Mục tiêu của luận văn Phép biến đổi tích phân dạng Fourier hữu hạn và ứng dụng là nghiên cứu các tính chất của phép biến đổi tích phân dạng Fourier hữu hạn và ứng dụng chúng vào giải các phương trình vi - tích phân.
Trang 1
BO GIAO DUC VA DAO TAO
Trang 2BỘ GIAO DUC VA DAO TAO
TRUONG DAI HOC SU PHAM
VO THANH VIEN
TEN DE TAI
PHẫP BIEN DOI TICH PHAN DANG
FOURIER HUU HAN VA UNG DUNG
Chuyờn ngành: Toỏn Giải Tớch
Mó số: 60.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
TS Phan Đức Tuan
Trang 3LỜI CAM ĐOAN
Tụi xin cam đoan đõy là cụng trỡnh nghiờn cứu của riờng tụi Cỏc số liệu,
kết quả nờu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai cụng bố trong bắt
kỡ cụng trỡnh nào khỏc
Đà Nẵng, thỏng 7 năm 2017
Tỏc giả
Trang 4LOI CAM ON
Lời đầu tiờn của luận văn em xin gửi lời cảm ơn sau si dẫn TS Phan Đức Tuần đó tận tỡnh hướng dẫn em trong s để em cú thể hoàn thành được luận văn này
Em cũng xin gửi lời cảm ơn chõn thành nhất đến tit cả cỏc thầy cụ giỏo đó tận tỡnh dạy bảo em trong suốt thời gian học tập của khúa học Đồng thời cũng xin gửi lời cảm ơn đến cỏc anh chị trong lớp Toỏn Giải Tớch khúa 31 đó nhiệt
tỡnh giỳp đỡ tụi trong quỏ trỡnh học tập tại lớp
tới thầy giỏo hướng
6t quỏ trỡnh thực hiện
Trang 5MỤC LỤC
Danh mục cỏc ký
CHƯƠNG 1 PHẫP BIỂN ĐỔI TÍCH PHAN FOURIER HUU HANS
1.1 Phộp biến đổi tớch phõn fourier hữu hạn 5
1.2 Phộp biến đổi tớch phõn fourier cosine và sine hữu hạn - 9
CHƯƠNG 2 PHẫP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN DẠNG FOURIER HỮU HẠN
2.1 Phộp biển đổi tớch phõn Hartley hữu hạn - 14
2.2 Phộp biến đổi tớch phõn dang Fourier hữu hạn
CHUONG 3 UNG DUNG GIẢI PHƯƠNG TRI
3.1 Ứng dụng giải phương trỡnh vi phõn thường
3.2 Ứng dụng giải phương trỡnh đạo hàm riờng
3.3 Ứng dụng giải phương trỡnh tớch phõn . 29
Trang 6
DANH MỤC CÁC Kí HIỆU : Tập hợp cỏc số tự nhiờn Tập hgp N\ {0} Tập hợp cỏc số nguyờn Tập hợp Z \ {0} LĂ(E) : Khụng gian cỏc hàm ƒ cú |ƒ| khả tớch Lebesgue trờn E, với |7 = [VG)lex La(E) : Khụng gian cỏc hàm ƒ, bỡnh phương khả tớch Lebesgue trờn E, Am" ằ nen" với |/lŠ= [ I/@9)f4x, và 02) = Í /6)g9ỏx
1;(2) : Khụng gian cỏc dóy số ứ = {a„}„<z thỏa món
3 lau? < + với |lal| = 3) la
"e2 neZ
co(Z) : Khụng gian cỏc dóy số a = {an}nez thỏa man
lim a„ =0 với ||a|| — sup lan)
in| neZ
cas(x) : Ham cos cong sin : casx = cosx+sinx
Nn
Trang 7MỞ ĐẦU
1 Lịch sử vấn đề và lý do chọn đề tài:
Joseph Fourier (1768-1853) là người đầu tiờn nghiờn cứu chuỗi lượng giỏc dựa theo cỏc cụng trỡnh trước đú của Euler, D'Alembert và Daniel Bernoulli Cỏc cụng trỡnh đầu tiờn của Joseph Fourier được cụng bố vào cỏc năm 1807 và 1811 là về việc ỏp dụng chuỗi Fourier để giải phương trỡnh nhiệt Kể từ đú đến nay Giải tớch Fourier khụng ngừng phỏt triển và đó thu hỳt nhiều nhà toỏn học
nổi tiếng quan tõm Trong đú phải kể đến Riemann, Cantor, Lebesgue, Cauchy,
Hartley, Hankel, Hilbert, Laplace, Mellin
Giải tớch Fourier khụng những gúp phõn vào sự phỏt triển của giải tớch cổ điển mà cũn được ứng dụng trong cỏc lĩnh vực khoa học khỏc như: vật lý, cơ học, quang học, húa học, sinh học, phõn tớch tớn hiệu, kỹ thuật mỏy tớnh hiện Trong giải tớch núi riờng, Giải tớch Fourier đó khẳng định chỗ đứng của mỡnh thụng qua việc giải cỏc phương trỡnh vi phõn, phương trỡnh đạo hàm riờng và cỏc phương trỡnh tớch phõn Đặc biệt khi giải cỏc phương trỡnh kể trờn trong miễn hữu hạn thỡ cỏc phộp biến đổi tớch phõn dạng Fourier hữu hạn khỏ hữu
dụng vỡ cỏc lý do sau: trước tiờn, cỏc phương trỡnh trờn được thay thế bởi cỏc
phương trỡnh đại số đơn giản, cho phộp chỳng ta tỡm nghiệm là cỏc biến đổi dạng Fourier của hàm Nghiệm của phương trỡnh ban đầu sẽ thu được thụng qua phộp biến đổi ngược Thứ hai, cỏc biến đổi dạng Fourier hữu hạn kết hợp với định lý tớch chập cung cắp một cỏch biểu diễn nghiệm dưới dạng tường minh cho bài toỏn biờn ban đầu
Cỏc phộp biến đổi Fourier, Fourier cosin, Fourier sine và Hartley hữu hạn
Trang 8H{/0))(n) = | sovmtnn Ix, neZ,
