được tính theo công thức

p-t-— 1 p (1.10)

tim, sup|an|*

trong đó ta đặt lì = 0 nếu p = +ee tà l= +œ nếu p = 0

1.5.LY THUYET THANG DU

1.5.1 Dinh nghia thang du

[II

Định nghĩa 1.5.1 Điểm bất thường cô lập zọ được gọi là (0) điểm bắt thường bỏ được nếu lim ƒ(z) # se;

(ii) cực điểm nếu tim f(2) = 00;

(iii) diém bét thutmg eft yến nếu hàm ƒ(z) không có giới hạn khi z+ 29

Định nghĩa 1.5.2 Giả sử hàm ƒ(z) chỉnh hình tại điểm a hoặc có

Trang 19

được ký hiệu là res mg J1): (1.11) 5 II z a Be B g " Định nghĩa 1.5.3 Giả sử ƒ € H{|z| > r} và z thường cô lập của hàm f(z) Dai lượng

được gọi là thặng dư của hàm ƒ tại điểm se trong đó +" (0, f) là đường,

tròn +~(0, R) = {|z| = R} với bán kính đủ lớn được định hướng sao cho

lân cận điểm se luôn luôn nằm bên trái

Định lý 1.5.1 /1/ Nếu ƒ(z) có một cực điểm tại zạ € D, thà trong

một lân cận của điểm đó tồn tại hàm chỉnh hành h(z) không triệt tiêu tà

số nguyên dương k lớn nhất sao cho " z

ƒ(z) = Gea

Số nguyên dương k trong Dinh lý (1.5.1) được gọi là bậc (hoặc bội)

của cực điểm và nó mô tả tốc độ tăng của hàm khi z tiến gần tới zạ Nếu

cực điểm là bậc một chúng ta gọi nó là cực điểm đơn

Định lý 1.5.2 /1/ Nếu ƒ có cực điểm bậc k tại zạ thì f=

6 dé G(z) la ham chinh hinh trong mét lan céin ctia diém 2

1.5.2 Phương pháp tính thặng dư (i) Thang dur tai vo cing

Dinh ly 1.5.3 Gid sit vdi0 < |

dưới dang | <p ham f(z) có thể biểu diễn

f= }) a(z—a)", (1.12)

—s<n<%

Khi đó

Trang 20

ul Néu khi R < |z| < f= YO anz" (114) —se<n<% Định lý 1.5.4 Nếu hàm ƒ chỉnh hành lại điểm so thà

res =~ lim 2[f(2) — ai} (1.15)

Hệ qua 1.5.5 Nếu co la không - điểm cấp m > 1 của f(z) thi

Q = A) = = Any =0 va do dé res = —a_; =0

Néu m = 1, tite la lim f(z) = ap = 0 thi 2-400

= lim 2.f(z) —

(ii) Thang du tai cue điểm

Dinh ly 1.5.6 Néu a la cuc diém don ctia ham f(z) thi thang dư

của f tai a được tính theo công thức

sf = lim(z — a) f(2) 2a (116) Hệ quả 1.5.7 Nếu ƒ(z) = hết trong đó ¿,Ú là những hàm chỉnh hình tại điểm a thỏa mãn điều kiện £(a) # 0, Ù(a) = 0,/(a) # 0 thà a) sf= 117 res S = Seay, 040) Định lý 1.5.8 Nếu a là cực điển cấp m của hàm ƒ(z) thì to ge f= menltder(Œ=3)”/} (118)

1.5.3 Định lý cơ bản của lý thuyết thang dư

Định lý 1.5.9 (Cauehy) Giả sử D là tập hợp mở của mặt phẳng phức va f la ham chinh hinh trong D {a;}, trong dé a; là tập hợp những điểm bắt thường cô lập của hàm ƒ(z) Giả sử T là biên có hướng của miền

BCD va gid thiét ring ` không đi qua một điểm bắt thường nào của Ƒ

Khi đó:

Trang 21

(ii) Ham f théa man hé thite

[fea = 2ni D> res f, (1.19)

=1)

trong đó tổng ở uề phải của (1.19) được lầu theo mọi điểm bắt thường của

hàm ƒ(z) nằm trong B

1.6 PHUGNG TRINH SAI PHAN

Định nghĩa 1.6.1 (/2Ì) Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 có

dạng

AXn+1 + btn = fn, a ~ 0,6 £0, (1.20) hoặc

#mèi — đu = fn, 4 #0, (1.21) trong đó ƒ„ là một hàm theo ø gọi là về phải của phương trình, z„ là ẩn

i) Néu a,b, q là các hằng số, thì ta nói là phương trình sai phân tuyến tính

hằng

ii) Nếu ø,b, 4 phụ thuộc vao n thi ta nói phương trình sai phân tuyến tính

cấp 1 với hệ

cấp 1 với hệ số biến thiên

ii) Nếu ƒ„ = 0, ta gọi là phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất, nếu ƒ„ # 0 ta nói phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất

Định nghĩa 1.6.2 ((2Ì) Nghiệm của phương trình (1.20)

i) Hàm số z„ = z(n), biến n thỏa mãn (1.20) được gọi là nghiệm của phương trình (1.20) ii) Ham số #, với mọi Œ, được gọi là nghiệm tổng quát của (1.20), nếu với mọi giá tri

Trang 22

13

Định nghĩa 1.6.3 (Í2]) Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 có

dang:

#n+a — PEn+i — đRn = fay (122)

trong đó #„ là hàm theo đối số nguyên m gọi là ẩn, ƒ„ là hàm số của m gọi là về phải

i) Nếu p,q là các hằng số thì phương trình (1.22) gọi là phương trình

sai phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng

ii) Nếu p,q là các hàm số của ø thì phương trình (1.22)gọi là phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 hệ biến thiên

ii) Nếu ƒ„ = 0 thì gọi là phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp

2

iv) Nếu ƒ„ # 0 thì gọi là phương trình sai phân tuyến tính không thuần

nhất cấp 2

Định nghĩa 1.6.4 ({2]) Nghiêm của phương trình (1.22):

i) Ham 2, = z(n) biến n thỏa mãn phương trình (1.22) gọi là nghiệm của

phương trình (1.22)

ii) Ham #„ = z(n,C\,Cs) phụ thuộc vào 2 tham số Œ¡,C; thỏa mãn

phương trình (1.22)với mọi C\,C» được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình (1.22) nếu với mỗi điều kiện ban dau ry = a, 2) = B ta đều xác định được duy nhất cặp (Cỹ, C9) thỏa mãn

iii) Néu #„ — z(n, Ơ, C) là nghiệm tổng quát của phương trình(1.2) thì x3, = a(n, C2, C9) gọi là nghiệm riêng của phương trình (1.22)

Phương trình (1.22)có phương trình thuần nhất tương ứng là

Tn42 — Play — Gin = 0 (1.23) Định lý 1.6.1 Nếu #, là nghiệm tổng quát của (1.23) tà z„ là

Trang 24

CHƯƠNG 2

PHÉP BIẾN ĐỔI Z

2.1.ĐỊNH NGHĨA

Định nghĩa 2.1.1 (5)) Với một chuỗi phức vô hạn z(n), phép biến

đổi Z của nó được xác định bởi công thức

X()=Zlz(n)]= 3) z(n)z~" (2.1)

trong đó z là biến phức Phép biến đổi Z này được gọi là biến đổi Z hai

phía hoặc biến đổi Z song phương

Phép biến đổi Z chỉ tồn tại đối với các giá trị của z mà chuỗi trong (2.1)

hội tụ Các giá trị này của z xác định vùng hội tụ (ROC) của X(z) Do

đó (ROC) la mién cita phép biến đổi Z

Trang 26

17 Z[~M"u(—n — 1)} = (2.3) ROC : |z| < |b| phần bên trong của một đường tròn có tâm ở gốc của mặt phẳng phức có bán kính |ð|