Hef f(x)}(n) = ke (x)cas(—nx)dx, n€Z
„ trong đú casx = cosx-+ sinx Theo cụng thức Euler thỡ cỏc phộp biến đổi Fourier và Harley đều được biểu diễn tuyến tớnh qua hai phộp biờn đổi Fourier cosine va Fourier sine như sau: F=T.+iT, =T.+T,, Hạ =T,—T, Điều này đó đưa đến cho chỳng tụi ý tưởng đưa ra phộp biến đổi tớch phõn mới: F,ằ =aT,+bT, (a,b€C)
goi la phộp biộn dội tich phõn dang Fourier hitu han
Với cỏc lớ do trờn dưới sự hướng dẫn của TS Phan Đức Tuấn, tụi chọn nghiờn
cứu đề tài: Phộp biến đổi tớch phõn dang Fourier hữu hạn và ứng dụng 2 Mục tiờu nghiờn cứu:
Mục tiờu của luận văn là nghiờn cứu cỏc tớnh chất của phộp biến đổi tớch phõn dạng Fourier hữu hạn và ứng dụng chỳng vào giải cỏc phương trỡnh vi - tớch phõn
3 Đối tượng và phạm vi nghiờn cứu:
- Đối tượng nị : Phộp biến đổi Fourier, phộp biến đổi Fourier co- sine, phộp biễn đổi Fourier sine, cỏc phộp biến đổi Hartley và phộp biến đổi Fourier đối xứng cỏc phương ing dung cdc tớnh chất đó nghiờn cứu vào giải phương trỡnh vi phõn, phương trỡnh đạo hàm riờng và phương trỡnh tớch phõn
5 Phương phỏp nghiờn cứu:
Dựa vào những kết quả đó biết của cỏc phộp biến đổi tớch phõn Fourier, phộp biến đổi Fourier cosine, phộp biến đổi Fourier sine để nghiờn cứu nhữn:
kết quả tương tự cho cỏc phộp biển đổi Hartley và phộp biến đổi Fourier đối xứng
6 Cấu trỳc luận văn:
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài
thành ba chương Chương I, trỡnh bày khỏi niệm, một số tớnh chất cơ bản của
Trang 94
Chương 2, trỡnh bày cỏc phộp biến đổi tớch phõn dạng Fourier hữu hạn gồm: Hai phộp biến đổi Hartley và phộp biến đối dạng Fourier Xõy dựng cỏc tớch chập liờn kết giữa cỏc phộp biến đổi tớch phõn dạng Fourier kể trờn Chương 3, ứng dụng cỏc kết quả của cỏc phộp biến đổi tớch phõn dạng Fourier hữu hạn vào giải cỏc phương trỡnh vi phõn thường, phương trỡnh đạo hàm riờng và phương trỡnh tớch phõn
7 í nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài:
Đề tài cú giỏ trị về mặt lý thuyết và ứng dụng Cú thể sử dụng luận văn
làm tài liệu tham khảo dành cho sinh viờn ngành Toỏn và những người khụng
chuyờn toỏn cần cỏc kết quả của toỏn để ứng dụng cho cỏc bài toỏn thực tiển
của mỡnh
Trang 10
CHUONG 1
PHEP BIEN DOI TICH PHAN FOURIER HUU HAN Chương này sẽ trỡnh bày khỏi niệm và một số tớnh chất liờn quan của phộp biến đổi tớch phõn Fourier trờn đoạn hữu hạn Đõy là một cụng cụ để tỡm nghiệm của cỏc bài toỏn biờn với giỏ trị ban đầu xỏc định trờn miễn hữu hạn Phộ
biến đổi Fourier sine hữu hạn được đưa ra bởi Doetsch (1935) Sau đú, một số tỏc giả đó quan tõm và trỡnh bày một cỏch tổng quỏt hơn như Kneitz (1938), Koschmieder (1941), Brown (1944) va Roettinger (1947) (xem [4])
1.1 Phộp biến đổi tớch phõn fourier hữu hạn
Trang 116 @) Nếu n Z0 thỡ hệ số Fourier thứ n cia ham f tớnh được là x Juemac 1 x —m)” 1 —inx, =n lint") et aa fe cay! in Gi) Nộw n= 0 thi hộ 6 Fourier thin cia ham f tinh được là * ~ 1 F(0) = Jxa=0
Khi đú chuỗi Fourier của hàm ƒ là
(F;)@) =3) cur vn ơ (=) gny) 7 = in c= Sin(nx)
Điều kiện đủ để tớch phõn (1.1) tồn tại là ƒ € La[— %,1 Theo bổ để Lebesgue-Riemann thỡ ảnh Fourier hữu hạn của hàm f được mụ tả thụng qua định lý sau đõy lý 1.1.1 (bổ đề Lebesgue-Riemann, [1, 2]) Nếu ƒ € Lị| —,1| thỡ -
#ớn) € co(Z)
Ta biết cỏc hàm
là cơ sở trực chuẩn của Lạ[— %] nờn nếu ƒ € /¿[—.1] thỡ chuỗi Fourier của hàm ƒ hội tụ về hàm ƒ trong 72{—%,Zj Khi đú ta viết
##)= é fn)e",
và phộp biến đổi Fourier hữu hạn ngược được xỏc định bởi
FFM) =F) = YE Fle
Nhung nộu_f € L;|—1, 7] thi khong phai lỳc nào chuỗi Fourier của hàm ƒ cũng hội tụ và khi hội tụ cũng chưa hẳn hội tụ về hàm f Khi đú ta viết
Fo) ~ 3Š ffne"
Trang 12chuỗi Fourier của hàm ƒ Khi đú lim || f —on(f) ||, = 9, (1.6) trong đú LF sn voi Sx(f) = “nk
Hệ quả sau đõy suy trực tiếp từ Định lý 1.1.2
Hệ quả 1.1.1 (tớnh duy nhất Nộu ƒ € Lị[—.3] và ƒ{n) = 0 với mọi
n€7Zthỡ ƒ=0trong Li[—T,T
Khi ƒ là hàm trơn từng khỳc thỡ Định lý Dirichlet dưới đõy cho ta mối liờn
hệ giữa hàm ƒ và chuỗi Fourier của nú
Dinh ly 1.1.3 (Định lý Dirichlet, [1]) Giả sử ƒ là hàm tuần hoàn với chư
kỳ 2 và trơn từng khỳc trờn đoạn [— 1t.) thỡ chuỗi Fourier của hàm ƒ hội tụ
đến
3U/&+)+/—)|
trong đú
ƒ(o†) = lim f(x), ƒ(xo—)= lim f(x) xox ry
Mệnh để 1.1.1 Cho hàm ƒ cú đạo hàm đến cỏp hai khả tớch Lebesgue trờn [—m, | Khi đú (0 F{ƒƑ@)}(n) = mƒ(n đi) F{"@)}(n) = —nẩƒ(n) Chứng mỡnh Ta chỉ chứng mỡnh (0) vỡ (i) được suy trực tiếp từ (Ă) Ta cú FUP) = = /w)e “"dx Helmet, + [ye mae =inf(n) o
Định lý 1.1.4 (chập Fourier hữu hạn, [I]) Giả sử cỏc hàm ƒ,ứ xỏc định trờn lề và tuõn hoàn với chu kỳ 2 Nếu ƒ g khả tớch Lebesgue trờn đoạn | — Tt,
thỡ biến đổi tớch phõn (1.1) là chập liờn kết với biến đổi Fourier hữu hạn cựng với đẳng thức nhõn tử húa
fxs) ( Sf (x—u)g(u)du (1.7)
Trang 13Đ F{(f‡s) 69} @) =7(n)8(m) (18) Chứng mỡnh Ta đĩ chứng minh đẳng thức nhõn tử húa (1.8) Ta cú F{(7;ẽ) â}()= [ z8) “4 là 1 [ ( /#(/1 pf fle welu)au) eM dx On ands =E [swe (x [" fx—wew-"ds) du ol " a(uye™ (x " /0)Ê =4) du =ƒ(n)ó(n) n
Mệnh để 1.1.2 (xem [I]) Giả sử cỏc hàm ƒ,g và h thỏa món cỏc điều kiện của Định lý 1.1.4 Khi đú ti) ƒ*(g+h) =ƒ*g+ f;h (ii) (cf) #8 = f+(c8) = c(ƒ+&),Vc €R (ii) ƒ*8=&*ƒ Chứng mỡnh Cỏc đẳng phõn Ta đi chứng minh Ưz#)6) => [ /—)80)4ô
tic (i) va (ii) được my ra từ tớnh tuyến tớnh của tớch Do cỏc hàm ƒ, ứ tuần hoàn với chu ky 27 nờn ta cú
Trang 149 1.2 Phộp biến đổi tớch phõn fourier cosine và sine hữu han Khi / là hàm chẵn thỡ ƒớn) = J F(x) [cos(nx) —isin(nx)] dx = / F(x) cos(nx)dx, và chuỗi Fourier (1.2) của hàm f duge viột lai dưới ‘es ()œ =0)+2Š f0) mỡ (1.9) "Tương tự, khi ƒ là hàm lẻ thỡ chuỗi Fourier cia ham ƒ được viết lại dưới dạng (Fz)(x) =2} fớn )sin(nx), (1.10) trong đú Fin) =~ | 70)sn(m)ỏc 4
'Từ hai trường hợp trờn đó gợi ý cho việc đưa ra hai phộp biến đổi Fourier cosine và Fourier sine như sau:
Định nghĩa 1.2.1 (xem [2]) Cho hàm ƒ khả tớch Lebesgue trờn đoạn Í0.xj Khi đú () Biến đổi tớch phõn Fourier cosine hữu hạn của hàm f dude ky hiộu F.{ f(x)} và được xỏc định bởi E.{()J@) = 5 Í ƒ6)eox(m)4x= Ẩn), n=0,12, (ID (ii) Tổng vụ hạn 3Z0)+ LFineos(ns) gọi là chudi Fourier cosine cia ham f trờn doan (0, 7]
Định nghĩa 1.2.2 (xem [2]) Cho hàm f kha tich Lebesgue trờn đoạn Í0.xj Khi đú
Trang 1510 và được xỏc định bởi : FAG) Mn) == [ F(e)sin(nsjdx 3 = film), m=1, (1.12) (ii) Tổng vụ hạn x F(n) sin(nx’
gọi là chudi Fourier sine của hàm ƒ trờn doan (0,7)
Vớ dụ 1.2.1 Xột hàm số ƒ (x) = x với 0 < x < œ, ta tớnh được hệ số Fourier cosin thứ n cia ham / là L3 nộu n=0, F(n) = = [ scos(mar= 2-1) "-1) #-U =1 0 3 nộu nd suy ra chuỗi Fourier cosine của hàm / là CU°-I cos(nx) Vớ dụ 1.2.2 Cho ƒ(x) = x— [3] Ta cú hệ số Fourier sine thứ „ của hàm fila (=1)"2n(1 —n) —2ncos n? ° suy ra chudi Fourier se của hàm / là —1)*2n(1—) —2nco: Ỳ ——_——_ớ_,,ĂẶ.„7 Ký hiệu x (—1)*2n(1 —8) —2nco: wn Sy(x) =
Trang 16"
Figure 1.1: f(x) Figure 1.2: Sio(x), Sio000(x)
Mộnh dộ 1.2.1 (xem [2]) Cho hàm ƒ cú đạo hàm đến cấp hai khả tớch Lebesgue trờn doan (0,7) Khi đú
FAS (Ha) = —nfeln), (1.13)
Trang 1713
Trang 1814
CHUONG 2
PHẫP BIẾN DOI TICH PHAN DANG FOURIER HUU
HAN
2.1 Phộp biến đổi tớch phõn Hartley hữu hạn
Định nghĩa 2.1.1 (xem [3]) Cho hàm / là hàm khả tớch Lebesgue trờn
[—.m Khi đú
(i) Cỏc biến đổi Hartley hữn hạn của hàm ƒ được ký hiệu #1 {ƒ (x)} {/ (x)} và được xỏc định như sau:
H79) =9 cas(nx)dx= ẽ(n),n€Z — @.) Hoff (x)}( n= 3/50 cas(—nx)dv = (n),n€Z — (22)
(ù) Tổng vụ hạn
(E/)Œ)= ủ(6) +} ` [ủ (n)eas(m) + (n)es(—m)| G3)
gọi là chuỗi Hartley của hàm f va fi(n), fo(n) goi là cỏc hệ số Hartley thứ ứ của hàm ƒ Nếu ƒ € L;[—m.j thỡ chuỗi Hartley của hàm ƒ sẽ hội tụ về chớnh hàm ƒ trờn [—1.] Nhận xột 2.1.1 Với mọi ứ € ẹ, ta cú ỉị (—n) = fa(n) va TH{ƒ(=x)}(n) = H {f(x} (2) (2.4)
Do đú chuỗi Hartley của hàm ƒ(x) cú thể viết lại dưới dạng
(Ay) (x) = y Ai(n) cas (nx) -y fa(n) cas (—nx)
Như vậy ta cú