2.2 MỐI LIÊN HỆ VỚI PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ PHÉP

BIEN DOI FOURIER

2.2.1 Méi liên hệ với phép biến đổi Fourier

Đặt z(n) là một chuỗi thì phép biến đổi Fourier rời rạc của z(n) là (24) trong đó œ là có thật Phép biến đi (25) trong đó z là biến phức Ở dạng cực z được viết dưới dạng z=rels (2.6) trong đó r = |z| và w = arg(z) “Thay phương trình (2.6) vào phương trình (2.5) ta được oe a X(2)= SP a(n)(re#)" = YP a(nyr"(e*)—" (2.7)

trong đó phép biến đổi Fourier rời rac cho (z(n)r—"] Nếu r = 1 thì z = e?°

và phép biến đổi Z trở thành phép biến đổi Fourier rời rạc, nghĩa là

X(2)[:-0 = X(e*)

Vay phép bién déi Z là tổng quát hóa phép biến đổi Fourier rời rac

2.2.2 Mối liên hệ với phép biến đổi Laplace

Cho f(t) 1a mot hàm liên tục, khi đó ta có thể lấy một mẫu rời rạc

f,(t) được viết như sau

Trang 27

Phép biến đổi Laplace cita ham f,(t) 1a X(s) = #(/.(9) =Ƒ [> /6)su =n) edt (99) trong đó s = ø + 7œ, ơ và œ là các biến thực, bằng cách thay đổi thứ tự của phép tính tổng và tích hợp của phương trình (2.9) ta được ES X(s) = > /ín [[+~»« “#])= Ye se = Ð} faye’ = X(2)Ie-e (2.10) Vậy mối liên hệ giữa phép biến đổi Fourier và phép biến đổi Laplace 1a X(s) = X()| (2.11) hoặc X2) = X(s)Ìs—m: (2.12) 2.3 MOT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN

Đặt X(z) là phép biến đổi Z của z(n) với ROC : rz < |z| < Re

và đặt Y(z) là phép biến đổi Z của y(n) với ROC : rụ < |z| < Ry Dat

Trang 28

19 Khi đó W(2)= YO w(n)e" 5ˆ laz(n) + 8u(n)]z~" = S an) "+ » By(n)2-" =a > a(n)z-" +B > y(n)z" =aX(z) + BY(z) ROC cita W(z) = aX(z) + BY(z) chita t&t c& z sao cho z€ ROC(X(z))(ROC(Y(2)) Khi đó

{rz < |2| < Ro} {ty < lel < Ry}

Trang 29

ROC cita X(z) va Z[x(n +k)] giéng nhau, có thể ngoại trừ z = 0 hoặc =œ n 2.3.3 Phép nhân theo cắp số nhân Nếu œ là số phức bắt kỳ thì Zla"z(n)]= X(a"1z), |alr; < |z| < |a|R; (2.16) Chứng mình oe S2 a"z(n)z—" Zla"z(n))

khi r„ < |a"!z| < Ñ„ hoặc | 2.3.4 Dao thời gian

Trang 31

2.3.7 Phép chia Gia sit Z[x(n)] = X(z) Khi đó với m > 0 ta có li x(n) }- „m iAG (2.21) n+m m1 Chứng mình Theo định nghĩa ta có a(nT) ~ a(n) _„ 2{' => nem = 2" Fa j km 2] - =Ï„en [= zín)z” 1+ -" j ĐA 2.3.8 Tích chập “Tích chập là một trong những tính chất mạnh nhất của phép biến đổi Zz Z(x(n) * y(n)] = X(z)¥ (2) (2.22)

Chiing minh Goi r(n) 1a tich chap cita x(n) va y(n), khi d6 r(n) được

định nghĩa như sau

r(n) = z(n) * y(n = rH )y(n — (2.23)