Hị(ẹ@))&)= /6)= ẩ Ã(nes(m)
Trang 1915 Vớ dụ 2.1.1 Cho /(x) =x— Đ — [3] Tà cú nếu n=0, nếu nz0, nếu „=0, nếu nz0,
suy ra chuỗi Hartley của hàm / là
(H/)(x) = tL eer Ẻ cans) + AEM cal)
Ky higu
NP 14(-1)" 14(-1)"
Sx(H/)(x) = h [EE casi) + 1 cas(-m|
Ia tong riộng tht N ciia chudi Hartley ciia ham f Ta c6 dộ thi minh hoa sy hoi
tụ của chuỗi Hartley như sau:
Figure 2.1: f(x) Figure 2.2: Ss(H,),S1oo00(Hy)
Chuỗi (2.3), cú thể được viết lại dưới dạng
(Hp) = FO) + Y [File) + Ala) cos(nx) + (Film) — fn) sin(nx)
a âề 4
=s + Lilancos(nx) + by sin(nx)] = (Fy)(x)
Do đú, một số kết quả của chuỗi Fourier vin nguyờn giỏ trị với chuỗi Hartley
như:
Trang 207
minh tương tự Mệnh đề đó được chứng minh Oo Trong trường hợp tổng quỏt, hệ số Hartley của tớch hai ham fg khong la tớch cỏc hệ số Hartley của hàm f va hàm g Khỏi niệm chập của hai hàm mà trọng tõm là đẳng thức nhõn tử húa cú vai trũ quan trong trong giải tớch Fourier Đú là đẳng thức nhõn tử húa cho ta hộ s6 Hartley ciia f +g là tớch của cỏc hệ số Hartley ciia ham f và hàm ứ
Cỏc bổ đẻ sau cần cho việc chứng minh định lý chập của biến đổi Hartley hữu hạn
Trang 21
18 Đổi biến Ê = x— w,f = —x+w,Ê =x+,f = —x— ứ, ta thu được: 2ủ (n) cas (nu) Riu = [seem cas (nt) d+ 5 [re —t+u)cas(nt) dt _ xe 1 xe + / F (tu) eas (nt) dt — = / f(—t—u)cas(nt)dt itt cu
Cỏc hàm dưới dấu tớch phõn là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2œ nờn cỏc tớch phõn trờn cú thể thay đổi cận từ —œ đến ứ Do đú x
2ủ (n)eas(mu) = 5 [ f(t-+u)eas(nt)de-+ 5 [f(t +1) eas (nt)
+ re —u)cas (nt) dt — mf rc —u)cas(nt)dt
[iter +f (—x+u) +f (e—u) —f (—x—u)]cas (nx) dx
=Hy{f(x+u)+f(—x+u)+f(x—u)—f (—x—u)} (n) Đẳng thức(2.10) đó được chứng minh Đẳng thức (2.11) cũng chứng minh tương tự Vậy bổ đề đó được chứng minh
Định lý 2.1.3 (chập Hartley hữu hạn, [3]) Giỏ sử hàm ƒ xỏc định trờn R
và tũn hồn với chu ki) 2x Nộu f,g khả tớch Lebesgue trờn [—-đ,f thỡ mỗi phỏp
biến đổi tớch phõn (2.12), (2.13), (2.14), (2.15) là tớch chập, tớch chập suy rộng
Trang 2219 ML (Fy aint) O} = fee (Faint) =z [Ư&++7&~9 +f (—x+u)+f(—x—w)]g(u)du (2.14) H{ (Fy int) (= Fem) aitn Hy : („z„*) @)= œJUŒ+t9+/&—) —ƒ(—x+w) + ƒ(—x—w)|g(w) đu (2.15) HẦ („3 „Ê)69]}@=50)80)
Hơn nữa, nếu cỏc hàm ƒ,g khả tớch Riemann và bị chặn trờn [—,Rè thỡ cỏc hàm xỏc định bỏi cỏc chập trờn là liờn tực Chứng mỡnh Ta chung minh (2.12) Tu B6 dộ 2.1.1, ta cộ Fumailn) = 3 [” eu) Flr) eas(eu id =k [ m0b+d+/b— +ƒ(—x+w)~ /(~x—w))(n)(0)4u =z}( 1f&+9+7e—1 +f(-x+u) ~ f(—x—u)Jeas(ns)dx) g(u)du =>; &+9+/e—ằ “ơ =M{Ứz s)0))0)
Cỏc đẳng thức nhõn tử húa của cỏc chập (2.13),(2.14),(2.15) chứng minh tương tự (2.12) Vậy định lý đó được chứng minh ũ
Hệ quả 2.1.1 (Hệ quả chập hữu hạn, [3]) Gid sw f la hàm tuõn hoàn với
Trang 2320
tớch phõn (2.16), (2.17), (2.18), (2.19) là chập, chập suy rộng liờn kết với cỏc biến đổi Hartley hữu hạn cựng với đẳng thức nhõn tử húa tương ứng (Fg90)= x [Weta +400) $f(oxtu)—f(-x-w)]e(udu, (216) Hal(Fg.8)()(0) = fll Cad 0= x [e+w -s0—0 +/Cx+M)+ƒ-x—)]g@)4e G1) H›{(U #)(9)}(n) = ủ(n)8i(n) (0) = z/l- f(x+w)+ƒ(x—n) + f(—xtu) + f(—x—w)] (udu, (2.18) HAS yin, H0) = fulraaln)- CF pin 90) = Ze | Œ+8)+/&—w) —f(-x+u)+f(—x-u)] g(u)du, (2.19)
HAS 5, IED) = Alen)
Hơn nữa, nếu ƒ.g khả tớch ann va bi chan trờn [—1t,T] thỡ cỏc hàm xỏc định bỏi tớch chập trờn là liờn tụ [TH Tu Chứng mỡnh Chứng mỡnh (2.16) Từ (2.12) ta cú mÂ((xÊ)69}=mƯ6) 8.66):
Thay x bởi —x vào đẳng thức nay ta thu được (2.16), cỏc đẳng thức (2.17),
(2.18), (2.19), cũng chứng minh tương tự Vậy hệ quả đó được chứng minh []
2.2 Phộp biến đổi tớch phõn dạng Fourier hữu hạn
Định nghĩa 2.2.1 (xem [3]) Cho hàm ƒ là hàm khả tớch Lebesgue trờn
[—.] Khi đú
(0) Cỏc biến đổi Hartley hữn hạn của hàm ƒ được ký hiệu 7Ă {ƒ (x)}.7› {/ (x)}
và được xỏc định như sau:
TĂ {ƒ(x)}(n) = s | Fo) eosins) +sin(ax)]dx = Â (n), n € Z
Trang 24
Figure 2.3: f(x) Figure 2.4: Sio(x),Sio000(x)
Mệnh đề 2.2.1 (xem [3]) Giả sử ƒ cú đạo hàm đến cấp hai khả tớch
Trang 2523 Vậy, đẳng thức (2 26) được chứng minh i tự ta chứng minh đẳng thức (2.27) THF") }(n "7 (x)[2cos(nx) — sin(nx)}dx * x cu _ " a, f'(x)[-2sin(nx) —cos(nx)]dx Fe Lf 4) (—2sin(nx) — cos(nx))]*, “2p f nt nx) — sin(nx)]dx = =n Tf f(a) }(n) +" vr (đ—f(-đ) +h Ke) /(-đ) Mệnh đề đó được chứng minh a
Định lý 2.2.1 Giả sử hàm ƒ xỏc định trờn B.va tudn hodn voi chư kỳ 2% Nộw f,g kha tớch Lebesgue trờn [—đ, 3) thỡ mỗi phộp biến đổi tớch phõn (2.28), (2.29), (2.30), (2.31) là tớch chập, tớch chập suy rộng đối với cỏc phộp biến đổi
tớch phõn Hartley hữu hạn cựng với đẳng thức nhõn tử húa tương ứng
( " 8) = Đ [vero r2riw
+2f(—x+u)—f(—x—w)]g(u)du (2.28)
if (Fy 4 8) bo) = Alain
(Fagin) 0) ay [Rf tot +2r ew)
+ƒf(—x+w)— ƒ(—x—w)]g(w) du (2.29)
Hf (Fy dint) Oo = Filme
(2x„*)đ=a ị B/Œ+w)+ƒ—n)
Trang 2624
HL (Lent) Of = Amat
(„ xu) &)= gÍ/6+3)+76—4
+2ƒ(—x+w)+2ƒ(—x—w)|g(w)du (2.31)
Hf (Fy dink) â =F ei
Hơn nữa, nếu cỏc hàm ƒ,e khả tớch Riemann và bị chặn trờn [—%,đ} thỡ cỏc hàm xỏc định bởi cỏc chập trờn là liờn tục
Việc chứng mỡnh Định lý 2.2.1 hoàn toàn tương tự như phộp chứng minh của Định lý 2.1.3 Cũng tương tự như Hệ quả 2.I.1, ta cú hệ quả sau:
Hệ quả 2.2.1 Giả sử hàm ƒ xỏc định trờn R và tũn hồn với chu kỳ 2
Nộu f,g khd tich Lebesgue trộn {—n, 7] thỡ mỗi phộp biến đổi tớch phõn (2.32),
(2.33), (2.34), (2.35) la tich chập, tớch chập suy rộng đối với cỏc phộp biến đổi
Trang 27
:
+ |B/+9)+3/6—1)
- —ƒ(—x+w)+ ƒ(—x—0)]g(w) du (2.35)
nf (ry, : 2) 6} (n) = faln) &i(n) HT;
Trang 2829
3.3 Ứng dụng giải phương trỡnh tớch phõn
Xột phương trỡnh
oa) +2 ["[ole—u) +aletuljoludu= fla) G42)
trong d6 A € C cho truộe, p,q, ƒ là cỏc hàm đó biết và @ là hàm chưa biết
Mọi hàm liờn tục hay liờn tục từng khỳc trờn {—,} đều cú thể mở rộng
thành hàm tuần hoàn với chu kỳ 2 xỏc định trờn ùE Vỡ vậy, trong Định lý 3.3.1
ta chỉ giả thiết cỏc hàm p, q là liờn tục từng khỳc trờn [—7, 1 Đặt (3.13) ` Định lý 3.3.1 (xem [3]) Gid sit p, q là cỏc hàm liờn tục từng khỳc trờn {—m.R] và ƒ là hàm bỡnh phương khả tớch Khi đú
(i) Nếu À # 0, thỡ tồn tại số nguyờn K" sao cho D(n) # Ú với mọi n > K
(ii) Nếu D(n) # 0 với mọi n € ẹ thỡ phương trỡnh (3.12) cú nghiệm duy nhắt trong Lạ(—đ,đè với mọi ƒ € Lạ|—đ.đ) Hơn nữa, nghiệm cho bỏi go)~ DỊ) , ấ [BÍ 2 a + ĐÁ) „(—m)è gi Chứng mỡnh (Ă) Theo Định lý 2.1.1, ta cú lim p,(n) = lim G,(n) = 0 (j = 1,2), lim D(n) =22 40 Do vậy, tồn tại số nguyờn K* € ẹ sao cho D(n) 40 Yn > K*
đi) Với h là hàm khả tớch, tuần hoàn với chu kỳ 27 và ứ là hàm khả tớch thỡ từ
cỏc tớch chập (2.12)-(2.15) và (2.16)-(2.19) ta thu được Hi h(x—u)g(u)du : (3.15)
Rin
Trang 2930 =(h; 8Œ) — („2 „8/() + (hạ, „ Oth, + „,8)(3): [ert wg(u)du 4.16) —(hz 8)6)+ (hạ, z 00-0, " =(Iz8)Œ)#(h„„ x„ 86) =(hạ xạ 8))3 (Rạ z „ 8)): Hy HH
Ap Hy, Hy vao hai vộ ciia (3.15), (3.16) và sử dụng đẳng thức nhõn tử húa của
cỏc tớch chập xuất hiện trong về phải, ta cú
Hà (5 [ M(x—9)e6)49) (ứ)=Ri(n)8(ứ)= Ran)8ỏ(n) +s(n)8Ă(n) + hi(n)&(n), (3.17) Kh($ [ M6 —)g0)/0) (ứ)=ủa(n)Bi(ứ) ~int)8i() +hi(n)Đa(n) + ủa(n)# (n), — G.18) tn Œ [ˆnỏ-+se(220) (7) =/@)8n(n)+Äa(n)8s(m) ~ha(n)#(n) + h(n)Đa(n),— @-19) H Œ [ hx-+w)lu)d) (7) = ha(n) a(n) + ha (n)8u(n) — — hi(m)8(n) + ha(n)8 (n)- 4.20)
Quay lại phương trỡnh (3.12) Trước tiờn ta đi chứng minh tớnh duy nhất nghiệm
của phương trỡnh (3.12) dựa theo định lý loại trừ Fredholm Giả sử phương
trỡnh thuần nhất tương ứng của phương trỡnh (3.12) (nghĩa là f = 0) cú nghiệm
ọ € L[0.2x] Khi đú Aed(s)+z [ [p(x—w)+a(x#w)j@.(6)4u = 0, Lự*
Ap A, H; vào hai về của đẳng thức trờn và sử dụng cỏc đẳng thức (3 17)-(3.20), ta thu được những hệ phương trỡnh tuyến tớnh hai ẩn
{pear +B(n)6.a(n) B(~n)6.Ă(n) + A(—n)6.a(n)
với ẩn là cỏc hệ số Hartley @.+(n),@.a(n) của hàm @
Với mỗi n € ẹ, thỡ (3.13) là cỏc định thức của hệ phương trỡnh (3.21) Từ D(n) 40,vn EN, (3.21) suy ra
Ga1(2) = G,a(n) =OVn EN
Trang 3031
tương ứng của phương trỡnh (3.12) chỉ cú nghiệm tầm thường Vỡ vậy,