Lấy biến đổi Z hai về của (2.23) ta được

R(z) = Z[r(n)] = > r(njz™

Trang 32

23 Bằng cách hoán đổi thứ tự các tổng của phương trình (2.24) và áp dụng tính chất dịch chuyển ta được R(z) = > «| n-ne] =Y(z) Ð` z(k Y(z)XŒ) — ROC của tích chập ít nhất là giao điểm của R#OC của X(z) và ROC của Y() n 2.3.9 Định lý Parseval Nếu r„ry, < |z|=1< R,R, thì ta có 3> z(n)w'(n) = mf Xt yy*( yids (2.25)

trong dé C là một đường viền kín ngược chiều kim đồng hồ bao quanh gốc nằm trong vùng hội tụ chung của X(z) và Y(1/z*)

Lưu ¥: Néu y(n) a chuỗi thực, khi đó Định lý Parseval trở thành

3 zin) = 3 an f 0) (2): ~dz (2.26)

2.3.10 Phép biến đổi Z của tích

Z(x(n)y(n)) = 5 mf x(wy (2) ta, (2.27)

véi ROC : rzry < |2| < RrRy

Trong đó Ở là một đường viền đóng ngược chiều kim đồng hồ bao quanh

Trang 33

2.3.11 Phép biến đổi Z của đạo hàm riêng

Giả sử Z {z(n,a)} = X(z,a) Khi đó

Z {ãe a} = = ox, a) (2.28)

Chitng minh Theo dinh nghĩa ta có

ũ

2.3.12 Phép biến đổi Z của tích phân

Giả sử Z {z(n,a)} = 4 X(z,a) Khi đó Le" [om (2.29) đo Chứng mình Theo định nghĩa ta có 2 Ỉ coal > [>4 = -/ | > x(n, a)2~ Ì» H1

2.3.13 Phép biến đổi Z qua giới hạn

Giả sử Z {z(n,a)} = X(z,a) Khi đó

Trang 36

27 Ap dung tính chất phép nhân hai chuỗi 1 z\1 /(z)=—— y) ẤÌ “an W() maf xO" (2) sa Cc 1 1 = 2miJ v—2z/v—30 du Cc 1 1z "¬ ani f v—2z—3v dv Cc

ROC của Z|z(n).y(n)] là |z| > 6

Do đó, cực |~| nằm ngoài đường viền của tích hợp trong ?

Trang 37

trong a6 x(n) = (5) w(n) v0.uen) = (5) we

Trang 38

29 Ap dung tinh chất tuyến tính và đảo thời gian ta được z 1 pip" | 2 2 3z 1 = >, = < fo <2 (22+ 1)(z+ 2)’ 2 1 |<kI< 2.5 DỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CỦA PHÉP BIEN DOI Z MỘT PHÍA Định nghĩa 2.5.1 Phép biến đổi Z một phía hoặc đơn phương của chuỗi là X*(2) = Z*[2(n)] = 9 2z(n)z~" (2.31) no trong đó z là một biến phức

Phép biến đổi Z một phía khác với phép biến đổi Z hai phía ở giới hạn

dưới của phép tính tổng, luôn luôn bằng 0 cho dù chuỗi x(n) có bằng 0

với n < 0 Vi vi

nó không chứa bắt kỳ thông tin về chuỗi z(n) cho các

giá trị âm của n

Lưu ý: Phép biến đổi Z một phía X*(z) của z(n) giống hệ với phép biến đổi Z hai phía của z(n)u(n)

Trang 39

ROC toan bo mat phing z trừ z = 0 b) Rt (2) =3-42 1 +52, [2] >0 © Ha 2 W*() =——: bel>4 4) H*(z) = 0, RÓC là toàn bộ mặt phẳng z

Hầu hết các tính chất của phép biến đổi Z một phía giống như các

tính chất của phép biến đổi Z hai phía ngoại trừ tính dịch chuy

Chuyển đổi tính chất cho phép biến đổi Z một phía

Nếu Z*(z) là phép biến đổi Z một phía của chuỗi x(n) vi ROC |2| > re

Định dạng
Số trang	72
Dung lượng	11,46 MB