định lý loại trừ Fredholm phương trỡnh (3.12) cú nghiệm duy nhất với mọi f € L[0,2n) Ta sẽ chứng minh cụng thức nghiệm (3.14) Giả sử @ là hàm bỡnh phương khả tớch thỏa món phương trỡnh (3.12) Áp Hị, Ở; vào hai về của phương trỡnh (3.12) và sử dụng cỏc đẳng thức (3.17) và (3.20), ta thu được hệ
hai phương trỡnh tuyến tớnh với mỗi n > 0
A(n)91 (2) + B(x) 2(n) = filn), (3.22)
B(—n)@i(n) +A(—n)@2(n) = fan),
trong d6 cộc hộ sộ Hartley ;(), ða(n) của hàm ọ là ẩn của hệ (3.22)
Với mỗi ứ € ẹ, thỡ (3.13) là cỏc định thức của hệ (3.22) Từ D(n) 40, Vn EN, suy ra hệ phương trỡnh (3.22) cú nghiệm duy nhất cho bởi Gum = FO 0) = BO n= O.1 (3.23) Ta lại cú ?-= [IDi@)2 [Dom] lứl:= [Dg| +E , Der) | - Bộ) ||!” Do đú, hàm @o cho bởi = Duo) â [Dil + Dan) %6)” TRỢ + ẩ: |) °*5)* ay oe) thuộc Lạ[—.đ] và @o(x) = @(x) hầu i noi trộn [—2, 7] Phan (ii) đó được chứng minh n
Vi du 3.3.1 Tỡm nghiệm của phương trỡnh tớch phõn tuyến tớnh với nhõn
suy biến (x) + : ƒ sin3(x—w)+2eos(x+u)|@(w)du =8cos°x.— “x x (3224)
Dit
P(x) = sin(3x),q(x) = 2cosx, f(x) = 8cos*x
Khi đú, phương trỡnh (3.24) cú dạng phương trỡnh (3.12) với A = 1 Ta tinh todn
được
-3 nếun=#l, D(n)= 42 nếun= 33,
1 nếunzZ{+l,+3}
Như vậy, điều kiện của Định lý 3.3.1 được thỏa món nờn phương trỡnh (3.24) cú nghiệm duy nhất cho bởi (3.14) là
Trang 3132
Mặt khỏc, phương trỡnh (3.24) cú thể
thu được nghiệm
@.(x) = 8cos* x— sin(3x) — cos(3x) —4cosx
bằng phương phỏp nhõn suy biến và
= 4eos (x) — cosx— 4sinxcos”x + sinx = @(x)
Trang 3233
KẾT LUẬN
Luận văn đó trỡnh bày cỏch cú hệ thống về phộp biến đổi tớch phan Fourier,
Fourier cosine, Fourier sine va cae phộp bien đổi tich phan Hartley
Dựa vào hai phộp biến đổi tich phan Hartley, luận văn đó đi đưa ra hai phộp biến đổi tớch phõn dạng Fourier mới 7Ă, 7 và chứng minh một số kết quả tương tự như hai phộp biến đổi tớch phan Hartley Bờn cạnh đú, luận văn cũng đó xõy đựng được một số tớch chập liờn kết giữa phộp biến đổi 7Ă với hai phộp
biến đổi Hartley
Luận văn đó vận dụng cỏc kết quả của cỏc phộp biến đổi tớch phõn dạng Fourier vào giải một số phương trỡnh vi phõn, tớch phõn cú trong thực tiễn
Việc giải cỏc phương trỡnh chỉ tập trung sử dụng phộp biến đổi Hartley và phộp biờn đổi Fourier sine mà chưa dựng cỏc phộp biờn đổi khỏc Làm cho việc
vận dụng cỏc kết quả nghiờn cứu vào giải cỏc phương trỡnh chưa thực sự trọn
vẹn Đõy cũng là hướng phỏt triển sau này của luận văn
Trang 3334
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Bhatia R (2005), Fourier series, The Mathematical Association of Amer- ica
[2] Lokenath Debnath and Dambaru Bhatta (2007), Integral transforms and their applications, Taylor and Francis Group, LLC
[3] N M Tuan and P D Tuan (2013), “The fine Hartley new convolutions and solvability of the integral equations with Toeplitz plus Hankel kernels”, J Math Anal Appl, No 397, pp 537-549
Trang 34
ĐẠI HỌC ĐÀ NANG CONG HOA XA HOI CHU NGHIA VIỆT NAM
TRUONG DAI HQC SU PHAM :_ Độc lập - Tự do - Hạnh phỳc
Súằ⁄)QéĐ-éHSP Đà Nẵng, ngày (9 thỏng é năm 2017 QUYẾT ĐỊNH
'Về việc giao đề tài và trỏch nhiệm hướng dẫn luận văn thạc sĩ
HIEU TRƯỞNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHAM
Căn cứ Nghị định số 32/CP ngày 04 thỏng 4 năm 1994 của Chớnh phủ về việc thành lập Đại học Đà Nẵng;
Căn cứ Thụng tư số 08/2014/TT-BGDĐT ngày 20/3/2014 của Bộ GD&ĐT về
việc ban hành Quy chế tổ chức và hoạt động của đại học vựng và cỏc cơ sở giỏo dục
đại học thành viờn;
Căn cứ Quyết định số 6950/QĐ-ĐHĐN ngày 01/12/2014 của Giỏm đốc Đại học
Đà Nẵng ban hành Quy định nhiệm vụ, quyền hạn của Đại học Đà Nẵng, cỏc cơ sở giỏo dục đại học thành viờn và cỏc đơn vị trực thuộc;
Căn cứ Thụng tư số 15/2014/TT-BGDĐT ngày 15/5/2014 của Bộ Giỏo dục và
Đào tạo về việc ban hành Quy chế Đào tạo trỡnh độ thạc sĩ;
Căn cứ Quyết định 1060/QĐ-ĐHSP ngày 01/11/2016 của Hiệu trưởng Trường Dai hoc Su phạm- ĐHĐN về việc ban hành Quy định đào tạo trỡnh độ thạc sĩ;
Căn cứ Quyết định số 3160/QĐ-ĐHĐN ngày 22/6/2015 của Giỏm đốc Đại học
'Đà Nẵng về việc cụng nhận học viờn cao học trỳng tuyển;
Xột đề nghị của Ban chủ nhiệm Khoa Toỏn về việc ra Quyết định giao đề tài và
trỏch nhiệm hướng dẫn luận văn thạc sĩ;
Xột đề nghị của ụng Trưởng Phong Dao tao,
QUYẫT ĐỊNH:
Điều 1: Giao cho học viờn Vừ Thành Viờn, chuyờn ngành Toỏn giải tớch
tại Kon Tum, khúa 31 thực hiện đề tài luận văn Phộp biến đỗi tớch phõn dạng Fourier hữu hạn và ứng dụng, dưới sự hướng dẫn của TS Phan Đức Tuấn,
Trường ĐHSP- ĐHĐN
Điều 2: Học viờn cao học và người hướng dẫn cú tờn ở Điều 1 được hưởng cỏc
quyền lợi và thực hiện nhiệm vụ đỳng theo Quy chế đào tạo trỡnh độ thạc sĩ do Bộ
Giỏo dục và Đào tạo ban hành và Quy định về đào tạo trỡnh độ thạc sĩ của Trường Đại học Sư phạm - ĐHĐN
Điều 3: Cỏc ụng (bà) Trưởng phũng Tổ chức - Hành chớnh, Đào tạo, Kế hoạch -
Trang 35
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG CONG HOA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
TRUONG DAI HQC SU PHAM 'Độc lập — Ty do — Hạnh phỳc
BIEN BAN
'HỌP HỘI ĐỒNG CHÁM LUẬN VĂN THẠC SĨ
1 Tờn đề tài: Phộp biến đổi tớch phõn dạng Fourier hữu hạn và ứng dựng
2 Chuyờn ngành: Toỏn giải tớch
3 Quyết dịnh thành lập Hội đồng chấm luận văn thạc sĩ số 819 /QĐ-ĐHSP
ngày 27/7/2017
4 Ngày họp Hội đồng: ngày 26 thỏng 8 năm 2017 5 Danh sỏch cỏc thành viờn Hội đồng:
STT HQ VA TEN CUONG VỊ TRONG HỘI ĐỒNG
1 | TS Pham Quý Mười Chủ tịch Hội đồng 2 |TĐ Lương Quốc Tuyển ‘Thu ký Hội đồng 3 | TS Lộ Hai Trung 'Ủy viờn Phản biện 1 4 |TS Trịnh Đào Chiến 'Ủy viờn Phản biện 2
5 |TĐ Hoàng Quang Tuyến Ủy viờn
a Thành viờn cú mặt: ĐC b Thành viờn vắng mặt; 0 ca
6 Thư ký Hội đồng bỏo cỏo quỏ trỡnh học tập, nghiờn cứu của học viờn cao học và đọc lý lịch khoa học (cú văn bản kốm theo)
7 Học viờn cao học trỡnh bày luận văn
8 Cỏc phản biện đọc nhận xột và nờu cõu hỏi (cú văn bản kốm theo)
9 Học viờn cao học trả lời cỏc cõu hỏi của thành viờn Hội đồng
10 Hội đồng họp riờng để đỏnh giỏ
Trang 3612 Kết luận của Hội đồng a) Kết luận chung: b) Yờu cầu chỉnh, sửa về nội dung: CLE gu w, kof ak bi hy â) Cỏc ý kiến khỏc:
Trang 37CỘNG HềA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Ty do — Hạnh phỳc —— BẢN NHẬN XẫT LUẬN VĂN THẠC SĨ (Dựng cho phản biện) 'Tờn đề tài luận văn: Phộp biến đổi tớch phõn dạng Fourier hữu hạn và ứng dụng Chuyờn ngành: Giải tớch Mó ngành: 60.46.01.02
Họ và tờn học viờn: Vừ Thành Viờn 'Người nhận xột: TS Lờ Hải Trung
Đơn vị cụng tỏc: Khoa Toỏn, Đại học Sư phạm ~ Đại học Đà nẵng NỘI DUNG NHẬN XẫT 1.Tớnh cấp thiết của đề tài
Jean Baptiste Joseph Fourier(21/3/1768-16/5/1830) là mộtnhà toỏn học vànhà vật
lý người Phỏp ễng được biết đến với việc thiết lập chuỗi Fourier và những ứng dụng trong nhiệt
học Với cỏc cụng trỡnh và đúng gúp cho toỏn học thỡ đó cú một ngành hẹp lấy tờn của ụng là Giải tớch Fourier Một trong những ứng dụng quan trọng nhất của phộp biến đổi Fourier là việc giải
quyết phương trỡnh vi phõn trờn miễn ảnh bởi cỏc phương trỡnh đại số, sau đú sử dụng phộp biến đổi ngược để nhận được nghiệm của phương trỡnh ban đầu Đề tài Phộp biến đổi tớch phõn dạng
Fourier hữu hạn và ứng dựng cũng thực hiện với tham vọng như thế và ngoài ra cũn muốn chạm
tới cả việc giải quyết phương trỡnh tớch phõn Đõy là một cụng việc cú ý nghĩa cả về mặt lý thuyết
và ứng dụng
2.Co sở khoa học và thực tiễn
'Trong luận văn tỏc giả dựa trờn nền tảng của cỏc phộp biến đổi Fourier và Hartley để thực hiện
mục đớch của mỡnh Ngoài ra cũng đó đưa ra ý tưởng mới về phộp biến đổi tớch phõn dạng
F(a,b}-aT(€)tbT@) bude + â go! KE nt ‹4/ Jấ-v#4
3.Phương phỏp nghiờn cứu
Trong luận văn tỏc giả sử dụng cỏc kiến thức liờn quan đến cỏc lĩnh vực: Giải tớch, giải tớch
phức, Đại số tuyến tớnh, Phương trỡnh vi phõn thường, Phương trỡnh đạo hàm riờng, Phương trỡnh
Trang 384.Kết quả nghiờn cứu
1.Trỡnh bày lại một cỏch cú hệ thống về phộp biến đổi Fourier cosine, sine và phộp biến đổi Hartley hữu hạn
2 Đưa ra hai phộp biến đổi tớch phõn dạng Fourier mới T1 và T2 dựa trờn cơ sở phộp biến đổi
Hartley
3 Chứng mỡnh một số kết quả của T1 và T2 tương tự như phộp biộn ddi Hartley
4 Ứng dụng được phộp biến đổi Fourier vào việc giải phương trỡnh vi phõn thường, phương trỡnh
đạo hàm riờng và phương trỡnh tớch phõn 5.Hỡnh thức luận văn
Luận văn được soạn thảo bằng phần mềm Microsoft Word, 34 trang bao gồm: Danh mục kớ
hiệu, Mở đầu, nội dung được trỡnh bày trong 03 chương và tài liệu tham khảo Cụ thể;
Chương 1: Trỡnh bày về Định nghĩa và cỏc tớnh chất cơ bản của phộp biến đổi Fourier hữu hạn, Fourier cosine và sine hữu hạn
Chương 2: Trỡnh bày về phộp biến đổi tớch phõn Hartley hữu hạn và phộp biến đổi tớch phõn dang Fourier
Chương 3: Ứng dụng phộp biến đổi Fourier giải phương trỡnh vi phõn thường, phương trỡnh đạo hàm riờng và phương trỡnh tớch phõn
6.Đỏnh giỏ chung
Luận văn cũn cú một số lỗi chớnh tả, như ở cỏc trang 5, 9, 11 cỏc vớ dụ trong phần ứng dụng cũn khỏ khiờm tốn
'Với những nội dung đó nờu như trờn thỡ luận văn Phộp biến đổi tớch phõn dạng Fourier hữu han và ứng dụng của học viờn Vừ Thành Viờn đỏp ứng được cỏc yờu cầu của một luận văn thạc sĩ
chuyờn ngành Giải tớch Tụi đề nghị cho phộp cho học viờn bảo vệ luận văn trước Hội đồng chấm
luận văn Thạc sĩ
Cõu hỏi:1 Thế nào là hàm số trơn từng khỳc?
2 Hóy cho biết những đúng gúp chớnh của tỏc giả trong luận văn?
Kontum, ngày 26 thắng 08 năm 2017
NGƯỜI NHẬN XẫT
Z2
Trang 39CỘNG HềA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự do - Hạnh phỳc BẢN NHẬN XẫT LUẬN VĂN THẠC SĨ : Phộp biến đổi tớch phõn dạng Fourier hữu hạn và ứng dụng ớch Mó số: 60 46 01 02 ử Thành Viờn
Người nhận xột: Trịnh Đào Chiến
Đơn vị cụng tỏc: Trường Cao đẳng sư phạm Gia Lai
NỘI DUNG NHẬN XẫT 1 Tớnh cấp thiết của đề tài:
Luận văn đề cập đến vấn đề Phộp biến đổi tớch phõn dạng Fourier hữu hạn và ứng,
dụng Đõy là một nội dung cần thiết, phự hợp với chương trỡnh đào tạo Thạc sĩ,
2 Cơ sở khoa học và thực tiễn:
Phộp biến đổi tớch phõn dạng Fourier hữu hạn là khỏi niệm quan trọng trong Giải
tớch Dú đú, việc nghiờn cứu Phộp biến đổi tớch phõn dạng Fourier hữu hạn và ứng
dụng là cú cơ sở khoa học và cú ý nghĩa thực tiễn
3 Phương phỏp nghiờn cứu:
` Dựa vào một số tài liệu tham khảo (đó được trớch dẫn) và được người hướng dẫn
khoa học giỳp đỡ, luận văn đó tổng hợp được những vấn đề cơ bản nhất về Phộp
biến đổi tớch phõn dạng Fourier hữu hạn và ứng dụng, cựng với nhứng ứng dụng của nú Phương phỏp nghiờn cứu là hợp lý
4 Kết quả nghiờn cứu:
Luận văn đó đề cập đến vấn đề Phộp biến đổi tớch phõn dạng Fourier hữu hạn và
ứng dụng, với nhiều vớ dụ minh họa cho cỏc hàm số cụ thể Đú là ưu điểm nỗi bật
của luận văn
5 Hỡnh thức luận văn:
Luận văn đó đỏp ứng được những yờu cầu cơ bản vẻ hỡnh thức của một luận văn
Thạc sĩ Toỏn học, với đầy đủ những mục quy định, chế bản rừ ràng
Tuy nhiờn, cũng cũn một số thiếu sút sau đõy:
Trang 40Trang | Dũng Đó in Đề nghị sửa lại 3 3 Trong đú " trong đú
_3 9 ‘Deu nay Điều này
“FT 5 sau đõy sau đõy
MỘT Sể VÁN Đẩ KHÁC:
0- Vỡ cú khỏ nhiều kiến thức chuyờn ngành hẹp, nờn nếu ngay từ đầu, luận văn cú chương kiến thức chuẩn bị, thỡ cỏc chương sau sẽ dễ trỡnh bày và tiếp cận hơn
1- Việc đưa Định nghĩa 1.1.1 ngay từ đầu Chương 1 là khỏ đột ngột, khụng theo thứ tự logic nờn gõy khú hiểu cho người đọc, nhất là chỗ hàm / là hàm như thế
nào? và vỡ sao lại xuất hiện e ““? Nờn cú 1 đoạn dẫn dắt, chẳng hạn:
` Giả sử / là hàm khả tớch, tuần hoàn trờn đoạn [~z,z] (cần tuần hoàn khụng?) ` Chuỗi Fourier của hàm f là chuỗi lượng giỏc + Š (6,ensm +iusinm), is trong đú = 1 s(2).cosmds, n=0,1,2,3ằ 5, ~L] 1)siomd, N=1,2,3po00 Nộu Chuỗi Fourier của hàm f là chuỗi hội tụ trờn đoạn [~z,z], thỡ cũng chưa chắc TH nh nhan nga a2 an vỡ 7G)~3#+Š (6,eesm+l,sinm) fal
Ngoài ra, cosmx va sinnx Iai cú thể biểu diễn dưới dạng phức như sau:
cosm=2(e™ +e) VÀ sinm= 2(e” =Ê"”)-
Khi đú, ta cú